江蘇省高考數(shù)學(xué)-真題分類匯編-數(shù)列

五、數(shù)列（一）填空題1、（2008江蘇卷10）將全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣：12 34 5 67 8 9 10 按照以上排列的規(guī)律，第n 行（n 3）從左向右的第3 個(gè)數(shù)為 【解析】本小題考查歸納推理和等差數(shù)列求和公式前n1 行共有正整數(shù)12（n1）個(gè)，即個(gè)，因此第n 行第3 個(gè)數(shù)是全體正整數(shù)中第3個(gè)，即為2、（2009江蘇卷14）設(shè)是公比為的等比數(shù)列，令，若數(shù)列有連續(xù)四項(xiàng)在集合中，則= . 【解析】 考查等價(jià)轉(zhuǎn)化能力和分析問題的能力。等比數(shù)列的通項(xiàng)。 有連續(xù)四項(xiàng)在集合，四項(xiàng)成等比數(shù)列，公比為，= -93、（2010江蘇卷8）函數(shù)y=x2(x0)的圖像在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為ak+1,k為正整數(shù)，a1=16，則a1+a3+a5=_解析考查函數(shù)的切線方程、數(shù)列的通項(xiàng)。在點(diǎn)(ak,ak2)處的切線方程為：當(dāng)時(shí)，解得，所以。4、（2011江蘇卷13）設(shè)，其中成公比為q的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則q的最小值是_.【解析】由題意：，而的最小值分別為1，2，3；.本題主要考查綜合運(yùn)用等差、等比的概念及通項(xiàng)公式，不等式的性質(zhì)解決問題的能力,考查抽象概括能力和推理能力，本題屬難題.5、（2012江蘇卷6） 現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是 【解析】組成滿足條件的數(shù)列為：從中隨機(jī)取出一個(gè)數(shù)共有取法種，其中小于的取法共有種，因此取出的這個(gè)數(shù)小于的概率為.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查古典概型.在利用古典概型解決問題時(shí)，關(guān)鍵弄清基本事件數(shù)和基本事件總數(shù)，本題要注意審題，“一次隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)”，意味著這兩個(gè)數(shù)不能重復(fù)，這一點(diǎn)要特別注意.6、（2013江蘇卷14）14在正項(xiàng)等比數(shù)列中，則滿足的最大正整數(shù) 的值為 。答案： 1412（二）解答題1、（2008江蘇卷19）.（）設(shè)是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列（），且公差，若將此數(shù)列刪去某一項(xiàng)得到的數(shù)列（按原來的順序）是等比數(shù)列：當(dāng)n =4時(shí)，求的數(shù)值；求的所有可能值；（）求證：對(duì)于一個(gè)給定的正整數(shù)n(n4)，存在一個(gè)各項(xiàng)及公差都不為零的等差數(shù)列，其中任意三項(xiàng)（按原來順序）都不能組成等比數(shù)列【解析】：本小題考查等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合應(yīng)用。（1）當(dāng)n=4時(shí), 中不可能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，否則等差數(shù)列中連續(xù)三項(xiàng)成等比數(shù)列，則推出d=0。 若刪去，則，即化簡得，得若刪去，則，即化簡得，得綜上，得或。當(dāng)n=5時(shí), 中同樣不可能刪去，否則出現(xiàn)連續(xù)三項(xiàng)。若刪去，則，即化簡得，因?yàn)?，所以不能刪去；當(dāng)n6時(shí)，不存在這樣的等差數(shù)列。事實(shí)上，在數(shù)列中，由于不能刪去首項(xiàng)或末項(xiàng)，若刪去，則必有，這與矛盾；同樣若刪去也有，這與矛盾；若刪去中任意一個(gè)，則必有，這與矛盾。(或者說：當(dāng)n6時(shí)，無論刪去哪一項(xiàng)，剩余的項(xiàng)中必有連續(xù)的三項(xiàng))綜上所述，。（2）假設(shè)對(duì)于某個(gè)正整數(shù)n，存在一個(gè)公差為d的n項(xiàng)等差數(shù)列，其中（）為任意三項(xiàng)成等比數(shù)列，則，即，化簡得 （*）由知，與同時(shí)為0或同時(shí)不為0當(dāng)與同時(shí)為0時(shí)，有與題設(shè)矛盾。故與同時(shí)不為0，所以由（*）得因?yàn)?，且x、y、z為整數(shù)，所以上式右邊為有理數(shù)，從而為有理數(shù)。于是，對(duì)于任意的正整數(shù)，只要為無理數(shù)，相應(yīng)的數(shù)列就是滿足題意要求的數(shù)列。例如n項(xiàng)數(shù)列1，滿足要求。2、（2009江蘇卷17）（本小題滿分14分） 設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和； （2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng)。 【解析】 本小題主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和的有關(guān)知識(shí)，考查運(yùn)算和求解的能力。滿分14分。（1）設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得，因?yàn)?，所以，即，又由得，解得?(2) （方法一）=,設(shè)， 則=, 所以為8的約數(shù)（方法二）因?yàn)闉閿?shù)列中的項(xiàng)，故為整數(shù)，又由（1）知：為奇數(shù)，所以經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有。w.w.w.zxxk.c.o.m 3、（2009江蘇卷23）（本題滿分10分）對(duì)于正整數(shù)2，用表示關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的有序數(shù)組的組數(shù)，其中（和可以相等）；對(duì)于隨機(jī)選取的（和可以相等），記為關(guān)于的一元二次方程有實(shí)數(shù)根的概率。（1）求和；（2）求證：對(duì)任意正整數(shù)2，有.【解析】 必做題本小題主要考查概率的基本知識(shí)和記數(shù)原理，考查探究能力。滿分10分。 w.w.w.zxxk.c.o.m 4、（2010江蘇卷19）（本小題滿分16分）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，數(shù)列是公差為的等差數(shù)列。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（用表示）；（2）設(shè)為實(shí)數(shù)，對(duì)滿足的任意正整數(shù)，不等式都成立。求證：的最大值為?！窘馕觥勘拘☆}主要考查等差數(shù)列的通項(xiàng)、求和以及基本不等式等有關(guān)知識(shí)，考查探索、分析及論證的能力。滿分16分。（1）由題意知：， ，化簡，得：,，當(dāng)時(shí)，適合情形。故所求（2）（方法一）， 恒成立。 又，故，即的最大值為。（方法二）由及，得，。于是，對(duì)滿足題設(shè)的，有。所以的最大值。另一方面，任取實(shí)數(shù)。設(shè)為偶數(shù)，令，則符合條件，且。于是，只要，即當(dāng)時(shí)，。所以滿足條件的，從而,因此的最大值為。5、（2011江蘇卷20）設(shè)部分為正整數(shù)組成的集合，數(shù)列，前n項(xiàng)和為，已知對(duì)任意整數(shù)kM，當(dāng)整數(shù)都成立 （1）設(shè)的值；（2）設(shè)的通項(xiàng)公式【解析】本小題考查數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和的關(guān)系、等差數(shù)列的基本性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查考生分析探究及邏輯推理的能力，滿分16分。解：（1）由題設(shè)知，當(dāng)，即，所以的值為8。 （2）由題設(shè)知，當(dāng)，兩式相減得所以當(dāng)成等差數(shù)列，且也成等差數(shù)列從而當(dāng)時(shí)，（*）且，即成等差數(shù)列，從而，故由（*）式知當(dāng)時(shí)，設(shè)當(dāng)，從而由（*）式知,故從而，于是因此，對(duì)任意都成立，又由可知，解得因此，數(shù)列為等差數(shù)列，由所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為6、（2012江蘇卷20）（本小題滿分16分） 已知各項(xiàng)均為正數(shù)的兩個(gè)數(shù)列和滿足：（1）設(shè)，求證：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）設(shè)，且是等比數(shù)列，求和的值【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查等差數(shù)列的定義、等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)的靈活運(yùn)用、指數(shù)冪和根式的互化.數(shù)列通項(xiàng)公式的求解.注意利用等差數(shù)列的定義證明問題時(shí)一般思路和基本方法，本題是有關(guān)數(shù)列的綜合題；從近幾年的高考命題趨勢看，數(shù)列問題仍是高考的熱點(diǎn) 、重點(diǎn)問題，在訓(xùn)練時(shí)，要引起足夠的重視.7、（2013江蘇卷19）19本小題滿分16分。設(shè)是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和。記，其中為實(shí)數(shù)。（1）若，且成等比數(shù)列，證明：（）；（2）若是等差數(shù)列，證明：。20本小題滿分16分。設(shè)函數(shù)，其中為實(shí)數(shù)。（1）若在上是單調(diào)減函數(shù)，且在上有最小值，求的取值范圍；（2）若在上是單調(diào)增函數(shù)，試求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論。19證明：是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，是其前項(xiàng)和（1） 成等比數(shù)列 左邊= 右邊=左邊=右邊原式成立（2）是等差數(shù)列設(shè)公差為，帶入得： 對(duì)恒成立由式得： 由式得：法二：證：（1）若，則，當(dāng)成等比數(shù)列，即：，得：，又，故由此：，故：（）（2）， ()若是等差數(shù)列，則型觀察()式后一項(xiàng)，分子冪低于分母冪，故有：，即，而0，故經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)是等差數(shù)列8、 （2013江蘇卷23）卷 附加題9、 23本小題滿分10分。設(shè)數(shù)列，即當(dāng)時(shí)，記，對(duì)于，定義集合（1）求集合中元素的個(gè)數(shù)； （2）求集合中元素的個(gè)數(shù)。23本題主要考察集合數(shù)列的概念與運(yùn)算計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí)，考察探究能力及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法分析解決問題能力及