2018年全國2卷理科數(shù)學試卷及答案.pdf

2018 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試 全國 2 卷數(shù)學 理科 一 選擇題 本題共12 小題 每小題5 分 共 60 分 在每小題給出的四個選項中 只有一項是復合 題目要求的 1 12 12 i i A 43 55 iB 43 55 iC 34 55 iD 34 55 i 2 已知集合 22 3Axy xyxyZZ 則A中元素的個數(shù)為 A 9 B 8 C 5 D 4 3 函數(shù) 2 xx ee fx x 的圖象大致是 4 已知向量ab 滿足 1a 1a b 則2aab A 4 B 3 C 2 D 0 5 雙曲線 22 22 100 xy ab ab 的離心力為3 則其漸近線方程為 A 2yxB 3yxC 2 2 yxD 3 2 yx 6 在 ABC 中 5 cos 25 C 1BC 5AC 則AB A 4 2B 30C 29D 2 5 7 為計算 11111 1 23499100 S 設計了右側的程序框圖 則在空白框中應填入 A 1ii B 2ii C 3ii D 4ii 8 我國數(shù)學家陳景潤在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領先的成果 哥德巴赫猜想是 每個大于2 的偶數(shù)可以表示為兩個素數(shù)的和 如 3 07 2 3 在不超過30 的素數(shù)中 隨機選取兩個不同的數(shù) 其和等于30 的概率是 A 1 12 B 1 14 C 1 15 D 1 18 9 在長方體 1111 ABCDA B C D中 1ABBC 13AA 則異面直線1 AD與 1 DB所成角的余弦值為 A 1 5 B 5 6 C 5 5 D 2 2 10 若cossinfxxx在aa 是減函數(shù) 則a的最大值是 A 4 B 2 C 4 3 D 11 已知 fx 是定義域為 的奇函數(shù) 滿足11fxfx 若12f 則 12350ffff A 50B 0C 2D 50 12 已知 1 F 2 F是橢圓 22 22 10 xy Cab ab 的左 右焦點交點 A是 C 的左頂點 點P在過A且 斜率為 3 6 的直線上 12 PF F 為等腰三角形 12 120F F P 則 C 的離心率為 A 2 3 B 1 2 C 1 3 D 1 4 二 填空題 本題共4 小題 每小題5 分 共 20 分 13 曲線2ln1yx在點00 處的切線方程為 14 若xy 滿足約束條件 250 230 50 xy xy x 則 zxy的最大值為 15 已知 sincos1 cos sin0 則sin 16 已知圓錐的頂點為 S 母線SA SB所成角的余弦值為 7 8 SA與圓錐底面所成角為45 若SAB 的面積為5 15 則該圓錐的側面積為 三 解答題 共70 分 解答應寫出文字說明 證明過程或演算步驟 第17 21 題為必考題 每個試題 考生都必須作答 第22 23 題為選考題 考生根據(jù)要求作答 17 12 分 記 n S為等差數(shù)列 na的前n項和 已知 1 7a 15 3 S 1 求 n a的通項公式 2 求 n S 并求 n S的最小值 18 12 分 下圖是某地區(qū)2000 年至 2016 年環(huán)境基礎設施投資額y 單位 億元 的折線圖 為了預測改地區(qū)2018 年的環(huán)境基礎設施投資額 建立了y與時間變量t的兩個線性回歸模型 根據(jù) 2000 年至 2016 年數(shù)據(jù) 時間變量t的值依次為 127 建立模型 30 413 5yt 根據(jù) 2010 年 至 2016 年的數(shù)據(jù) 時間變量t的值依次為 127 建立模型 9917 5yt 1 分別利用這兩個模型 求該地區(qū)2018 年的環(huán)境基礎設施投資額的預測值 2 你認為用哪個模型得到的預測值更可靠 并說明理由 19 12 分 設拋物線 2 4Cyx 的焦點為F 過F且斜率為0k k 的直線 l 與 C 交于 AB 兩點 8AB 1 求 l 的方程 2 求過點AB 且與 C 的準線相切的圓的方程 20 12 分 如圖 在三棱錐PABC 中 2 2ABBC 4PAPBPCAC O 為 AC 的中點 1 證明 PO平面 ABC 2 若點M在棱 BC 上 且二面角MPAC 為 30 求 PC 與平面PAM所成角的正弦值 21 12 分 已知函數(shù) 2x fxeax 1 若1a 證明 當0 x 時 1fx 2 若f x在0 只有一個零點 求a 二 選考題 共10 分 請考生在第22 23 題中任選一題作答 如果多做 則按所做的第一部分計 分 22 選修 4 4 坐標系與參數(shù)方程 10 分 在直角坐標系xOy 中 曲線 C 的參數(shù)方程為 2cos 4sin x y 為參數(shù) 直線 l 的參數(shù)方程為 1cos 2sin xla yla l 為參數(shù) 1 求 C和l的直角坐標方程 2 若曲線 C 截直線 l 所得線段的中點坐標為12 求 l 的斜率 23 選修 4 5 不等式選講 10 分 設函數(shù)52fxxax 1 當1a時 求不等式0fx 的解集 2 若1fx 求a的取值范圍 參考答案部分 一 選擇題 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A B B A A B C C A C D 12 解 4 1 2 3 6 3 2 2 e ca c cPF 二 填空題 13 xy2 14 9 15 2 1 16 240 16 設母線長為a aaa 2 2 OA8055ASBsin 2 1 S 22 ABS 所以 240 2 2 2 1 S 2 aCa 側 三 填空題 17 解 1 由15 3 S可得 1533 1 da 所以2d 所以92nan 2 16 S4 8 2 n 21 取最小值時 當n nn naa S n n 18 解 1 1 22619 5 134 30 y 5 2569 5 1799 y 2 對于模型 當年份為2016 年時 1 19917 5 134 30 y 對于模型 當年份為2016 年時 5 2217 5 1799 y 比較而言 的準確度高 誤差較小 所以選擇 19 解 1 F 1 0 設直線 1 xky 聯(lián)立0 42 1 4 2222 2 kxkxk xky xy 1 42 21 2 2 21 xx k k xx 82AB 21xx k 1 所以直線方程01yx 2 設 AB的中點為N NN yx 設圓心為M a b 所以圓的半徑r a 1 因為 2 2 3 2 21 21 yy y xx x N N 所以 MN的方程為2 3 1 xy 即05yx 所以 222 22 b3 aMN ax 由垂徑定理 2 2 2 2 AB MNr 即 2 2 32161 aa解得 113aa或 所以圓的方程為 16 2 3 22 yx和144 6 11 22 yx 20 證明 連接BO 因為 AB BC 則 BO AC 所以 BO 2 又因為在 PAC 中 PA PC 4 所以 PO AC 且32PO 因為 222 PBOBPO 所以 PO BO 從而 PO平面 ABC 2 以OB為 x 軸 以OC為 y 軸 以OP為 z 軸 設BCBM B 2 0 0 C 0 2 0 A 0 2 0 P 0 0 32 設 M x y 0 所以 0 2 2 0 2BMBCyx 所以 0 2 2 2M 設 平 面PAC 的 法 向 量 為 0 0 1 1n 設 平 面MPA 的 法 向 量 為 1112zyxn 0 2 2 2 2MA32 2 0PA所以 3 3 1 33 0MA 0PA 2 2 2 2 2 z y x n n 因為二面角MPAC 為 30 所以 2 3 30cos 21 21 0 nn nn 得 3 1 設 PC與平面 PAM所成角為 所以 4 3 PC PC sin 2 2 n n 21 解 1 當 a 1 2 2 2xxx exfxexfxexf 當 單調遞增單調遞減 2ln 2ln xfxxfx 所以02ln22 2 ln fxf 所以是單調遞增在 0 xf 所以1 0 fxf 3 令00 2 a x e xf x 令a x e xg x 2 3 2 x xe xg x 當 單調遞減時 0 2 xgxgx 單調遞增時 0 2 xgxgx 所以a e gxg 4 2 2 min 當無零點時 0 4 min 2 xgxg e a 當只有一個零點時 0 4 min 2 xgxg e a 0 4 min 2 xg e a時 22 1 曲線 C的直角坐標方程 1 164 22 yx 直線 L 直角坐標方程 2 1 tanxy 2 聯(lián)立 1 164 22 yx 與 1cos 2sin xla y