高數(shù)2正項級數(shù)審斂法

1、級數(shù)的主要問題： (1)判斂，(2)求和正項級數(shù)及其審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法1.1.定義定義: :，中中各各項項均均有有如如果果級級數(shù)數(shù)01 nnnuu這種級數(shù)稱為正項級數(shù)這種級數(shù)稱為正項級數(shù). . nsss21部分和數(shù)列部分和數(shù)列 為單調(diào)增加數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列. .ns部分和數(shù)列特點部分和數(shù)列特點回憶回憶：單調(diào)數(shù)列收斂原理單調(diào)數(shù)列收斂原理單調(diào)數(shù)列有界，則必有極限。單調(diào)數(shù)列有界，則必有極限。2.2.正項級數(shù)收斂的充要條件正項級數(shù)收斂的充要條件: :定理定理 .有界部分和數(shù)列正項級數(shù)收斂sn若1nnu收斂 , ,收斂則nS,0nu部分和數(shù)列nSnS有界, 故nS1nnu從而又已知故有界.單調(diào)

2、遞增, 收斂 , 也收斂.證證: :“ ”問題：尋找更實用的判斂法。問題：尋找更實用的判斂法。且且), 2, 1( nvunn, ,若若 1nnv收斂收斂, ,則則 1nnu收斂；收斂；反之，若反之，若 1nnu發(fā)散，則發(fā)散，則 1nnv發(fā)散發(fā)散. .均均為為正正項項級級數(shù)數(shù)，和和設(shè)設(shè) 11nnnnvu3.比較審斂法比較審斂法證明證明證明證明nnuuus 21且且 1)1(nnv設(shè)設(shè),nnvu , 即部分和數(shù)列有界即部分和數(shù)列有界.1收斂收斂 nnunvvv 21nns 則則)()2( nsn設(shè)設(shè),nnvu 且且 不是有界數(shù)列不是有界數(shù)列.1發(fā)散發(fā)散 nnv定理證畢定理證畢.注釋：注釋： 1.

3、 條件改為條件改為 N,當當nN時時，不等式成立，則相應(yīng)，不等式成立，則相應(yīng) 結(jié)論仍成立。結(jié)論仍成立。(收斂級數(shù)性質(zhì)收斂級數(shù)性質(zhì)3) 2. 條件改為條件改為 N,當當nN時，時，un Cvn，則相應(yīng)，則相應(yīng) 結(jié)論仍成立。結(jié)論仍成立。(收斂級數(shù)性質(zhì)收斂級數(shù)性質(zhì)1) 3. 正項級數(shù)正項級數(shù) un 發(fā)散發(fā)散, 則則 un=+ 。例例 2 2 證明級數(shù)證明級數(shù) 1)1(1nnn是發(fā)散的是發(fā)散的.證明證明,11)1(1 nnn,111 nn發(fā)發(fā)散散而而級級數(shù)數(shù).)1(11 nnn發(fā)發(fā)散散級級數(shù)數(shù)判別下列級數(shù)的斂散性：判別下列級數(shù)的斂散性： 12)1(2)1(nnn（2）含三角函數(shù)的級數(shù)?？煽紤]用比較判別

4、法 12sinnnnx例例 1 1 討討論論 P P- -級級數(shù)數(shù) ppppn14131211的的收收斂斂性性. .)0( p解解, 1 p設(shè)設(shè),11nnp .級數(shù)發(fā)散級數(shù)發(fā)散則則 P, 1 p設(shè)設(shè)oyx)1(1 pxyp1234由圖可知由圖可知 nnppxdxn11pppnns131211 nnppxdxxdx1211 npxdx11)11(1111 pnp111 p,有有界界即即ns.級數(shù)收斂級數(shù)收斂則則 P 發(fā)發(fā)散散時時當當收收斂斂時時當當級級數(shù)數(shù),1,1ppP比較審斂法的不便比較審斂法的不便: 先要估計斂散性，找參考級先要估計斂散性，找參考級數(shù)數(shù). 且不等式不易估計。且不等式不易估計。

5、重要參考級數(shù)重要參考級數(shù): : 幾何級數(shù)幾何級數(shù), P-, P-級數(shù)級數(shù), , 調(diào)和級數(shù)調(diào)和級數(shù). .4.4.比較審斂法的極限形式比較審斂法的極限形式: :設(shè)設(shè) 1nnu與與 1nnv都是正項級數(shù)都是正項級數(shù), , 如果如果則則(1) (1) 當當時時, , 二級數(shù)有相同的斂散性二級數(shù)有相同的斂散性; ; (2) (2) 當當時，若時，若收斂收斂, , 則則收斂收斂; ; 當當時時, , 若若 1nnv發(fā)散發(fā)散, , 則則 1nnu發(fā)散發(fā)散; ;,limlvunnn l00 l l 1nnv 1nnu證明及例證明及例 本質(zhì)意義本質(zhì)意義證明證明lvunnn lim)1(由由, 02 l 對對于于

6、,N ,時時當當Nn 22llvullnn )(232Nnvluvlnnn 即即由比較審斂法的推論由比較審斂法的推論, 得證得證.證明證明, 0)2( l由,0 對于,N ,時時當當Nn nnvu0 得證得證.,由)3(l,M0固定的對于,N ,時時當當Nn nnvMu0 ,0Mvunn 得證得證.注意：注意：比較審斂法的極限形式本質(zhì)上是兩個無窮比較審斂法的極限形式本質(zhì)上是兩個無窮小比階，若同階，則斂散性相同。小比階，若同階，則斂散性相同。因此可充分利因此可充分利用等價、同階無窮小幫助分析用等價、同階無窮小幫助分析 例例 3 3 判定下列級數(shù)的斂散性判定下列級數(shù)的斂散性: :(1) 11sin

7、nn ; (2) 131nnn ;解解)1(nnnn3131lim nnn11sinlim , 1 原級數(shù)發(fā)散原級數(shù)發(fā)散.)2(nnn1sinlim nnn311lim , 1 ,311收斂收斂 nn故原級數(shù)收斂故原級數(shù)收斂.注意：注意：在使用在使用比較審斂法及其的極限形式時，需與已知斂散性的比較審斂法及其的極限形式時，需與已知斂散性的級數(shù)相比較，而這一比較對象有時不易找到，本質(zhì)上級數(shù)級數(shù)相比較，而這一比較對象有時不易找到，本質(zhì)上級數(shù)的斂散性應(yīng)由級數(shù)本身的結(jié)構(gòu)決定。的斂散性應(yīng)由級數(shù)本身的結(jié)構(gòu)決定。因此下面尋找由因此下面尋找由級數(shù)級數(shù)本身特點就能判定其斂散性的本身特點就能判定其斂散性的方法方法

8、6 6. .比比值值審審斂斂法法( (達達朗朗貝貝爾爾 D DA Al le em mb be er rt t 判判別別法法) )：設(shè)設(shè) 1nnu是正項級數(shù)是正項級數(shù), ,如果如果)(lim1 數(shù)或數(shù)或nnnuu則則1 時時級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;1 時時級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時時失失效效. .證明證明,為為有有限限數(shù)數(shù)時時當當 , 0 對對,N ,時時當當Nn ,1 nnuu有有)(1Nnuunn 即即,1時時當當 ,1時時當當 , 1 r使使,11 NmmNuru,12 NNruu,1223 NNNurruu,111 mNmur收收斂斂而而級級數(shù)數(shù),1收斂 mmNu原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂

9、, 1 r使使,時時當當Nn ,1nnnuruu . 0lim nnu發(fā)散發(fā)散取取 充分小，充分小，取取 充分小，充分小，比值審斂法的優(yōu)點比值審斂法的優(yōu)點: 不必找參考級數(shù)不必找參考級數(shù). . ,11發(fā)散發(fā)散級數(shù)級數(shù)例例 nn,112收收斂斂級級數(shù)數(shù) nn)1( 例例 4 4 判判別別下下列列級級數(shù)數(shù)的的收收斂斂性性:(1) 1!1nn; (2) 110!nnn; (3) 12)12(1nnn.解解)1(!1)!1(11nnuunn 11 n),(0 n.!11收斂收斂故級數(shù)故級數(shù) nn),( n)2(!1010)!1(11nnuunnnn 101 n.10!1發(fā)散發(fā)散故級數(shù)故級數(shù) nnn)3

10、()22()12(2)12(limlim1 nnnnuunnnn, 1 比值審斂法失效比值審斂法失效, 改用比較審斂法改用比較審斂法,12)12(12nnn ,112收斂收斂級數(shù)級數(shù) nn.)12(211收收斂斂故故級級數(shù)數(shù) nnn,232)1(2nnnnnvu 例例,2)1(211收斂收斂級數(shù)級數(shù) nnnnnu,)1(2(2)1(211nnnnnauu 但但,61lim2 nna,23lim12 nna.limlim1不不存存在在nnnnnauu 7 7. .根根值值審審斂斂法法 ( (柯柯西西判判別別法法) )：設(shè)設(shè) 1nnu是是正正項項級級數(shù)數(shù), ,如如果果 nnnulim)( 為為數(shù)數(shù)

11、或或 , ,則則1 時時級級數(shù)數(shù)收收斂斂; ;,1 ,1 nnn設(shè)級數(shù)設(shè)級數(shù)例如例如nnnnnu1 n1 )(0 n級數(shù)收斂級數(shù)收斂.1 時時級級數(shù)數(shù)發(fā)發(fā)散散; ; 1 時時失失效效. .12112lim12lim nnnnnnnn解解故原級數(shù)收斂。（亦可用比值法。） 總之，（1）這一部分主要內(nèi)容是級數(shù)的相關(guān)定義，級數(shù)的性質(zhì)，正項級數(shù)的判別法對一個給定的級數(shù)，在判別其收斂性之前，應(yīng)先分析清楚級數(shù)的結(jié)構(gòu)，再選擇適當?shù)呐袆e法這就要求我們熟練記住及運用級數(shù)的性質(zhì)及判別法 （2）通過分析前面的例子，我們看到，熟練運用一些常見極限的結(jié)論，能進行靈活的極限運算及等價無窮小運算，對于我們準確地分析級數(shù)的斂散

12、性有重要意義方法以此數(shù)列為一般項構(gòu)造一級數(shù)，證明此級數(shù)收斂，方法以此數(shù)列為一般項構(gòu)造一級數(shù)，證明此級數(shù)收斂，由級數(shù)收斂的必要條件，得數(shù)列極限為零由此求數(shù)列由級數(shù)收斂的必要條件，得數(shù)列極限為零由此求數(shù)列極限又多了一種方法極限又多了一種方法思考與練習(xí)思考與練習(xí)設(shè)正項級數(shù)1nnu收斂, 能否推出12nnu收斂 ?提示提示: :nnnuu2limnnu lim0由比較判斂法可知12nnu收斂 .注意注意: : 反之不成立.例如,121nn收斂 ,11nn發(fā)散 .;) 1ln(1) 1 (1nn1.1. 練習(xí) 判別級數(shù)的斂散性:.1)2(1nnnn解解: : (1),) 1ln(nnnn1) 1ln(1

13、11nn發(fā)散 , 故原級數(shù)發(fā)散 .11npnp:級數(shù)不是 p級數(shù)(2)nlimnnn1lim111nn發(fā)散 ,故原級數(shù)發(fā)散 .nnn1n1二、交錯級數(shù)及其審斂法定義定義: : 正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù)正、負項相間的級數(shù)稱為交錯級數(shù). . nnnnnnuu 111)1()1(或或)0( nu其中其中證明證明nnnnuuuuuus212223212)()( 又又)()()(21243212nnnuuuuuus 1u , 01 nnuu.lim12ussnn , 0lim12 nnu,2是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的數(shù)數(shù)列列ns,2是有界的是有界的數(shù)列數(shù)列ns)(limlim12212 nnnnnu

14、ss, s .,1uss 且且級級數(shù)數(shù)收收斂斂于于和和),(21 nnnuur余項余項,21 nnnuur滿足收斂的兩個條件滿足收斂的兩個條件,.1 nnur定理證畢定理證畢.收斂收斂nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nn用Leibnitz 判別法判別法判別下列級數(shù)的斂散性:nnn10) 1(104103102101)31432收斂上述級數(shù)各項取絕對值后所成的級數(shù)是否收斂 ?;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn發(fā)散收斂收斂 ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 解解2)1(2)1()1( xxxx

15、x)2(0 x,1單調(diào)遞減單調(diào)遞減故函數(shù)故函數(shù) xx,1 nnuu1limlim nnunnn又又. 0 原級數(shù)收斂原級數(shù)收斂.任意項級數(shù)任意項級數(shù)判斂方法：轉(zhuǎn)化為之前的方法。而相關(guān)的級數(shù)判斂方法：轉(zhuǎn)化為之前的方法。而相關(guān)的級數(shù)|1 nnu是正項級數(shù)，尋找兩者關(guān)系？是正項級數(shù)，尋找兩者關(guān)系？ 定義定義: : 正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù)正項和負項任意出現(xiàn)的級數(shù)稱為任意項級數(shù). .定理定理 若若 1nnu收斂收斂, ,則則 1nnu收斂收斂. .證明證明), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令, 0 nv顯顯然然,nnuv 且且,1收收斂斂 nnv),2(11 nnnnnuvu又

16、 1nnu收收斂斂.上定理的作用：上定理的作用：任意項級數(shù)任意項級數(shù)正項級數(shù)正項級數(shù)注：注： （1）但逆命題不成立，例如但逆命題不成立，例如（2）若）若 發(fā)散，則發(fā)散，則 不確定。不確定。 1nnu 1nnu 1nnu小結(jié)：小結(jié)：對于級數(shù)對于級數(shù) 發(fā)散，則發(fā)散，則 需另外判定。需另外判定。 1nnu 1nnu三、絕對收斂與條件收斂三、絕對收斂與條件收斂問題：為何要區(qū)分這兩種情況？如何判斷任意項級數(shù)的問題：為何要區(qū)分這兩種情況？如何判斷任意項級數(shù)的 斂散性？斂散性？111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn為條件收斂為條件收斂 .例如例如 ：均為絕對收斂均為絕

17、對收斂.), 2 , 1()(21 nuuvnnn令令,nnuv 且且,1收收斂斂 nnv), 2 , 1()(21 nuuwnnn類似地，令類似地，令 11nnnnwv ,均收斂；均收斂； 11nnnnwv ,均發(fā)散。均發(fā)散。為何要區(qū)分這兩種情況？為何要區(qū)分這兩種情況？絕對收斂級數(shù)的性質(zhì). 1nnu則任意交換此級數(shù)各項次序后所得的新級數(shù)也絕對收斂，且和仍為S。 1nnu如果級數(shù)絕對收斂，且其和為S， 條件收斂的級數(shù)不具備這個性質(zhì)，而且可以證明，條件收斂的級數(shù)不具備這個性質(zhì)，而且可以證明，對于條件收斂的級數(shù)，適當?shù)亟粨Q各項的次序所組成的對于條件收斂的級數(shù)，適當?shù)亟粨Q各項的次序所組成的級數(shù)，可以

18、收斂于任何預(yù)先給定的數(shù)或發(fā)散級數(shù)，可以收斂于任何預(yù)先給定的數(shù)或發(fā)散. 例如，例如， 111)1(nnn是條件收斂的，設(shè)其和為S，即s 12111110191817161514131211218116114112110181614121s 218101610141012101010810610410210s s23611110914171051213101 將上式兩邊都乘以1/2，得上式可以改寫為根據(jù)收斂級數(shù)的性質(zhì)，兩個收斂的級數(shù)可以逐項相加，s23是更序級數(shù)，但是和為解解,1sin22nnn ,112收斂收斂而而 nn,sin12 nnn收斂 故由定理知原級數(shù)絕對收斂故由定理知原級數(shù)絕對收斂.

19、方法：一般先判斷絕對收斂性方法：一般先判斷絕對收斂性小結(jié)小結(jié)：若用比值法或根值法判別了若用比值法或根值法判別了 發(fā)散，則原發(fā)散，則原級數(shù)一定發(fā)散。級數(shù)一定發(fā)散。其他例其他例 1nnu練習(xí)練習(xí). 判斷下列級數(shù)斂散性判斷下列級數(shù)斂散性 :.) 1()2(;sin) 1 (1214nnnnennn證證: (1),1sin44nnn而141nn收斂 ,14sinnnn收斂因此14sinnnn絕對收斂 .(2) 令,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e因此12) 1(nnnen12) 1(nnnen收斂,絕對收斂.2.2. ),3,2, 1(0nun設(shè), 1limnunn且則級數(shù)).() 1(11111nnuunn(A) 發(fā)散 ; (B) 絕對收斂;(C) 條件收斂 ; (D) 收斂性根據(jù)條件不能確定.分析分析: :, 1limnunn由發(fā)散發(fā)散知知 nu1 (B) 錯 ;)(2111uunS又)(3211uuC)(4311uu)(5411uu)() 1(1111nnuun11111) 1(nunu12vu22v