向量的概念與運算

1、向量的概念與運算本周教學(xué)內(nèi)容： 1. 向量的概念； 2. 向量的運算(加法、減法、數(shù)乘).學(xué)習(xí)要求： 1. 理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念； 2. 掌握向量的加法與減法； 3. 掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件； 4. 了解平面向量的基本定理.教學(xué)重難點： 1. 向量的概念，相等向量的概念，向量的幾何表示； 2. 對向量的加法和減法的定義的理解； 3. 實數(shù)與向量的積的定義、運算律，向量共線的充要條件.知識要點： 一、向量的概念 1. 向量的基本概念： 向量：既有大小、又有方向的量. 向量的二要素：大小、方向.有些向量與起點有關(guān)，如位移、力等，有些向量與起

2、點無關(guān)，如速度等. 與起點無關(guān)的向量叫做自由向量，數(shù)學(xué)中所談及向量如無特別說明，均指自由向量. 2. 向量的表示：(1)幾何表示法：用有向線段的長度表示向量的大小，箭頭的方向表示向量的方向；(2)字母表示法：用有向線段的起點和終點，起點在前，終點在后，或者用英文小寫字母，并在字母上加箭頭表示，如等. 注意：手寫體均需要加箭頭. 打印字體中向量一般用黑體來表示. 3. 向量的相關(guān)概念：模：向量的大小稱為模. 的模分別記為零向量：模為零的向量叫做零向量，規(guī)定：零向量的方向是任意的. 單位向量：模為一個單位長度的向量叫做單位向量. 相等向量：大小相等且方向相同的向量叫做相等向量，若相等，則記為，規(guī)定

3、：零向量和零向量相等，即相反向量：大小相等且方向相反的向量叫做相反向量，的相反向量記為.規(guī)定：零向量的相反向量是零向量，即平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，若平行，則記為 由于數(shù)學(xué)中所研究向量與起點無關(guān)，于是可以將平行向量平移到同一條直線上，于是平行向量又叫做共線向量. 規(guī)定：零向量和任意向量平行. 注：(1)向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大??；(2)平行向量的定義中“非零”限制；(3)相等向量、相反向量、平行向量(共線向量)的定義都有“規(guī)定”；(4)向量中的平行與平面幾何中的平行含義不完全相同，尤其要注意到不同：時，A、B、C、D四點是可以共線的，但ABCD成

4、立時，A、B、C、D四點是不可以共線的。二、向量的加法與減法加法定義：(三角形法則)注：需要明確一個向量的起點是另一個向量的終點。減法定義：說明：1. 加法、減法的結(jié)果依然是一個向量；2. (1)若(2)若(3)若同向，且3. 運算律加法交換律：(由此可得出平行四邊形法則)結(jié)合律：注：(1)平行四邊形法則作圖求和時，兩個向量的起點應(yīng)該相同；(2)常用結(jié)論特征是首尾相連.減法：-三、實數(shù)與向量的乘積(數(shù)乘)1. 定義：從模、方向兩個方面理解。(1)模：(2)方向：當(dāng)需要明確的記?。簩崝?shù)與向量的乘法結(jié)果是一個向量。2. 運算律3. 向量共線的充要條件注：(1)非零條件不可去掉；因為如果，則存在無數(shù)

5、個實數(shù)滿足條件；若，則不存在實數(shù)滿足條件；(2)書中的解釋沒有明確說明實數(shù)的惟一性。4. 平面向量基本定理設(shè)是平面內(nèi)不共線的兩個向量，那么對于該平面內(nèi)的任意一個向量有且只有一對實數(shù)使得不共線的向量叫做表示這一平面向量的一組基底。說明：(1)(2)表示一個平面的基底有無數(shù)組(3)在給定的基底的前提下，平面的向量與實數(shù)對是一一對應(yīng)的。例題：例1.判斷真假單位向量都相等；向量的模都是正實數(shù)；共線向量一定在同一條直線上；若；若；若ABCD是平行四邊形，則.解析：錯，向量相等應(yīng)該是大小和方向都相等；單位向量只是規(guī)定了大小為1，方向可以不同；錯，向量的模是指向量的大小，零向量的模為0，不是正實數(shù)；錯，共線

6、向量是指可以平移到同一條直線上的向量，如平行四邊形ABCD中，不在同一條直線上；錯，如圖，成立，但ABCD不成立；對；錯，的方向不相同.例2. 如圖是4×3的矩形(每個方格都是單位正方形)，在起點與終點都在小方格的頂點處的向量中，試問：與相等的向量有幾個(不含)？與的向量有幾個？與有幾個？解析：與相等的向量有5個，與的向量有24個，與同向且模為例3. 化簡解：法一：法二：注意：向量的加、減、數(shù)乘運算的最后結(jié)果都是向量，因此不可寫作0.例4. 如圖，已知ABC三邊中點為D、E、F，求證：證明：因為D、E、F為中點，所以發(fā)展：G為ABC重心例5. 如圖，在AOB中，BE：EA=1：2，F(xiàn)

7、是OA中點，線段OE與BF交于點G，試用基底表示：(1)(2)；(3).解：(1)(2)(3)法一：設(shè)又所以所以法二：過E作EMBF交OA于M，下略.練習(xí)：1. 設(shè)是三個向量，若，則( )A. B. 當(dāng) C. 當(dāng) D. 當(dāng)2. 已知 ( )A. 一定共線 B. 一定不共線C. 僅當(dāng)共線時共線 D. 僅當(dāng)時共線3. 已知向量不共線，共線，則k等于( )A. ±1 B. 1 C. -1 D. 04. 設(shè)向量有相同的起點O，且，則當(dāng)m，n滿足什么條件時才能使的終點A，B，C在一條直線上( )A. m+n=-1 B. m+n=0 C. m-n=1 D. m+n=15. 平行四邊形ABCD的中

8、心為點O，P為該平面上一點，則6. 化簡(1)；(2).7. 如圖，已知.8. 若向量不共線，實數(shù)x，y滿足練習(xí)答案與提示：1. C 提示：注意任意向量和零向量平行.2. C 提示：.3. A 提示：顯然k0，所以4. D 提示：A，B，C共線則所以，則m=1-k，n=k.5. 6. (1)(2).7. .8. 1 提示：2x-y=5，4=x-2y，得x=2，y=-1. 向量的概念與運算本周教學(xué)內(nèi)容： 1. 向量的概念； 2. 向量的運算(加法、減法、數(shù)乘).學(xué)習(xí)要求： 1. 理解向量的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念； 2. 掌握向量的加法與減法； 3. 掌握實數(shù)與向量的積，理解

9、兩個向量共線的充要條件； 4. 了解平面向量的基本定理.教學(xué)重難點： 1. 向量的概念，相等向量的概念，向量的幾何表示； 2. 對向量的加法和減法的定義的理解； 3. 實數(shù)與向量的積的定義、運算律，向量共線的充要條件.知識要點： 一、向量的概念 1. 向量的基本概念： 向量：既有大小、又有方向的量. 向量的二要素：大小、方向.有些向量與起點有關(guān)，如位移、力等，有些向量與起點無關(guān)，如速度等. 與起點無關(guān)的向量叫做自由向量，數(shù)學(xué)中所談及向量如無特別說明，均指自由向量. 2. 向量的表示：(1)幾何表示法：用有向線段的長度表示向量的大小，箭頭的方向表示向量的方向；(2)字母表示法：用有向線段的起點和

10、終點，起點在前，終點在后，或者用英文小寫字母，并在字母上加箭頭表示，如等. 注意：手寫體均需要加箭頭. 打印字體中向量一般用黑體來表示. 3. 向量的相關(guān)概念：模：向量的大小稱為模. 的模分別記為零向量：模為零的向量叫做零向量，規(guī)定：零向量的方向是任意的. 單位向量：模為一個單位長度的向量叫做單位向量. 相等向量：大小相等且方向相同的向量叫做相等向量，若相等，則記為，規(guī)定：零向量和零向量相等，即相反向量：大小相等且方向相反的向量叫做相反向量，的相反向量記為.規(guī)定：零向量的相反向量是零向量，即平行向量(共線向量)：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，若平行，則記為 由于數(shù)學(xué)中所研究向量與起點無

11、關(guān)，于是可以將平行向量平移到同一條直線上，于是平行向量又叫做共線向量. 規(guī)定：零向量和任意向量平行. 注：(1)向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小；(2)平行向量的定義中“非零”限制；(3)相等向量、相反向量、平行向量(共線向量)的定義都有“規(guī)定”；(4)向量中的平行與平面幾何中的平行含義不完全相同，尤其要注意到不同：時，A、B、C、D四點是可以共線的，但ABCD成立時，A、B、C、D四點是不可以共線的。二、向量的加法與減法加法定義：(三角形法則)注：需要明確一個向量的起點是另一個向量的終點。減法定義：說明：1. 加法、減法的結(jié)果依然是一個向量；2. (1)若(2)若(3)若同向，且3.

12、 運算律加法交換律：(由此可得出平行四邊形法則)結(jié)合律：注：(1)平行四邊形法則作圖求和時，兩個向量的起點應(yīng)該相同；(2)常用結(jié)論特征是首尾相連.減法：-三、實數(shù)與向量的乘積(數(shù)乘)1. 定義：從模、方向兩個方面理解。(1)模：(2)方向：當(dāng)需要明確的記?。簩崝?shù)與向量的乘法結(jié)果是一個向量。2. 運算律3. 向量共線的充要條件注：(1)非零條件不可去掉；因為如果，則存在無數(shù)個實數(shù)滿足條件；若，則不存在實數(shù)滿足條件；(2)書中的解釋沒有明確說明實數(shù)的惟一性。4. 平面向量基本定理設(shè)是平面內(nèi)不共線的兩個向量，那么對于該平面內(nèi)的任意一個向量有且只有一對實數(shù)使得不共線的向量叫做表示這一平面向量的一組基底

13、。說明：(1)(2)表示一個平面的基底有無數(shù)組(3)在給定的基底的前提下，平面的向量與實數(shù)對是一一對應(yīng)的。例題：例1.判斷真假單位向量都相等；向量的模都是正實數(shù)；共線向量一定在同一條直線上；若；若；若ABCD是平行四邊形，則.解析：錯，向量相等應(yīng)該是大小和方向都相等；單位向量只是規(guī)定了大小為1，方向可以不同；錯，向量的模是指向量的大小，零向量的模為0，不是正實數(shù)；錯，共線向量是指可以平移到同一條直線上的向量，如平行四邊形ABCD中，不在同一條直線上；錯，如圖，成立，但ABCD不成立；對；錯，的方向不相同.例2. 如圖是4×3的矩形(每個方格都是單位正方形)，在起點與終點都在小方格的頂

14、點處的向量中，試問：與相等的向量有幾個(不含)？與的向量有幾個？與有幾個？解析：與相等的向量有5個，與的向量有24個，與同向且模為例3. 化簡解：法一：法二：注意：向量的加、減、數(shù)乘運算的最后結(jié)果都是向量，因此不可寫作0.例4. 如圖，已知ABC三邊中點為D、E、F，求證：證明：因為D、E、F為中點，所以發(fā)展：G為ABC重心例5. 如圖，在AOB中，BE：EA=1：2，F(xiàn)是OA中點，線段OE與BF交于點G，試用基底表示：(1)(2)；(3).解：(1)(2)(3)法一：設(shè)又所以所以法二：過E作EMBF交OA于M，下略.練習(xí)：1. 設(shè)是三個向量，若，則( )A. B. 當(dāng) C. 當(dāng) D. 當(dāng)2.

15、 已知 ( )A. 一定共線 B. 一定不共線C. 僅當(dāng)共線時共線 D. 僅當(dāng)時共線3. 已知向量不共線，共線，則k等于( )A. ±1 B. 1 C. -1 D. 04. 設(shè)向量有相同的起點O，且，則當(dāng)m，n滿足什么條件時才能使的終點A，B，C在一條直線上( )A. m+n=-1 B. m+n=0 C. m-n=1 D. m+n=15. 平行四邊形ABCD的中心為點O，P為該平面上一點，則6. 化簡(1)；(2).7. 如圖，已知.8. 若向量不共線，實數(shù)x，y滿足練習(xí)答案與提示：1. C 提示：注意任意向量和零向量平行.2. C 提示：.3. A 提示：顯然k0，所以4. D 提

16、示：A，B，C共線則所以，則m=1-k，n=k.5. 6. (1)(2).7. .8. 1 提示：2x-y=5，4=x-2y，得x=2，y=-1.向量的運算1.運算定義運 算圖形語言符號語言坐標(biāo)語言加法與減法+=記=(x1，y1)，=(x2，y2)則=(x1+x2，y1+y2)=(x2-x1，y2-y1)+=實數(shù)與向量的乘積記=(x，y)則兩個向量的數(shù)量積記則=x1x2+y1y2 2.運算律加法：(交換律)； (結(jié)合律)實數(shù)與向量的乘積：； ；兩個向量的數(shù)量積：·=·； ()·=·()=(·)；(+)·=·+·3.

17、運算性質(zhì)及重要結(jié)論(1)平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于這個平面內(nèi)任一向量， 有且只有一對實數(shù)，使，稱為的線性組合. 其中叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的基底； 平面內(nèi)任一向量都可以沿兩個不共線向量的方向分解為兩個向量的和，并且這種分解是唯一 的. 當(dāng)基底是兩個互相垂直的單位向量時，就建立了平面直角坐標(biāo)系，因此平面向量基本定理實 際上是平面向量坐標(biāo)表示的基礎(chǔ). 向量坐標(biāo)與點坐標(biāo)的關(guān)系：當(dāng)向量起點在原點時，定義向量坐標(biāo)為終點坐標(biāo)， 即若A(x，y)，則=(x，y)；當(dāng)向量起點不在原點時，向量坐標(biāo)為終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)，即 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則=(x2-x1，y2-y1)(2)兩個向量平行的充要條件 符號語言： 坐標(biāo)語言為：設(shè)非零向量，則(x1，y1)=(x2，y2)， 或x1y2-x2y1=0.(3)兩個向量垂直的充要條件 符號語言： 坐標(biāo)語言：設(shè)非零向量，則(4)兩個向量數(shù)量積的重要性質(zhì)： 即 (求線段的長度)； (垂直的判斷)； (求角度).四、規(guī)律方法指導(dǎo)1. 向量的線性運算(1)在正確掌握向量加法減法運算法則的基礎(chǔ)上能結(jié)合圖形進(jìn)行向量的計算，將數(shù)和形有機(jī)結(jié)合，并能 利用向量運算完成簡單的幾何證明；(2)向量的加法表示兩個向量可以合成，利用它可以解決有關(guān)平面幾何中的問題，減法的三角形法則應(yīng) 記?。哼B接兩端(