和差化積公式在三角函數(shù)中的綜合運(yùn)用(原稿)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上和差化積公式在三角函數(shù)中的綜合運(yùn)用和差化積公式與積化和差公式是兩角和差三角函數(shù)公式基礎(chǔ)上利用導(dǎo)出的兩組公式，對(duì)于和差化積公式，考慮兩個(gè)同名正弦或余弦三角函數(shù)值之和或差，將兩個(gè)角度表示為兩個(gè)角度的和與差的形式，然后利用兩角和差正余弦三角函數(shù)公式展開運(yùn)算，即可得到兩個(gè)角度三角值乘積的形式，如，、，將這兩個(gè)角度關(guān)系代入上式，得到，而積化和差公式推導(dǎo)遵循相反的運(yùn)算過程。和差化積公式是不宜機(jī)械記憶的，也沒有這種必要，因?yàn)樵诮忸}中不斷練習(xí)公式的推導(dǎo)過程，并在不同的問題中嘗試運(yùn)用公式另辟新解法而對(duì)公式運(yùn)用達(dá)到靈巧熟練的地步。從公式的推導(dǎo)過程可見角度恒等式、是和差關(guān)系向乘積關(guān)系轉(zhuǎn)化的

2、關(guān)鍵，只要兩角和差正余弦公式能熟練無誤地運(yùn)用，這兩組公式便可以熟練、快速而準(zhǔn)確的導(dǎo)出，因此，熟練掌握公式的推導(dǎo)方法比公式結(jié)果有更重要的價(jià)值。和差化積公式在實(shí)際三角函數(shù)問題中具有廣泛的運(yùn)用，特別是在三角求值問題中和邊角關(guān)系復(fù)雜的三角形問題中，很多用兩角和差三角函數(shù)公式無法解決的問題能順利解決，還能得到更一般的結(jié)論，這無疑對(duì)探索相關(guān)一類問題的一般解法具有重要意義。下面將舉例介紹和差化積與積化和差公式在三角求值問題和解斜三角形問題中的綜合運(yùn)用，通過不同問題的求解過程，系統(tǒng)地認(rèn)識(shí)這兩組公式在解題中的效用和適用范圍。一在三角求值問題中的運(yùn)用例1：實(shí)數(shù)滿足關(guān)系：(為正數(shù)). ()求證：為定值的充要條件是.

3、 ()設(shè)，求這樣的，使得.（）證明：（1）必要性：得，即因此，（1-1）另外，（1-2）得（1-3）為了書寫方便，以下出現(xiàn)的地方簡(jiǎn)記為由（1-2）和（1-3）得與以上兩式相除，得到.（1-4）聯(lián)合（1-1）和（1-4）可得（1-5）上式為定值，則必等于0即有，則，必要性得證；（2）充分性：若，由（1-5）知充分性顯然成立（）解：記，由（1-3）知，即.設(shè)，下面首先考慮一系列可能成為在的最小值的點(diǎn)：.對(duì)應(yīng)的函數(shù)值：分別將以上各式代入不等式，解不等式組：且且，并注意，得.因此，在函數(shù)定義域中，而，解不等式并與上述的解集取交集得，即例2：設(shè)函數(shù) ()解關(guān)于的不等式. ()定義在上的函數(shù)和常數(shù)滿足關(guān)系

4、式.試求一個(gè)的解析式和對(duì)應(yīng)的值.解：（）首先化簡(jiǎn)的表達(dá)式，即，由三角函數(shù)圖像知，以上不等式等價(jià)于，于是原不等式的解為().即下面說明的兩種不同表達(dá)式：（1），則，于是或；（2），則，于是或.例3：設(shè)函數(shù)滿足關(guān)系式：，其中是與無關(guān)的常數(shù)，且. （）求的值. （）解關(guān)于的不等式.解：設(shè)，則，.按的兩種不同取值分析如下：（1）若，注意，得.此時(shí).即.于是，；（2）若，注意，則.此時(shí).即.，.綜合（1）（2）可知,可取.待求解不等式為：，即.設(shè)，不等式化簡(jiǎn)為：，解之得或.，因此，最后求解不等式：或，即或.專心-專注-專業(yè)二在解斜三角形問題中的綜合運(yùn)用.例4：面積是它周長(zhǎng)平方的，若表示它的三個(gè)內(nèi)角, 試

5、求的值.解：設(shè)三角形的三條對(duì)邊為，由題意得.由得.由于于是，由得.例5：對(duì)于任意三個(gè)在之間的角，判斷“， ”是“”成立的何種條件.解：這是一個(gè)充要條件，證明如下：必要性顯然成立，下面說明充分性。，由得，或.而根據(jù)如上的等式關(guān)系，顯然，等價(jià)于下面條件：或或或，其中后面三個(gè)關(guān)系式根據(jù)，在原等式中位置的輪換對(duì)稱性不妨設(shè)為成立.若成立，由，可見，當(dāng)，同時(shí)為0時(shí)，這與矛盾，于是，不同時(shí)為0，此時(shí)，而，這是與條件相矛盾的，因此，后三種角度關(guān)系都不成立，只能是（注意，不能同時(shí)取值）。充分性證畢。例6：的三邊長(zhǎng)成等差數(shù)列，且最大角與最小角之差為，求三角形的三邊之比.解：設(shè)三對(duì)邊為、，則.三邊長(zhǎng)成等差數(shù)列得,且

6、.因此，即由于，既有，由得三邊長(zhǎng)之比為例7：非直角三角形中,為其三個(gè)內(nèi)角，且 ()求的大小. ()若，求的值.解：()由，得，即，因?yàn)槭卿J角，于是，()將代入題設(shè)表達(dá)式，或.即，將代入得.由上式解得例8：在中，對(duì)邊為，試求的值解：由得，即，或.由于，則，于是.例9：分別是三角形的三條對(duì)邊，且，試求的最大值.解：由題設(shè)條件有.或.令，以上等式寫為，或，或.由于，則，.，.設(shè)，,.，將代入上式，并令得方程：，或.注意到，上述方程的解為.在處取得最大值，的最大值為.例10：在中，、為其三個(gè)內(nèi)角，若，試求的值.解：.題設(shè)條件等價(jià)于即，.解以上方程，得，.例11：在中，則“”是“”的何種條件？解：這是一

7、個(gè)充要條件，說明如下：由題設(shè)第一個(gè)命題得；，即.由于，則，于是，.另一方面，按題設(shè)的另一個(gè)命題有，即，則，可見這兩個(gè)命題互為充要的條件.例12：在中，且. （)求的值. （）求的大小.解：由得；即；.記，則.而，設(shè)，.取得，.由可以判斷，為在上的最小值，即方程在有唯一的實(shí)解，.由得，.注意這里的“±”是本題產(chǎn)生多解的原因，在下面的解題過程中將得到兩個(gè)符合題設(shè)條件的三角形.求解：.下面分兩種情況求解：得，即.()若.，.則，；.()若.，.則，.例13：在中，為的對(duì)邊，且有關(guān)系：. （）求的最大角的取值范圍. （）若為銳角三角形，且，求的取值范圍.16解 （）由條件知，等價(jià)于：；上式簡(jiǎn)化如下：；或所以，可得，由得比較與大小關(guān)系：.（）若，則，最大角的取值范圍是：；（）若，則最大角的取值范圍是：（）設(shè)，對(duì)求導(dǎo)數(shù)得，可看出：在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增的值域是：，這既是題意所求從以上不同問題的解答過程中可以清楚地看出積化和差公式是如何從不同角度將一個(gè)復(fù)雜問題轉(zhuǎn)化成幾個(gè)子問題分而治之，聯(lián)合各種三角函數(shù)公式聯(lián)合求解子問題，還可看出對(duì)于一個(gè)綜合問題，如何變換整體與局部看問題的角度，將子問題合并，聯(lián)系具體問題條件與要求，最終解決全部問題。另外，在解三角形問題中，和差化積公式不是完全適用于所有問題，在有的問