有限的元學(xué)習(xí)心得

1、有限元學(xué)習(xí)心得吳清鴿車輛工程50110802411短短八周的有限元課已經(jīng)結(jié)束。關(guān)于有限元，我一直停留在一個很模糊的 概念。我知道這是一個各個領(lǐng)域都必須涉及的點，只要有關(guān)于 CAE分析的，幾 乎都要涉及有限元。總體來說，這是一門非常重要又有點難度的課程。有限 元方法(finite element method) 或有限 元分析(finite elementanalysis)，是求取復(fù)雜微分方程近似解的一種非常有效的工具，是現(xiàn)代數(shù)字化科 技的一種重要基礎(chǔ)性原理。將它用于在科學(xué)研究中，可成為探究物質(zhì)客觀規(guī)律的 先進手段。將它應(yīng)用于工程技術(shù)中，可成為工程設(shè)計和分析的可靠工具。本課程 教學(xué)基本內(nèi)容有固體

2、力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)簡介；有限元法基礎(chǔ)；桁架、梁、剛架、二 維固體、板和殼、三維固體的有限元法；建模技術(shù)；熱傳導(dǎo)問題的有限元分析； PATRAN軟件的使用.通過有限元分析課程學(xué)習(xí)使我了解和掌握了一些有限元知識：1. 簡要了解二維和三維固體以及桁架、梁和板結(jié)構(gòu)的三組基本力學(xué)方程，即表 示位移-應(yīng)變關(guān)系的幾何方程，表示應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的本構(gòu)方程和表示內(nèi)力-外力 關(guān)系的平衡方程。2 了解利用能量法形成有限元離散系統(tǒng)方程的基本原理，即哈密爾頓原理。掌握有限元分析的基本方法及步驟，包括域的離散、位移插值、構(gòu)造形函數(shù)、單元有限元方程 的建立、坐標(biāo)變換、整體有限元方程的組裝、整體有限元方程的求解技術(shù)。3 具體深入的

3、了解并掌握桁架結(jié)構(gòu)、梁結(jié)構(gòu)、剛架結(jié)構(gòu)、二維固體、板和殼結(jié) 構(gòu)、三維固體的有限元法分析技術(shù)，包括他們具體的形函數(shù)構(gòu)造，應(yīng)變矩陣，局 部坐標(biāo)系和整體坐標(biāo)系中的單元矩陣。各種結(jié)構(gòu)的實例研究。4 了解并掌握建立高質(zhì)量建模所涉及的各種關(guān)鍵技術(shù)。包括單元類型的選擇， 單元畸形的限制，不同階數(shù)單元混用時網(wǎng)格的協(xié)調(diào)性問題， 對稱性的應(yīng)用（平面 對稱、軸對稱、旋轉(zhuǎn)對稱、重復(fù)對稱），由多點約束方程形成剛域及應(yīng)用（模擬 偏移、不同自由度單元的連接、網(wǎng)格協(xié)調(diào)性的施加）等，以及多點約束方程的求 解。以PATRAN有限元通用軟件為例了解一般商業(yè)有限元軟件的組成及結(jié)構(gòu)。掌握PATRAN軟件的基本使用。利用PATRAN軟件上

4、機實踐完成兩個上機練習(xí)： 剛架結(jié)構(gòu)有限元分析和三維固體有限元分析。課程的具體學(xué)習(xí)內(nèi)容：內(nèi)容：1. 三節(jié)點三角形單元：單元分析、總剛度矩陣組裝、引入約束條件修正總剛度矩陣、載荷移置、方程求解；2. 四邊形單元分析、四節(jié)點四面體單元分析、八節(jié)點六面體單元分析；3. 其他常用單元形函數(shù)、自由度。1、三節(jié)點三角形單元1.1.單元分析分析步驟單元分析的任務(wù)是建立單元平衡方程，形成單元剛度矩陣。不失一般性，從圖1-1三角形離散結(jié)構(gòu)中任取一個單元，設(shè)單元編號為e，單元節(jié)點按右手法則順序編號為i, j, m,在定義的坐標(biāo)系xOy中，節(jié)點坐標(biāo)分別為（xi+yi） ，（xj+yj），(xm+ym)，節(jié)點位移和節(jié)點

5、力表示如圖1-1所示ui Vi Uj Vj Um VmUiViUjVjVm取結(jié)點位移作基本未知量。由結(jié)點位移求結(jié)點力:其中，轉(zhuǎn)換矩陣稱為單元剛度矩陣。單元分析的主要目的就是要求出單 元剛度矩陣。單元分析的步驟可表示如下：位移模式和形函數(shù)對于平面問題，單元任意一點的位移可用位移分量 u, v描述，他們是坐標(biāo) x, y的函數(shù)。假定三節(jié)點單元的位移函數(shù)為 x, y的線性函數(shù)，六個節(jié)點位移只能 確定六個多項式的系數(shù)，所以平面問題的 3結(jié)點三角形單元的位移函數(shù)如下：ua1a2xa3yva4a§xa6y所選用的這個位移函數(shù)，將單元內(nèi)部任一點的位移定為座標(biāo)的線性函數(shù)，位移模式很簡單。位移函數(shù)寫成矩

6、陣形式為：aiu 1 x y 0 00 a3f3v 0 001 x y a4a5將水平位移分量和結(jié)點坐寫成矩陣：a6代入位移函數(shù)第一式：A為三角形單元T 2AXj YmXm Yj*YjYmTxmx jT的伴隨矩陣為TXmYiXiYmYmYixixmXiYjXjYiYi YjXjXaibTCiaiajam*TajbjCjbbbmambmCmCiCm則有a11aiajamUia2bbjbmUj2AasGCjCmUmuia1a2Xia3YiUi1XiYi4Uj印a?Xja3YjUj1XjYja2Uma1a2Xma3YmUm1XmYma3令則有1人Yia1Ui1 XjyjTa2T1Uj1XmYma3U

7、m同樣，將垂直位移分量與結(jié)點坐標(biāo)代入位移插值公式:a4aiaamV1 ,bmasbi2AbV最終確定六個待定系數(shù)：6CCCmVma11aiaamUi精彩文檔a22AbbbmUjasqCjCmUma4asae12AajbjCjamCmViVjVmu (ai bx Ciy)ui (aj bjX Cj y)uj (am bmX Cmy)um 2Av “(a bx 2AqyN (aju fNi 0 NjV0Ni01令 Ni佝 bx Gy)2 A(下標(biāo)i，bjX cy)Vj (am "x Cmy)VmUiv0 Nm 0 UjN j 0 Nm Vjj, m輪換)UiVieiUjjVjmUmVmN

8、稱為形態(tài)矩陣，Ni稱為位移的形態(tài)函數(shù)位移函數(shù)的收斂性選擇單元位移函數(shù)時，應(yīng)當(dāng)保證有限元法解答的收斂性，即當(dāng)網(wǎng)格逐漸加密 時，有限元法的解答應(yīng)當(dāng)收斂于問題的正確解答。 因此，選用的位移模式應(yīng)當(dāng)滿 足下列兩方面的條件:(1) 必須能反映單元的a體位移和常量應(yīng)變。6個參數(shù) 到反映了三個剛體位移和三個常量應(yīng)變。(2) 必須保證相鄰單元在公共邊界處的位移連續(xù)性。(線性函數(shù)的特性)應(yīng)變矩陣和應(yīng)力矩陣?yán)脦缀畏匠?、物理方程，實現(xiàn)用結(jié)點位移表示單元的應(yīng)變和單元的應(yīng)力用結(jié)點位移表示單元的應(yīng)變的表達式為:V1b0b0bm0u2A0Ci0q0CmVCbiqbjCmbmuv1b0Bi0ci2ACibiuxv-y u

9、vy x B euiB Bi BjBmB矩陣稱為幾何矩陣eS SiSjSm由物理方程，可以得到單元的應(yīng)力表達式:為應(yīng)力矩陣D BiE2""2A(12)1.1.5單元剛度矩陣bb1c2CiCi12討論單元內(nèi)部的應(yīng)力與單元的結(jié)點力的關(guān)系，導(dǎo)出用結(jié)點位移表示結(jié)點* T力的表達式。由應(yīng)力推算結(jié)點力* T需要利用平衡方程gz用虛功方程表示出平衡方VmV令實際受力狀態(tài)在虛設(shè)位移上作虛功，外力虛功為TUi U Vi V Uj UVj V Um Um Vm VmUi Vi UjVjUmVmeT微小矩形的內(nèi)力虛功為dU ( bxtdy)( £x*dx) ( bytdx)( 

10、3;y*dy)( Txytdx) ( Yxy*dy)* * *(*x x£y y丫 xy Txy )tdxdy* * *&x£yYxy J tdxdyTxy根據(jù)虛功原理，得* eTe* TFtdxdy這就是彈性平面問題的虛功方程,實質(zhì)是外力與應(yīng)力之間的平衡方程。虛應(yīng)變可以由結(jié)點虛位移求出：t* eT t)T S Bt代入虛功方程eTF1bTtdxdyFeBt接上式，將應(yīng)力用結(jié)點位移表示出(T(T tdxdyD B SFeB TDBtdxd y SB TDBtdxd y則Fe Ke S eKe建立了單元的結(jié)點力與結(jié)點位移之間的關(guān)系，稱為單元剛度矩陣。它是6*6矩陣，其

11、元素表示該單元的各結(jié)點沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時引起的結(jié) 點力，它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動而改變。1.2總剛度矩陣組裝Kk e整體剛度矩陣是單元剛度矩陣的集成。1、剛度集成法的物理概念：岡寸度矩陣中的元素是剛度系數(shù)，即由單位結(jié)點位移引起的結(jié)點力。2、剛度矩陣的集成規(guī)則：k ekij先對每個單元求出單元剛度矩陣，然后將其中的每個子塊送到結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的對應(yīng)位置上去，進行迭加之后即得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣 K的子 塊，從而得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣K。關(guān)鍵是如何找出中的子塊在K中的對應(yīng)位置。這需要了解單元中的結(jié)點編碼與結(jié)構(gòu)中的結(jié)點編碼之間的對應(yīng)關(guān)系。結(jié)

12、構(gòu)中的結(jié)點編碼稱為結(jié)點的總碼，各個單元的三個結(jié)點又按逆時針方向編 為i,j,m,稱為結(jié)點的局部碼。單元剛度矩陣中的子塊是按結(jié)點的局部碼排列的，而結(jié)構(gòu)剛度矩陣中的子塊是按結(jié)點的總碼排列的。因此，在單元剛度矩陣中，把結(jié)點的局部碼換成總碼，并把其中的子塊按照總碼次序重新排列a1Kjj(2)Kjm (：)KJ(2)Kmj(：)Kmm '2)Kmi(2)Kij(2)Kim(：)Kii(2)局部碼-j2m2i2j2m 2i 2總碼123456123456以單元為例，局部碼i，Km對應(yīng)于總碼5,2,4 ,因此中的子塊按照總碼重新K、K、K排列后，得出擴大矩陣為上圖所示：用同樣的方法可得出其他單元的擴

13、大矩陣將各單元的擴大矩陣迭加，即得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣K:K KK（2）K K K（e）集成規(guī)則包含搬家和迭加兩個環(huán)節(jié):1、將單元剛度矩陣中的子塊搬家，得出單元的擴大剛度矩陣2、將各單元的擴大剛度矩陣迭加,得出結(jié)構(gòu)剛度矩陣K。Ke局部碼卜總碼 ,jimi, j2,i 3 ii, m3,j4123i2,j3, m45i46jlmj2i 3ii mj4i 2j3mi4Kjm （1）Kji（1）Kmm'"K 汀2）kb（3）Kmi（1>Kim （3）Kjm （2）KF3®Kii（l）Kmm（3）心Kmi（3）Kim（4）Kji（4）Kmm （2）Kmi（2）KH（2） K

14、»（3） K mm（4）Kmi（4）KS （4）1234561.3引入約束條件修正總剛度矩陣整體剛度矩陣K求出后，結(jié)構(gòu)的結(jié)點力F可表示為:在無支桿的結(jié)點處，結(jié)點力就等于已知的結(jié)點載荷。在有支桿的結(jié)點處,則求結(jié)點力時，還應(yīng)把未知的支桿反力考慮在內(nèi)。如果用P表示結(jié)點載荷和支桿反力組成的向量，則結(jié)點的平衡方程為K 3 P根據(jù)支承條件對平衡方程加以處理。先考慮結(jié)點n有水平支桿的情況。與結(jié)點n水平方向?qū)?yīng)的平衡方程是第2n-1個方程，K 2n 1,1u1 K 2n 1,2v 1 K 2n 1,2n 1un K 2n 1,2n v n AnUn 0根據(jù)支承情況，上式應(yīng)換成，即在K中，第2n-1行

15、的對角線元素應(yīng)改為1，該行全部部非對角線元素應(yīng)改為0。在P中，第2n-1個元素應(yīng)改為0。此外，為了保持矩陣K的對稱性，則第2n-1列全部非對角線元素也改為0同理，如果結(jié)點n有豎向支桿，則平衡方程的第2n個方程應(yīng)改為 為此，在矩0車K中，第2n行的對角線元素改0為1，該行全部非對角線元素改為0V1Py10。在P 中，第 2n個元素改為0000 0 0 0 0 Un01 0 0 0 0 vn0000000，同時，第2n列全部非對角線元素也改為000 0 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0001.4載荷移置將載荷移置到結(jié)點上，必須遵循靜力等效的原則。靜力等效是指原載荷與 結(jié)點載荷在任意虛位

16、移上做的虛功相等。在一定的位移模式下，移置結(jié)果是唯 的，且總能符合靜力等效原則。單元的虛位移可以用結(jié)點的虛位移* ee表示為f N令結(jié)點載荷為Re NcTP sNTPtdsNTptdxdyRe Xj 丫XmYmXiY集中力的移置p如圖所示，在單元內(nèi)任意一點作用集中力由虛功相等可得 *eTRe* e T t e NtP由于虛位移是任意的，則Re NtPPxPy體力的移置xp令單元所受的均勻分布體力為ye Te*TteTR Nptdxdy RN ptdxdy由虛功相等可得：2、四邊形、四節(jié)點四面體、八節(jié)點六面體單元分析2.1四邊形單元分析四邊單元可取矩形作為研究對象，矩形單元也是一種常用的單元，它

17、采用了比常應(yīng)變?nèi)切螁卧螖?shù)更高的位移模式，因而可以更好地反映彈性體中的位移狀態(tài)和應(yīng)力狀態(tài)。矩形單元1234如圖所示，其邊長分別為2a和2b，兩邊分別平行于x、yV3 (V3)軸。若取該矩形的四個角點為節(jié)點，因每個節(jié)點位移有兩個分量，所以矩形單元共有8個自由度。采用三角形單元中的方法：3同樣可以完成對這種單元的力學(xué)特性分析。然而，如果我U4 (U4)們引入局部局部上標(biāo)Ui (UJ1 2 2avi (Vi)U3 (U3) 系U2 (U2)，那么就可以推出比較簡潔V2 (V2)x的結(jié)果在局部坐標(biāo)系中，節(jié)點i的坐標(biāo)是(i , i )，其值分別為土 1。取位移模式:用與三角形單元相似的方法建立形函數(shù)，

18、則位移模式可寫成：u 1234rufN i iV 5678V10Ui式中： N i Ni I , Ii(i1,2,3,4)01vi由幾何方程可以求得單元的應(yīng)變xygxyxVyu Vy xua2 vb1 u 1 Vb aaba可推出:式中B1B2B3B4NiBi1ab0Nia -14ab由虎克定律我們可以得出用節(jié)點位移表示的單元應(yīng)力，即S1S2S3S4SiD Bi式中：對于平面應(yīng)力問題4ab 1Sb i1有:若將單元剛度矩陣寫成分塊形式:knk12k13k14k21k22k23k24kk31k32k33k34k41k42k43k44則其中的子矩陣可按下式進行計算:kijB 丁 D Bj tdxd

19、y四邊形單元的節(jié)點位移與單元節(jié)點力之間的關(guān)系仍為：其中載荷列陣Re與上節(jié)中的（c）式相同，仍可按上式計算等效節(jié)點力。但et是，需要注意勺是,1矩形單元有四個節(jié)點 嚴(yán)1U42V43，4），所以Re具有2.2四節(jié)點四面體單元分析單元劃分及位移模式如圖1所示的四面體單元，單元結(jié)點的編碼為i, j, m, n。每個結(jié)點的位移具有三個分量u, v, w。這樣單元結(jié)點的位移列陣可表示成：Tuiviwi uviwiu vi w ui vi wi單元的位移模式采用線性多項式:ui2X3y4Zv56X7y8Zw910 x 11 y 12z式中，為待定系數(shù)，由單元結(jié)點的位移和坐標(biāo)決定。將四個結(jié)點的坐標(biāo)(Xi,yi

20、, Zi)、( Xj, yj, Zj)、( Xm, ym, Zm)、( Xn, yn, Zn)和結(jié)點位移(Ui, Vi, Wj)、( Uj, Vj, Wj )、 (Um, Vm , Wm )、( Un, Vn, Wn、代入(2)式可得12個聯(lián)立方程，解方程組便可 求出。將這十二個系數(shù)回代到式，則得到由結(jié)點位移和形函數(shù)表示的單元內(nèi)任一點的位移表達式:UNiUiN jujN mUmNnUnVNiViNjVjNmvmNnVnWNiwiN jWjNmWmNnW式中nNibiXdiZaiCiyNjNmNn丄6V1 a j6V J167 am1 an6V nCjydjZbm xCmyd mZbnXCn y

21、dnZNi，N j，Nm，Nn為四面體單元的形函數(shù)位移模式可以用矩陣形式表示:uNi00NfV0Ni00w00Ni0NiInjiNmINnINe00Nm00Nn00Nj00Nm00Nn0 J0NJ00Nm00Nnmne式中，I為三階單位陣,N為形函數(shù)矩陣。上式即為單元結(jié)點位移和單元任意點位移之間的關(guān)系單元應(yīng)變和應(yīng)力知道單元內(nèi)任意一點位移后，可利用幾何方程確定單元內(nèi)該點的應(yīng)變。位移矩陣式代入空間問題幾何方程得:BiBjBmBne433其中n oua上式表明幾何矩陣B中的元素都是常量，因此單元中的應(yīng)變也是常量 就是說，采用線性位移模式的四面體單元是常應(yīng)變單元。將上式代入物理方程，就得到單元的應(yīng)力列

22、陣:eeD BSSiS j SmSn式中：S為四面體單元的應(yīng)力矩陣，其分塊形式為:SiAi其中biA1biA1 ciCiAdiA1 di6A3AQAcdiVA2&A2 bi00A2 d iA2CiAzdi0Azbi1 2E2(1)A336 1A21D Bi1 2223單元剛度矩陣對于四面體單元,利用虛功原理，采用類似平面問題的處理方法可以得到其單剛矩陣。B T D B dxdydz其中：Ke為單元剛度矩陣eTKB DB dxdydzTBD B V寫成分塊形式為：kiikijkimkinkK ekkmikjjk jmk jnkmjkmmkmnkniknjknmknn式中子矩陣Krs由下式

23、計算:krsTBr D Bs VA3Vbr bs A2 (Cr Csdr ds)Al Cr bs A?brCsAl d r bs A2br d sAl br Cs A2 Cr bsCr CsAz(drdsbrbs)Al d r Cs A2 Cr d sAl br bsA2dr dsAl Cr d sA2 d r Csdr d sA2 ( br bsCr Cs )可以看出，單元剛度矩陣是由單元結(jié)點的坐標(biāo)和單元材料的彈性常數(shù)所決定的，是一個常數(shù)矩陣。2.3八節(jié)點六面體單元分析形函數(shù)與坐標(biāo)變換形函數(shù)Ni丄11 ss坐標(biāo)變換位移插值函數(shù)與幾何矩陣xNii 18r,s,tXiu X, y,xN100N2

24、00yNir,s,tyivx,y,x0N100N20i 18wx,y,x00N100N2zNir,s,tZi8N8000N8000N8e1e2e3e24簡記為233單元剛度矩陣與等效節(jié)點載荷向量x000y000-汕 00 N200N800BNz0 N100N200 N80-yx00 0N100 N200 N80zyz0x單兀剛度矩陣可以表示為：KeBTDBTdvB DB dxdydz將上式中的x, y, z替換為r, s有t1 1 1KeB T D B J drdsdt1 1 1寫成高斯積分形式為：n n ntPeN(ri,Sj,tQ Fb(ri,Sj,tQ J(rj,Sj,tQ hhki 1

25、 j 1 k 13、其他常用單元形函數(shù)、自由度3.1軸對稱單元軸對稱結(jié)構(gòu)體可以看成由任意一個縱向剖面繞著縱軸旋轉(zhuǎn)一周而形成。此旋 轉(zhuǎn)軸即為對稱軸，縱向剖面稱為子午面，如圖表示一圓柱體的子午面abed被分割為若干個三角形單元，再經(jīng)過繞對稱軸旋轉(zhuǎn)，圓柱體被離散成若干個三棱圓環(huán) 單元，各單元之間用圓環(huán)形的鉸鏈相連接。 對于軸對稱問題，采用圓柱坐標(biāo)較為方便。以彈性體的對稱軸為z軸，其約束及外載荷也都對稱于z軸，因此彈性體 內(nèi)各點的各項應(yīng)力分量、應(yīng)變分量和位移分量都與環(huán)向坐標(biāo)B無關(guān)，只是徑向坐標(biāo)r和軸向坐標(biāo)z的函數(shù)。也就是說，在任何一個過z軸的子午面上的位移、應(yīng) 變和應(yīng)力的分布規(guī)律都相同。因此軸對稱問題可把三維問題簡化為以（z，r）為自變量的二維問題。r由于軸對稱性，彈性體內(nèi)各點只可能存在徑向位移 u和軸向位移w。此時,位移u、w只是r、z的函數(shù)，而環(huán)向位移v=0。即：u u(r,z) w w(r, z)軸對稱問題的物理方程