電磁場(chǎng)理論復(fù)習(xí)題(含答案)

1、第12章矢量分析 宏觀電磁現(xiàn)象的基本規(guī)律1.設(shè)：直角坐標(biāo)系中，標(biāo)量場(chǎng) u xy yz zx的梯度為A,則M (1, 1, 1)處A= 2ex 2?y 2ez2.已知矢量場(chǎng) A0x(yz) 0y 4xy2 戔xz ,則在MK 1,1,1)處 A 9 。3.亥姆霍茲定理指出，若唯一地確定一個(gè)矢量場(chǎng)(場(chǎng)量為A),則必須同時(shí)給定該場(chǎng)矢量的旋度 A 及散度 A4.寫出線性和各項(xiàng)同性介質(zhì) 中場(chǎng)量 D、 E、所滿足的方程(結(jié)構(gòu)方程)：D E,B H,J edS5.電流連續(xù)性方程的微分和積分形式分別為6.設(shè)理想導(dǎo)體的表面 A的電場(chǎng)強(qiáng)度為E、磁場(chǎng)強(qiáng)度為B ,則(a)E、B皆與A垂直。(b)E與A垂直，B與A平行

2、。(c)E與A平行，B與A垂直。(d)E、B皆與A平行。答案：B7.兩種不同的理想介質(zhì)的交界面上,(A)E2 , Hi(B)EmE2n , HmH 2n8.(C)(D)E1tEitE2t , H1tE2t , H1n設(shè)自由真空區(qū)域電場(chǎng)強(qiáng)度H 2tH 2n答案：CE eyE0sin(w t B )(V/m),其中 Eo、9、空間位移電流密度 Jd (A/m2)為:(b) y3EoCOs(cot B)(c)3y3 0E0cos(cot B)(d)ey b % cosg t b)答案：c9.已知無(wú)限大空間的相對(duì)介電常數(shù)為rx.ex 0 cos-j- (V/m),其中0、d為常數(shù)。則x d處電荷體密度

3、為:答案：d404002020 0a dT d0 cT 弓)d10.已知半徑為R球面內(nèi)外為真空，電場(chǎng)強(qiáng)度分布為R。(總 cos ? sin )(rR。)月( 2cos e sin ) r(rR。)求(1)常數(shù)B; (2)球面上的面電荷密度;(3)球面內(nèi)外的體電荷密度。Sol. (1) 球面上.一 .2Bc由邊界條件EitE2t 得： sin3 sinB2R；R0R03(2)由邊界條件DinD2ns得：0(EinE2n)0(Eir E2r)(3)由 D 得：2L 1 (r2Er)10 E 0 -0 r r rsin6 0cos氐(E sin )(r(rR0)R0)即空間電荷只分布在球面上。11.

4、已知半徑為 R、磁導(dǎo)率為的球體，其內(nèi)外磁場(chǎng)強(qiáng)度分布為2(er cos? sin ) (r R0)H a(eT2cos? sin ) (r R0)r且球外為真空。求(1)常數(shù)A; (2)球面上的面電流密度 Js大小。Sol.球面上(r=R)： Hr為法向分量；H為法向分量(1)球面上由邊界條件B1n B2n得： H1r 0 H 2r A Ro0(2)球面上由邊界條件H1t H 2t Js得Js (Hi H2)|r,(2 一)sin0第3章 靜電場(chǎng)及其邊值問題的解法1.靜電場(chǎng)中電位與電場(chǎng)強(qiáng)度E的關(guān)系為;在兩種不同的電介質(zhì)（介電常數(shù)分別為耳和攵）的分界面上2.設(shè)無(wú)限大真空區(qū)域自由電荷體密度為p,則靜

5、電場(chǎng):3.電位 和電場(chǎng)強(qiáng)度E滿足的泊松方程分別為4.介電常數(shù)為的線性、各向同性的媒質(zhì)中的靜電場(chǎng)儲(chǔ)能密度為Wm1 E225.對(duì)于兩種不同電介質(zhì)的分界面，電場(chǎng)強(qiáng)度的 切向 分量及電位移的 法向 分量總是連續(xù)的。6.如圖，E1、2分別為兩種電介質(zhì)內(nèi)靜電場(chǎng)在界面上的電場(chǎng)強(qiáng)度,30607.8.|Ei | |E2|O理想導(dǎo)體與電介質(zhì)的界面上,關(guān)系為如圖，兩塊位于x = 0和密度表面自由電荷面密度s與電位沿其法向的方向?qū)?shù)的nx = d處無(wú)限大導(dǎo)體平板的電位分別為0、U0,其內(nèi)部充滿體分法計(jì)算0x a各點(diǎn)的電位分布。空間電荷對(duì)導(dǎo)體表面上部空間場(chǎng)分布的影響等效于:無(wú)限大接地導(dǎo)體平面+接地導(dǎo)體球邊界條件:平面

6、球面 0平面0,引入鏡像電荷：zd, qq0使球面0,引入鏡像電荷:d處有一個(gè)點(diǎn)Z軸上zZiZ22 a / q12a|z | a各點(diǎn)的電位:adq02a丁 q2a iqadq01qqiq2q4o|zd|zzi ZZ2 zd q012a314 o | z d | z2d2 a4 z d11.已知接地導(dǎo)體球半徑為 R,在x軸上關(guān)于原點(diǎn)（球心）對(duì)稱放置等量異號(hào)電荷+q、-q,位置如圖所示。利用鏡像法求（ 1）鏡像電荷的位置及電量大?。唬?）球外空間電位;(3) x軸上x2R各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。Sol. (1)引入兩個(gè)鏡像電荷：2qR0 R02? 1 2R0 2qRo一,X222Ro1 q q1 q4 0

7、 R R1 R2R J(x 2R0)2 y2 z2 , RR2 J(x R0/2)2 y2 z2 , R(3) x軸上x2R各點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度：q1q2(2)2R0qRo2R0q)(x,y,z).(x R0/2)2 y2 z2 .(x 2Ro)2 y2 z2q/2q/2q(x R0/2)2 (x R0/2)2 (x 2R0)212.如圖所示，兩塊半無(wú)限大相互垂直的接地導(dǎo)體平面，在其平分線上放置一點(diǎn)電荷q,求（1）各鏡像電荷的位置及電量；（2）兩塊導(dǎo)體間的電位分布。Sol. (1)qq0, (a, 0, 0)q2q0, (0, a, 0)q3q0, (a, 0, 0)(2)(x,y,z),曳曳曳 q

8、4 0 R0R1R2R3(略)其中:Ro x2 (y a)2 z2Ri,(xa)LyLz2R2.x2(ya)2z2R3.(xa)2y2z2第4章恒定電場(chǎng)與恒定磁場(chǎng)1 .線性和各項(xiàng)同性的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)部電荷體密度等于0,凈余電荷只能分布在該導(dǎo)電媒質(zhì)的表面上。2 .線性和各項(xiàng)同性的均勻?qū)щ娒劫|(zhì)中，J 0; D 0。3 .在電導(dǎo)率不同的導(dǎo)電媒質(zhì)分界面上，電場(chǎng)強(qiáng)度E和電流密度J的邊界條件EE1tE2tJ1nJ2n為：、。E24 .在電導(dǎo)率為 的導(dǎo)電媒質(zhì)中，功率損耗密度Pc與電場(chǎng)強(qiáng)度大小pE的E系 為。5.恒定磁場(chǎng)的矢量磁位A與磁感應(yīng)強(qiáng)度B的關(guān)系為B A ； A所滿足的泊松方程6 .對(duì)線性和各項(xiàng)同性磁介

9、質(zhì)（磁導(dǎo)率設(shè)為），恒定1場(chǎng)（磁場(chǎng)強(qiáng)度大小為H）的磁能1H 2H 2dV密度 Wm 2, V空間磁能 W= V 2。7 .已知恒定電流分布空間的矢量磁位為：A ?xx2y eyy2x Cxyz, C為常數(shù)，且A滿足庫(kù)侖規(guī)范。求（1）常數(shù)C; （2）電流密度J ; （3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B。（直角坐標(biāo)系中:Sol. （1）庫(kù)侖規(guī)范:(2)由2 Aa ?x(3 且)gy(3 3) ez(衛(wèi) 3) y zz xx y.八 AxAyA,A 0 2xy 2xy Cxy 0 C 4x y zJ , A exx2y ?yy2x ?,4xyz得:222?y2xx2)12a2a2 a2-22xyzex4xz 34yz

10、?z(y28.習(xí)題 在平板電容器的兩個(gè)極板間填充兩種不同的導(dǎo)電媒質(zhì)（1, 1和2, 2）,其厚度分別為d1和d2。若在兩極板上加上恒定的電壓U 0。試求板間的電位、電場(chǎng)強(qiáng)度E-電流密度J以及各分界面上的自由電荷密度。Sol.用靜電比擬法計(jì)算。用電介質(zhì)和）替代導(dǎo)電媒質(zhì)，靜電場(chǎng)場(chǎng)強(qiáng)分別設(shè)為E、E2EidiE2 d2DiD2U0iEi2 E2電位移：DiD2iEi?x(x)靜電比擬:E(x)EiE2i2d iex2di2U 02di id 2iU 02U 0i d2(0x di)id2(dix d2)Eix2d i2U 0 xid2(0x di)EidiE2(xdi)ix ( 2 i )di2d i

11、 id2U。(dix d2)E, JD,(T,則導(dǎo)電媒質(zhì)中的恒定電場(chǎng):2U 0 x 2diid 22d i泮U0 id2?x2U22 di id 2?xiU2 di id 2(0di)did2di(di(0(did2)di)d2)i 2U 02d iid 2i2di22(x)2U 0id 22 iU2d i0id22n x dix di(i 22 i )U 02 diid2可知：非理想電容器兩極上的電荷密度為非等量a n升節(jié)才有電容定義。9. 一橫截面為正方形的扇形均勻?qū)щ娒劫|(zhì),其內(nèi)、外半徑分別為a、2a,電導(dǎo)率為圖建立圓柱坐標(biāo)，若電位Uo （常量）及 0 0。求（1）導(dǎo)電媒質(zhì)上電位分布以T0

12、及恒定電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度 E; （2）該情況下導(dǎo)電媒質(zhì)的直流電阻R oSol.由邊界條件可知，導(dǎo)電媒質(zhì)上電位僅與坐標(biāo) 有關(guān)，即(1)201 d2由 | 2 U0及 | 0 0得：()I J dS 2aj (a d )Sa2a W (a d)aU0ln2直流電阻：R 牛2 aln210. 一橫截面為正方形的扇形均勻?qū)щ娒劫|(zhì)，其內(nèi)、外半徑分別為a、2a,電導(dǎo)率為c如圖建立圓柱坐標(biāo)，若電位U0 （常量）及 90。求（1）導(dǎo)電媒質(zhì)上電位分布a u 、2a以及導(dǎo)電媒質(zhì)上恒定電場(chǎng)的電場(chǎng)強(qiáng)度E; （2）該情況下導(dǎo)電媒質(zhì)的直流電阻RoSol.由邊界條件可知，導(dǎo)電媒質(zhì)上電位僅與坐標(biāo)有關(guān)，即 （）Aln BU0lnI

13、n 2Uo ln2ln(2a)4ieln 2JeJIEIJ1SJ (a) aU 0221n 2直流電阻：R *21n 2第5章電磁波的輻射1.復(fù)數(shù)形式的麥克斯韋方程中兩個(gè)旋度方程為2.坡印亭矢量S的瞬時(shí)表示式是3.自由空間中時(shí)變電磁場(chǎng)的電場(chǎng)滿足的波動(dòng)方程為2Ek2電磁場(chǎng)的情況下變?yōu)?.在無(wú)損耗的均勻媒質(zhì)5.6.7.8.9.2H(A)(C)正弦電磁場(chǎng)的磁場(chǎng)滿足的亥姆霍茲方程為k2Hk2k20 ,其中_A2(B)k2(D)k2在時(shí)變電磁場(chǎng)中，磁感應(yīng)強(qiáng)度與位的關(guān)系上A A電場(chǎng)強(qiáng)度與位的關(guān)系為已知某一理想介質(zhì)0,0 中)時(shí)諧電磁場(chǎng)的角頻率為流復(fù)矢量為Jd ex j0 cos吧ez a、J0皆為常數(shù)。則

14、電場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量(A) ex&os*ea(B)(C)0 j sin ea(D)joj4joj4叫 j z一 cos一 e0 a-sinae j z答案：B0 a電偶極子天線的功率分布與(a) sin2(c) cos2自由空間的原點(diǎn)處的場(chǎng)源在函數(shù)和A(a) t -; c(b) t的關(guān)系為(b) sin(d) cost時(shí)刻發(fā)生變化，此變化將在b時(shí)刻影響到r處的位(c)(d) 任意在球坐標(biāo)系中, . 2/ 、 sin(a)電偶極子的輻射場(chǎng)(遠(yuǎn)區(qū)場(chǎng))sin(b)(c)r的空間分布與坐標(biāo)的關(guān)系sin(d) rsin10. 一均勻平面波垂直入射至導(dǎo)電媒質(zhì)中并在其中傳播，則(A)不再是均勻平面波。(B)空間各

15、點(diǎn)電磁場(chǎng)振幅不變(C)電場(chǎng)和磁場(chǎng)不同相。(D)傳播特性與波的頻率無(wú)關(guān)。答案：C11.下1電場(chǎng)強(qiáng)度所對(duì)應(yīng)的電磁波為線極化方式的是(A)EeXiO e j zey10j e jz (B)E告10 e j zlOj e j z(C)EeXiOejzey10 e j z (D)EeXiOejz10 e j z答案：C12、已知真空中某時(shí)諧電場(chǎng)瞬時(shí)值為E(x,z,t) (?ysin(10 x)cos( t kzz)。試求電場(chǎng)和磁場(chǎng)復(fù)矢量表示式和功率流密度矢量的平均值。解：所給瞬時(shí)值表示式寫成下列形式E(x,z,t) Reeysin(10 x)e jkzzej t因此電場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)矢量表示為E(x,z)ey

16、 sin(10 x)e jkzzH (x, z)由麥克斯韋方程組的第二個(gè)方程的復(fù)數(shù)形式可以計(jì)算磁場(chǎng)強(qiáng)度的復(fù)矢量為&EexTyj 0 z_ k 一exsin(10 x)0%0cos(10 x) e jkzz j 0功率流密度矢量的平均值 Sav等于復(fù)坡印廷矢量的實(shí)部，即IV1 -Re( 22Reex?yez1 _ J2 Re(&EyHz2Re啜sin(20 x)k.2ez sin (10 x)0k 2ezsin (10 x)2 o13、已知真空中時(shí)變場(chǎng)的矢量磁位為 A(z,t)?xAo cos( t kz)求：(1)電場(chǎng)強(qiáng)度E和磁場(chǎng)強(qiáng)度H ; (2)坡印廷矢量及其平均值。解：(1)把矢量磁位的瞬

17、時(shí)值表示為A(z,t)Re?xAoe jkzej t則矢量磁位的復(fù)數(shù)形式為exAoe jkz根據(jù)磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)數(shù)形式與矢量磁位復(fù)數(shù)形式之間關(guān)系可以求出exeyH(z)-(0Ziey ;g(jkA0)ejkz磁場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值為根據(jù)麥克斯韋方程組的第一個(gè)方程H (z,t) ey(kAo)cos( t 程H J j Dkz )27,此時(shí)J 0,電場(chǎng)強(qiáng)度與磁場(chǎng)強(qiáng)度之間關(guān)系為E(z) jjx y zHxHy Hzy4 k A0 jkz-0 7 ej電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)值為E(z,t) Rej t k k A0 e &cos( t kz )(2)坡印廷矢量為2)S E H a y k-A- cos2( t kz -

18、) &Scos2( t kz2坡印廷矢量的平均值為SavRe(S) 1Re(232*)?zj20第6章、均勻平面波的傳播1 .兩個(gè)同頻率、同方向傳播，極化方向相互垂直的線極化波的合成波為圓極化波，則它們的振幅 相同 ，相位相差/2。2 .均勻平面波垂直入射到理想導(dǎo)體表面上，反射波電場(chǎng)與入射波電場(chǎng)的振幅相等 :相位相差 _。3 .均勻平面波從空氣垂直入射到無(wú)損耗媒質(zhì)r 2.25, r 1,0表面上，則電場(chǎng)反射系數(shù)為1/ 5。,4 .在自由空間傳播的均勻平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度為E &100cos t 20 zV/m,則波的傳播方向?yàn)?zx方向的線極化波亭矢量Sav為一.9 _,頻率為 3X10 H4J,

19、 100為 01mH eycos t 20 z A/m ,平均坡印,波的極化方式為35.均勻平面波電場(chǎng)方向的單位矢量eE、磁場(chǎng)方向的單位矢量eH以及傳播方向的單位矢量en三者滿足的關(guān)系是n eE eH6.損耗媒質(zhì)的本征阻抗為,表明損耗媒質(zhì)中電場(chǎng)與磁場(chǎng)在空間同一位置存在著相位差，損耗媒質(zhì)中不同頻率的波其相速度不同，因此損耗媒質(zhì)又稱為 色散 媒質(zhì)。7 .設(shè)海水的衰減常數(shù)為，則電磁波在海水中的穿透深度為 ,在此深度上電場(chǎng)的振1e幅將變?yōu)檫M(jìn)入海水前的e 。8 .在良導(dǎo)體中，均勻平面波的穿透深度為a。/2個(gè)224-9 .在無(wú)源的真空中，已知均勻平面波的E E0e j z和H H0e j z,其中的E0和

20、H0為常矢量，則必有_c。(a)ezEo0; (b)ezH00;(c)EH00； (d)E。H。010 .以下關(guān)于導(dǎo)電媒質(zhì)中傳播的電磁波的敘述中，正確的是 b。(a)不再是平面波(b)電場(chǎng)和磁場(chǎng)不同相(c)振幅不變(d)以TE波的形式傳播11、已知空氣中存在電磁波的電場(chǎng)強(qiáng)度為E eyE0 cos(6 108t 2 z) V/m試問：此波是否為均勻平面波傳播方向是什么求此波的頻率、波長(zhǎng)、相速以及對(duì)應(yīng)的磁 場(chǎng)強(qiáng)度H。解：均勻平面波是指在與電磁波傳播方向相垂直的無(wú)限大平面上場(chǎng)強(qiáng)幅度、相位和方向均相同的電磁波。電場(chǎng)強(qiáng)度瞬時(shí)式可以寫成復(fù)矢量E / E/e = eyEe該式的電場(chǎng)幅度為E0,相位和方向均不

21、變，且E ez 0 E ez,此波為均勻平面波。傳播方向?yàn)檠刂鴝方向。由時(shí)間相位t 6 108 t6 108波的頻率f 3 108 Hz波數(shù)k 2波長(zhǎng)dz相速 v3 10 m/sp dt k由于是均勻平面波，因此磁場(chǎng)為12、在無(wú)界理想介質(zhì)中，均勻平面波的電場(chǎng)強(qiáng)度為ejkzEosin(2108t 2 z),已知介質(zhì)的r 1 ,求r ,并寫出H的表達(dá)式。解：根據(jù)電場(chǎng)的瞬時(shí)表達(dá)式可以得到2108, k電場(chǎng)強(qiáng)度的瞬時(shí)式可以寫成復(fù)矢量為 rr r .0 0ckcMe j2 z 波阻抗為Zw40,則磁場(chǎng)強(qiáng)度復(fù)矢量為1小ZwEo y 40-j2因此磁場(chǎng)為13、銅的電導(dǎo)率y 40 sin(2108t 2z)5

22、.8 107S/m, r求下列各頻率電磁波在銅內(nèi)傳播的相速、波長(zhǎng)、透入深度及其波阻抗。解：已知1 MHz ; (2) f 100 MHzf 10 GHz1 109F/m 和 0 4 3610 7 H/m ,那么一1 1.044 10180 f1 MHz 時(shí),1.044 10121,則銅看作良導(dǎo)體，衰減常數(shù)和相位常數(shù)分別為15.132, f 15.132 103相速：v p4.152 10 4, f 0.4152 m/s波長(zhǎng)：2- 4.152 10 4 m透入深度： -6.6 10 5 m波阻抗：Zw 、；2(1 j) 2.61 10 7(1 j)jf 2.61 10 4(1 j)(2)當(dāng)f 1

23、00MHz時(shí)， 1.044 10101 ,則銅仍可以看作為良導(dǎo)體，衰減常數(shù)和相位常數(shù)分別為、；一2- 15.132jf 15.132 104相速：vp 4.152 10 4 . f 4.152 m/s波長(zhǎng)： 2- 4.152 10 5 m透入深度： 1 6.6 10 6 m波阻抗：Zw 、；2-(1 j) 2.61 10 7(1 j) 2.61 10 3(1 j)(3)當(dāng)f 10GHz時(shí)， 1.044 1081,則銅看作良導(dǎo)體，衰減常數(shù)和相位常數(shù)分別為、；一2 15.132/ 15.132 105相速：Vd 4.152 10 4 . f 41.52 m/s p波長(zhǎng)：2- 4.152 10 6

24、m透入深度： -6.6 10 7 m波阻抗：ZW(1 j) 2.61 10 7(1 j) 2.61 10 2(1 j)14、海水的電導(dǎo)率4S/m , r 81 , r 1 ,求頻率為10 kHz、10 MHz和10 GHz時(shí)電磁波的波長(zhǎng)、衰減常數(shù)和波阻抗。解：已知 0 10 9F/m 和 0 410 7H/m,那么一 -109。36f 9 當(dāng)f 10kHz時(shí)， 8 109 8 1051 ,則海水可看作良導(dǎo)體，衰減常數(shù)和f 99相位常數(shù)分別為3.97 10 f 0.3972,相速：Vd 1.582 103. f 1.582 105 p波長(zhǎng)：2_ 15.83 m1透入深度：-2.52 m波阻抗：Zw ,2(1 j) 0.31610 3(1 j)/F 0.099(1 j)8(2)當(dāng)f 10MHz時(shí)， 102 88.891,則海水也可近似看作良導(dǎo)體，技減常數(shù)9和相位常數(shù) 分別為.3.97 10 f 12.55相速：vp 1.582