第四篇數(shù)理統(tǒng)計模型

1、第四篇 數(shù)理統(tǒng)計模型數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的理論和方法與人類活動的各個領(lǐng)域在不同程度上都有關(guān)聯(lián)，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)是研究收集數(shù)據(jù)、分析數(shù)據(jù)并據(jù)以對所研究的問題作出一定的結(jié)論的科學(xué)和藝術(shù)，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)所考察的數(shù)據(jù)都帶有隨機性（偶然性）的誤差，一些隨機現(xiàn)象的特征可以通過對統(tǒng)計數(shù)據(jù)的整理與加工得到體現(xiàn)，數(shù)理統(tǒng)計的應(yīng)用基礎(chǔ)是抽樣分布，特別是正態(tài)總體的抽樣分布是統(tǒng)計推斷的理論基礎(chǔ)。在數(shù)理統(tǒng)計的應(yīng)用實例中，通過對應(yīng)用問題建模主要培養(yǎng)統(tǒng)計數(shù)據(jù)的處理和分析以及根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計推斷的方法，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行相關(guān)分析和回歸分析的方法。應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計方法解決問題首先要對統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行處理和加工，熟悉相關(guān)的抽樣分布。與統(tǒng)計數(shù)據(jù)的處理和抽樣分

2、布相關(guān)的應(yīng)用實例有：統(tǒng)計數(shù)據(jù)的整理與加工，彩電色彩的質(zhì)量分布，根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)估計吉尼（Gini）系數(shù)，正態(tài)總體樣本方差服從卡方分布并且與樣本均值相互獨立，正態(tài)總體樣本標準差不是總體標準差的無偏估計量等。數(shù)理統(tǒng)計的主要任務(wù)是統(tǒng)計推斷，包括統(tǒng)計估計和統(tǒng)計檢驗，是根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)對未知的隨機現(xiàn)象進行統(tǒng)計推斷，在質(zhì)量管理與控制等方面有著重要的應(yīng)用。與統(tǒng)計估計相關(guān)的應(yīng)用實例有：參數(shù)估計方法在捕魚問題中的應(yīng)用，平均值的質(zhì)量控制圖，概率論在產(chǎn)品質(zhì)量驗收抽樣方案確定中的應(yīng)用。與統(tǒng)計推斷相關(guān)的應(yīng)用實例有：實際推斷原理小概率事件原理，改變包裝能使銷售量增加嗎？成對比較與成組比較，葡萄酒質(zhì)量的評價，刀具壽命的“正態(tài)擬合”

3、，保險實務(wù)中損失分布的統(tǒng)計分析等。相關(guān)分析是用來分析變量間關(guān)系與方向程度的方法，回歸分析是用來分析自變量與應(yīng)變量之間的數(shù)量關(guān)系，二者既有聯(lián)系又有區(qū)別，在研究變量之間的非確定性關(guān)系中有重要的作用。關(guān)于相關(guān)分析與回歸分析的應(yīng)用實例有：手掌“生命線”的長度并不反映人的壽命，一元線性回歸在季節(jié)波動預(yù)測中的應(yīng)用，輸電線路有功潮流值與發(fā)電機組出力的多元線性回歸等。4.1 統(tǒng)計數(shù)據(jù)的整理與加工上海證券交易所將每天各種股票的交易價格概括為一個綜合指數(shù)，稱為“上證指數(shù)”，如果今天的上證指數(shù)為，而上一個交易日的上證指數(shù)為，則稱為上證指數(shù)的漲跌值。下面的數(shù)據(jù)是上海證券交易所1995年頭50個交易日上證指數(shù)漲跌的觀測

4、值（摘自新民晚報）：13.93，-6.92，-6.13，-14.79，-15.70，-2.83，-11.01，-4.28，-9.03，-0.87，5.70，-21.92，-0.48，-17.80，-5.87，8.20，-2.67，-28.87，-1.23，1.26，19.61，-11.98，7.46，-0.73，-5.27，-4.47，-4.61，1.20，6.18，53.50，-5.51，2.84，-12.01，7.70，3.89，16.37，39.08，16.66，-12.15，-15.22，-0.06，2.01，-15.64，7.28，13.64，-8.07，6.50，21.75。經(jīng)計算

5、，樣本均值，樣本方差，樣本標準差為?？偲饋砜矗@段時間，股市不太景氣，平均每個交易日下跌0.8272點。應(yīng)用EXCEL中數(shù)據(jù)分析，進行描述性統(tǒng)計，輸出結(jié)果見表4.1.1。表4.1.1 50個交易日上證指數(shù)漲跌的觀測值的描述性統(tǒng)計平均值-0.8272標準差15.2283區(qū)域84.2觀測數(shù)50標準誤差2.1536方差231.9026最小值-30.7最大(1)53.5中位數(shù)-1.95峰度2.8306最大值53.5最小(1)-30.7眾數(shù)無偏度1.0575求和-41.36置信度(95.0%)4.3278為了研究這段時間上海證券交易所股市的變化動態(tài)，要對統(tǒng)計數(shù)據(jù)進一步研究。由于上證指數(shù)的漲跌值是一個連續(xù)

6、型隨機變量，因而我們采用分組方法進行整理，見表4.1.2。表4.1.2 分組整理數(shù)據(jù)區(qū)間頻數(shù)頻率累積頻率<-30.710.020.02 -30.7-18.6730.060.08 -18.67-6.64120.240.32 -6.645.39190.380.70 5.3917.42110.220.92 17.4229.4420.040.96 29.4441.4710.020.98 >41.4710.021.00 由整理的數(shù)據(jù)，我們可以作出頻數(shù)（頻率）直方圖和累積頻率直方圖（見圖4.1.1）。把頻率直方圖中各個小矩形頂邊的中點連接起來，就得到頻率分布曲線，它的極限就是隨機變量的概率密度

7、函數(shù)。由累積頻率所描述的累積頻率曲線，它稱為樣本分布函數(shù)或經(jīng)驗分布函數(shù)，它的極限就是隨機變量的分布函數(shù)。由此我們可以研究隨機變量的分布規(guī)律，為證券投資決策提供可靠的理論依據(jù)。圖4.1.1 頻率直方圖與累積頻率折線圖評注1理論依據(jù)根據(jù)樣本作描述性統(tǒng)計，作頻率直方圖觀察密度函數(shù)的大致類型，作累積頻率折線圖，研究分布函數(shù)。2應(yīng)用與推廣樣本的分布完全是由總體的分布來決定的。但在數(shù)理統(tǒng)計中，總體的分布往往是未知的，一般做法就是要通過樣本找到一個分布來近似代替總體的分布；或者說根據(jù)樣本對總體進行統(tǒng)計推斷。因此，對樣本數(shù)據(jù)進行必要的處理和分析，作描述性統(tǒng)計是一些基本做法。參考文獻茆詩松等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計M

8、.中國統(tǒng)計出版社.2000.7.4.2 彩電色彩的質(zhì)量分布SONY牌彩電有兩個產(chǎn)地：日本與美國。兩地的工廠是按同一設(shè)計方案和相同的生產(chǎn)線生產(chǎn)同一牌號SONY電視機，連使用說明書和檢驗合格的標準都是相同的。譬如彩電的彩色濃度Y的目標值為，公差（允許的波動）為5，當Y在公差范圍內(nèi)該彩電的彩色濃度為合格，否則判為不合格。-6-4-2246日產(chǎn)SONY-0.10.10.20.30.40美產(chǎn)SONY圖4.2.1 彩電質(zhì)量分布圖兩地產(chǎn)的SONY牌彩電在美國市場上都能買到，到70年代后期，美國消費者購買日本產(chǎn)的SONY彩電的熱情高于購買美國產(chǎn)的SONY彩電。這是什么原因呢？1979年4月17日日本朝日新聞刊

9、登了這一問題的調(diào)查報告，報告指出：日產(chǎn)的彩色濃度服從正態(tài)分布，而美產(chǎn)的彩色濃度為均勻分布。這兩個不同的分布表示著兩個不同的總體，如圖4.2.1。這兩個總體的均值相同，都為，但方差不同。，可見，日產(chǎn)的彩色濃度方差小于美產(chǎn)的彩色濃度的方差。如果規(guī)定彩色濃度在內(nèi)為等品，在內(nèi)為等品，在內(nèi)為等品，在內(nèi)為等品，從而在級品數(shù)量上日產(chǎn)SONY是美產(chǎn)SONY的兩倍，如表4.2.1，這就是美國消費者樂于購買日產(chǎn)SONY的主要原因。表4.2.1 美產(chǎn)和日產(chǎn)各等級彩電的比率等級美產(chǎn)33.3%33.3%33.3%0日產(chǎn)68.3%27.1%4.3%0.3%為什么兩個工廠按同一個設(shè)計方案、相同設(shè)備生產(chǎn)同一種電視機，其彩色濃

10、度會有不同的分布呢？關(guān)鍵在于管理者，美國SONY生產(chǎn)廠的管理者按彩色濃度合格范圍要求操作，在他看來，只要彩色濃度在此范圍內(nèi)，不論它在區(qū)間的什么位置都認為合格，因而造成彩電濃度落在這個區(qū)間內(nèi)任一相同長度小區(qū)間內(nèi)的機會是相同的，從而形成均勻分布。但日產(chǎn)SONY的管理者認為，彩色濃度的最佳位置在上，他要求操作者把彩色濃度盡量向靠近，這樣一來，彩色濃度在周圍的機會就多，而遠離的機會就少，最后導(dǎo)致服從正態(tài)分布。評注1理論依據(jù)隨機變量的方差反映了隨機變量關(guān)于其數(shù)學(xué)期望的離散程度。方差越小，質(zhì)量越穩(wěn)定。2應(yīng)用與推廣隨機變量的方差在質(zhì)量控制方面有著重要的應(yīng)用。盡管日產(chǎn)SONY牌彩有0.3%的等品，但其等品率遠

11、遠超過美產(chǎn)SONY牌彩電。在質(zhì)量管理與質(zhì)量控制過程中，往往根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量指標的標準差為依據(jù)。參考文獻茆詩松等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計M.中國統(tǒng)計出版社.2000.7.4.3 根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)估計吉尼（Gini）系數(shù)收入的差異是反映社會收入分配是否公平的重要指標。一般說來，鼓勵自由競爭會擴大收入差異，但是政府可以通過稅收政策和對低收入者的補助來縮小收入的差異。下面介紹的洛倫茲（Lorenz）曲線是反映收入差異的一種圖形描述，它可以用來對各國的收入差異程度進行比較或?qū)φ哪稠椪邔κ杖敕峙鋷淼挠绊懽鞒鲈u價?，F(xiàn)有30個工人家庭月收入（元）的數(shù)據(jù)，從低到高列表如表4.3.1。表4.3.1 30個工人家庭月收入

12、的數(shù)據(jù) 單位：元編號收入編號收入編號收入編號收入編號收入116507190013210019243025286021700819201421502025002629203180091940152200212550273000418201019801622502226802832205183011202017230023280029358061880122080182350242820304010表4.3.2 每組家庭的戶數(shù)和收入的累積值及百分比累積值組號戶數(shù)累積百分比組內(nèi)收入收入累積收入累積百分比1（16戶）20%106801068014.99%2（712戶）40%118402252031.6

13、1%3（1318戶）60%133503587050.35%4（1924戶）80%157805165072.50%5（2530戶）100%1959071240100%把這30個家庭按順序分成相等戶數(shù)的5組，然后統(tǒng)計出每組家庭的收入總數(shù)以及戶數(shù)和收入的累積值及百分比累積值如表4.3.2所示：若用橫坐標表示戶數(shù)累積百分比，縱坐標表示收入累積百分比，則最低收入組6戶占總戶數(shù)的20%，該組家庭的總收入占全部家庭總收入的14.99%，將坐標點（20%，14.99%）描在圖上A點；最低收入戶和偏低收入戶共12戶，占總戶數(shù)的40%，它們的收入之和占30戶家庭總收入的31.61%，將坐標點（40%，31.61%

14、）描在圖上B點，類似地得到C點（60%，50.35%），D點（80%，72.50%），E點（100%，100%）。將這些點連成一條光滑的曲線，便得到洛倫茲曲線，它是一條向下凸的曲線，如圖4.3.1。 圖4.3.1 絕對公平線與洛倫茲曲線圖如果所有家庭的收入全部相等，則洛倫茲曲線為，這條線稱為絕對平等線，所以洛倫茲曲線描述了收入的不平等狀況。由于收入是按從小到大的順序排列的，所以洛倫茲曲線位于直線的下方，它越接近直線，收入就越平均；越向下方凸出，則收入分配越不平均。記洛倫茲曲線為：，那么，與圍成的弓形的面積越大的話，則洛倫茲曲線越向下凸出，從而表明收入越不平均。為此，我們用該弓形面積與，和軸所圍

15、成的三角形面積（該三角形的面積等于）之比值作為一種度量收入分配不平等的指標，稱為吉尼（Gini）系數(shù)。可見，吉尼系數(shù)越接近于0，收入分配越公平，反之就越不公平。吉尼（Gini）是意大利統(tǒng)計學(xué)家，他在1922年發(fā)表的有關(guān)收入集中指數(shù)的研究中指出了吉尼系數(shù)。由于吉尼系數(shù)與貨幣的選擇無關(guān)，因此它特別適用于對不同國家不同時期的收入分配狀況的比較。根據(jù)洛倫茲曲線，政府制定累進稅收體系，使完稅后的曲線與公平線接近一些，使吉尼系數(shù)更小一些，縮小收入的差距，使社會財富的分配更趨于公平。評注1理論依據(jù)根據(jù)人口和收入的樣本進行統(tǒng)計分析，可以繪出洛倫茲曲線，進一步可以估計吉尼系數(shù)。2應(yīng)用與推廣根據(jù)經(jīng)濟統(tǒng)計數(shù)據(jù)，可以

16、進行相關(guān)的統(tǒng)計分析。由此可以利用統(tǒng)計數(shù)據(jù)計算或者估計諸如增長速度、吉尼系數(shù)、彈性系數(shù)等，為進一步分析奠定基礎(chǔ)。參考文獻繆柏其.管理統(tǒng)計學(xué)M.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社.2002.9.4.4 正態(tài)總體樣本方差服從卡方分布并且與樣本均值相互獨立設(shè)是來自正態(tài)總體的一個樣本，為樣本均值，為樣本方差。則：（1）（2）與相互獨立。證明：考慮對樣本作線性變換由于相互獨立，且均服從正態(tài)分布，則可以證明并且經(jīng)過計算可知：，這說明相互獨立。相互獨立，且均服從正態(tài)分布，從而仍相互獨立，均服從標準正態(tài)分布。所以，可以表示成個相互獨立服從標準正態(tài)分布的隨機變量的平方和，因此。又由于相互獨立，及 故與相互獨立評注1理論依據(jù)正

17、態(tài)總體樣本的獨立性，相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性函數(shù)仍然服從正態(tài)分布，分布的構(gòu)造。2應(yīng)用與推廣很多教科書上都有這個結(jié)論，但是都沒有給出理論證明，而這個結(jié)論在正態(tài)總體的抽樣分布中是極為重要的。同時，通過這個證明，充分表達了是個相互獨立的標準正態(tài)分布隨機變量的和，因此其自由度是。由于與相互獨立，為進一步構(gòu)造服從自由度為的分布奠定基礎(chǔ)，參考文獻茆詩松等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計M.中國統(tǒng)計出版社.2000.7.4.5 正態(tài)總體樣本標準差不是總體標準差的無偏估計量設(shè)是來自正態(tài)總體的一個樣本，為樣本均值，為樣本方差。眾所周知，對任何總體來說樣本方差是總體方差的無偏估計量，正態(tài)總體更不例外。但樣本標準差卻不是總體

18、標準差的無偏估計量。證明：由于，若令，則的概率密度函數(shù)為從而 被積函數(shù)是參數(shù)分別為和的伽瑪分布的概率密度函數(shù)，積分等于1。另一方面,，所以有所以，樣本標準差卻不是總體標準差的無偏估計量。如果進行修正，則可以得到的無偏估計量，其中評注1.理論依據(jù)正態(tài)總體樣本的抽樣分布，分布與分布的有關(guān)性質(zhì)。2.應(yīng)用與推廣無論總體服從什么分布，修正的樣本方差是總體方差的無偏估計量，但是樣本標準差不是總體標準差的無偏估計量。只有在正態(tài)總體的情況下才有確定性的修正方法，使得是總體標準差的無偏估計量，對于非正態(tài)總體，情況極為復(fù)雜，一般不對其進行討論。參考文獻茆詩松等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計M.中國統(tǒng)計出版社.2000.7.4

19、.6 參數(shù)估計方法在捕魚問題中的應(yīng)用設(shè)湖中有魚條，現(xiàn)捕出條，做上記號后放回湖中(假設(shè)記號不會消失)，一段時間后讓湖中的魚（做上記號的和沒做記號的）混合均勻，再從湖中捕出條，其中有條標有記號。試根據(jù)這些信息，估計湖中魚數(shù)的值。1.根據(jù)概率的統(tǒng)計定義：湖中有記號的魚的比例應(yīng)是（概率），而在捕出的條中有記號的魚為條，有記號的魚的比例是 (頻率)。設(shè)想捕魚是完全隨機的，每條魚被捕到機會都相等，于是根據(jù)用頻率來近似概率的道理，便有 即 故 （取最接近的整數(shù)）。2.用矩估計法：設(shè)捕出的條魚中,標有記號的魚為，因為服從超幾何分布，而超幾何分布的數(shù)學(xué)期望是。捕條魚得到有標記的魚的總體平均數(shù)，而現(xiàn)在只捕一次，出

20、現(xiàn)條有標記的魚，故由矩估計法，令總體一階原點矩等于樣本一階原點矩，即,于是也得（取最接近的整數(shù)）。3.根據(jù)二項分布與最大似然估計：若再加上一個條件，即假定捕出的魚數(shù)與湖中的魚數(shù)的比很小，即，這樣的假定對實際來說一般是可以滿足的，這樣我們可以認為每捕一條魚出現(xiàn)有標記（“成功”）的概率為，且認為在次捕魚（每次捕一條）中不變。把捕條魚近似地看作重貝努里試驗，于是，根據(jù)二項分布，條魚中有條魚有標記的，就相當于次試驗中有次成功。故同樣地，我們?nèi)∈垢怕蔬_到最大，為此我們將作為非負實數(shù)看待，求關(guān)于的最大值。為方便，求關(guān)于的最大值。于是令 同樣可得（取最接近的整數(shù)）。4.根據(jù)超幾何分布與最大似然估計法：設(shè)捕出

21、的條魚中,標有記號的魚為，則是一個隨機變量，顯然只能取0,1,2,，l 。今先考慮條中有條有標記的魚的概率，即。因湖中魚數(shù)設(shè)為條，捕出條，故因而捕出條出現(xiàn)條有標記的魚的概率為 (1)根據(jù)最大似然估計法，今捕條出現(xiàn)有標記的魚條，那么參數(shù)應(yīng)該使得達到最大，即參數(shù)的估計值使得由比值 看出，當時，這表明如果，時，是的下降函數(shù); 當時，這表明，時，是的上升函數(shù)。于是時, 達到最大值. 但由于是整數(shù)，故?。ㄈ∽罱咏恼麛?shù)）如果,就加大。若仍有,可認為。評注1.理論依據(jù)二項分布、超幾何分布的概率計算，矩估計與極大似然估計。應(yīng)用參數(shù)估計的思想和方法分析、處理問題。2.應(yīng)用與推廣此例說明，對同一個問題可以采用不

22、同的方法解決；例如，估計一個城市的人口總數(shù)，也可以用同樣的方法去考慮。參考文獻孫榮恒.趣味隨機問題M.科學(xué)出版社.2004.10.4.7 平均值的質(zhì)量控制圖在工業(yè)質(zhì)量控制中，常需要每隔一定時間就檢驗一次同樣的假設(shè)。例如，在制造某種彈簧的過程中，需要控制彈簧的自由長度具有平均值厘米。設(shè)彈簧的自由長度（總體）服從正態(tài)分布，且標準差，為檢驗生產(chǎn)過程是否正常，每隔一定時間（例如一小時）取樣件，根據(jù)抽測的自由長度的平均值來檢驗假設(shè)厘米。圖4.7.1 質(zhì)量控制圖為簡化這項工作及便于了解生產(chǎn)過程的統(tǒng)計規(guī)律性，制作了如圖4.7.1的圖表。圖4.7.1中的縱坐標是的大小，中心線在，控制上限和控制下限分別在，每個

23、樣本平均值都畫在圖上，用黑點表示。如果都落在控制線之間，則表明生產(chǎn)過程處于正常的控制之下；否則，就要檢查原因，適當?shù)卣{(diào)整機器，顯著性水平不超過0.003。圖4.7.1中的控制限中的3就是取得到的。這是根據(jù)規(guī)則得到的檢驗方法。如果總體，則。在中抽取容量為的樣本，則樣本均值，。當總體方差已知時，在顯著水平之下，假設(shè)的接受域是：。那么，如果以為檢驗統(tǒng)計量的的接受域為：。所以，作出的控制圖以，作為控制下限與控制上限。如果每隔一小時的時間間隔內(nèi)采樣（容量為5）的樣本平均值如下：1.510，1.495，1.521，1.505，1.524，1.488，1.465，1.529，1.520，1.4441.531

24、，1.502，1.490，1.531，1.475，1.478，1.522，1.491，1.491，1.482圖4.7.2 根據(jù)樣本繪制的質(zhì)量控制圖由及作出樣本容量的樣本平均值控制圖，可以作出質(zhì)量控制圖，如圖4.7.2。評注1.理論依據(jù)正態(tài)總體均值的置信區(qū)間，根據(jù)樣本構(gòu)造置信上限與置信下限，從而作出質(zhì)量控制圖。2.應(yīng)用與推廣根據(jù)正態(tài)分布與數(shù)理統(tǒng)計的知識，進行質(zhì)量管理與質(zhì)量控制是概率統(tǒng)計應(yīng)用的一個很重要的方面。特別是用在質(zhì)量控制的3法則，目前在全球最先進的企業(yè)都采用6管理法，已經(jīng)形成一種企業(yè)管理文化。而正態(tài)總體參數(shù)的統(tǒng)計推斷，廣泛應(yīng)用在全面質(zhì)量管理；還廣泛應(yīng)用于金融風(fēng)險分析與管理，如等。參考文獻盛

25、驟等.概率論與數(shù)理統(tǒng)計（第四版）M.高等教育出版社.2008.6.4.8 概率論在產(chǎn)品質(zhì)量驗收抽樣方案確定中的應(yīng)用1.應(yīng)用背景質(zhì)量控制是質(zhì)量管理的重要組成部分，它是用統(tǒng)計方法檢驗和控制產(chǎn)品的質(zhì)量，其內(nèi)容包括驗收控制和工序控制。驗收控制主要研究如何合理地制訂產(chǎn)品質(zhì)量檢驗抽樣方案，這是一種把關(guān)性質(zhì)量控制。工序控制指生產(chǎn)過程中對產(chǎn)品質(zhì)量進行檢驗、監(jiān)控，以便及時發(fā)現(xiàn)問題，采取措施，保證生產(chǎn)正常進行，這是一種預(yù)防性質(zhì)量控制。2.提出問題一批產(chǎn)品出廠之前常常要進行質(zhì)量驗收，一般采用抽樣檢驗法，即從一大批產(chǎn)品中隨機抽取件，用這件產(chǎn)品的質(zhì)量信息推斷整批產(chǎn)品的質(zhì)量，以確定這批產(chǎn)品是否合格。因此，在抽樣之前需確定

26、抽樣方案，即樣本容量和接受這批產(chǎn)品的準則（或判斷這批產(chǎn)品質(zhì)量的準則）。3.分析問題與建立概率模型檢驗方案（N，n，d）若X>d，則該批產(chǎn)品不合格從一批產(chǎn)品中隨機抽取n件產(chǎn)品，檢查出有X件不合格產(chǎn)品。若Xd，則該批產(chǎn)品合格圖4.8.1 一次抽樣方案假設(shè)有批量為的產(chǎn)品需要驗收，從中隨機抽取了件產(chǎn)品。接受一批產(chǎn)品的最簡單的準則是：當抽得的不合格產(chǎn)品件數(shù)不超過時，就接受該批產(chǎn)品，認為該批產(chǎn)品質(zhì)量合格；否則，就拒絕該批產(chǎn)品，認為該批產(chǎn)品質(zhì)量不合格。因此，檢驗方案簡記為，其中已知，為抽檢產(chǎn)品的個數(shù)，稱為合格品判定數(shù)。顯然，當確定了，檢驗方案就確定了（如圖4.8.1所示）。那么如何確定呢？若該批產(chǎn)品的

27、不合格率為，則接受該批產(chǎn)品的概率（簡稱接受概率）為： （4.8.1）對可以用不同的方法計算，即（4.8.2）當樣本容量較大時，由中心極限定理知： 近似服從標準正態(tài)分布，因此有 (4.8.)p11L(p)0圖4.8.2 OC曲線顯然，接受概率是的函數(shù)，記為（稱為接受概率曲線，或抽樣特性曲線，也稱為OC（Operating Characteristic Curve）曲線）。當時，；當時，；是的遞減函數(shù)（如圖4.8.2所示）。 圖4.8.3 一次抽樣OC曲線示意圖1p0p11-pL(p)01由于抽樣的隨機性，有可能拒絕一批高質(zhì)量的產(chǎn)品，這時生產(chǎn)方將受到損失，犯這類錯誤（第一類錯誤）的概率記

28、為，稱為生產(chǎn)風(fēng)險；也有可能接受一批低質(zhì)量的產(chǎn)品，這時使用方將受到損失，犯這類錯誤（第二類錯誤）的概率記為，稱為使用風(fēng)險。在制訂抽樣檢驗方案時，總是希望犯兩類錯誤的概率都很小。為此，只有增大樣本容量。但是選擇得太大將使檢驗成本大大增加，這樣做通常是不可行的。一種折衷的辦法是生產(chǎn)方和使用方都承擔一定的風(fēng)險，高質(zhì)量產(chǎn)品（較小）使用方以高概率接受，以保護生產(chǎn)者的利益；低質(zhì)量產(chǎn)品（較大）使用方以低概率接受，以保護使用方利益。因此，需要確定，稱為合格品質(zhì)量水平，當時，認為該批產(chǎn)品質(zhì)量高，接受概率要大，如要求（由生產(chǎn)方與使用方協(xié)商確定，就是顯著性水平，一般取0.01，0.05，0.1）；還需要確定一個,稱為

29、極限質(zhì)量水平，當時，認為該批產(chǎn)品質(zhì)量低，接受概率要小，如要求（也是由生產(chǎn)方與使用方協(xié)商確定，一般取0.05，0.1，0.2）。于是由下式確定：(4.8.4)由于是的遞減函數(shù)（如圖4.8.3所示），所以可由(4.8.5)確定，即（4.8.6）由此可見，要制訂一個抽樣檢驗方案，應(yīng)事先給定四個參數(shù)：生產(chǎn)風(fēng)險，使用風(fēng)險，雙方可接受的合格品質(zhì)量水平與極限質(zhì)量水平。然后由（4.8.6）式求出。（4.8.7）4.舉例現(xiàn)要驗收一批產(chǎn)品，如果該批產(chǎn)品的次品率，就接受這批產(chǎn)品；如果，就拒絕這批產(chǎn)品。并且要求當時不接受這批產(chǎn)品的概率為0.1，當時接受這批產(chǎn)品的概率為0.1。試為驗收者制訂驗收抽樣方案。解：由題意知：

30、代入（4.8.7）式，可得：得，于是，取。抽樣方案是：抽查112件產(chǎn)品，如果抽得的不合格品數(shù)，則接受這批產(chǎn)品，否則拒絕這批產(chǎn)品。5.問題的擴展也可以用上述方法確定計量質(zhì)量指標抽樣檢驗方案。假設(shè)一批產(chǎn)品的某質(zhì)量指標，從中有放回地抽取件產(chǎn)品，得到它們的質(zhì)量指標為，記表示這件產(chǎn)品質(zhì)量指標的平均值。由不同的質(zhì)量要求可提出接受這批產(chǎn)品的不同判斷準則。例如，要求質(zhì)量指標值越大越好，那么需確定參數(shù)，當時，接受該批產(chǎn)品，否則拒絕該批產(chǎn)品。因而檢驗抽樣方案可用表示。由正態(tài)獨立變量的性質(zhì)知： 。因此接受產(chǎn)品的概率為（4.8.8）與前面討論方法類似，為了同時使生產(chǎn)風(fēng)險、使用風(fēng)險都較小，需要給出產(chǎn)品合格的質(zhì)量指標均值

31、水平與極限質(zhì)量指標均值水平以及生產(chǎn)風(fēng)險與使用風(fēng)險，這時取滿足（4.8.9）解方程組（4.8.9），得（4.8.10）舉例：對一批鋼材的強度進行抽樣檢驗，要求其強度越大越好，并且已知強度服從正態(tài)分布，標準差=4kg/mm2。現(xiàn)在生產(chǎn)方與使用方商定，=46kg/mm2, =43kg/mm2。試制訂一個抽樣檢驗方案。解：設(shè)（kg/mm2）表示該批鋼材的強度。由題意知，查表得，。根據(jù)公式（4.8.10）式計算得：, 。所以，抽樣檢驗方案是抽取16根鋼材分別測得其強度，平均值記為，當時接受該批產(chǎn)品，否則拒絕該批產(chǎn)品。6.進一步討論的問題1.仍假設(shè)一批產(chǎn)品的某質(zhì)量指標，從中有放回地抽取件產(chǎn)品，得到它們的質(zhì)

32、量指標為，記。質(zhì)量指標值越小越好，那么需確定參數(shù)，當時，接受該批產(chǎn)品，否則拒絕該批產(chǎn)品。這時，如何確定一次抽樣檢驗方案？2.如果質(zhì)量指標值不能太大，也不能太小，那么需確定參數(shù)，當時，接受該批產(chǎn)品，否則拒絕該批產(chǎn)品。這時，如何確定一次抽樣檢驗方案？注：本實例依據(jù)楊虎教授負責的重慶市級精品課程概率論與數(shù)理統(tǒng)計網(wǎng)站的內(nèi)容，略有修改.評注1.理論依據(jù)通過二項分布、超幾何分布、正態(tài)分布計算相關(guān)事件的概率；產(chǎn)品質(zhì)量驗收抽樣方案的確定。2.應(yīng)用與推廣通過產(chǎn)品質(zhì)量驗收抽樣方案確定問題的數(shù)學(xué)建模全過程，使學(xué)生了解概率論在產(chǎn)品質(zhì)量管理中的應(yīng)用，可以將這種方法應(yīng)用到實際的產(chǎn)品質(zhì)量檢驗之中。參考文獻周紀薌等.質(zhì)量管理

33、統(tǒng)計方法M.中國統(tǒng)計出版社. 1999.楊虎：概率論與數(shù)理統(tǒng)計M.重慶大學(xué)出版社，2007.6.4.9 實際推斷原理小概率事件原理在心靈感應(yīng)試驗中，兩個試驗者甲和乙分別坐在兩個房間里。裁判給試驗者甲4紅4黑8張撲克，每發(fā)一張另一位試驗者乙要說出是什么顏色的撲克。他知道一共發(fā)了4紅4黑8張撲克。問：（1）如果在一次試驗中，乙說對了至少6張牌，他是否有心靈感應(yīng)？（2）如果做了10次試驗，至少有5次乙說對了6張或6張以上，他是否有心靈感應(yīng)？如果做了10次試驗，至少有6次乙說對了6張或6張以上，他是否有心靈感應(yīng)？分析：（1）如果兩人沒有心靈感應(yīng)，則試驗者乙至少能猜對6張的概率為：這個概率不算小，雖然乙

34、猜對了，不能說明乙有心靈感應(yīng)。（2）如果把這種試驗獨立做10次，以X表示乙猜對6張或6張以上（6張或8張）的次數(shù)，在兩人沒有心靈感應(yīng)的情況下，隨機變量，故因此在10次試驗中，即使有5次猜對6張或8張，也不能說他們兩人有心靈感應(yīng)，因為0.067不能算是小概率事件。如果6次猜對6張或8張，這個事件發(fā)生的概率僅為0.017，應(yīng)該是一個小概率事件，“概率很小的事件在一次試驗中實際上是不可能發(fā)生的”，則可以說明他們有心靈感應(yīng)。如果一個事件發(fā)生的概率小于0.05，我們把這個事件稱為小概率事件。在一般場合下，我們假定概率很小的事件在一次試驗中不會發(fā)生，這個原理稱為小概率事件原理或者稱為實際推斷原理。數(shù)理統(tǒng)計

35、中的假設(shè)檢驗的理論依據(jù)就是小概率事件原理。評注1.理論依據(jù)通過計算事件發(fā)生的概率是否為小概率，根據(jù)實際推斷原理進行推斷。2.應(yīng)用與推廣實際推斷原理又稱為小概率事件實際不可能原理，是統(tǒng)計推斷中假設(shè)檢驗的理論基礎(chǔ)。至于這個小概率怎樣才算小，要根據(jù)推斷的問題的重要性而定，一般情況下將0.05作為小概率的界限。為了靈活掌握小概率，往往給出在原假設(shè)成立的條件下樣本出現(xiàn)的概率，也就是在許多應(yīng)用軟件中輸出的。參考文獻繆柏其.管理統(tǒng)計學(xué)M.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社.2002.9.4.10 改變包裝能使銷售量增加嗎？ 某公司銷售自己生產(chǎn)的產(chǎn)品，原用牛皮紙包裝，定期內(nèi)平均銷售率為80%，現(xiàn)在公司試用改變包裝來增加銷

36、售量。第一次在不漲價的條件下，改為白色塑料袋包裝，在銷售這種產(chǎn)品的過程中，任取400件作調(diào)查，結(jié)果售出332件；第二次價格略有提高，改為手提袋式彩色塑料袋包裝，在第二次改裝后的商品銷售過程中，仍任取400件，結(jié)果售出338件。以此來判斷改變包裝能使銷售量增加嗎？為了判斷改變包裝是否能使銷售量增加，假設(shè)該公司的產(chǎn)品銷售率為，則要檢驗。由于銷售頻率是銷售概率的無偏估計量，且是大樣本，由中心極限定理，當時，所以，。取，的拒絕域為。對于第一種情況下，接受。在檢驗水平之下，將牛皮紙改為白色塑料袋包裝雖然價格沒有提高，但銷售量（銷售率）并沒有顯著增加。對于第二種情況下，拒絕，即認為。在檢驗水平之下，將牛皮

37、紙改為手提包式彩色塑料袋包裝，盡管價格略有上漲，但銷售量（銷售率）卻明顯地增加了。在消費者心里，手提包式彩色塑料袋可以重復(fù)使用，包裝精美實用可以使消費者對商品產(chǎn)生好感，雖然價格略有上漲，人們愿意購買。公司在保證產(chǎn)品質(zhì)量的同時，還應(yīng)該注意研究消費者的心理，在包裝裝潢上下功夫有時也是出奇制勝的一招。評注1.理論依據(jù)比率的單邊檢驗問題，應(yīng)用數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中的假設(shè)檢驗來檢驗改變包裝以后銷售率、銷售量是否明顯提高了。2.應(yīng)用與推廣有些結(jié)論不能靠直觀判斷得出，應(yīng)該用科學(xué)的方法進行檢驗，數(shù)理統(tǒng)計學(xué)中的假設(shè)檢驗就是很可靠的方法。如檢驗治理污染的效果、某些藥物的療效、廣告的效應(yīng)、技術(shù)革新對產(chǎn)品質(zhì)量的影響等等，都可以

38、通過假設(shè)檢驗作出結(jié)論。應(yīng)該注意單邊檢驗的原假設(shè)與對立假設(shè)如何設(shè)定。參考文獻何群.改變包裝會使銷售量增加嗎？J.數(shù)理統(tǒng)計與管理.1991.6.4.11 成對比較與成組比較比較兩種玉米，看哪種平均畝產(chǎn)量大?？砂淹恋胤殖蒼塊，再把每小塊一分為二，使這兩塊土地在土壤、陽光、水、肥等有相同的外部條件。然后一塊地種A品種，另一塊地種B品種，成對比較這塊地平均畝產(chǎn)量;。由上述條件，反映了兩品種的差異（因其他條件相同）。因此，兩樣本；的檢驗問題可以化為一個樣本的檢驗問題。或：這種提法很多，如檢驗?zāi)承滤幓騼x器治療高血壓是否有效，取n對患者，每對患者的條件盡可能一致，看新藥與原有的藥或儀器治療高血壓有無差別。再如

39、，某種飲料是否男女喜歡程度一樣，取n對男女，除性別外，在年齡、職業(yè)、學(xué)歷等條件基本一致，對某飲料打分（010分），這種方法稱為成對比較。如果將兩組獨立樣本與均值的比較稱為成組比較。成對比較與成組比較有很大的差異。表4.11.1 政策前后指數(shù)及其變化 存戶 政策后 政策前政策后政策前110540100205202780720603945391053484157310625115396239055764673440127278205810010581245812011447995984711210744468535911149824602380128831845237913648182466146

40、9696740229152408237830某銀行經(jīng)理發(fā)現(xiàn)目前過于強調(diào)顧客的存款數(shù)，他認為必須同時強調(diào)存款期限。為此，設(shè)計了一種將存款數(shù)與存款期限相乘的指數(shù)，然后介紹了一種有激勵性的獎勵計劃，盡量減少顧客取款次數(shù)?，F(xiàn)在他隨機選擇了15個存戶，比較了在引用新計劃前后的指數(shù)，他們的結(jié)果如表4.11.1，假設(shè)顧客存款數(shù)的這種指數(shù)服從正態(tài)分布，且成對數(shù)據(jù)之差服從正態(tài)分布。問：銀行經(jīng)理的新政策有無效果（=0.01）？這是一個典型的成對數(shù)據(jù)比較問題，正態(tài)總體方差未知的條件下均值的檢驗問題：，拒絕或 ，拒絕即：所作觀察明顯支持“新方法有效”的結(jié)論。用excel中數(shù)據(jù)分析，然后選擇“檢驗：平均值的成對二樣本分

41、析”，輸出結(jié)果如表4.11.2。表4.11.2 t-檢驗: 成對雙樣本均值分析變量 1變量 2平均5592.3333335291.866667方差14885989.2414342368.41觀測值1515泊松相關(guān)系數(shù)0.998925345假設(shè)平均差0df14t Stat6.094367018P(T<=t) 單尾1.38451E-05t 單尾臨界1.761310115P(T<=t) 雙尾2.76902E-05t 雙尾臨界2.144786681如果忽視成對數(shù)據(jù)作檢驗，而用成組數(shù)據(jù)檢驗：由樣本數(shù)據(jù)算得：，,，, 混合樣本方差,，接受。即，根據(jù)分組數(shù)據(jù)檢驗，新方法出臺前后存款指數(shù)沒有顯著性

42、差異。問題的關(guān)鍵是沒有利用是同一用戶在新方法出臺前后存款指數(shù)的數(shù)據(jù)，這對數(shù)據(jù)的不同，不僅僅是由于銀行政策造成的。但是，本題不能作成組數(shù)據(jù)檢驗，只能作成對數(shù)據(jù)檢驗。評注1.理論依據(jù)正態(tài)總體的假設(shè)檢驗，成組比較是兩個正態(tài)總體均值差的檢驗，成對比較是對正態(tài)總體均值是否等于（大于或小于）零的假設(shè)檢驗。2.應(yīng)用與推廣具體問題中，是用兩個樣本成組比較還是一個樣本成對比較，要看數(shù)據(jù)來源是否符合成對比較的條件，否則結(jié)論就不正確。成組比較是通過兩個獨立樣本判斷兩個正態(tài)總體的均值有沒有顯著性差異，這時每一個樣本都是沒有次序的，樣本容量也可以不同；成對比較是通過兩個非獨立樣本一對一比較來判斷兩個正態(tài)總體的均值有沒有

43、顯著性差異，這時兩個樣本是一一對應(yīng)的，次序不可改變。參考文獻繆柏其.管理統(tǒng)計學(xué)M.中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社.2002.9.4.12 葡萄酒質(zhì)量的評價* 2013年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題的第一問。確定葡萄酒質(zhì)量時一般是通過聘請一批有資質(zhì)的評酒員進行品評。每個評酒員在對葡萄酒進行品嘗后對其分類指標打分，然后求和得到其總分，從而確定葡萄酒的質(zhì)量。每一位評酒員對葡萄酒進行品嘗后對其分類指標打分，各指標分數(shù)分配如下：1.外觀分析15分，分為澄清度5分，色調(diào)10分；2.香氣分析30分，分為純正度6分，濃度8分，質(zhì)量16分；3.口感分析44分，分為純正度6分，濃度8分，持久性8分和質(zhì)量22分；4.平衡/整

44、體評價11分?，F(xiàn)有28個葡萄酒樣品，編號128；兩組評酒員，每一組10位，編號分別為110。現(xiàn)將每一位評酒員對每一種葡萄酒的各項打分加總，列表如表4.12.1和表4.12.2，分析兩組評酒員的評價結(jié)果有無顯著性差異，哪一組結(jié)果更可信？表4.12.1 第一組評酒員對28個葡萄酒樣品打分的總分 第一組評酒員葡萄酒編號12345678910平均分標準差185808861769383809579829.6032 27847865479918568738174.214.1798 385678975787513679907985.319.1082 47577806577838878858679.46.68

45、66 5844777607962747479747111.2448 66145836578568067658468.412.7558 78481836674808068778277.56.2583 87546815481597377858371.413.5499 97969816070557381768572.99.6315 107542866087758373917174.314.5835 117946856074718662887272.313.3087 126442755267627756687063.310.7605 138242834966657662656965.913.0678

46、14784884677964786881737210.6875 157448877181617967748272.411.4717 16694986657091876284777413.3417 178154907078718774929178.812.0074 188644837172718564748173.112.5118 197566836873648063737772.26.8118 208068827183818462878077.88.0250 218449855976868370888476.413.1420 22654890587277767080747111.7757 23

47、7166806980827871877575.96.6072 248256797367596878868573.310.5415 258680826974677778778177.15.8205 267566827593918176908481.38.5382 275840796759556674737764.812.0167 286675896988878576889081.38.9697 表4.12.2 第二組評酒員對28個葡萄酒樣品打分的總分 第二組評酒員葡萄酒編號12345678910平均分標準差18478827579848169757277.95.087027976778577798

48、059767075.87.004838574718779798045837375.611.936948478748369828466777276.96.488558379798077878273849181.55.126268375746975778067777875.54.766877879746969828061727874.26.494487478746773777966736272.35.578797778898884898554798180.410.3086108677778281878461739079.88.3905117983786360738161607671.49.3714

49、127381737967798044648472.411.8340136878798178727562658173.96.8386147577767678827968788277.13.9847158377888084838063767078.47.3515166863756067866771526467.39.0683177769798379878875788880.36.2013187583827974847871746776.75.4985197675787081808366787776.45.1034208674757885817861737576.67.074221818079858

50、3768058858579.28.0250228076828875898066728679.47.321223144156157156145153147144162149151.36.3605246780777779788365728376.16.2084257976798683888352858479.510.3199268072758371838353628174.310.14402772798479768377637978775.9628287582818178847971768979.65.0376由于是評價兩組評酒員對同樣28種葡萄酒品的評價有無顯著性差異，應(yīng)該應(yīng)用二樣本成對數(shù)據(jù)的檢驗。設(shè)第一組評酒員評價結(jié)果服從正態(tài)分布，第二組評酒員評價結(jié)果服從正態(tài)分布，兩組評酒員評價結(jié)果之差。由樣本數(shù)據(jù)算得：，選擇統(tǒng)計量，當成立時，接受域：將樣本數(shù)據(jù)代入計算統(tǒng)計量的值得到：，拒絕。即兩組評酒員評價結(jié)果有顯著性差異。從兩組評酒員的平均分來看，第一