不等式及其性質教師

1、1、 不等式及其性質【學習目標】1了解不等式的意義，認識不等式和等式都刻畫了現實世界中的數量關系；2. 理解不等式的三條基本性質，并會簡單應用；3理解并掌握一元一次不等式的概念及性質；【要點梳理】要點一、不等式的概念 一般地，用“”、 “”、“”或“”表示大小關系的式子，叫做不等式用“”表示不等關系的式子也是不等式要點詮釋：(1)不等號“”或“”表示不等關系，它們具有方向性，不等號的開口所對的數較大(2)五種不等號的讀法及其意義：符號讀法意義“”讀作“不等于”它說明兩個量之間的關系是不相等的，但不能確定哪個大，哪個小“”讀作“小于”表示左邊的量比右邊的量小“”讀作“大于”表示左邊的量比右邊的量

2、大“”讀作“小于或等于”即“不大于”，表示左邊的量不大于右邊的量“”讀作“大于或等于”即“不小于”，表示左邊的量不小于右邊的量(3) 有些不等式中不含未知數，如34，-1-2；有些不等式中含有未知數，如2x5中，x表示未知數，對于含有未知數的不等式，當未知數取某些值時，不等式的左、右兩邊符合不等號所表示的大小關系，我們說不等式成立，否則，不等式不成立類型一、不等式的概念例1. 判斷下列各式哪些是等式，哪些是不等式（1）45；（2）x2+10；（3）x2x-5；（4）x=2x+3；（5）3a2+a；（6）a2+2a4a-2變式練習：1.（2017春城關區(qū)校級期末）貴陽市今年5月份的最高氣溫為27

3、，最低氣溫為18，已知某一天的氣溫為t，則下面表示氣溫之間的不等關系正確的是（）A18t27B18t27C18t27D18t272.（2017春未央區(qū)校級月考）下列式子：a+b=b+a；-2-5；x-1；y-41；2mn；2x-3，其中不等式有（）A2個B3個C4個D5個3.（2017春南山區(qū)校級月考）下面給出了6個式子：30；x+3y0；x=3；x-1；x+23；2x0；其中不等式有（）A2個B3個C4個D5個4.（2017春太原期中）學校組織同學們春游，租用45座和30座兩種型號的客車，若租用45座客車x輛，租用30座客車y輛，則不等式“45x+30y500”表示的實際意義是（）A兩種客車

4、總的載客量不少于500人B兩種客車總的載客量不超過500人C兩種客車總的載客量不足500人D兩種客車總的載客量恰好等于500人5.已知有理數m，n的位置在數軸上如圖所示，用不等號填空（1）n-m 0；（2）m+n 0；（3）m-n 0；（4）n+1 0；（5）mn 0；（6）m+1 0例2用不等式表示： (1)x與-3的和是負數； (2)x與5的和的28不大于-6;(3)m除以4的商加上3至多為5舉一反三：【變式】的值一定是（ ）A. 大于零 B.小于零 C.不大于零 D. 不小于零 例3.下列敘述：a是非負數則a0；“a2減去10不大于2”可表示為a2-102；“x的倒數超過10”可表示為1

5、0；“a，b兩數的平方和為正數”可表示為a2+b20其中正確的個數是（）.A.1個 B.2個 C.3個 D. 4個要點二、一元一次不等式的概念 只含有一個未知數，未知數的次數是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一個一元一次不等式要點詮釋：(1)一元一次不等式滿足的條件：左右兩邊都是整式(單項式或多項式)；只含有一個未知數；未知數的最高次數為1.(2) 一元一次不等式與一元一次方程既有區(qū)別又有聯系：相同點：二者都是只含有一個未知數，未知數的次數都是1，“左邊”和“右邊”都是整式不同點：一元一次不等式表示不等關系，由不等號“”、“”、“”或“”連接，不等號有方向；一元一次方程表示相等關系，

6、由等號“”連接，等號沒有方向例1.（2017春滄州期末）下列各式中，一元一次不等式是（）A. B2x1-x2 Cx+2y1 D2x+13x變式練習2 （2017春平川區(qū)校級期中）下列是一元一次不等式的是（） Bx2-21 C3x+2 D2x-23（2016春永豐縣期中）若不等式2xa1是關于x的一元一次不等式，則a符合（）Aa1Ba=0Ca=1Da=24.若（m+1）x|m|+20是關于x的一元一次不等式，則m=（）A1B1C-1D05.下列不等式中，是一元一次不等式的有（）個x-3；xy1；x23；A1B2C3D4要點三、不等式的基本性質不等式的基本性質1：不等式兩邊加(或減)同一個數(或整

7、式)，不等號的方向不變用式子表示：如果ab，那么acbc.不等式的基本性質2：不等式兩邊都乘(或除以)同一個正數，不等號的方向不變用式子表示：如果ab，c0，那么acbc(或)不等式的基本性質3：不等式兩邊乘(或除以)同一個負數，不等號的方向改變用式子表示：如果ab，c0，那么acbc(或)例1.判斷以下各題的結論是否正確（對的打“”，錯的打“”）（1）若 b3a0，則b3a； （2）如果5x20，那么x4； （3）若ab，則 ac2bc2； （4）若ac2bc2，則ab； （5）若ab，則 a（c2+1）b（c2+1） （6）若ab0，則 【答案與解析】解：（1）若由b3a0，移項即可得到b

8、3a，故正確；（2）如果5x20，兩邊同除以5不等號方向改變，故錯誤； （3）若ab，當c=0時則 ac2bc2錯誤，故錯誤； （4）由ac2bc2得c20，故正確； （5）若ab，根據c2+1，則 a（c2+1）b（c2+1）正確 （6）若ab0，如a=2，b=1，則正確故答案為：、【總結升華】本題考查了不等式的性質，兩邊同乘以或除以一個不為零的負數，不等號方向改變例4.（2017青浦區(qū)一模）已知ab，下列關系式中一定正確的是（）Aa2b2 B2a2b Ca+2b+2 Dab【思路點撥】根據不等式的性質分析判斷【答案】D.【解析】解：A，a2b2，錯誤，例如：21，則22（1）2；B、若ab

9、，則2a2b，故本選項錯誤；C、若ab，則a+2b+2，故本選項錯誤；D、若ab，則ab，故本選項正確.【總結升華】不等式的性質是不等式變形的重要依據關鍵要注意不等號的方向性質1和性質2類似于等式的性質但性質3中，當不等式兩邊乘以或除以同一個負數時，不等號的方向要改變舉一反三：【變式】根據不等式的基本性質，將“mx3”變形為“x”，則m的取值范圍是 【答案】m0.解：將“mx3”變形為“x”，m的取值范圍是m0故答案為：m0【鞏固練習】一、選擇題1. （2016春北京期末）在式子30，x2，x=a，x22x，x3，x+1y中，是不等式的有（）A2個 B3個 C4個 D5個2下列不等式表示正確的

10、是( ). Aa不是負數表示為a0 Bx不大于5可表示為x5 Cx與1的和是非負數可表示為x+10 Dm與4的差是負數可表示為m-403.式子“x+y=1；xy；x+2y；x-y1；x0”屬于不等式的有（） A2個 B3個 C4個 D5個4已知ab，則下列不等式一定成立的是( ) Aa+3b+3 B2a2b C-a-b Da-b0 5若圖示的兩架天平都保持平衡，則對a、b、c三種物體的重量判斷正確的是（）.A.ac B.ac C.ab D.b0,所以，正確；（2）因為，當時，所以錯誤；（3）因為，當時，沒有意義，而當時，所以錯誤；（4）因為，所以，正確.【總結升華】不等式的基本性質是不等式變形

11、的主要依據，要認真弄清楚不等式的基本性質與等式的基本性質的異同點，特別是不等式兩邊同時乘以（或除以）同一個數時，不僅要考慮這個數不等于0，而且先必須確定這個數是正數還是負數.舉一反三：【變式1】a、b是有理數，下列各式中成立的是( )A若ab，則a2b2； B若a2b2，則ab C若ab，則a|b| D若a|b|，則ab【答案】D. 【變式2】若點P（1m，m）在第一象限，則（m1）x1m的解集為 【答案】x1.解：點P（1m，m）在第一象限，1m0，即m10；不等式（m1）x1m，（m1）x（m1），不等式兩邊同時除以m1，得：x1，故答案為：x13.設a0bc，且a+b+c=-1，若M，N

12、，P，試比較M、N、P的大小【答案與解析】a+b+c=-1，b+c=-1-a，M=1，同理可得N=1，P=1；又a0bc，0，1111即MPN【總結升華】本題考查不等式的基本性質，關鍵是M、N、P的等價變形，利用了整體思想消元，轉化為a、b、c的大小關系4.（2016春唐河縣期中）【提出問題】已知xy=2，且x1，y0，試確定x+y的取值范圍【分析問題】先根據已知條件用一個量如y取表示另一個量如x，然后根據題中已知量x的取值范圍，構建另一量y的不等式，從而確定該量y的取值范圍，同法再確定另一未知量x的取值范圍，最后利用不等式性質即可獲解【解決問題】解：xy=2，x=y+2又x1，y+21，y1

13、又y0，1y0，同理得1x2由+得1+1y+x0+2x+y的取值范圍是0x+y2【嘗試應用】已知xy=3，且x1，y1，求x+y的取值范圍【思路點撥】先根據已知條件用一個量如y取表示另一個量如x，然后根據題中已知量x的取值范圍，構建另一量y的不等式，從而確定該量y的取值范圍，同法再確定另一未知量x的取值范圍，最后利用不等式性質即可獲解【答案與解析】解：xy=3，x=y3又x1，y31，y2又y1，1y2，同理得2x1由+得12y+x21x+y的取值范圍是1x+y1【總結升華】此題主要考查了等量代換及不等式的基本性質（1）不等式的兩邊同時乘以（或除以）同一個正數，不等號的方向不變；（2）不等式的

14、兩邊同時乘以（或除以）同一個負數，不等號的方向改變；（3）不等式的兩邊同時加上（或減去）同一個數或同一個含有字母的式子，不等號的方向不變【鞏固練習】一、選擇題1下列不等式中，一定成立的有( ). 5-2；x+32；+11； A4個 B3個 C2個 D1個2.若a+b0，且b0，則a，b，-a，-b的大小關系為（ ）.A-a-bba B-ab-ba C-aba-b Db-a-ba3若ab，則下列不等式：；其中成立的有( ).A1個 B2個 C3個 D0個4若0x1，則x，x2的大小關系是( ). A B C D5.已知a、b、c、d都是正實數，且，給出下列四個不等式：；其中不等式正確的是（ ）.

15、A. B C D6（2016春豐臺區(qū)期末）下列不等式變形正確的是（）A由ab，得a2b2B由ab，得abC由ab，得D由ab，得acbc二、填空題7在行駛中的汽車上，我們會看到一些不同的交通標志圖形，它們有著不同的意義，如圖所示，如果汽車的寬度為x m，則用不等式表示圖中標志的意義為_8(1)若，則a_b； (2)若m0，mamb，則a_b9已知，若y0，則m_10已知關于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是負數，則a的取值范圍是_11（2016春濟南校級期末）下列判斷中，正確的序號為 若ab0，則ab0；若ab0，則a0，b0；若ab，c0，則acbc；若ab，c0，則ac2

16、bc2；若ab，c0，則acbc12如果不等式3x-m0的正整數解有且只有3個，那么m的取值范圍是_三、解答題13用不等式表示：(1)某工人5月份計劃生產零件198個，前16天平均每天生產6個，后來改進技術，提前3天，并超額完成任務，設他16天之后平均每天生產零件x個，請寫出滿足條件的x的關系式；(2)今年，小明x歲、小強y歲、爺爺m歲；明年，小明年齡的3倍與小強年齡的6倍之和大于爺爺的年齡14若ab，討論ac與bc的大小關系15根據等式和不等式的基本性質，我們可以得到比較兩數大小的方法若A-B0，則AB；若A-B0，則AB；若A-B0，則AB這種比較大小的方法稱為“作差法比較大小”，請運用這

17、種方法嘗試解決下列問題(1)比較3a2-2b+1與5+3a2-2b+b2的大?。?2)比較a+b與a-b的大?。?3)比較3a+2b與2a+3b的大小【答案與解析】一、選擇題1. 【答案】B；【解析】一定成立的是：；2. 【答案】B.3. 【答案】A ； 【解析】根據不等式的性質可得，只有成立.4. 【答案】C； 【解析】0x1， x2x.5.【答案】A；【解析】，a、b、c、d都是正實數，adbc，ac+adac+bc，即a（c+d）c（a+b），所以正確，不正確；，a、b、c、d都是正實數，adbc，bd+adbd+bc，即d（a+b）b（d+c），所以正確，不正確 故選A6.【答案】B【

18、解析】A、ab，得a2b2，錯誤；B、ab，得ab，正確；C、ab，得，錯誤；D、當c為負數和0時不成立，故本選項錯誤，故選B.二、填空題7. 【答案】x4； 8. 【答案】(1)， (2)； 【解析】（1）兩邊同乘以（）；（2）兩邊同除以.9. 【答案】8； 【解析】由已知可得：x4，y2x-m8-m0，所以m8.10【答案】.11.【答案】【解析】解：ab0，a0，b0，ab0，正確；ab0，a0，b0或a0，b0，錯誤；ab，c0，c0時，acbc；c0時，acbc；錯誤；ab，c0，c20，ac2bc2，正確；ab，c0，ab，acbc，正確綜上，可得正確的序號為：12.【答案】9m12； 【解析】3x-m0，x，