幾種由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)的方法介紹

1、幾種由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)的方法1 an+1 =an +f(n)型- an-1= f (n -1)anan-1 - an-2= f (n - 2)a3 - a2 = （f 2）a2 - a1 = （f 1）所以各式相加得an = a1 + （f 1）+（f 2）+? +f (n - 2) + f (n -1)即n-1an = a1 + å （f k）k =12 an+1 =an * f(n) 型同 1an+1 =an +f(n)型的處理情況我們得到an = a1 * （f 1）*（f 2）f (n - 2)* f (n -1)即n-1an = a1 Õ （f k）k =13 a

2、n+1 = pan + q( p, q為常數(shù))型當(dāng) p0 或 1 時(shí)的情況很簡(jiǎn)單，略。q當(dāng) p1 且p0 時(shí)，令a - x = p(a - x) ，則 x =n+1n1- p即an+1 - 1- p所以() ，由此我們構(gòu)造了一個(gè)等比數(shù)列。1- pnan = (a1 - 1- p1- p4 an+1 = p(n)an + q(n)型其實(shí)前三種情況都可以看作an+1 = p(n)an + q(n)型的一個(gè)特例用常數(shù)替代了其中的p(n) 或 q(n) 。因此只要這種情況掌握了前三種就基本上沒問題了。之所以來講，是因?yàn)榍叭N在高是比較常見的。如果對(duì)任意的 n 都有 p(n) 0，則我們可以對(duì)它進(jìn)行如下

3、處理;將an+1 = p(n)an + q(n) 兩邊同時(shí)除以 p(1)* p(2)*p(n-1)p(n)得p(n)an + q(n)an+1=p(1) p(2)p(n -1) p(n)p(1) p(2)p(n -1) p(n)anq(n)=+p(n -1)p(1) p(2)p(n -1) p(n)p(1) p(2)構(gòu)造新數(shù)列anq(n)b =，并且令 f (n) =np(1) * p(2)*p(n-1)p(1) * p(2)*p(n-1)p(n）則有bn+1 = bn + f (n)到此我們就發(fā)現(xiàn)數(shù)列bn 剛好是第一種類型的，因此可以求出bn 然后就可以得到anbn ×p(1) *

4、 p(2) *p(n-1)幾種由遞推式求數(shù)列通項(xiàng)的方法5 an+1 + pan + qan-1 = 0與an+1 + pan + qan-1（r r ¹ 0)這兩者在結(jié)構(gòu)上是相同的，只要我們解決了前一個(gè)，后一個(gè)也就沒問題了。對(duì)于第一個(gè)大家可能都已經(jīng)知道就是用特征方程的方法去解。這里就不詳細(xì)了。（1）即an+1 + pan + qan-1 = 0 的特征方程是 x + px + q = 0 ，設(shè)其兩根為a，b21）當(dāng)ab 時(shí)， a = a a+ (n -1)(a - a a)an-1n-2n121= a2 - a1b a n-1 - a2 - a1a b n-12) 當(dāng)a ¹

5、 b 時(shí)， ana - ba - b可以對(duì)其做一下簡(jiǎn)化，1）當(dāng)ab 時(shí)，令a = ( A + Bn)a n-1 ，然后利用數(shù)列的前兩項(xiàng)就可以求出待定n的系數(shù) A，B.2) 當(dāng)a ¹ b 時(shí),令 a = Aa n-1 + Bb n-1 ，同理可求 A,B。n（2）對(duì)于an+1 + pan + qan-1r 做這樣的處理，令(an+1 - x) + p(an - x) + q(an-1 - x) = 0則 x(1+ p + q) = rr1）當(dāng)1+ p + q ¹ 0 時(shí)， x，構(gòu)造新數(shù)列b = a - x1+ p + qnn則有bn+1 + pbn + q = 0 ，利用an

6、+1 + pan + qan-1 = 0 型將bn 求出即可以得到 an = bn + x 。2）當(dāng)1+ p + q0 ，由于 r0，所以 x 的值不。但此時(shí)有 p（1+q）代入原等式得 an+1 - (1+ q)an + qan-1 = r Þ (an+1 - an ) - q(an - an-1 ) = r令(an+1 - an - y) - q(an - an-1 - y) = 0 ，則 y（1q）rr當(dāng) 1q0 則 y =1- q若令數(shù)列bn = an - an-1 - y ，則bn+1 = qbn ，為等比數(shù)列可以求出bn我們假設(shè)求出得bn f(n)，則 an = an-1

7、 + y + bn = an-1 + y + f (n)即 an = an-1 + g(n) ，其中 g（n）y+f（n）,l 利用第一種類型可以解決當(dāng) 1q0，即 q1 時(shí)，y 此時(shí)無(wú)解，但此時(shí)有 p（1+q）2， 原式子即為 an+1 - 2an + an-1 = r Þ (an+1 - an ) - (an - an-1 ) = r所以數(shù)列 an - an-1 為等差數(shù)列,求出 an - an-1 ,仍然可以利用第一種類型來求出anpan + q6. a =n+1ra + sn這種類型可以應(yīng)用不動(dòng)點(diǎn)法,即令x= px+q ,其兩根設(shè)為a , b .則有rx+sq - sa =

8、-a（p - ra）, q - sb = -b（p - rb）(1)當(dāng)a b 時(shí)aaa）a - aapa + q（p - r）a +（q - s）（p - r（p - r）a - a =- a =nnn=n+1ra + sra + srannn（p - ra）（an - a）1=ran + span + q - b =（p - rb）an +（q - sb）=（p - rb）an - b（p - rb）a - b =n+1ra + sra + srann（p - rb）（an - b）2=ran + sa - a1,2 想比得 n+1（p - ra）（a - a= an - a）=n,構(gòu)造數(shù)列

9、b為等比數(shù)列,得解a - b（p - rb）（a - ba - bn）n+1nnp -r(2)當(dāng)a = b 時(shí),有定理知, 2a =s = p - ra- a =（p - ra）（an - a）Þran + s11=*由(1)知aa - a （p - ra）（a - a）n+1ra + snn+1nra + sp - ra11r1=（r +）=（r +）=（p - ra） （an - a） （p - ra） （an - a） （p - ra） an - a11r1=+,構(gòu)造c =即為等差數(shù)列,得解.- aa - a （p - ra）na - aan+1nn7 a= f (n)ak與a= Aak al (A為常數(shù)）n+1 nn+1nn+2這兩類根據(jù)題目可以化為對(duì)數(shù)類型,然后應(yīng)用上面的方法就可以解決.第一個(gè)可以化為lna = ln ak + ln f (n) Þ lna= k lna + ln f (n) ,利用第三種數(shù)列解nn+1n+1n第二個(gè)可以化為ln an+2 = k ln an+1 + l ln an + ln A ,利用第四種數(shù)列解.= pan + qbnìan+18. 一次聯(lián)立遞推式í