必修四第一章三角函數(shù)(知識點與題型整理)

1、三角函數(shù)模塊專題復習任意角的三角函數(shù)及誘導公式.要點精講1 .任意角的概念旋轉(zhuǎn)開始時的射線 OA叫做角的始邊， OB叫終邊，射線的端點 O叫做叫 的頂點。規(guī)定:按逆時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角，按順時針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負角。如果一條射 線沒有做任何旋轉(zhuǎn)，我們稱它形成了一個零角。2 .終邊相同的角、區(qū)間角與象限角3 .弧度制1rad ,或1弧度，或1(單位可以省長度等于半徑長的圓弧所對的圓心角叫做1弧度角，記作略不寫)。角有正負零角之分，它的弧度數(shù)也應該有正負零之分角的弧度數(shù)的絕對值是：L,其中，i是圓心角r所對的弧長，r是半徑。角度制與弧度制的換算主要抓住180 rad 。弧度與角度互換公

2、式：1rad=180°1° = (rad)?；￠L公式：l | |r (是圓心角的弧度數(shù))，11 C扇形面積公式：S l r | |r。224 .三角函數(shù)定義利用單位圓定義任意角的三角函數(shù)，設(shè)是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(x, y),那么：y叫做 的正弦，記彳sin ，即sin y ；(2) x叫做的余弦，記做cos，即cosx；(3) ?叫做的正切，記做tan，即tan(x0)。xx5 .三角函數(shù)線6 .同角三角函數(shù)關(guān)系式sin a +cosa , sin a -cos a ,(1)平方關(guān)系：sin2 cos21,1 倒數(shù)關(guān)系：sin csc =1,cos sec

3、(3) 商數(shù)關(guān)系：tansn,cotcos幾個常用關(guān)系式：,22/,22tan sec ,1 cot csc=1,tan cot =1,cossinsin a , cos a ；(三式之間可以互相表不i殳中nd 4c扉CL =百JL 再 兩邊平方，得,t2 - 11 + 25口0 * co*Q = t = san 口. casQ -.X l-2sin<l * cos CL =2-t3 and -cos<l =- C7.誘導公式可用十個字概括為“奇變偶不變，符號看象限”。誘導公式一：sin( 2k) sin ,cos( 2k ) cos,其中k Z誘導公式二： sin(180o) s

4、in；cos(180o ) cos誘導公式三： sin( ) sin ； cos( ) cos誘導公式四：sin(180o ) sin ; cos(180o) cos .誘導公式五：sin(360o ) sin ； cos(360o ) cos一22kk Z2sin一sinsin一sin一sinsincoscoscos一cos一coscoscossin(1)要化的角的形式為 k 180o(k為常整數(shù))；(2)記憶方法：“函數(shù)名不變，符號看象限”；(3) sin(k 兀 + a )=(1)ksin a ； cos(k 兀 + a )=(1)kcosa (k C Z);(4) sin x -cos

5、 -x cos x 一； cos x sin x o44444三.思維總結(jié)1.幾種終邊在特殊位置時對應角的集合為：角的終邊所在位置角的集合X軸正半軸| k360k ZY軸正半軸| k36090 , k ZX軸負半軸| k360180 , k ZY軸負半軸| k360270 , k ZX軸| k180 ,k ZY軸| k18090 , k Z坐標軸| k90 ,k Z2 . a、 一、2 a之間的關(guān)系。若a終邊在第一象限則若a終邊在第二象限則若a終邊在第三象限則若a終邊在第四象限則終邊在第一或第三象限;2終邊在第一或第三象限;2終邊在第二或第四象限;2終邊在第二或第四象限;22 ”終邊在第一或第

6、二象限或 y軸正半軸。2 ”終邊在第三或第四象限或 y軸負半軸。2 ”終邊在第一或第二象限或 y軸正半軸。2”終邊在第三或第四象限或 y軸負半軸。3 .學習本節(jié)內(nèi)容時要注意如下幾點： （1）熟練地掌握常用的方法與技巧，在使用三角代換求 解有關(guān)問題時要注意有關(guān)范圍的限制； （2）要注意差異分析，又要活用公式，要善于瞄準解題目標 進行有效的變形，其解題一般思維模式為：發(fā)現(xiàn)差異，尋找聯(lián)系，合理轉(zhuǎn)化。.我們只需計算點到原點的距離三角函數(shù)的值與點 P在終邊上的位置無關(guān)，僅與角的大小有關(guān)r Jxy ，那么 sin y , cos . x ,tan - °22-22xx y. X yx三角函數(shù)的圖

7、象與性質(zhì)二.要點精講1 .正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的圖像-1ox-2-4-1-55272-5_,_2-4-7 -3 y -32232y=sinxy=cosxy=tanxy=cotx2 .三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間:y sin x的遞增區(qū)間是 2k遞減區(qū)間是2ky cosx的遞增區(qū)間是 2k遞減區(qū)間是2ky tanx的遞增區(qū)間是 k3 .函數(shù) y Asin（ x ）最大值是A B ,最小值是;其圖象的對稱軸是直線x對稱中心。4 .由y=sinx的圖象變換出 才能靈活進行圖象變換。利用圖象的變換作圖象時, 切記每一個變換總是對字母提倡先平移后伸縮，x而言，即圖象變換要看-,2k - (k Z),22_

8、,2k 二(k Z)； 22,2k(kZ),2k(kZ),k (k Z), 22B (其中 A 0,0)B A,周期是t 2_ ,頻率是f ,相位是 x ,初相是2k_(k Z),凡是該圖象與直線 y B的交點都是該圖象的2y=sin（cox+ ）的圖象一般有兩個途徑，只有區(qū)別開這兩個途徑,但先伸縮后平移也經(jīng)常出現(xiàn),無論哪種變形，請 “變量”起多大變化，而不是“角變化”多少。途徑一：先平移變換再周期變換（伸縮變換）先將y=sinx的圖象向左（>0）或向右（0=平移|1個單位，再將圖象上各點的橫坐標1八變?yōu)樵瓉淼?一倍（>0）,便得y=sin（cox+）的圖象。途徑二：先周期變換（伸

9、縮變換）再平移變換。1八先將y = sinx的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼囊槐叮?gt;0）,再沿x軸向左（>0）或向右（v 0=平移|一|個單位，便得 y=sin（wx+ ）的圖象。5 .由y=Asin（cox+）的圖象求其函數(shù)式：給出圖象確定解析式y(tǒng)=Asin （x+ ）的題型，有時從尋找“五點"中的第一零點（一 一，0）作 為突破口，要從圖象的升降情況找準.第一個零點的位置。6 .對稱軸與對稱中心：y sin x的對稱軸為x k i,對稱中心為（k ,0） k Z ；y cosx的對稱軸為x k ,對稱中心為（k i ,0）；對于y Asin（ x ）和丫 Acos（ x

10、 ）來說，對稱中心與零點相聯(lián)系，對稱軸與最值點聯(lián)系。A、7 .求三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：一般先將函數(shù)式化為基本三角函數(shù)的標準式，要特別注意 的正負利用單調(diào)性三角函數(shù)大小一般要化為同名函數(shù)，并且在同一單調(diào)區(qū)間；8 .求三角函數(shù)的周期的常用方法：經(jīng)過恒等變形化成“ y Asin( x )、y Acos( x ) ”的形式，在利用周期公式，另 外還有圖像法和定義法。9 .五點法作 y=Asin ( cox+ )的簡圖：五點取法是設(shè)x=cox+ ,由x取0、 >兀、> 2兀來求相應的x值及對應的y值，再描點作圖。 三.思維總結(jié)1 .數(shù)形結(jié)合是數(shù)學中重要的思想方法，在中學階段，對各類函數(shù)的研究都

11、離不開圖象，很多 函數(shù)的性質(zhì)都是通過觀察圖象而得到的。2 .作函數(shù)的圖象時，首先要確定函數(shù)的定義域.。3 .對于具有周期性的函數(shù)，應先求出周期，作圖象時只要作出一個周期的圖象，就可根據(jù)周 期性作出整個函數(shù)的圖象。4 .求定義域時，若需先把式子化簡，一定要注意變形時x的取值范圍不能發(fā)生變化。5 .求三角函數(shù)式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數(shù)，且三角函數(shù)的次數(shù)為 1的形式，否則很容易出現(xiàn)錯誤。6 .函數(shù)的單調(diào)性是在定義域或定義域的某個子區(qū)間上考慮的，要比較兩三角函數(shù)值的大小一 般先將它們化歸為同一單調(diào)區(qū)間的同名函數(shù)再由該函數(shù)的單調(diào)性來比較大小。7 .判斷y= Asin ( 3 x+

12、) ( 3 >0)的單調(diào)區(qū)間，只需求 y=Asin ( 3 x+ )的相反區(qū)間即可， 一般常用數(shù)形結(jié)合，而求y=Asin( ax+ ) ( 3 v 0=單調(diào)區(qū)間時，則需要先將x的系數(shù)變?yōu)檎模?再設(shè)法求之。三角恒等變形及應用二.要點精講1 .兩角和與差的三角函數(shù)sin(cos(tan()sincoscossin;)coscossinsin；、 tan tan)°1 mtan tan2 .二倍角公式sin 2 2sin cos ；1 1 2 sin22. 22cos2 cos sin 2 costan 22 tan1 tan23 .三角函數(shù)式的化簡消項；切割化弦，異名化同名，異角

13、化同角；常用方法：直接應用公式進行降次、角公式的逆用等。(2)化簡要求：能求出值的應求出值； 使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項數(shù)盡量少； 盡量使分母不含三角函數(shù)； 盡量使被開方數(shù)不含三角函數(shù)。(1)降哥公式12sin cos -sin 2 ; sin2(2)輔助角公式(萬能公式)1 cos221 cos2;cos 22asin x bcosx , a2 b2 sin x其中sincos, a2 b2aa2 b24 .三角函數(shù)的求值類型有三類(1)給角求值：一般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角 變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問題；(2)給值求值：給出某些角的

14、三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如()，2()()等，把所求角用含已知角的式子表示, 求解時要注意角的范圍的討論；(3)給值求角：實質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，由所得的所求角的函數(shù)值結(jié)合所求角的范 圍及函數(shù)的單調(diào)性求得角。5 .三角等式的證明(1)三角恒等式的證題思路是根據(jù)等式兩端的特征，通過三角恒等變換，應用化繁為簡、左右同一等方法，使等式兩端化“異”為“同”；(2)三角條件等式的證題思路是通過觀察，發(fā)現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系，采用代入法、消參法或分析法進行證明。三.思維總結(jié)1 .兩角和與兩角差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式在學習時

15、應注意以下幾點：(1)不僅對公式的正用逆用要熟悉，而且對公式的變形應用也要熟悉；(2)善于拆角、拼角,2(3)對公式的逆用公式，變形式也要熟悉，如cos cos sin sin cos ,tan 1 tan tan tan tan ,tan tan ,tan tan c異名化同名，異角化同角等。tan tan tan tantan tan tan tan(4)注意倍角的相對性(5)要時時注意角的范圍(6)化簡要求熟悉常用的方法與技巧，如切化弦,2.證明三角等式的思路和方法。(1)思路：利用三角公式進行化名，化角，改變運算結(jié)構(gòu)，使等式兩邊化為同一形式。(2)證明三角不等式的方法：比較法、配方法、

16、反證法、分析法，利用函數(shù)的單調(diào)性，利用 正、余弦函數(shù)的有界性，利用單位圓三角函數(shù)線及判別法等。第三講：三角函數(shù)單元部分易錯題解析(1)終邊與終邊共線(的終邊在終邊所在直線上)k (k Z).(2) 終邊與 終邊關(guān)于x軸對稱2k (k Z).(3) 終邊與終邊關(guān)于y軸對稱(4) 終邊與 終邊關(guān)于原點對稱(5) 終邊在X軸上的角可表示為:2k (k Z).2k (k Z).k ,k Z；終邊在y軸上的角可表示為:k ,k Z ； 終邊在坐標軸上的角可表示為: 2,k Z .如的終邊與一的終邊關(guān)6于直線y x對稱，則 =2k -, k Z330°45°60°0°

17、;90°180°270°15°75°sin1庭v'32010166 V22244cosV32v；211010娓加V6 V22244tan出31百0/0/2-石2+<3cot也1V33/0/02+4 32s1.特殊角的三角函數(shù)值:2.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式:(1)平方關(guān)系:(2)倒數(shù)關(guān)系:(3)商數(shù)關(guān)系:3、正切函數(shù)y 22222sincos1,1 tansec ,1 cotsin csc =1,cos sec =1,tan cot =1,sin,costan ,cot cossintan x的圖象和性質(zhì)：2csc(1)定義域：x

18、 | x域了嗎？(2)(3)值域是 周期性:R,在上面定義域上無最大值也無最小值;是周期函數(shù)且周期是期。絕對值或平方對三角函數(shù)周期性的影響:,它與直線y a的兩個相鄰交點之間的距離是一個周 一般說來，某一周期函數(shù)解析式加絕對值或平方，k ,k Z。遇到有關(guān)正切函數(shù)問題時，你注意到正切函數(shù)的定義其周期性是：弦減半、切不變.既為周期函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)自變量加絕對值，其周期性不變,其它不定。如y sin2 x, y sinx的周期都是，但 y sin xcosx的周期為一，而1y 12sin(3x 4 2|,y 12sin(3x 至)2|, y(4)奇偶性與對稱性：是奇函數(shù)，對稱中心是| tan

19、x |的周期不變;L0 k Z ,特別提醒：正(余)切型函數(shù)的2，對稱中心有兩類：一類是圖象與 x軸的交點, 正弦、余弦函數(shù)的不同之處。另一類是漸近線與 x軸的交點，但無對稱軸，這是與(5)單調(diào)性：正切函數(shù)在開區(qū)間k Z內(nèi)都是增函數(shù)。但要注意在整個4.定義域上不具有單調(diào)性。如下圖:y=AsAisin(X 公 -g ：Tx32X = X2三角函數(shù)圖象幾何性質(zhì)(an(x* ) )yyAt鄰中心 |x3-x4|= T/2x=x1x=x2鄰漸近線|Xi-X2| = T無對稱軸-任意一條y軸的垂線與正切 函數(shù)圖象都相交，且相鄰兩 交點的距離為一個周期！一 Ox&啷中心軸相距上4y 鄰中心 |x3-x4|=T/2 鄰軸 |xi-x2|=T/2無窮對稱中心