兩角和與差及二倍角公式講義

1、兩角和與差及二倍角公式一【復(fù)習(xí)要求】1.掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián).2.掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能夠利用兩角和與差的公式、二倍角公式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)和證明.二、【知識(shí)回顧】1兩角和與差的三角函數(shù) ； ； ； ； ； ；2二倍角公式：在中令，可得相應(yīng)的二倍角公式。 ； = = 。3降冪公式 ； .注意：二倍角公式具有“升冪縮角“作用，降冪公式具有“降冪擴(kuò)角”作用4輔助角公式，（其中不能同時(shí)為0）證明： 其中，且角終邊過(guò)點(diǎn) 在使用時(shí)，不必死記結(jié)論，而重在這種收縮（合二為一）思想如： ； 。5.公式的使用技巧（1）連續(xù)應(yīng)用：（2）“1”的代換：，

2、（3）收縮代換：，（其中不能同時(shí)為0）（4）公式的變形：如： 。 。（5）角的變換（拆角與配角技巧）， ， ， ， ， ，（6）二倍角公式的逆用及常見(jiàn)變形 二倍角的正用、逆用、變形應(yīng)用是公式的三種主要使用方法，特別是二倍角的余弦公式，它在求值、化簡(jiǎn)、證明中有廣泛的應(yīng)用，解題時(shí)應(yīng)根據(jù)不同的需要，靈活選取。；5三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)（1）化簡(jiǎn)方法：直接應(yīng)用公式進(jìn)行降次、消項(xiàng)；化切為弦，異名化同名，異角化同角； 三角公式的逆用等。降冪或升冪（2）化簡(jiǎn)要求：能求出值的應(yīng)求出值；使三角函數(shù)種數(shù)盡量少；使項(xiàng)數(shù)盡量少；盡量使分母不含三角函數(shù)；盡量使被開(kāi)方數(shù)不含三角函數(shù)。6三角函數(shù)的求值類(lèi)型有三類(lèi)（1）給角求值：一

3、般所給出的角都是非特殊角，要觀察所給角與特殊角間的關(guān)系，利用三角變換消去非特殊角，轉(zhuǎn)化為求特殊角的三角函數(shù)值問(wèn)題；（2）給值求值：給出某些角的三角函數(shù)式的值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題的關(guān)鍵在于“變角”，如等，把所求角用含已知角的式子表示，求解時(shí)要注意角的范圍的討論；（3）給值求角：實(shí)質(zhì)上轉(zhuǎn)化為“給值求值”問(wèn)題，關(guān)鍵也在于“變角”，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合所求角的范圍或函數(shù)的單調(diào)性求得角。7三角等式的證明（1）三角恒等式的證明根據(jù)等式兩端的特征，通過(guò)三角恒等變換，應(yīng)用化繁為簡(jiǎn)、左右同一、轉(zhuǎn)換命題等方法，使等式兩端化“異”為“同”；（2）三角條件等式的證明通過(guò)觀察，發(fā)

4、現(xiàn)已知條件和待證等式間的關(guān)系。若從結(jié)論開(kāi)始，通過(guò)變形，將已知表達(dá)式代入得出結(jié)論，采用代入法；若從條件開(kāi)始，化簡(jiǎn)條件，將其代入要證表達(dá)式中，通過(guò)約分抵消等消去某些項(xiàng)，從而得出結(jié)論，采用消參法；若這兩種方法都證不出來(lái)，可采用分析法進(jìn)行證明。三【例題精講】考點(diǎn)一、給角求值例1. 求值：例2.求值：【反思?xì)w納】對(duì)于給角求值問(wèn)題，往往所給角都是非特殊角，解決這類(lèi)問(wèn)題的基本思路有： 化為特殊角的三角函數(shù)值 化為正負(fù)相消的項(xiàng)，消去求值 化分子、分母使之出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)行約分而求值?？键c(diǎn)二、給值求值例3.已知，求的值.例4.已知，求的值考點(diǎn)三、給值求角例5.已知，且，求的值.考點(diǎn)四、三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與證明例6.已知，且（1） 化簡(jiǎn)（2） 是否存在，使與相等？若存在，求出；若不存在，說(shuō)明理由。例7.已知，求證：【練習(xí)】1. 已知，則 2. 求值： 3. 在中，已知，則的值為 4. （08年高考山東卷改編）已知，則= 5. （07年高考江蘇卷）若，則 6. （08年江蘇卷）如圖，在平面直角坐標(biāo)第中，以軸為始邊作兩個(gè)銳角，它們的終邊分別與單位圓相交于A、B兩點(diǎn)，已知A、B的橫坐標(biāo)分別為，（1）求的值；（2）求的值7. 已知為銳角，向量，