定積分計(jì)算方法總結(jié)

1、摘 要定積分是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)基本問(wèn)題，而計(jì)算定積分是最基本最重要的問(wèn)題.它在許多實(shí)際問(wèn)題有著廣泛的應(yīng)用.下面針對(duì)定積分的計(jì)算方法做一個(gè)比較詳細(xì)的總結(jié)，常見(jiàn)的包括分項(xiàng)積分、分段積分法、換元積分法、分部積分法.但對(duì)于不能直接找出原函數(shù)的定積分，或者被積函數(shù)比較復(fù)雜時(shí)，往往是比較難求出原函數(shù)的，從而無(wú)法用牛頓-萊布尼茲公式求解.針對(duì)這樣的情形，本文總結(jié)用歐拉積分求解定積分、留數(shù)在定積分上的運(yùn)用、巧用二重積分求解定積分、反函數(shù)求解定積分以及帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式在定積分上的應(yīng)用，并列舉相應(yīng)的例子進(jìn)行說(shuō)明.關(guān)鍵詞: 定積分; 被積函數(shù); 原函數(shù); 牛頓-萊布尼茲公式目 錄1 引言2 定計(jì)算的計(jì)算方法2

2、.1分項(xiàng)積分法(1)2.2 分段積分法(2)2.3 換元積分法(3)2.4 分部積分法 （5）2.5 歐拉積分在定積分計(jì)算中的應(yīng)用（9）2.6 留數(shù)在定積分計(jì)算上的應(yīng)用（10）2.7 巧用二重積分求解定積分（10）2.8 反函數(shù)法求解定積分（10）2.9 帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式在定積分上的應(yīng)用（11）3 總結(jié)(12）淺談定積分的計(jì)算1.引言定積分的計(jì)算是微積分學(xué)的重要內(nèi)容，其應(yīng)用十分廣泛，它是包括數(shù)學(xué)及其其他學(xué)科的基礎(chǔ).本文歸納總結(jié)了常見(jiàn)的定積分計(jì)算方法(如1-4)，其中包括分項(xiàng)積分法、分段積分法、換元積分法以及分部積分法.另外對(duì)于找不出原函數(shù)的定積分，或者被積函數(shù)十分復(fù)雜時(shí)，往往是很難求出其

3、原函數(shù)，從而無(wú)法用牛頓-萊布尼茲公式求解.針對(duì)這樣的情形，我們有必要在此基礎(chǔ)上研究出新的計(jì)算方法.對(duì)此本文總結(jié)了一些另外的方法(如5-9)，其中包括歐拉積分求解定積分、運(yùn)用留數(shù)計(jì)算定積分、巧用二重積分求解定積分、反函數(shù)法求解定積分以及帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式在定積分上的應(yīng)用,進(jìn)行了一一列舉，并通過(guò)例子加以說(shuō)明.2.定積分的計(jì)算方法2.1 分項(xiàng)積分法我們常把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)之和：，若右端的積分會(huì)求，則應(yīng)用法則,其中，是不全為零的任意常數(shù)，就可求出積分，這就是分項(xiàng)積分法.例2-11計(jì)算定積分. 解 利用加減一項(xiàng)進(jìn)行拆項(xiàng)得=+=+.=.例2-2 計(jì)算定積分.解 記J=+再將第二項(xiàng)拆開(kāi)

4、得J=+=+=+.2.2 分段積分法 分段函數(shù)的定積分要分段進(jìn)行計(jì)算，這里重要的是搞清楚積分限與分段函數(shù)的分界點(diǎn)之間的位置關(guān)系，以便對(duì)定積分進(jìn)行正確的分段.被積函數(shù)中含有絕對(duì)值時(shí)，也可以看成分段函數(shù)，這是因?yàn)檎龜?shù)與負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是以不同的方式定義的，0就是其分界點(diǎn).例2-32 計(jì)算定積分.解 由于為偶函數(shù)，在上的分界點(diǎn)為，所以=+=.例2-4 計(jì)算定積分，其中.解 由于函數(shù)的分界點(diǎn)為，所以，令后，有=+=+=+=.2.3 換元積分法（變量替換法）換元積分法可以分為兩種類型： 第一類換元積分法（也被俗稱為“湊微分法”）例2-53 計(jì)算定積分.解= =.例2-6 計(jì)算定積分.解= =.2.3.2 第

5、二換元積分法常用的變量替換有：三角替換；冪函數(shù)替換；指數(shù)函數(shù)替換倒替換下面具體介紹這些方法 三角替換例2-74 計(jì)算定積分.解 由于=，故可令，于是=.冪函數(shù)替換例2-8 計(jì)算定積分. 解 作變量代換，得到=，因此=.倒替換例2-9 計(jì)算定積分. 解=令得=.2.4 分部積分法定理 3-15若，在上連續(xù)，則或.利用分部積分求的解題方法（1）首先要將它寫成得形式選擇，使用分布積分法的常見(jiàn)題型：表一被積函數(shù)的形式所用方法，其中為次多項(xiàng)式，為常數(shù)進(jìn)行次分部積分，每次均取，為，多項(xiàng)式部分為,，即多項(xiàng)式與對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘機(jī)取為，等為分部積分一次后被積函數(shù)的形式發(fā)生變化，取=（或），為（或），進(jìn)行

6、兩次分部積分（2）多次應(yīng)用分部積分法，每分部積分一次得以簡(jiǎn)化，直至最后求出（3）用分部積分法有時(shí)可導(dǎo)出的方程，然后解出（4）有時(shí)用分部積分法可導(dǎo)出遞推公式例2-106 計(jì)算定積分. 解 于，所以=連續(xù)使用分部積分得=.例2-117 計(jì)算定積分解 因?yàn)? 所以= = 于是=+ =從而 = =.例2-128計(jì)算定積分，其中為正整數(shù)解=作變量替換得=作變量替換得=-=當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，=當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，=.2.5 歐拉積分在定積分計(jì)算中的應(yīng)用定義 2-14形如=的含參變量積分稱為函數(shù)，或第一類積分。形如的含參變量積分稱為函數(shù)，或第二類積分。定理 2-24函數(shù)與函數(shù)之間具有如下關(guān)系：=，.定理 2-34（余元公

7、式）.命題 2-14=.例2-134計(jì)算.解 令，則有，利用三角恒等式可得，將其帶入原式得=從而=.2.6留數(shù)在定積分計(jì)算上的運(yùn)用例2-149計(jì)算積分.解 令，則，=.2.7巧用二重積分求解定積分例2-1510計(jì)算積分.解因?yàn)?，所?故.2.8反函數(shù)法求解定積分定理 2-411 若函數(shù)在上嚴(yán)格單調(diào)且連續(xù)，其反函數(shù)是，且，則定理 2-511 設(shè)在上可積，.若在上存在反函數(shù)（）,在上可積且存在原函數(shù),在上可積，則=.例2-1611 計(jì)算定積分.解 記，它的一個(gè)原函數(shù)為，的反函數(shù)為，由定理得=.2.9帶積分型余項(xiàng)的泰勒公式在定積分計(jì)算中的應(yīng)用定理 2-512若函數(shù)在點(diǎn)的領(lǐng)域內(nèi)有連續(xù)的階導(dǎo)數(shù)，則，有+，其中稱為積分型余項(xiàng)例2-1712 計(jì)算.解 設(shè)，則=.總結(jié)本文歸納總結(jié)了定積分計(jì)算方法