對(duì)質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量的討論.doc

對(duì)質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量的討論摘要：在理論力學(xué)教材中角動(dòng)量定理有各種不同表達(dá)式，對(duì)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)慣性系和質(zhì)心系的角動(dòng)量定理進(jìn)行了探討，對(duì)質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理進(jìn)行了歸納與比較，分清其各個(gè)適用條件。關(guān)鍵詞:參考系；質(zhì)心；瞬心；角動(dòng)量. Exploration of angular momeneum theorem of a system of particlesAbstract Textbooks in theoretical mechanics theorem of angular momentum, different expressions, in which the angular momentum of the theorem of particles were discussed and compared to distinguish the various application conditions Key words Reference system; mass; instantaneous center; angular momentum.引言角動(dòng)量不但與參考系有關(guān),而且還與參考點(diǎn)有關(guān), 在理論力學(xué)教材中給出了角動(dòng)量定理在不同參考系中對(duì)不同參考點(diǎn)的各種表達(dá)式。對(duì)此進(jìn)行了分析、比較與歸納。明確在質(zhì)點(diǎn)系下不同參考系和不同參考點(diǎn)下的各種表達(dá)式的區(qū)別、聯(lián)系及各自的適用條件，總結(jié)了質(zhì)點(diǎn)系下的不同表達(dá)式。對(duì)其做了一定程度的討論。1.質(zhì)點(diǎn)系對(duì)參考點(diǎn)的角動(dòng)量定理定義質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)對(duì)于參考點(diǎn)O的角動(dòng)量的矢量和稱為質(zhì)點(diǎn)系對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量1： 式中是相對(duì)于慣性系的。質(zhì)點(diǎn)對(duì)于參考點(diǎn)的角動(dòng)量定理：取第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)：對(duì)上式中所有質(zhì)點(diǎn)求和得：對(duì)O點(diǎn)的力矩為: 如圖（1） 圖（1） 上式就是質(zhì)點(diǎn)系對(duì)某參考點(diǎn)的角動(dòng)量定理.質(zhì)點(diǎn)對(duì)固定點(diǎn)的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的微商，等于作用于該質(zhì)點(diǎn)上的力對(duì)該點(diǎn)的力矩。對(duì)于質(zhì)點(diǎn)系，由于其內(nèi)各質(zhì)點(diǎn)間相互作用的內(nèi)力服從牛頓第三定律，因而質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力對(duì)任一點(diǎn)的主矩為零。利用內(nèi)力的這一特性，即可導(dǎo)出質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理：質(zhì)點(diǎn)系對(duì)任一固定點(diǎn)O的角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的微商等于作用于該質(zhì)點(diǎn)系的諸外力對(duì)O點(diǎn)的力矩的矢量和。2.關(guān)于力矩的表達(dá)式對(duì)于力矩,無論是在慣性系中對(duì)定點(diǎn)O或是在非慣性系中對(duì)定點(diǎn)P (相對(duì)O 點(diǎn)位矢為rP) 計(jì)算力矩總有 上式中為質(zhì)點(diǎn)系受到的合外力矢量和，和別為在慣性系中對(duì)O點(diǎn)和在非慣性系中對(duì)P點(diǎn)的力矩2。3. 角動(dòng)量定理的各種數(shù)學(xué)表達(dá)式3表1 數(shù)學(xué)表達(dá)式參考系參考點(diǎn)角動(dòng)量定理數(shù)學(xué)表達(dá)式角動(dòng)量表達(dá)式 慣 性系定點(diǎn)O動(dòng)點(diǎn)P質(zhì)心C瞬心a (1) （2） （3） （4） 質(zhì)心系 質(zhì)心C定點(diǎn)P （5） （6） 3.1 對(duì)慣性系中L的討論表中給出的角動(dòng)量L的各種表達(dá)式間有一定聯(lián)系。在慣性系中對(duì)動(dòng)點(diǎn)P(或C、a) 的角。動(dòng)量(或 、) 可表示為 （7）式中, （8）式(7)表明:質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)慣性系中變動(dòng)參考點(diǎn)P (或C、a) 的角動(dòng)量(或、) ,等于其相對(duì)定點(diǎn)O的角動(dòng)量與其總動(dòng)量平移到點(diǎn)P或C、a后相對(duì)同一定點(diǎn)O的角動(dòng)量之差.當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P 就是質(zhì)心C 時(shí), 則由式(7)得到一般教材中給出的結(jié)果 若把式(8) 代入式(7) , 可得到一個(gè)非常有用的公式,即 = (9)式(9) 表明:質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)慣性系中動(dòng)點(diǎn)P 的角動(dòng)量, 等于其對(duì)質(zhì)心C 的角動(dòng)量與質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量對(duì)P點(diǎn)的角動(dòng)量之矢量和4。3.1.1 慣性系中對(duì)動(dòng)點(diǎn)和瞬心的角動(dòng)量定理討論在慣性系表中對(duì)于動(dòng)點(diǎn)P的角動(dòng)量定理數(shù)學(xué)表達(dá)式和瞬心a的角動(dòng)量定理數(shù)學(xué)表達(dá)式實(shí)質(zhì)上是一致的.這表明:在慣性系中對(duì)質(zhì)心之外的動(dòng)點(diǎn)P(也可以是瞬心a) ,質(zhì)點(diǎn)系所受合外力矩并不等于角動(dòng)量的時(shí)間變化率,出現(xiàn)了附加項(xiàng).若參考點(diǎn)P固定(=0) ,則附加項(xiàng)為零,式(2) 變?yōu)槭?1);若動(dòng)點(diǎn)P (或瞬心a)的速度(或)與質(zhì)心速度平行,則附加項(xiàng)也為零, 式(2) 與(1) 等價(jià); 若動(dòng)點(diǎn)P的速度=恒矢量, 雖有=0 , 但只要不平行,則附加項(xiàng)也不為零. 由此可見,一般情況下,附加項(xiàng)與動(dòng)點(diǎn)P的速度有關(guān),與動(dòng)點(diǎn)P的加速度a、P無關(guān)5。3.2 對(duì)非慣性系（或質(zhì)點(diǎn)系）中L的討論在非慣性系(或質(zhì)心系) 中對(duì)定點(diǎn)P(設(shè)與上述慣性系中P 點(diǎn)是同一點(diǎn))的角動(dòng)量LP 可表示為 式(10)中(10)表明:在非慣性系中對(duì)定點(diǎn)P的角動(dòng)量,等于其對(duì)質(zhì)心C 的角動(dòng)量與質(zhì)心C對(duì)點(diǎn)P 的位矢與叉積之矢量和。不同雖然式(10)與式(9)形式相似,但其本質(zhì)。式(9)為在慣性系中對(duì)動(dòng)點(diǎn)P 計(jì)算角動(dòng)量，而式(10)為在非慣性系中對(duì)同一點(diǎn)P(為定點(diǎn))計(jì)算角動(dòng)量?？梢?在不同參考系中即便是對(duì)同一點(diǎn)(如P點(diǎn)) 計(jì)算角動(dòng)量,一般也不相等。但對(duì)質(zhì)心C這個(gè)特殊點(diǎn)則恒有這是因?yàn)?顯然上式等號(hào)右邊第一項(xiàng)為第二項(xiàng)即有。這說明:在慣性系中對(duì)質(zhì)心C計(jì)算角動(dòng)量 與在質(zhì)心系中對(duì)質(zhì)心C計(jì)算角動(dòng)量總是相等的, 這正是質(zhì)心的一個(gè)重要特征?？紤]到,則由式(9)與(10)可得 (11)從式(11) 可以看出,在兩個(gè)相互平動(dòng)的參考系中對(duì)同一點(diǎn)P 計(jì)算角動(dòng)量所得值一般是不等的,除非是對(duì)質(zhì)心C或與 平行時(shí)才有 . 這一點(diǎn)應(yīng)當(dāng)特別注意6。3.2.1對(duì)質(zhì)心的角動(dòng)量定理的討論7本文表中式(3) 、(5) 在形式上與式(1)相同，說明角動(dòng)量定理在慣性系中對(duì)質(zhì)心C 或在平動(dòng)質(zhì)心系中對(duì)質(zhì)心C 仍能成立(與在慣性系中對(duì)定點(diǎn)O有相同形式) . 但應(yīng)注意：式(3)與式(5) 含義不同,式(3) 是在慣性系中對(duì)質(zhì)心計(jì)算角動(dòng)量LC 式(8) , 計(jì)算力矩不需考慮慣性力矩；式(5)是在非慣性系中對(duì)質(zhì)心計(jì)算角動(dòng)量 () ,但計(jì)算力矩需考慮到慣性力矩。式(5)中并未出現(xiàn)慣性力矩是因?yàn)槠絼?dòng)慣性力過質(zhì)心,對(duì)質(zhì)心力矩為零的緣故。因此可得結(jié)論:式(5) 僅對(duì)平動(dòng)質(zhì)心系中的質(zhì)心C才能成立,對(duì)質(zhì)心之外的其他點(diǎn)一般不成立。4.其他在不同版本的理論力學(xué)教科書中討論剛體平面平行運(yùn)動(dòng)時(shí), 給出的角動(dòng)量定理對(duì)瞬心a成立的條件各不相同, 歸納起來為: ; 常矢量; Ia (對(duì)過瞬心a 的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量)不變.由上述討論可以知道,它們實(shí)質(zhì)上是一致的,具體應(yīng)用時(shí)可選其中某一個(gè)條件判定定理是否成立即可8.結(jié)論本文通過質(zhì)點(diǎn)系中各個(gè)不同參考系和參考點(diǎn)下的角動(dòng)量的表達(dá)式，對(duì)其進(jìn)行了一定程度的討論，在慣性系和質(zhì)心系下不同的參考點(diǎn)的表達(dá)式不同，分析了其中的原因與聯(lián)系，總結(jié)了其中的區(qū)別和各個(gè)適用條件。參考文獻(xiàn)：1 漆安慎，杜嬋英力學(xué)M北京：高等教育出版社，1998：2502 王禮志，介萬奇質(zhì)心系下力矩的分析M吉林：吉林大學(xué)出版社，1991：3843 劉華 孫風(fēng)明對(duì)質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理的討論J物理學(xué)報(bào)，1996，32(7)：6034 張揚(yáng)名，王寧福慣性系中角動(dòng)量的討論J物理周刊，2001，19(4)：2435 李瑞豐，非慣性系中角動(dòng)量的分析J物理科學(xué)與工程，2001，19（4）：1