高二數(shù)學選修2-2知識點

1、高二數(shù)學選修2-2知識點總結(jié)第一章導數(shù)及其應用1 .函數(shù)的平均變化率為一yxff(X2)f(Xi)f(Xix) f(Xi)XX2 X1X注1：其中 X是自變量的改變量，可正，可負，可零。注2:函數(shù)的平均變化率可以看作是物體運動的平均速度。2、導函數(shù)的概念：函數(shù)y f(X)在X X0處的瞬時變化率是lim limf(0一X)f(X0),則稱函數(shù) x 0 X x 0x, ,一 .一 ,一 . '、一'I-y f (x)在點xo處可導，并把這個極限叫做y f (x)在xo處的導數(shù)，記作 f (x0)或y |x，即/y. f (xox) f(xo)f (xo) - lim - lim

2、.x 0 xx 0x3.函數(shù)的平均變化率的幾何意義是割線的斜率；函數(shù)的導數(shù)的幾何意義是切線的斜率。4導數(shù)的背景(1)切線的斜率；(2)瞬時速度；(3)邊際成本。常見的函數(shù)導數(shù)和積分公式函數(shù)導函數(shù)不定積分y cy' 0n.*y x n N,n 1y' nxn 1xndx n 1Xy a a 0,a 1y' ax ln aX xaa dx ln aX y e1Xy e一X一Xe dx ey log a xa 0,a 1,x 0y' xlnay ln xy' 1 X1 .dx ln x Xy sin xy' cosxcosxdx sinxy cosxy

3、' sin xsin xdx cosx常見的導數(shù)和定積分運算公式若f x , g x均可導(可積)，則有:和差的導數(shù)運算1f (x) g(x) f (x) g (x)積的導數(shù)運算f(x) g(x) f (x)g(x) f (x)g (x)特別地：Cf x ' Cf ' x商的導數(shù)運算3 f(x)g(x) f(x)g(x)(g(x) 0) g(x)g(x)特別地：'g'(x)g xg x復合函數(shù)的導數(shù)yxyu Ux微積分基本定理bf x dx(其中 F' x f x )a和差的積分運算bbbf(x) f2 (x)dxf(x)dxf2(x)dxaaa

4、bbkf(x)dx k f(x)dx(k為常數(shù))特別地：aa積分的區(qū)間可加性bcba f(x)dx a f(x)dx c f(x)dx(其中a c b)用導數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的步驟求函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x)令f'(x) >0,解不等式，得x的范圍就是遞增區(qū)間.令f'(x)<0,解不等式，得x的范圍，就是遞減區(qū)間；注:求單調(diào)區(qū)間之前一定要先看原函數(shù)的定義域。求可導函數(shù)f(x)的極值的步驟(1)確定函數(shù)的定義域。(2)求函數(shù)f(x)的導數(shù)f'(x) (3)求方程f'(x)=0的根(4)用函數(shù)的導數(shù)為0的點，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，

5、并列成表格，檢查f/(x)在方程根左右的值的符號，如果左正右負，那么f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那么f(x)在這個根處取得極小值；如果左右不改變符號，那么f(x)在這個根處無極值利用導數(shù)求函數(shù)的最值的步驟求f (x)在a,b上的最大值與最小值的步驟如下：求f(x)在a,b上的極值；將f(x)的各極值與f (a), f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值。注:實際問題的開區(qū)間唯一 極值點就是所求的最值點;求曲邊梯形的思想和步驟利 旭似代替| 回 |取極限|(“以直代曲”的思想)定積分的性質(zhì)根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì):b性質(zhì)1 1dx b a性質(zhì)5

6、若f(x) 0, xa, b ，ba f(x)dxb推廣：fi(x)af2(x)fm(x)dxba fi(x)dxa f2(x)dxba fm(x)ab推廣：f (x)dxaqf(x)dx aC2f (x)dxC1bf (x)dxCka8 / 7(3)當位于x軸上方的曲邊梯形面積等于位于x軸下方定積分的取值情況定積分的值可能取正值，也可能取負值，還可能是0.(l )當對應的曲邊梯形位于 x軸上方時，定積分的值取 正值，且等于x軸上方的圖形面積;(2)當對應的曲邊梯形位于 x軸下方時，定積分的值取負值, 且等于x軸上方圖形面積的相反數(shù);的曲邊梯形面積時，定積分的值為0,且等于x軸上方圖形的面積減

7、去下方的圖形的面積.12 .物理中常用的微積分知識(1)位移的導數(shù)為速度，速度的導數(shù)為加速度。(2)力的積分為功-第二章推理與證明13 .歸納推理的定義：從個別事實 中推演出一般性 的結(jié)論，像這樣的推理通常稱為歸納推理。 歸納推理是由部分到整體，由個別到一般的推理。 14 .歸納推理的思維過程5力口囪 實驗、觀察 概括、推廣 猜測一般性結(jié)論大致;如囹： 15 .歸納推理的特點：歸納推理的前提是幾個已知的特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象。由歸納推理得到的結(jié)論具有猜測的性質(zhì)，結(jié)論是否真實，還需經(jīng)過邏輯證明和實驗檢驗，因此，它不能作為數(shù)學證明的工具。歸納推理是一種具有創(chuàng)造性的推理，通過歸

8、納推理的猜想，可以作為 進一步研究的起點，幫助人們發(fā)現(xiàn)問題和提出問題。16 .類比推理的定義：根據(jù)兩個（或兩類）對象之間在某些方面的相似或相同，推演出它們在其他方面也相似或相同，這樣的推理稱為類比推理。類比推理是由特殊到特殊的推理。* * * *17 .類比推理的思維過程觀察、比較t聯(lián)想、類推、推測新的結(jié)論18 .演繹推理的定義：演繹推理是根據(jù)已有的事實和正確的結(jié)論（包括定義、公理、定理等）按照嚴格 的邏輯法則得到新結(jié)論的推理過程。演繹推理是由一般到特殊的推理。 19 .演繹推理的主要形式：三段論20 .“三段論”可以表示為：大前題：M是P小前提：S是M 結(jié)論：S是P。其中是大前提，它提供了一

9、個一般性的原理；是小前提，它指出了一個特殊對象；是結(jié)論，它是根據(jù)一般性原理，對特殊情況做出的判斷。21 .直接證明是從命題的條件或結(jié)論出發(fā)，根據(jù)已知的定義、公理、定理，直接推證結(jié)論的真實性。直 接證明包括綜合法和分析法。22 .綜合法就是“由因?qū)Ч?，從已知條件出發(fā)，不斷用必要條件代替前面的條件，直至推出要證的結(jié) 論。23 .分析法就是從所要證明的結(jié)論出發(fā)，不斷地用充分條件替換前面的條件或者一定成立的式子，可稱為“由果索因”。要注意敘述的形式：要證 A,只要證B, B應是A成立的充分條件.分析法和綜合法常結(jié)合使用，不要將它們割裂開。24 反證法：是指從否定的結(jié)論出發(fā)，經(jīng)過邏輯推理，導出矛盾，證

10、實結(jié)論的否定是錯誤的，從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法。25.反證法的一般步驟（1）假設命題結(jié)論不成立，即假設結(jié)論的反面成立；（2）從假設出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾；（3）從矛盾判定假設不正確，即所求證命題正確。 26常見的“結(jié)論詞”與“反義詞”原結(jié)論詞反義詞原結(jié)論詞反義詞至少有一個一個也沒有對所有的x都成立存在x使小成立至多什-個至少用兩個對任意x不成立存在x使成立至少有n個至多后n-1個p或qp且q至多后n個至少有n+1個p且qp或 q27.反證法的思維方法：正難則反 28.歸繆矛盾（1）與已知條件 矛盾：（2）與已有公理、定理、定義 矛盾； （3）自相矛盾. * 29 .數(shù)學歸納法（只能

11、證明與正整數(shù)有關的數(shù)學命題）的步驟（1）證明：當n取第一個值n0 n0 N 時 命題成立；（2）假設當n=k （kCN*,且k>n。）時命題成立，證明當 n=k+1 .時命題也成立.由（1）, （2）可 知，命題對于從no開始的所有正整數(shù) n都正確,注：常用于證明不完全歸納法推測所得命題的正確 性的證明。第三章數(shù)系的擴充和復數(shù)的概念30.復數(shù)的概念：形如a+bi的數(shù)叫做復數(shù)，其中 i叫虛數(shù)單位，a叫實部，b叫虛部，數(shù)集 C a bi | a, bR叫做復數(shù)集。規(guī)定：a bi c31 .數(shù)集的關系:di a=c且b=d ,強調(diào)：兩復數(shù)不能比較大小，只有相等或不相等。實數(shù)(b 0)復數(shù)Z 4

12、M一般虛數(shù)(a 0)虛數(shù)(b 0) 純虛數(shù)(a 0)32 .復數(shù)的幾何意義：復數(shù)與平面內(nèi)的點或有序?qū)崝?shù)對一一對應。33 .復平面：根據(jù)復數(shù)相等的定義，任何一個復數(shù)z a bi,都可以由一個有序?qū)崝?shù)對 (a,b)唯一確定。由于有序?qū)崝?shù)對(a,b)與平面直角坐標系中的點對應，因此復數(shù)集與平面直角坐標系中的點集之間可以建立對應。這個建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面， x軸叫做實軸,y軸叫做虛軸。實軸上的點都表示實數(shù)，除了原點外,虛軸上的點都表示純虛數(shù)。34 .求復數(shù)的模(絕對值)與復數(shù)z對應的向量 OZ的模叫做復數(shù)z a bi的模(也叫絕對值)記作 z或a bi o由模的定義可知：z a bi Va2 b235 .復數(shù)的加、減法運算及幾何意義復數(shù)的加、減法法則：乙a bi與z2 c di ,則 zi z2 a c (b d)i。注：復數(shù)的加、減法運算也可以按向量 的加、減法來進行。復數(shù)的乘法法則：(a bi)(c di) ac bd ad bc i。a bi(abi)(c di)ac bdbc ad復數(shù)的除法法則：()-2一2九一2i其中c di叫做實數(shù)化因子c di(cdi)(