偏導(dǎo)數(shù)與全微分--華南理工大學(xué)高數(shù)課件

1、第二節(jié)第二節(jié) 偏偏 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計(jì)算法偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)higher-order partial derivative一、一階偏導(dǎo)數(shù)的定義一、一階偏導(dǎo)數(shù)的定義定義定義),(yxfz 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),0yy固定為固定為將將存在存在,處處在在點(diǎn)點(diǎn)),(),(00yxyxfz 的的某某鄰鄰域域在在點(diǎn)點(diǎn)),(00yx內(nèi)有定義，內(nèi)有定義，若極限若極限xyxfyxxfx ),(),(lim00000則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)記為記為對(duì)對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),00,xxyyzx 00,xxyyfx 00(,).xzxy00(,),xfx

2、y偏偏 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)為為yyxfyyxfy ),(),(lim00000對(duì)對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),記為記為00,xxyyzy 00,xxyyfy 00(,).yzxy00(,),yfxy偏偏 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)那么這個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍是仍是yx、的二元函數(shù)的二元函數(shù),它稱為函數(shù)它稱為函數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)對(duì)自變量對(duì)自變量x的偏導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)函數(shù) (簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)),記作記作,xz ,xf xz或或).,(yxfx同理同理,可定義函數(shù)可定義函數(shù)),(yxfz 對(duì)自變量對(duì)自變量y的的偏導(dǎo)函數(shù)偏導(dǎo)函數(shù) (簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)簡(jiǎn)稱偏導(dǎo)數(shù)),記作記作,yz ,yf yz或或).,(yxfy偏偏 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)在區(qū)域在區(qū)域

3、D內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)(x, y)處對(duì)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)都存在的偏導(dǎo)數(shù)都存在,),(yxfz ),(yxfz 求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) 例例 求求 在點(diǎn)在點(diǎn)(1,0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù).yyxzsin2 解解,2xyxz ,cos2yxyz , 0)0, 1( xz. 2)0, 1( yz利用一元函數(shù)利用一元函數(shù)),(yxfx如如求求只需將只需將y的求導(dǎo)法對(duì)的求導(dǎo)法對(duì)x求導(dǎo)即可求導(dǎo)即可.看作常量看作常量,并不需要新的方法并不需要新的方法,例例 求求 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù).)0( xxzy解解,1 yyxxzxxyzyln ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(22yxy

4、xyxxyyxf當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)解解例例( , )(0,0)f x y求求在在處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù). )0 , 0(xf00lim0 xx )0 , 0(yf00lim0 yy注注 但此函數(shù)在點(diǎn)但此函數(shù)在點(diǎn)(0,0)是是不連續(xù)不連續(xù)的的. xfxfx)0 , 0()0 ,0(lim0 yfyfy)0 , 0()0 , 0(lim0 由以上計(jì)算可知由以上計(jì)算可知,),(yxf 在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0( 處處可偏導(dǎo)可偏導(dǎo), 二元函數(shù)二元函數(shù)f(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn) (x0, y0)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)處兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) fx(x0, y0), f y(x0, y0)存在是存在是 f (x, y) 在該點(diǎn)連續(xù)的在該點(diǎn)連續(xù)的(

5、 ).A. 充分條件而非必要條件充分條件而非必要條件B. 必要條件而非充分條件必要條件而非充分條件C. 充分必要條件充分必要條件D. 既非充分條件又非必要條件既非充分條件又非必要條件D偏偏 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)偏偏 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)例例 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(223yxyxyxyxyxf當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)解解,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx ),(yxfx ),(yxfy有有2223222)(2)(3yxxyxyxyx ,)(232224222yxyxyxyx .)(222223223yxyxyxx ( , )( , ).xyfx yfx y求和,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx

6、按按定義定義得得 )0 , 0(xf xx0lim0 )0 , 0(yf yy0lim0 xfxfx)0 , 0()0 ,0(lim0 yfyfy)0 , 0()0 , 0(lim000 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(223yxyxyxyxyxf當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè) 證證 VRTp;2VRTVp pRTV;pRTV RpVT;RVpT pTTVVp2VRT pR RV . 1 pVRT 1: pTTVVp求求證證,為為常常數(shù)數(shù)為為溫溫度度為為體體積積為為壓壓強(qiáng)強(qiáng)RTVp 偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào)只是一個(gè)整體記號(hào)偏導(dǎo)數(shù)的記號(hào)只是一個(gè)整體記號(hào),不能像不能像一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)那樣可看成是分子與分母的一

7、元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)那樣可看成是分子與分母的微分的商微分的商. 例例其中其中程程已知理想氣體的狀態(tài)方已知理想氣體的狀態(tài)方,RTpV 0 xyTxT0y),(yxfz yxzO),(0yxfz 0M),(0yxfz 二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏偏 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù) 曲線曲線在點(diǎn)在點(diǎn)(2,4,5)處的處的切線切線與與x軸正向所成的傾角是多少軸正向所成的傾角是多少?解解,21),(xyxfx tan1)4 , 2( xf4 在點(diǎn)在點(diǎn)(2,4,5)處的處的切線切線與與y軸正向所成的傾角是多少軸正向所成的傾角是多少?,2422 xyxz偏偏 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù) 曲線曲線2244xyzy xz),(yxfyy )

8、,(yxfxy ),(yxfyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義定義x 22xz ),(yxfxx 22yz yzy yxz 2 xzy xyz 2 yzx 三、高階偏導(dǎo)數(shù)三、高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù). .二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為例例xyyxz 23求求的四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù)的四個(gè)二階偏導(dǎo)數(shù).解解 xz,322yyx ,23xyx 22xz,62xy 22yz,23x xyz2. 162 yx yxz2; 162 yx yz偏偏 導(dǎo)導(dǎo) 數(shù)數(shù)例例 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(223yxyxyxyxy

9、xf當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)解解,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx ),(yxfx ),(yxfy有有2223222)(2)(3yxxyxyxyx ,)(232224222yxyxyxyx .)(222223223yxyxyxx ).0 , 0()0 , 0(yxxyff和和求求,)0 , 0(),(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) yx按按定義定義得得 )0 , 0(xf xx0lim0 )0 , 0(yf yy0lim0 xfxfx)0 , 0()0 ,0(lim0 yfyfy)0 , 0()0 , 0(lim0 )0 , 0(xf yfyfxxy)0 , 0()0 , 0(lim02224222)(23),(yxyxyx

10、yxyxfx , 0 )0 , 0(yf xfxfyyx)0 , 0()0 ,0(lim0. 122223223)(2),(yxyxyxxyxfy x00 ).0 , 0(),(0),0 , 0(),(),(223yxyxyxyxyxf當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)).0 , 0()0 , 0(xyxyff和和求求y多元函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)如果連多元函數(shù)的高階混合偏導(dǎo)數(shù)如果連一般地一般地,續(xù)就與續(xù)就與求導(dǎo)次序無(wú)關(guān)求導(dǎo)次序無(wú)關(guān).如果函數(shù)如果函數(shù)的兩個(gè)二階混合偏的兩個(gè)二階混合偏),(yxfyx與與),(yxfxy在區(qū)域在區(qū)域D內(nèi)內(nèi)定理定理連續(xù)，連續(xù)， 那么在那么在導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)該區(qū)域內(nèi)該區(qū)域內(nèi)但就通常所遇到的函數(shù)但就通常

11、所遇到的函數(shù),在前一題中兩個(gè)混合二階偏導(dǎo)數(shù)相等在前一題中兩個(gè)混合二階偏導(dǎo)數(shù)相等,此種情此種情后一題中兩者不相等后一題中兩者不相等,這說(shuō)明混合偏導(dǎo)數(shù)與求偏這說(shuō)明混合偏導(dǎo)數(shù)與求偏導(dǎo)數(shù)的次序有關(guān)導(dǎo)數(shù)的次序有關(guān).但在但在況不會(huì)發(fā)生況不會(huì)發(fā)生,這是因?yàn)橛邢率龅亩ɡ磉@是因?yàn)橛邢率龅亩ɡ?).,(yxfyx ),(yxfxy),(yxfz 全微分的定義全微分的定義可微的條件可微的條件total differentiation第三節(jié)第三節(jié) 全全 微微 分分的的全全增增量量在在點(diǎn)點(diǎn)如如果果函函數(shù)數(shù)),(),(yxyxfz ),( oyBxAz ,有關(guān)有關(guān)、僅與僅與、其中其中yxBA,)()(22yx yBxA

12、, yx 、處處),(yx處的處的全微分全微分. .可表示為可表示為),(yxfz 可微分可微分, ,在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx則稱函數(shù)則稱函數(shù)稱為函數(shù)稱為函數(shù)記作記作,dz即即.dyBxAz 函數(shù)若在某平面區(qū)域函數(shù)若在某平面區(qū)域D內(nèi)處處可微時(shí)內(nèi)處處可微時(shí), 則稱則稱可微函數(shù)可微函數(shù). .這函數(shù)在這函數(shù)在D內(nèi)的內(nèi)的而不依賴于而不依賴于),(),(yxfyyxxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yxfz 一、全微分的定義一、全微分的定義 事實(shí)上事實(shí)上,)( oyBxAz 顯然顯然,由全微分的定義有由全微分的定義有可得可得 z0lim 0 多元函數(shù)可微必連續(xù)多元函數(shù)可微必連續(xù)不連續(xù)不連續(xù)的函數(shù)的函數(shù)如果函數(shù)如果函數(shù)),

13、(),(yxyxfz在在點(diǎn)點(diǎn) 可微分可微分,則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù). )(lim0 oyBxA 一定是一定是不可微不可微的的.1. 可微分的必要條件可微分的必要條件.dyyzxxzz 定理定理1 1( (可微必要條件可微必要條件) )如果函數(shù)如果函數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)),(yxfz 的的則該函數(shù)在點(diǎn)則該函數(shù)在點(diǎn)),(yx可微分可微分,),(yx,必存在必存在且函數(shù)且函數(shù)),(yxfz ),(yx在在點(diǎn)點(diǎn)的全微分為的全微分為yzxz 、偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)二、可微二、可微的條件的條件證證)( oyBxAz 總成立總成立,),()0,(yxfyxxf |),(|xoxA Axyxfyxxfx ),(),(

14、lim0 xz同理可得同理可得.yzB 時(shí)，時(shí)，當(dāng)當(dāng)0 y上式仍成立上式仍成立, 此時(shí)此時(shí)|,| x PyyxxP ),(的某個(gè)鄰域內(nèi)的某個(gè)鄰域內(nèi)如果函數(shù)如果函數(shù)),(),(yxPyxfz在點(diǎn)在點(diǎn) 可微分可微分,.dyyzxxzz 解解,2xyyexxz ,xyxeyz (1,2)(1,2)dddzzzxyxy例例 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)xyexz 2在點(diǎn)在點(diǎn))2 , 1(的全微分的全微分.所以所以.d)d1(222yexe 答案答案.的的全全微微分分求求zyxu ud全全 微微 分分yyxyzzd xyxyzzd1 zyxyxzdln 多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在全微分

15、存在如，如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在函數(shù)也兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在函數(shù)也不一定不一定可微可微.(由偏導(dǎo)數(shù)定義可求得由偏導(dǎo)數(shù)定義可求得)0)0 , 0()0 , 0( yxff,)0 , 0(處有處有在點(diǎn)在點(diǎn)全全 微微 分分)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 則則22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 )0 , 0()0 , 0(yfxfzyx 處有處有在點(diǎn)在點(diǎn))0 , 0(說(shuō)明它不能隨著說(shuō)明它不能隨著0 而趨于而趨于0,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 因此因此,.)0 ,

16、 0(處不可微處不可微函數(shù)在點(diǎn)函數(shù)在點(diǎn)如果考慮點(diǎn)如果考慮點(diǎn)),(yxP 沿直線沿直線xy 趨近于趨近于),0 , 0(),( o .000),(222222 yxyxyxxyyxf),(),(yxfyyxxfz ),(),(yyxfyyxxf 2. 可微分的充分條件可微分的充分條件 證證),(),(yxfyyxf 在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必存在在該點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)必存在的意思的意思.定理定理2 2的的如如果果函函數(shù)數(shù)),(yxfz ,),(連連續(xù)續(xù)在在、yxyzxz .可微分可微分(今后常這樣理解今后常這樣理解).用拉氏定理用拉氏定理(微分充分條件微分充分條件)假定偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)假定偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)P(x,y)

17、連續(xù)連續(xù), 就含有就含有偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(yx則則該該函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)全全 微微 分分偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 xxyxfx 1),( 11),(),(.),(),( yxfyyxxfyxyxfxxx令令連續(xù)連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)由由)0, 0(01 yx 其中其中全全 微微 分分xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z yx21 , 00 故故函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點(diǎn)點(diǎn)),(yx處處可可微微.同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 全全 微微 分分xyxfx ),(x 1 yyxfy ),(y 2 21 , 0

18、,02 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) y),(),(yyxfxyxfzyx yx21 在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0,0)可微可微.yzxz ,并非必要條件并非必要條件.如如 0, 00,1sin)(),(22222222yxyxyxyxyxf函函數(shù)數(shù)注注兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)連續(xù)連續(xù)可微的充分可微的充分),(yx僅是函數(shù)僅是函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)),(yx),(yxfz 條件條件, 但是但是,偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)在原點(diǎn)(0,0)不連續(xù)不連續(xù).全全 微微 分分考慮二元函數(shù)考慮二元函數(shù) f (x, y)的下面的下面4條性質(zhì)條性質(zhì): 選擇題選擇題 f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0 , y0)處連續(xù)處連續(xù), f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0 , y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0 , y0)處可微處可微,f (x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0 , y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在.若用若用“”QP 表示可由性質(zhì)表示可由性質(zhì)P推出性質(zhì)推出性質(zhì)Q,則有則有(A) . (B) . (C) . (D) . )0 , 0(),(0)0 , 0(),(),(222yxyxyxyxyxf設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)).()0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)在在,)(極限不存在極限不存在A,)(不不