學(xué)生講義巧解外接球問題

1、快速解決巧解外接球問題如果一個(gè)多面體的各個(gè)頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，那么稱這個(gè)多面體是球的內(nèi)接多面體，這個(gè)球稱為多面體的外接球.有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個(gè)重點(diǎn)，也是高考考查的一個(gè)熱點(diǎn). 考查學(xué)生的空間想象能力以及化歸能力.研究多面體的外接球問題，既要運(yùn)用多面體的知識(shí)，又要運(yùn)用球的知識(shí)，并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會(huì)起到至關(guān)重要的作用.一、直接法(公式法)1、求正方體的外接球的有關(guān)問題【例1】（上海中學(xué)）若棱長(zhǎng)為3的正方體的頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為_ .【例2】（交大附中）一個(gè)正方體的各頂點(diǎn)均在同一球的球面上

2、，若該正方體的表面積為，則該球的體積為_.2、求長(zhǎng)方體的外接球的有關(guān)問題【例3】（復(fù)興高級(jí)中學(xué)）一個(gè)長(zhǎng)方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱長(zhǎng)分別為，則此球的表面積為_.【例4】（七寶中學(xué)）已知各頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積為（ ）. A. B. C. D. 3.求多面體的外接球的有關(guān)問題【例5】（上海實(shí)驗(yàn)中學(xué)）一個(gè)六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為，底面周長(zhǎng)為3，則這個(gè)球的體積為_. .二、構(gòu)造法(補(bǔ)形法)1、構(gòu)造正方體【例6】（2015年上海高考題）若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且側(cè)棱

3、長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是_.【例7】（上海中學(xué)） 若三棱錐的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，且側(cè)棱長(zhǎng)均為，則其外接球的表面積是_.【小結(jié)】 一般地，若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且其長(zhǎng)度分別為，則就可以將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，于是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線的長(zhǎng)就是該三棱錐的外接球的直徑.設(shè)其外接球的半徑為，則有.出現(xiàn)“墻角”結(jié)構(gòu)利用補(bǔ)形知識(shí)，聯(lián)系長(zhǎng)方體?！驹怼块L(zhǎng)方體中從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱長(zhǎng)分別為，則體對(duì)角線長(zhǎng)為，幾何體的外接球直徑為體對(duì)角線長(zhǎng) 即【例8】：在四面體中，共頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直，其長(zhǎng)度分別為，若該四面體的四個(gè)頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，求這個(gè)球的表面積。圖1【例 9】 （建平中學(xué)）一個(gè)四面體的所有棱長(zhǎng)

4、都為，四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積為（ ）A. B. C. D. 【例10】（華二附中）在等腰梯形中，為的中點(diǎn)，將與分布沿、向上折起，使重合于點(diǎn)，則三棱錐的外接球的體積為（ ）.A. B. C. D. 圖4【例11】 （交大附中）已知球的面上四點(diǎn)A、B、C、D，則球的體積等于 .2、構(gòu)造長(zhǎng)方體【例12】（2012年上海高考題）已知點(diǎn)A、B、C、D在同一個(gè)球面上，若，則球的體積是 .圖5本文章在給出圖形的情況下解決球心位置、半徑大小的問題。三.多面體幾何性質(zhì)法【例13】（大同中學(xué)）已知各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上的正四棱柱的高為4，體積為16，則這個(gè)球的表面積是（ ）A. B. C. D.【小

5、結(jié)】 本題是運(yùn)用“正四棱柱的體對(duì)角線的長(zhǎng)等于其外接球的直徑”這一性質(zhì)來求解的.四.尋求軸截面圓半徑法【例14】（西南位育中學(xué)） 正四棱錐的底面邊長(zhǎng)和各側(cè)棱長(zhǎng)都為，點(diǎn)都在同一球面上，則此球的體積為 .【小結(jié)】 根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個(gè)軸截面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實(shí)質(zhì)就是通過尋找外接球的一個(gè)軸截面圓，從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).五 .確定球心位置法【例15】 （上海第二中學(xué)）在矩形中，沿將矩形折成一個(gè)直二面角，則四面體的外接球的體積為（ ）A. B. C. D.【原理】：直角三角形斜邊中線等于斜邊一半。球心為直角三角形斜邊中點(diǎn)?！纠?6】（復(fù)旦附中）已知三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)都在球的球面上，且，,求球的體積。 【總結(jié)】