三年級奧數第九講最短路線

1、第九講 最短路線這一講里，我們將會解決這個特殊的計數問題：最短路線問題。怎樣計數從A到B的最短路線的條數呢？我們將介紹一種非常巧妙的方法對角線法（也叫標號法）。 例題精講【例1】 咱們先做個游戲：在方格紙上任取一點A作為起點，再在A的右上方任取一點B作為終點劃一條由A到B的最短路線。聰明的小朋友，你能劃出來嗎？總共能劃出幾條呢？分析：教師可提問如ACIHGFB是最短路線嗎？為什么不是？如果要劃從A到B的最短路線，那么從A點出發(fā)只能向上或向右（每一條都是橫劃2格豎劃2格），可以是ACDEB、ACIEB、ACIFB、AHGFB、AHIEB、AHIFB這六條路線。在上面這個游戲中，你是用什么方法找到

2、從A到B的最短路線呢？如果A、B兩點變成圖1、2、3的位置，那么從A到B的最短路線有幾條呢？分析：圖1、2、3中從A到B的最短路線均為6條。小朋友們，你是怎么做的？你發(fā)現了什么規(guī)律？如果圖形變得復雜，還要保證找出的路線既不重又不漏呢？你又該如何解決呢？我們一起來看【例2】?！纠?】下圖是動物王國的街道平面圖，縱橫各有5條路，森林之王老虎先生通知大家去運動場開會，如果遲到就要挨罰喝100杯水。愛睡懶覺的樹袋熊一覺醒來，呀！要遲到了，想想那100杯水，樹袋熊都快暈了。善良的小朋友們，快來給樹袋熊找找最近的路吧！你一共能找出幾條呢？分析：對角線法（如圖），所以共有20條路線。教師可參考【附3】。我們

3、觀察圖發(fā)現每一個小格右下角上標的數正好是這個小格右上角與左下角的數的和，這個和就是從出發(fā)點A到這點的所有最短路線的條數.這樣，我們可以通過計算來確定從AB的最短路線的條數，而且能夠保證“不重”也“不漏”。聰明的小朋友，你總結出什么規(guī)律了嗎？請?zhí)钤谙旅娴目崭駜龋好總€格左上角與右下角所標的數字和即為這格右上角應標的數字.我們稱這種方法為對角線法，也叫標號法。例1可以表示如右圖(此規(guī)律學生版沒有，請教師引導學生總結)【例3】親愛的同學們，你們覺得小明從家到學校一共有幾條最短路線呢？ 分析：我們采用對角線法（如圖），但本題圖形有變化，例如D點：從學校到C點有2種走法，再到D點最短路線的選擇只能從C點走

4、，所以從學校到D點有2 種走法。請教師根據學生的理解情況靈活把握，選擇幾個點講透徹。從而得到小明可以選擇的最短路線共有12條?！纠?】學校組織三年級的小朋友去幫助農民伯伯鋤草，大家從學校乘車出發(fā)，去往東南角的李家村（如圖）。愛動腦筋的嘟嘟就在想，從學校到李家村共有多少種不同的最短路線呢？ 分析：對角線法（如圖），從學校到李家村共有126種不同的最短路線。【例5】阿呆和阿瓜到少年宮參加2008北京奧運會志愿者培訓。他們從學校出發(fā)到少年宮最多有多少種不同的行走路線？分析：教師要注意階梯形與（【例1】【例2】【例3】）的不同。我們仍然采用對角線法（如圖）?？傻脧膶W校到少年宮共有90種走法?！纠?】（

5、第三屆希望杯五年級2試試題）右圖中的“我愛希望杯”有_種不同的讀法。（咱們三年級的小朋友都會做五年級的競賽題了，真聰明?。┓治觯罕绢}實際是最短路線問題，從我（1個）、愛（2個）、希（3個）、望（4個）、杯（5個）中組成“我愛希望杯”即相同的字只能選一個而且不能重復選，所以共有16種。【例7】“五一”長假就要到了，小新和爸爸決定去黃山玩。聰明的小朋友請你找找看從北京到黃山的最短路線共有幾條呢？分析：我們采用對角線法（如圖）這道題的圖形與前幾題的圖形又有所區(qū)別，在解題時要格外注意是D、G、K、E、H、L這樣的點共有幾條最短路線，具體是怎么走的，即由哪兩點的數之和來確定另一點的。從北京到黃山最近的道

6、路共有10條?！纠?】大熊和美子準備去看望養(yǎng)老院的李奶奶，可是市中心在修路(城市的街道如圖所示),他們從學校到養(yǎng)老院最短路線共有幾條呢？聰明的小朋友，請你們快想想吧！ 分析：（解法1）先假設直接學校到養(yǎng)老院（也就是說可以經過市中心，也可以不經過市中心）對角線法共126條。再減去必經過市中心的60 條，即得126-60=66（條）。（解法2）可以直接求，即把含有市中心的田字格挖去（或者認為市中心那一點標“0”），共有66條。教師可參考【附4】【附5】【例9】阿強和牛牛結伴騎車去圖書館看書，第一天他們從學校直接去圖書館；第二天他們先去公園看大熊貓再去圖書館；第三天公園修路不能通行。咱們學而思的小朋

7、友都很聰明，請你們幫阿強和牛牛想想這三天從學校到圖書館的最短路線分別有多少種不同的走法？分析：教師要幫助學生理解三天路線有什么不同？每天的路線有無限制條件？若有，是什么？其實就是【例7】【例8】的綜合，仍然用對角線法求解。第一天（無限制條件）共有16條；第二天（必須經過公園）共有8 條；第三天（必須不經過公園）共有8條。附加內容我們這節(jié)課重點想讓學生學習對角線法，其實最短路線問題還有【附1】【附2】等類型，教師可選講?！靖?】如圖，從 A到C有4條路可走，哪條路最短？分析：從A到C有可走AEC、ADC、ABC、AC，顯然AC這條路最近。（兩點之間線段最短）【附2】假如直線AB是一條公路，公路兩

8、側有甲、乙兩個村莊。現在要在公路上建一個汽車站，讓兩個村子的人到汽車站的路線之和最短，問汽車站建在哪？分析：找到甲村關于AB的對稱點C，連接C和乙村交AB的那一點即為汽車站。【附3】從X到Y最短路線共有多少種不同的走法？ 分析：對角線法。共126種?！靖?】如圖，從X到Y最短路線總共有幾種走法？分析：共有716種。 【附5】下圖是某城市的街道示意圖，M、N兩地正在施工不能通行。請問從A到B的最短路線共有幾條？分析：共有125種。練習九1.如圖，從A到B，最短路線有幾條？分析：共有41 條2. 如圖，從P點出發(fā)到Q點，走最短的路程，有多少種不同的走法？分析：共有115種。3.（第五屆希望杯六年級1試）小君家到學校的道路如右圖所示。從小君家到學校的最短路線有 種不同的走法。（這是六年級的競賽題，我們三年級的小朋友可真棒?。。┓治觯?0種。4.從甲到乙最近的道路有幾條。分析：從甲到乙最近的道路有11條。5.1如右圖，從A到B必須經過C點，最短路線有幾條？分析：共有6條。2如右圖，從A到B必須不經過C點，最短路線有幾條？分析：共有9條。3如右圖，從A到B最短路線有幾條？分析：共有15條。數學笑話有一次，媽媽很耐心地啟發(fā)丫丫做算術題：“丫丫，你已經學會做減法了，對嗎？來，我們來看看，4減2等于幾？”“等于2，媽