淺析洛必達(dá)法則求函數(shù)極限

1、用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法 一、 洛必達(dá)法則求函數(shù)極限的條件及適用范圍（一）洛必達(dá)法則定理定理11 若函數(shù)與函數(shù)滿足下列條件：（1）在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且（2） （3） 則（包括A為無(wú)窮大的情形）定理2 若函數(shù)和滿足下列條件（1）在的某去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且（2） （3） 則（包括A為無(wú)窮大的情形）此外法則所述極限過(guò)程對(duì)下述六類極限過(guò)程均適用：。定理證明：作輔助函數(shù) 于是函數(shù)F(x)及G(x)在）連續(xù)，在可導(dǎo)，并且今對(duì)內(nèi)任意一點(diǎn)，利用柯西中值定理得 由的定義，上式即所以當(dāng)時(shí)（這時(shí)顯然有），對(duì)上式兩端取極限，即證畢。關(guān)于定理二的證明方法也同定理1類似，這里就不點(diǎn)出。當(dāng)然，還有其他不同的證明方法

2、。（二）洛必達(dá)法則使用條件只有在分子、分母同時(shí)趨于零或者同時(shí)趨于無(wú)窮大時(shí)，才能使用洛必達(dá)法則。連續(xù)多次使用法則時(shí)，每次都要檢查是否滿足定理?xiàng)l件，只有未定式方可使用，若是檢查結(jié)果滿足法則使用條件，才可連續(xù)使用洛必達(dá)法則，直到求出函數(shù)極限或者為無(wú)窮大，否則就會(huì)得出錯(cuò)誤的結(jié)果，下面舉個(gè)例子來(lái)說(shuō)明。例1：求分析：根據(jù)洛必達(dá)法則使用條件，此式為型，所以可以使用洛必達(dá)法則，但是，結(jié)果所得非不定式，所以只能使用一次洛必達(dá)法則，而不能再進(jìn)行第二次。解： 事實(shí)上，這里為了說(shuō)明問(wèn)題，才使用上面的解法，這里也可以看出，尋找最為簡(jiǎn)便的解題方法才是正確解題的關(guān)鍵。二、洛必達(dá)法則的應(yīng)用（一） 基本類型：不定式直接應(yīng)用法則

3、求極限例2：求解： 這是待定型。運(yùn)用洛必達(dá)法則，我們有 因?yàn)?從而 例4：求解：上述極限是待定型，于是（二） 未定式的其它類型：、型極限的求解 此外，除了這兩種待定型外，還可以通過(guò)轉(zhuǎn)化，來(lái)解其他待定型。譬如等待定型，由于他們都可以轉(zhuǎn)化為，因此，也可以用洛必達(dá)法則來(lái)求出他們的值2。關(guān)于如何轉(zhuǎn)換，例如則是形式，這時(shí)，可以寫為，這就轉(zhuǎn)化為了。此外對(duì)于等不定式，可以取對(duì)數(shù)化為的形式，再運(yùn)用如上方法便可轉(zhuǎn)化為了，下面對(duì)這些待定型一一舉例解答以作說(shuō)明3。例5：解：這是型，設(shè)法化為形式： = = = =例6：求解：這是 =exp =exp =例7：求解:這是待定型，經(jīng)變形得，而故 例8：求解：這是待定型，可

4、變形為，成了待定型，于是 例9：求解：這是待定型，由對(duì)數(shù)恒等式知，運(yùn)用例8可得 三、洛必達(dá)法則對(duì)于實(shí)值函數(shù)的失效問(wèn)題洛必達(dá)法則可謂是在求不定式極限中作用最為顯赫的一種方法，當(dāng)然，它也有失效的時(shí)候?！笆А钡脑騽t是因?yàn)轭}目本身不滿足可以使用洛必達(dá)法則的幾個(gè)條件。所以，在要使用洛必達(dá)法則時(shí)，則要檢驗(yàn)該題目是否符合洛必達(dá)法則條件，洛必達(dá)法則失效的基本原因有以下幾種。（一）使用洛必達(dá)法則后，極限不存在（非），也就是不符合以上定理1、2的條件（3）4 例10：計(jì)算 解：原式=（二）使用洛必達(dá)法則后，函數(shù)出現(xiàn)循環(huán)，而無(wú)法求出極限，也就是不符合定理1、定理2的條件（3） 例11：計(jì)算 解：原式=1（三）使

5、用洛必達(dá)法則后，函數(shù)越來(lái)越復(fù)雜，無(wú)法簡(jiǎn)單判斷出函數(shù)是否存在極限，也就是不符合定理1、定理2的條件（3） 例12：計(jì)算 解：令，則原式=（四）求導(dǎo)后有零點(diǎn)，也就是不滿足條件例如，的極限是不存在的，事實(shí)上，取，此時(shí)分母的導(dǎo)數(shù)是有零點(diǎn)的。四、洛必達(dá)法則與其它求極限方法比較使用洛必達(dá)法則時(shí)不要忽視別的求極限方法，并不是所有不定型用洛必達(dá)法則最為方便，在關(guān)注使用洛必達(dá)法則的同時(shí)，我們還要注意到其他求極限的方法，依題目而選定最合適的方法。對(duì)于解函數(shù)極限的題，若是不定式符合洛必達(dá)法則條件，確實(shí)可使用洛必達(dá)法則，但也不是說(shuō)單一只能使用洛必達(dá)法則，也可以試著洛必達(dá)法則同其他方法一起，可能可以使解題更為簡(jiǎn)便。（一

6、）洛必達(dá)法則與無(wú)窮小代替法應(yīng)用等價(jià)無(wú)窮小量代替法化簡(jiǎn)，牢記下列等價(jià)無(wú)窮小量：當(dāng)時(shí)，用此方法應(yīng)要注意，加減的無(wú)窮小量不能用等價(jià)無(wú)窮小量代替，需是無(wú)窮小量比的形式，或是極限中的乘積因子為無(wú)窮小量，且替換后極限存在，才能用等價(jià)無(wú)窮小量替換5，下面舉個(gè)例子作為比較。例13 求解1：（運(yùn)用無(wú)窮小量代替法） 解2：（利用洛必達(dá)法則） = = = = = 分析：此題若直接用洛必達(dá)法則，則會(huì)較麻煩，相反，若之前先用無(wú)窮小量替代，就可簡(jiǎn)化解題過(guò)程。解：=（二）洛必達(dá)法則與運(yùn)用極限的運(yùn)算和已知的極限求極限比較6利用極限的定義和適當(dāng)放大法也是可以求出一些較為“簡(jiǎn)單”形式變量的極限。一旦我們知道了一些極限后，用加減乘

7、除的方法就可以計(jì)算出一些較為復(fù)雜的極限，這也是極限運(yùn)算中比較常見、便捷的方法。如下幾個(gè)例子，就可以運(yùn)用加減乘除簡(jiǎn)便的求出函數(shù)的極限。例14：求解1: =這里運(yùn)用到了解2：此題若是使用洛必達(dá)法則，則需要使用洛必達(dá)法則四次，顯的尤為繁瑣，這里可以給出洛必達(dá)法則求此極限的解題過(guò)程，以做說(shuō)明。 = （第一次運(yùn)用洛必達(dá)法則） = = （第二次運(yùn)用洛必達(dá)法則） = = （第三次運(yùn)用洛必達(dá)法則） = （第四次運(yùn)用洛必達(dá)法則）所以原式=。單已例14為例，縱觀用極限運(yùn)算和已知極限來(lái)求函數(shù)極限同使用洛必達(dá)法則求極限，顯而易見前者要顯的簡(jiǎn)單的多，在實(shí)際極限運(yùn)算中，要靈活應(yīng)用，找出最適合該題的解法。（三）洛必達(dá)法則與

8、利用夾逼定理求函數(shù)極限比較夾逼定理也是求函數(shù)極限的一種有效方法。定理內(nèi)容：如果對(duì)于點(diǎn)的某一零域內(nèi)的一切，但本身可以除以（或?qū)τ诮^對(duì)值大于某一正數(shù)的一切）有不等式成立，且，則。使用兩邊夾法則求函數(shù)極限，關(guān)于在于把適當(dāng)放大或者縮小。下面舉個(gè)例子分別用洛必達(dá)法則和夾逼定理來(lái)求函數(shù)極限，以作比較。例15：求解1：（運(yùn)用兩邊夾定理）對(duì)于任意，當(dāng)時(shí)，有且根據(jù)兩邊夾定理，則解2：（利用洛必達(dá)法則）分析：首先可以看出原式是屬于形式，所以要利用轉(zhuǎn)換，把原式化為洛必達(dá)法則標(biāo)準(zhǔn)形式，但是這里，需要運(yùn)用到兩次轉(zhuǎn)換，過(guò)程顯得有些繁瑣。 （第一次轉(zhuǎn)換） 先求 （第二次轉(zhuǎn)換） = = 綜上：原式=縱觀這兩種解法比較，若說(shuō)篇

9、幅，單是解題過(guò)程，兩邊夾定理要比洛必達(dá)法則簡(jiǎn)便，但是若說(shuō)難易程度，則洛必達(dá)法則要比兩邊夾定理的應(yīng)用來(lái)的簡(jiǎn)單易懂些。五、洛必達(dá)法則求極限注意事項(xiàng)小結(jié)誠(chéng)然，洛必達(dá)法則的內(nèi)容簡(jiǎn)單，使用方便，但在使用過(guò)程中，一但疏忽以下幾點(diǎn)，很可能造成運(yùn)算出錯(cuò)。（一）洛必達(dá)法則條件不可逆洛必達(dá)法則的條件是充分的，但不是必要的。因此，在型或型中，存在，并不能斷言不存在，只是這是不能使用法則，而必須尋找其他合適的解題方法，以下例子可以明顯看出。例16：求分析：根據(jù)洛必達(dá)法則使用條件，此題屬于型，此時(shí)若使用洛必達(dá)法則則，顯而易見極限不存在，但是是否原式的極限也不存在？答案是否定的，下面我們用其他方法來(lái)解此題。解： 結(jié)果為1

10、，所以原式的極限是存在的。所以，法則失效時(shí)要尋求別的方法來(lái)求極限。（二）使用洛必達(dá)法則時(shí)，應(yīng)及時(shí)化簡(jiǎn)使用洛必達(dá)法則時(shí)，應(yīng)及時(shí)化簡(jiǎn)，主要是指代數(shù)、三角函數(shù)的變形，經(jīng)常使用的就有無(wú)窮小量代替法、分離極限不為零的因子、變量代換等下面通過(guò)例子說(shuō)明7。例17：分析：此題若是直接使用洛必達(dá)法則，察其復(fù)雜程度，求導(dǎo)定會(huì)帶來(lái)復(fù)雜運(yùn)算，直接使用無(wú)窮小量代換又不知分子如何代換，故可以考慮拆開來(lái)看，具體解題過(guò)程如下。解： = = = =上題運(yùn)用了無(wú)窮小量代替法、分離極限不為零的因子、洛必達(dá)法則等幾種方法，由這題可知，洛必達(dá)法則不可貿(mào)然使用，必要時(shí)應(yīng)同其他方法結(jié)合使用，以化簡(jiǎn)解題過(guò)程。（三）不定型轉(zhuǎn)換從上面洛必達(dá)法則

11、介紹中可知，使用洛必達(dá)法則的只有，對(duì)于其他不定型只有對(duì)其進(jìn)行轉(zhuǎn)換，變?yōu)椴欢ㄐ?，才能使用洛必達(dá)法則求解。然，轉(zhuǎn)換過(guò)程也有一定講究。對(duì)型進(jìn)行轉(zhuǎn)化時(shí)，誰(shuí)放分子，誰(shuí)放分母是有講究的，如下例子說(shuō)明。例18：求分析：明顯此題是屬于不定型，若如下轉(zhuǎn)換：極限反倒變復(fù)雜了，所以替換應(yīng)看清如何簡(jiǎn)便計(jì)算，以進(jìn)行合適的替換。解：. 以上幾點(diǎn)注意只能說(shuō)明洛必達(dá)法則中常出現(xiàn)的幾點(diǎn)，但是也不可能涵蓋到出現(xiàn)的所有情況完全，在解題過(guò)程中，只有根據(jù)題目，靈活運(yùn)用各種所學(xué)的知識(shí)，才能方便解題，提高解題效率。參考文獻(xiàn)1歐陽(yáng)光中.朱學(xué)炎.金福臨.陳傳璋.數(shù)學(xué)分析. M .北京.高等教育出版社.19972沈燮昌.邵品琮.數(shù)學(xué)分析縱橫談. M .北京：北京大學(xué)出版社，19913吳炯圻.陳躍輝.唐振松.高等數(shù)學(xué)及其思想方法與實(shí)驗(yàn). M .廈門：廈門大學(xué)出版社.4汪林.戴正德.楊富春.鄭喜印.數(shù)學(xué)分析問(wèn)題研究與評(píng)注.M.北京：科學(xué)出版社.19955同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)第六版M . 北京.高等教育出版社.