相似判定和性質(zhì)補(bǔ)充(含解析

1、相似判定和性質(zhì)補(bǔ)充一、選擇題1、如圖，已知：ABC、DEA是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，BAC=D=90°，兩條直角邊AB、AD重合，把AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角（0°90°），到如圖所示的位置時(shí)，BC分別與AD、AE相交于點(diǎn)F、G，則圖中共有（）對(duì)相似三角形A1B2C3D42、ABC中，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，D、E三等分BC、BF與AD、AE分別交于P、Q，則BP：PQ：QF=（）A5：3：2B3：2：1C4：3：1D4：3：23、如圖，平行四邊形ABCD中，F(xiàn)是CD上一點(diǎn)，BF交AD的延長(zhǎng)線于G，則圖中的相似三角形對(duì)數(shù)共有（ ）A8對(duì)；B6對(duì)；C4對(duì)；D2對(duì)4、

2、如圖所示，給出下列條件：B=ACD；ADC=ACB；=；=ADAB其中單獨(dú)能夠判定ABCACD的個(gè)數(shù)為( )A .1B .2C .3D .45、在ABC中，AB=AC=10，點(diǎn)D是邊BC上一動(dòng)點(diǎn)（不與B，C重合），連結(jié)AD，作ADE=B=，DE交AC于點(diǎn)E，且cos=有下列結(jié)論：ADEACD； 當(dāng)BD=6時(shí)，ABD與DCE全等；當(dāng)DCE為直角三角形時(shí)，BD=8；3.6AE10其中正確的結(jié)論是( )A .B .C .D .6、如圖，ABC中，AE交BC于點(diǎn)D，C=E，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，則DE的長(zhǎng)等于（）ABCD7、如圖，已知ABAC，要使AEFACB，且EF與BC不平行，還

3、需補(bǔ)充的條件可以是（）AAEF=BBAFE=CCAFE=BDA=A8、如圖，ABC中，P為AB上一點(diǎn)，在下列四個(gè)條件中：ACP=B；APC=ACB；AC2=APAB；ABCP=APCB，能滿足APC與ACB相似的條件是（）ABCD9、如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與左圖中ABC相似的是（）ABCD10、如圖，在ABC中，D、E分別是AB、BC上的點(diǎn)，且DEAC，若SBDE：SCDE=1：4，則SBDE：SACD=（）A1：16B1：18C1：20D1：2411、如圖，在ABC中，D是邊AC上一點(diǎn)，聯(lián)結(jié)BD，給出下列條件：ABD=ACB；AB2=ADAC；ADBC=

4、ABBD；ABBC=ACBD其中單獨(dú)能夠判定ABDACB的個(gè)數(shù)是（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)12、如圖，正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，AFDE于點(diǎn)O，則等于（）ABCD13、下列判斷正確的是（）A在ABC 和DEF中，A=40°，B=70°；D=40°，F(xiàn)=80°；則可判定這兩個(gè)三角形相似B有一銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形相似C所有的矩形都相似D所有的菱形都相似14、下列四個(gè)三角形中，與圖中的三角形相似的是（）ABCD15、如圖，ABC中，D、E分別為AC、BC邊上的點(diǎn)，ABDE，CF為AB邊上的中線，若AD=5，CD=3，DE=4，則BF

5、的長(zhǎng)為（）ABCD二、填空題16、如圖，點(diǎn)D、E、F在ABC三邊上，EF、DG相交于點(diǎn)H，ABC=EFC=70°，ACB=60°，DGB=50°，圖中與GFH相似的三角形的個(gè)數(shù)是_三、解答題17、如圖所示，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)B作BECD，垂足為E，連接AE，F(xiàn)為AE上一點(diǎn)，且BFE=C（1）求證：ABFEAD；（2）若AB=4，BAE=30°，AD=3，求AE和BF的長(zhǎng)18、已知：O為四邊形ABCD的對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，將直角三角板的直角頂點(diǎn)與O點(diǎn)重合，轉(zhuǎn)動(dòng)三角板使兩直角邊始終與BC、AB相交，交點(diǎn)分別為M、N（1）若ABCD為正方形，如圖

6、，猜想：線段OM與ON間的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若ABCD為矩形，如圖，且AB=4，AD=6，OM=x，ON=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式19、如圖，已知ABC是等邊三角形，AB=4，D是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與A、C點(diǎn)重合），EF垂直平分BD，分別交AB、BC于點(diǎn)E、F，設(shè)CD=x，AE=y（1）求證：AEDCDF；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并寫出定義域；（3）過(guò)點(diǎn)D作DHAB，垂足為點(diǎn)H，當(dāng)EH=1時(shí)，求線段CD的長(zhǎng)20、定義：如圖1，點(diǎn)C在線段AB上，若滿足AC2=BCAB，則稱點(diǎn)C為線段AB的黃金分割點(diǎn)如圖2，ABC中，AB=AC=1，A=36°，BD平分ABC交AC

7、于點(diǎn)D（1）求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；（2）求出線段AD的長(zhǎng)21、已知：如圖，在ABC中，BAC=90°，AHBC于H，以AB和AC為邊在RtABC外作等邊ABD和ACE，求證：DHHE22、如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AEBC，垂足為E，連接DE，F(xiàn)為線段DE上一點(diǎn)，且AFE=B（1）求證：ADFDEC；（2）若AB=8，AD=6，AF=4，求AE的長(zhǎng)23、如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC，D為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且滿足=DBCE（1）說(shuō)明：ADBEAC；（2）若BAC=40°，求DAE的度數(shù)。相似判定和性質(zhì)補(bǔ)充的答案和解析一、選

8、擇題1、答案：D試題分析：根據(jù)已知及相似三角形的判定方法進(jìn)行分析，從而得到答案試題解析：ABC與DEA是兩個(gè)全等的等腰直角三角形，BAC=EDA=90°，C=B=DAE=E=45°，CFA=B+FAB，GAB=FAG+FAB，CFA=BAG，CAFBGA，BGAAGFCAF；還有ABCDEA，相似三角形共有4對(duì)故選：D2、答案：A試題分析：過(guò)F作FNBC，交AE于M，AD于N，根據(jù)相似三角形性質(zhì)和判定求出FQ=BF，PQ=BF，BP=BF，代入求出即可試題解析：過(guò)F作FNBC，交AE于M，AD于N，F(xiàn)為AC中點(diǎn)，F(xiàn)M是AEC中位線，MF=CE，CE=2FM，BD=DE=CE

9、，BE=2CE=4FM，F(xiàn)MBC，F(xiàn)MQBEQ，=，F(xiàn)N是ADC的中位線，F(xiàn)N=CD=CE=BD，F(xiàn)NBC，F(xiàn)NPBDP，=1，BP=PF，=，=，F(xiàn)Q=BF，BP=BF，F(xiàn)Q=BF，PQ=PF-QF=BF-BF=BF，BP：PQ：QF=（BF）：（BF）：（BF）=5：3：2故選：A3、答案：B試題分析：根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，得到平行四邊形的對(duì)邊平行，即ADBC，ABCD；再根據(jù)相似三角形的判定方法：平行于三角形一邊的直線與三角形另兩邊或另兩邊的延長(zhǎng)線所構(gòu)成的三角形相似，進(jìn)而得出答案四邊形ABCD是平行四邊形，ADBC，ABCD，BECGEA，ABECEF，GDFGAB，DGFBCF，GAB

10、BCF，還有ABCCDA（是特殊相似），共有6對(duì)故選：C4、答案：D試題分析：本題考查了相似三角形的判定，根據(jù)條件可依次判定是否為相似三角形B=ACD；A=AABCACD，故正確；ADC=ACB；A=AABCACD，故正確；=對(duì)應(yīng)邊成比例ABCACD，故正確；=ADAB=對(duì)應(yīng)邊成比例，ABCACD，故正確；故選：D.5、答案：C試題分析：根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等的三角形相似即可證明；由BD=6，則DC=10，然后根據(jù)有兩組對(duì)應(yīng)角相等且夾邊也相等的三角形全等，即可證得；分兩種情況討論，通過(guò)三角形相似即可求得；依據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可求得。解：AB=AC，B=C，又ADE=B，ADE=C，ADE

11、ACD；故正確；作AGBC于G，AB=AC=10，ADE=B=，cos=，BG=ABcosB，BC=2BG=2ABcosB=2×10×=16，BD=6，DC=10，AB=DC在ABD與DCE中，ABDDCE（ASA）故正確；當(dāng)AED=90°時(shí)，由可知：ADEACD，ADC=AED，AED=90°，ADC=90°，即ADBC，AB=AC，BD=CD，ADE=B=且cos=，AB=10，BD=8當(dāng)CDE=90°時(shí)，易證CDEBAD，CDE=90°，BAD=90°，B=且cos=，AB=10，cosB=，BD=即當(dāng)DCE

12、為直角三角形時(shí)，BD=8或故錯(cuò)誤；易證得CDEBAD，由可知BC=16，設(shè)BD=y，CE=x，=，=，整理得：-16y+64=64-10x，即=64-10x，0x6.4，AE=AC-CE=10-x，3.6AE10故正確故正確的結(jié)論為：故選：C6、答案：B試題分析：由ADC=BDE，C=E，可得ADCBDE，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可求得答案試題解析：ADC=BDE，C=E，ADCBDE，AD=4，BC=8，BD：DC=5：3，BD=5，DC=3，DE=故選：B7、答案：C試題分析：利用兩角法可判斷AEFACB，首先A=A，再添加一個(gè)即可試題解析：EF與BC不平行，AFEC，AEFB，

13、可添加AFE=B證明：A=A，AFE=C，AEFACB故選C8、答案：A試題分析：根據(jù)相似三角形的判定方法對(duì)各個(gè)條件進(jìn)行分析，從而得到最后答案試題解析：A=AACP=B，APC=ACB時(shí)都相似；AC2=APABAC：AB=AP：AC相似；此兩個(gè)對(duì)應(yīng)邊的夾角不是A，所以不相似所以能滿足APC與ACB相似的條件是故選A9、答案：B試題分析：本題主要應(yīng)用兩三角形相似判定定理，三邊對(duì)應(yīng)成比例，分別對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行分析即可得出答案試題解析：已知給出的三角形的各邊AB、CB、AC分別為、2、只有選項(xiàng)B的各邊為1、與它的各邊對(duì)應(yīng)成比例故選：B10、答案：C試題分析：設(shè)BDE的面積為a，表示出CDE的面積為4a，

14、根據(jù)等高的三角形的面積的比等于底邊的比求出，然后求出DBE和ABC相似，根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方求出ABC的面積，然后表示出ACD的面積，再求出比值即可試題解析：SBDE：SCDE=1：4，設(shè)BDE的面積為a，則CDE的面積為4a，BDE和CDE的點(diǎn)D到BC的距離相等，=，=，DEAC，DBEABC，SDBE：SABC=1：25，SACD=25a-a-4a=20a，SBDE：SACD=a：20a=1：20故選：C11、答案：C試題分析：利用相似三角形的判定方法，兩角對(duì)應(yīng)相等兩三角形相似；兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且夾角相等兩三角形相似；利用三角形三邊對(duì)應(yīng)比值相等兩三角形相似，進(jìn)而判斷得出答

15、案試題解析：ABD=ACB，A=A，ABDACB；AB2=ADAC=，A=A，ABDACB；過(guò)點(diǎn)B作BEAC，垂足為點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)D作DFAB，垂足為點(diǎn)F在RtAEB和RtAFD中，sinBAE=sinDAF，=，即=又ADBC=ABBD=，于是=RtBDFRtCBEABD=CABDACBABBC=ACBD，=，無(wú)法得出ABDACB；故選：C12、答案：D試題分析：利用DAO與DEA相似，對(duì)應(yīng)邊成比例即可求解試題解析：DOA=90°，DAE=90°，ADE是公共角，DAO=DEADAODEA即AE=AD故選D13、答案：B試題分析：利用相似圖形的定義進(jìn)行判斷后即可確定正確的選項(xiàng)

16、試題解析：A、不能得到兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等，不能判定相似，故錯(cuò)誤；B、有一對(duì)銳角對(duì)應(yīng)相等，加上直角對(duì)應(yīng)相等，這樣的兩個(gè)直角三角形相似，故正確；C、所有的矩形的對(duì)應(yīng)角相等，但對(duì)應(yīng)邊的比不一定相等，故錯(cuò)誤；D、所有的菱形的對(duì)應(yīng)邊的比相等，但對(duì)應(yīng)角不一定相等，故錯(cuò)誤故選B14、答案：B試題分析：本題主要應(yīng)用兩三角形相似的判定定理，三邊對(duì)應(yīng)成比例，做題即可試題解析：設(shè)單位正方形的邊長(zhǎng)為1，給出的三角形三邊長(zhǎng)分別為，2，A、三角形三邊2，3，與給出的三角形的各邊不成比例，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、三角形三邊2，4，2，與給出的三角形的各邊成正比例，故B選項(xiàng)正確；C、三角形三邊2，3，與給出的三角形的各邊不成比例，故C

17、選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、三角形三邊，4，與給出的三角形的各邊不成比例，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤故選：B15、答案：B試題分析：由ABDE可得CDECAB，再由AD=5，CD=3，DE=4，可求AB的長(zhǎng)又CF為AB邊上的中線，則F為AB的中點(diǎn)，問(wèn)題可求ABDE，CDECAB，AD=5，CD=3，DE=4，AC=CD+AD=8，AB=；又CF為AB邊上的中線，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)BF=故選B二、填空題16、答案：試題分析：首先根據(jù)已知的條件，求出各三角形的內(nèi)角度數(shù)，然后根據(jù)相等角去找對(duì)應(yīng)的相似三角形試題解析：ABC=EFC=70°，HFDB；GBDGFH；在BDG中，B=EFC=70°，DGB=50

18、76;，則GDB=60°；在ABC中，B=70°，ACB=60°，則A=50°；ABCGFHDGB=A=FEC=50°，EFC為公共角EFCGFH；綜上所述，圖中與GFH相似的三角形的個(gè)數(shù)是3故答案是：3三、解答題17、答案：試題分析：（1）由平行的性質(zhì)結(jié)合條件可得到AFB=EDA和BAE=AED，可證得結(jié)論；（2）由平行可知ABE=90°，在RtABE中，由直角三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理可求得AE，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論試題解析：（1）證明：ADBC，C+ADE=180°，BFE=C，AFB=EDA，ABDC，

19、BAE=AED，ABFEAD；（2）ABCD，BECD，ABE=90°，AB=4，BAE=30°，AE=2BE，由勾股定理可求得AE=，ABFEAD，即，BF=18、答案：試題分析：（1）由四邊形ABCD為正方形，易證得AONBOM，然后由全等三角形的性質(zhì)，證得OM=ON；（2）首先過(guò)點(diǎn)O作OEAB于點(diǎn)E，作OFBC于點(diǎn)F，易證得FOMEON，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，求得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式試題解析：（1）OM=ON證明：四邊形ABCD是正方形，OA=OB，OAN=OBM=45°，AOB=90°，AON+BON=90°，BON+BOM

20、=90°，AON=BOM，在AON和BOM中，AONBOM（ASA），OM=ON；（2）過(guò)點(diǎn)O作OEAB于點(diǎn)E，作OFBC于點(diǎn)F，四邊形ABCD為矩形，AB=4，AD=6，OE=AD=3，OF=AB=2，OEOF，EOM+FOM=90°，EON+EOM=90°，EON=FOM，OEN=OFM=90°，F(xiàn)OMEON，OM：ON=OF：OE=2：3，OM=x，ON=y，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y=x19、答案：試題分析：（1）易證BEFDEF，則有EDF=EBF=60°，由A=C=EDF=60°即可證到AEDCDF；（2）由AEDCDF

21、可得DF=，CF=，然后利用DF+CF=BF+CF=BC=4就可解決問(wèn)題；（3）在RtAHD中，AH=AE-EH=y-1，AD=4-x，A=60°，運(yùn)用三角函數(shù)可求得y=3-x，從而有=3-x，解這個(gè)方程就可解決問(wèn)題試題解析：（1）證明：如圖1，EF垂直平分BD，EB=ED，F(xiàn)B=FD在BEF和DEF中，BEFDEF（SSS），EBF=EDFABC是等邊三角形，A=ABC=C=60°，EDF=60°，ADE+FDC=180°-60°=120°又AED+ADE=180°-60°=120°，AED=FDC，A

22、EDCDF；（2）ABC是等邊三角形，AC=BC=AB=4CD=x，AE=y，AD=4-x，ED=EB=4-yAEDCDF，=，=，DF=，CF=DF+CF=BF+CF=BC=4，+=4，整理得：y=（0x4）；（3）如圖2，在RtAHD中，AH=AE-EH=y-1，AD=4-x，A=60°，cosA=，y=3-x，=3-x，整理得：x2-14x+24=0，解得：x1=2，x2=12，0x4，x=2，即CD的長(zhǎng)為220、答案：試題分析：（1）利用等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出ABC=C=72°，ABD=CBD=36°，BDC=72°，則可得到

23、AD=BD=BC，然后根據(jù)相似三角形的判定方法易得BDCABC，利用相似比得到BC2=CDAC，于是有AD2=CDAC，則可根據(jù)線段黃金分割點(diǎn)的定義得到結(jié)論；（2）設(shè)AD=x，則CD=AC-AD=1-x，由（1）的結(jié)論得到x2=1-x，然后解方程即可得到AD的長(zhǎng)試題解析：（1）證明：AB=AC=1，ABC=C=（180°-A）=（180°-36°）=72°，BD平分ABC交AC于點(diǎn)D，ABD=CBD=ABC=36°，BDC=180°-36°-72°=72°，DA=DB，BD=BC，AD=BD=BC，易得BDCABC，BC：AC=CD：BC，即BC2=CDAC，AD2=CDAC，點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；（2）設(shè)AD=x，則CD=AC-AD=1-x，AD2=CDAC，x2=1-x，解得x1=，x2=，即AD的長(zhǎng)為21、答案：試題分析：首先根據(jù)BAC=90°，AHBC于H，判斷出ABH=CAH，進(jìn)而判斷出DBH=EAH；然后根據(jù)相似三角形的判定方法，判斷出ABHCAH，即可判斷出，再根據(jù)AB=BD，AH=AE，判斷出，據(jù)此判斷出BDHAEH，推得BHD=AHE；