(完整版)數(shù)學(xué)必修4-第二章-平面向量知識(shí)點(diǎn),推薦文檔

1、數(shù)學(xué)必修 4 第二章平面向量知識(shí)點(diǎn)2.1 平面向量的實(shí)際背景及基本概念1. 向量：既有大小又有方向的量。uur r2. 向量的模：向量的大小即向量的模（長(zhǎng)度） ，如 AB, a 的模分別記作uuurr| AB | 和 | a |。注：向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小。3. 幾類特殊向量rr(1) 零向量：長(zhǎng)度為 0 的向量，記為 0 ，其方向是任意的， 0 與任意向量平行，零向量ra 0 a 0。由于r0 的方向是任意的，且規(guī)定r0 平行于任何向量，故在有關(guān)向量平行 （共線）的問題中務(wù)必看清楚是否有“非零向量 ”這個(gè)條件。（注意與 0 的區(qū)別）uur(2)單位向量：模為 1 個(gè)單位長(zhǎng)度

2、的向量，向量 a0 為單位向量| a0 | 1 。rrarr將一個(gè)向量除以它的模即得到單位向量，如a 的單位向量為： ea| a |(3)平行向量（共線向量）：方向相同或相反 的非零向量 ,稱為平行向量 .記作 a b 。r規(guī)定： 0 與任何向量平等，任意一組平行向量都可以移到同一直線上，由于向量可以進(jìn)行任意的平移 (即自由向量 )，平行向量總可以平移到同一直線上，故平行向量也稱為共線向量。數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，只有大小、方向兩個(gè)要素，起點(diǎn)可以任意選取，現(xiàn)在必須區(qū)分清楚共線向量中的“共線”與幾何中的“共線”、的含義，要理解好平行向量中的“平行”與幾何中的“平行”是不一樣的。（4）相反向量

3、：與 a 長(zhǎng)度相等、方向相反的向量，叫做 a 的相反向量。r記作a 。關(guān)于相反向量有 ： 零向量的相反向量仍是零向量，vvv( a) =a ； a( a)0 ；若 a 、 b 是互為相反向量，則 a =b , b =a , a +b =0 。（ 5）相等向量：長(zhǎng)度相等且方向相同的向量。記為 a b 。相等向量經(jīng)過平移后總可以重合。2.2 平面向量的線性運(yùn)算1. 向量加法（1）定義：求兩個(gè)向量和的運(yùn)算叫做向量的加法uuurruuurrr uuuruuur uuur設(shè) ABa, BCb ，則 a +b = ABBC =AC 。規(guī)定： 0aa 0a ；（ 2）向量加法的法則“三角形法則”與“平行四邊

4、形法則” 用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線。 三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接” ，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線段就表示這些向量的和。注：當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則。向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加：uuuruuuruuurLuuuruuuruuurABBCCDPQQRAR ，但這時(shí)必須“首尾相連” 。（3）向量加法的運(yùn)算律：rrrrrrrrrr交換律： abba結(jié)合律： ( ab)ca(ac)2. 法向量的減rr rrrrr r（ 1）定義：若 a x b 則向

5、量 x 叫做 a 與 b 的差，記為 b a 。求兩個(gè)向量差的運(yùn)算，叫做向量的減法。（ 2）向量減法的法則“三角形法則”與“平行四邊形法則”rrrr 三角形法則：當(dāng) a, b 有共同起點(diǎn)時(shí)， a b 表示為從減向量 b 的終點(diǎn)指向被減向量 a 的終點(diǎn)的向量。C 平行四邊形法則：兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，差向量rrruuurr uuurrab則 b是 如 圖 所 示 的 對(duì) 角 線 。 設(shè) AB a, AC brruuur uuur uuurAa - b = AB AC CB .aB3. 實(shí)數(shù)與向量的積（1）定義：實(shí)數(shù)與向量 a 的積是一個(gè)向量，記作ra ，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下： aa ；r

6、當(dāng)r0 時(shí)， a 的方向與 a 的方向相同； 當(dāng)0 時(shí)， a 的方向與a 的方向相反；當(dāng)0 時(shí)， a0，方向是任意的。（2） 數(shù)乘向量的運(yùn)算律rrrrrrrrr( a) ()a ； ()aaa ； (ab) ab 。2.3 平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示1. 平面向量基本定理： 如果 e1 ， e2 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量 a ，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù) 1， 2 使 a = 1 e1 +2 e2 .注意：(1)我們把不共線向量 、 叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底；(2) 基底不惟一，關(guān)鍵是不共線；2. 向量的夾角 : 已知兩個(gè)非零向量 a 、b ，作 OA a

7、 ，OB b ，則AOB ，叫向量 a 、 b 的夾角，當(dāng)=0°， a 、 b 同向，當(dāng) =180°， a 、b 反向，當(dāng)=90°， a 與 b 垂直，記作 a b 。3. 平面向量的坐標(biāo)表示：在直角坐標(biāo)系中，分別取與x 軸、y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量r ri , j 作為基底，由平面向量的基本定理知，該平面內(nèi)的任一向量rrrrra 可表示成 axiyj，由于 a 與數(shù)對(duì) (x,y) 是一一對(duì)應(yīng)的，因此把 (x,y)rrr叫做向量 a 的坐標(biāo)，記作 a =(x,y)，其中 x 叫作 a 的橫坐標(biāo)， y 叫做作縱坐標(biāo)。規(guī)定：rr i (1,0)， j (0,1)

8、相等的向量坐標(biāo)相同，坐標(biāo)相同的向量是相等的向量； 向量的坐標(biāo)與表示該向量的有向線段的始點(diǎn)、終點(diǎn)的具體位置無關(guān) , 只與其相對(duì)位置有關(guān)4. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算：rrrrx1x2 , y1 y2 ；若 a ( x1, y1), b (x2, y2 ) ，則a buuury1 ；若 A x1 , y1 , B x2 , y2 ，則 ABx2x1, y2r，則ry) ；若 a =(x,y)a =( x,rrrr r若 a ( x1, y1), b (x2, y2 ) ，則 ar/ bx1 y2x2 y10 ； a b x1 x2 y1 y2rrr r若 a ( x1, y1), b (x2, y2 )

9、 ， 則 a bx1x2 , y1y2附：向量的表示方法 ：1幾何表示法：用帶箭頭的有向線段表示，如 AB ，注意起點(diǎn)在前，終點(diǎn)在后；4. 2符號(hào)表示法：用一個(gè)小寫的英文字母來表示，如 a ， b ， c 等；5. 3坐標(biāo)表示法：在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系，以與 x 軸、 y 軸方向相同的兩個(gè)單位向量 i ， j 為基底，則平面內(nèi)的任一向量 a 可表示為rrrx, y ，稱 x, y 為向量 a 的坐標(biāo)， a x, y 叫做向量 a 的坐axiy j標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn) ，那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。運(yùn)算向量形式坐標(biāo)形式： ax1 , y1 ；b x2 , y2加法<1>

10、;平行四邊形法則：起點(diǎn)相rrx1x2 , y1y2ab同，對(duì)角線為和向量。<2>三角形加法法則：首尾相連。uuuruuuruuur記： ABBCAC減法起點(diǎn)相同的兩個(gè)向量的差，rrx1x2 , y1y2ab（箭頭指向被減向量）uuuruuuruuur記： OAOBBAuuuruuuruuurABACCB數(shù)乘a 是一個(gè)向量，rrax1,y1a | a |方向：0 時(shí)，與 a 同向；0時(shí)，與 a 反向；0 時(shí)，a0數(shù)量積rrrrr rx1 x2y1 y2ab| a |b |cosa brrrrrrrrrr運(yùn)算性 交換律： abba ；結(jié)合律：abcabc ；質(zhì)rrrrr。a00aa加法

11、：Crarbrruuur uuuruuurabCC減法：2.4 平面向量的數(shù)量積（1） 平面向量的數(shù)量積的定義向量 a, b ，的夾角： 已知兩個(gè)非零向量a, b ，過O 點(diǎn)作 OAa ，OB b, 則 AOB=（00 1800）叫做向量 a, b ，的夾角。當(dāng)且僅當(dāng)兩個(gè)非零向量 a,b 同方向時(shí)， =00，當(dāng)且僅當(dāng) a, b 反方向時(shí) =1800，同時(shí) 0 與其它任何非零向量之間不談夾角這一問題。 a與b 垂直；如果 a, b 的夾角為 900 則稱 a與b 垂直，記作 a b 。 a與b 的數(shù)量積：兩個(gè)非零向量 a,b ，它們的夾角為，則 ab cos 叫做稱 a與b 的數(shù)量積（或內(nèi)積）

12、，記作bba b ，即 a b = ab cos ，規(guī)定 0 a =0oP aPoa非零向量 a與b當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)，=900，這時(shí) a b=0。 在 方向上的投影：OP b cos (a bRb aaa b 的幾何意義： a b 等于 a 的長(zhǎng)度與 b 在 a 方向上的投影的乘積。（ 2） 平面向量數(shù)量積的性質(zhì)設(shè) a,b 是兩個(gè)非零向量， e 是單位向量，于是有： e aa e a cos ； a ba b0 ；當(dāng) a與b 同向時(shí)， a ba b ；當(dāng) a與b 反向時(shí)， a ba b ，特別地，a a a22。a cosa b ； a b a ba b(3) 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 交換

13、律 成立 ： a bb a對(duì)實(shí)數(shù) 的結(jié)合 律成立：a ba b abR分配律成立： ab ca cb c c ab特別注意：（1）結(jié)合律不成立： a b ca b c ；（2）消去律不成立 a ba c 不能得到 bc （3） ab =0不能得到 a =0或 b =02222但 是 乘 法公 式成 立：abababab；22222a ba 2a b ba2a b b（3） 平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示若 a =(x1,y1),b =(x 2,y2) 則 ab =x1x2+y1y2若 a =(x,y),則| a | 2 =a . a =x2+y2,ax2y 2若 A(x 1,y 1),B(x2,y

14、2),則 ABx2x12y2y12若a=(x,y),b=(x,y) 則 abx1x2y1 y2（注意與 a / b 時(shí)條件區(qū)11220別， a / bx1 y2x2 y10 ）若 a =(x 1,y 1),b =(x 2 ,y 2) 則 cosx1x2y1 y2x12y12x2 2y2 22.5 平面向量應(yīng)用列舉1、線段的定比分點(diǎn)（1）定義：設(shè) P1 21 2的任,P 是直線 L 上的兩點(diǎn)， 點(diǎn) P 是 L 上不同于 P ,P意一點(diǎn)，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使 p1 ppp2 ，叫做點(diǎn) P 分有向線段 P1 P2 所成的比。當(dāng)點(diǎn) P 在線段 P1 P2 上時(shí)，0 ；當(dāng)點(diǎn) P 在線段 P1P2 或 P1P2的延長(zhǎng)線上時(shí)， <0（2）定比分點(diǎn)的坐標(biāo)形式x1x2x1y2,其中 P1(x1,y1), P2(x2,y2), P (x,y)，向量形式呢？y1y1（3）中點(diǎn)坐標(biāo)公式x1x2當(dāng) =1 時(shí)，分點(diǎn) P 為線段 P1P2 的