矩形中的折疊問題

1、 矩形中的折疊問題山東省棗莊市嶧城區(qū)第二十八中學(xué) 潘歌 郵編：277300折疊問題（對稱問題）是近幾年來中考出現(xiàn)頻率較高的一類題型，學(xué)生往往由于對折疊的實(shí)質(zhì)理解不夠透徹，導(dǎo)致對這類中檔問題失分嚴(yán)重。對于折疊問題（翻折變換）實(shí)質(zhì)上就是軸對稱變換對稱軸是對應(yīng)點(diǎn)的連線的垂直平分線，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等本文試圖通過對在初中數(shù)學(xué)中經(jīng)常涉及到的幾種折疊的典型問題的剖析，從中抽象出基本圖形的基本規(guī)律，找到解決這類問題的常規(guī)方法。ABECDFG一、求角度例1 如圖 把一張矩形紙片沿折疊后，點(diǎn)分別落在的位置上，交于點(diǎn)已知，那么 【解析】在矩形折疊問題中，折疊前后的對應(yīng)角相等

2、來解決。解：根據(jù)矩形的性質(zhì)ADBC，有EFG=FEC=58，再由折疊可知，F(xiàn)EC=CEF=58，由此得BEG=64例2 將一張長方形紙片按如圖的方式折疊，其中BC，BD為折痕，折疊后BG和BH在同一條直線上，CBD= 度【解析】折疊前后的對應(yīng)角相等解：BC、BD是折痕，所以有ABC = GBC，EBD = HBD則CBD = 90二、求線段長度例3 如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，得折痕DG，求AG的長【解析】根據(jù)對稱的性質(zhì)得到相等的對應(yīng)邊和對應(yīng)角，再在直角三角形中根據(jù)勾股定理列方程求解即可解：由勾股定理可得BD = 5，由對稱的性質(zhì)得ADG A

3、DG，由AD = AD = 3，AG = AG，則AB = 5 3 = 2，在RtABG中根據(jù)勾股定理，列方程可以求出AG的值A(chǔ)BCDEF例4 如圖 四邊形ABCD為矩形紙片把紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B恰好落在CD邊的中點(diǎn)E處，折痕為AF若CD6，則AF等于 （）（A） （B）（C）（D）8 【解析】在矩形折疊問題中，求折痕等線段長度時，往往利用軸對稱性轉(zhuǎn)化相等的線段，再借助勾股定理構(gòu)造方程來解決解：由折疊可知，AE=AB=DC=6，在RtADE中AD=6，DE=3由勾股定理，得AD=，設(shè)EF=x，則FC=，在RtEFC中由勾股定理求得x=,則EF=，在RtAEF中，由勾股定理得AF=故選A三、

4、求圖形面積例5如圖3-1所示，將長為20cm，寬為2cm的長方形白紙條，折成圖3-2所示的圖形并在其一面著色，則著色部分的面積為（ ）圖3-1圖1-1圖3-2ABCD解析：折疊后重合部分為直角三角形解：重合部分其面積為，因此著色部分的面積=長方形紙條面積 兩個重合部分三角形的面積，即2022236（）故選B例6 如圖，沿矩形ABCD的對角線BD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)E的位置，已知BC=8cm，AB=6cm，求折疊后重合部分的面積【解析】重合部分是以折痕為底邊的等腰三角形解：點(diǎn)C與點(diǎn)E關(guān)于直線BD對稱，1 = 2ADBC，1 = 32 = 3FB = FD設(shè)FD = x，則FB = x，F(xiàn)A = 8

5、x在RtBAF中，BA2 + AF2 = BF262 + (8 - x)2 = x2解得x = 所以，陰影部分的面積SFBD = FDAB = 6 = cm2ABCDEF四、數(shù)量及位置關(guān)系例7 如圖 將矩形紙片沿對角線折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，交于點(diǎn)，連結(jié)證明：（1）（2）【解析】（1）欲證明BF=DF ，只需證FBD=FDB；（2）欲證明，則需證。由折疊可知DC=ED= AB， BC=BE= AD，又因?yàn)锳E=AE，得AEBEAD，所以AEB=EAD，所以AEB=（180-AFE），而DBE=（180-BFD）因此。解：（1）由折疊可知，F(xiàn)BD=CBD，因?yàn)锳DBC，所以FDB=CBD，所以FBD=

6、FDB（2）因?yàn)樗倪呅蜛BCD是矩形，所以AB=DC，AD=BC由折疊可知 DC=ED= AB， BC=BE= AD又因?yàn)锳E=AE所以AEBEAD，所以AEB=EAD，所以AEB=（180-AFE），而DBE=（180-BFD），AFE=BFD，所以，所以AEBD例8 如圖，將一個邊長為1的正方形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在邊AD上不與A、D重合MN為折痕，折疊后BC與DN交于P(1)連接BB，那么BB與MN的長度相等嗎？為什么？ (2)設(shè)BM=y，AB=x，求y與x的函數(shù)關(guān)系式；(3)猜想當(dāng)B點(diǎn)落在什么位置上時，折疊起來的梯形MNCB面積最?。坎Ⅱ?yàn)證你的猜想【解析】對折前后圖形的位置變化，

7、但形狀、大小不變，要注意構(gòu)造全等三角形解：(1)BB = MN過點(diǎn)N作NHBC交AB于點(diǎn)H），證ABB HNM(2)MB = MB = y，AM = 1 y，AB = x在RtABB中，BB = = 因?yàn)辄c(diǎn)B與點(diǎn)B關(guān)于MN對稱，所以BQ = BQ，則BQ = 由BMQBBA得BMBA = BQBB y = = (3) 梯形MNCB的面積與梯形MNCB的面積相等由(1)可知，HM = AB = x，BH = BM HM = y x，則CN = y - x梯形MNCB的面積為：(y x + y) 1 = (2y - x)= (2 x)= (x - )2 + 當(dāng)x = 時，即B點(diǎn)落在AD的中點(diǎn)時，梯

8、形MNCB的面積有最小值，且最小值是五、判斷圖形形狀例9 將一張矩形紙條ABCD按如圖所示折疊，若折疊角FEC=64，則1= 度；EFG的形狀 三角形【解析】對折前后圖形的位置變化，但形狀、大小不變，注意一般情況下要畫出對折前后的圖形，便于尋找對折前后圖形之間的關(guān)系，注意以折痕為底邊的等腰GEF解：四邊形CDFE與四邊形CDFE關(guān)于直線EF對稱2 = 3 = 644 = 180 - 2 64 = 52ADBC1 = 4 = 522 = 5又2 = 33 = 5GE = GFEFG是等腰三角形例10 如圖，把矩形紙片ABCD沿對角線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，EC與AD相交于點(diǎn)F（1）求證：FAC

9、是等腰三角形；（2）若AB=4，BC=6，求FAC的周長和面積【解析】對折前后圖形的位置變化，但形狀、大小不變，注意一般情況下要畫出對折前后的圖形，便于尋找對折前后圖形之間的關(guān)系 （1）證明：由題意可知ABCACDACE,所以DAC=ACE,所以FAC是等腰三角形；（2）解：設(shè)CF=AF=x，且AD=BC=6,CD=AB=4RtCDF中，DF=AD-AF=6-x由勾股定理得， ，6-x=RtABC中，AC=FAC的周長=+FAC的面積=ACD的面積-CDF的面積=六、連續(xù)折疊的規(guī)律例11 如圖，矩形紙片ABCD中，AB=，BC=第一次將紙片折疊，使點(diǎn)B與點(diǎn)D重合，折痕與BD交于點(diǎn)O1；O1D的

10、中點(diǎn)為D1，第二次將紙片折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)D1重合，折痕與BD交于點(diǎn)O2；設(shè)O2D1的中點(diǎn)為D2，第三次將紙片折疊使點(diǎn)B與點(diǎn)D2重合，折痕與BD交于點(diǎn)O3，按上述方法，第n次折疊后的折痕與BD交于點(diǎn)On，則BO1= ，BOn= 【解析】問題中涉及到的折疊從有限到無限，要明白每一次折疊中的變與不變，充分展示運(yùn)算的詳細(xì)過程。在找規(guī)律時要把最終的結(jié)果寫成一樣的形式，觀察其中的變與不變，特別是變化的數(shù)據(jù)與折疊次數(shù)之間的關(guān)系解：第一次折疊時，點(diǎn)O1是BD的中點(diǎn)，則BO1 = DO1第二次折疊時，點(diǎn)O2是BD1的中點(diǎn)，則BO2 = D1O2第三次折疊時，點(diǎn)O3是BD2的中點(diǎn)，則BO3 = D2O3因?yàn)锳B = ，BC = ，所