高考數(shù)學總復習 第九單元 第五節(jié) 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)課件.ppt

第五節(jié)直線 平面垂直的判定及其性質(zhì) 線線垂直的證明及應用 如圖所示 在側(cè)棱垂直于底面的三棱柱中 ab bc d e分別為的中點 證明 ed為異面直線bb1與ac1的公垂線 分析證明ed和bb1 ac1同時垂直 先由平面幾何知識證明bo ac 再證明bo 平面acc1a1 即ed 平面acc1a1 證明 規(guī)律總結(jié)線線垂直的證明 可以有許多途徑 其一 利用某一平面上平面幾何的關(guān)系 其二 利用線面垂直的性質(zhì) 其三 利用面面垂直的性質(zhì)等 變式訓練1如圖所示 在空間四邊形abcd中 e f g h分別是邊ab bc cd da的中點 對角線ac bd a且它們所成的角為30 1 求證 eg hf 2 求四邊形efgh的面積 解析 線面垂直的判定與性質(zhì) 已知pa 矩形abcd所在平面 m n分別是ab pc的中點 1 求證 mn cd 2 若 pda 45 求證 mn 平面pcd 分析 1 因為m為ab的中點 所以只要證 anb為等腰三角形 則利用等腰三角形的性質(zhì)可得mn ab 即mn cd 2 已知mn cd 只需再證mn pc 易看出 pmc為等腰三角形 利用n為pc的中點 可得mn pc 則可得mn 平面pcd 證明 規(guī)律總結(jié)線面垂直問題的證明 其一般規(guī)律是 由已知聯(lián)想性質(zhì) 由求證聯(lián)想判定 即根據(jù)已知條件去思考有關(guān)線面垂直的性質(zhì)定理 根據(jù)欲證的結(jié)論去思考有關(guān)線面垂直的判定定理 往往需要將分析與綜合進行結(jié)合 尋找已知條件和欲證目標間的聯(lián)系 變式訓練 如圖所示 已知 abd和 acd都是以d為直角頂點的直角三角形 且ad bd cd bac 60 1 求證 bd 平面adc 2 若h是 abc的垂心 求證 h是d在平面abc內(nèi)的射影 證明 1 adb adc 90 da db dc ab ac 又 bac 60 abc為正三角形 ab bc ac abd cbd adb bdc 90 bd dc 又bd ad bd ad d bd 面adc 2 h為 abc的垂心 ah bc于m 連接dm 如圖所示 ad db ad dc ad 平面bdc ad bc bc 平面adm bc dh 同理 dh ab dh 面abc h為d在平面abc內(nèi)的射影 面面垂直的判定與性質(zhì) 如圖所示 過s引三條長度相等但不共面的線段sa sb sc 且 asb asc 60 bsc 90 求證 平面abc 平面bsc 分析取bc的中點o 連接ao so 既可證明ao 平面bsc 又可證明so 平面abc 或證明二面角的平面角為直角 證明 規(guī)律總結(jié)面面垂直的證明問題 主要思路有兩條 其一 用面面垂直的判定定理 即先證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線 其二 用面面垂直的定義 即證明兩個平面所成的二面角是直二面角 把面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題 變式訓練 2010 遼寧高考 如圖所示 棱柱abc a1b1c1的側(cè)面bcc1b1是菱形 b1c a1b 1 證明 平面ab1c 平面a1bc1 2 設(shè)d是a1c1上的點 且a1b 平面b1cd 求a1d dc1的值 解析 1 證明 側(cè)面bcc1b1是菱形 b1c bc1 又已知b1c a1b 且a1b bc1 b b1c 平面a1bc1 又b1c 平面ab1c 平面ab1c 平面a1bc1 2 如圖 設(shè)bc1交b1c于點e 連接de 則de是平面a1bc1與平面b1cd的交線 a1b 平面b1cd a1b de 又e是bc1的中點 d是a1c1的中點 即a1d dc1 1 垂直關(guān)系的應用 12分 在四棱錐p abcd中 底面abcd是矩形 ab 2 bc a 又側(cè)棱pa 底面abcd 1 當a為何值時 bd 平面pac 試證明你的結(jié)論 2 當a 4時 求證 bc邊上存在一點m 使得pm dm 3 若在bc邊上至少存在一點m 使pm dm 求a的取值范圍 分析 1 尋求bd 平面pac的條件 即bd垂直平面pac內(nèi)兩條相交直線 易知bd pa 問題歸結(jié)為a為何值時 bd ac 從而知abcd為正方形 2 若pm dm 易知dm 面pam 得dm am 由ab 2 a 4知 m為bc的中點時得兩個全等的正方形 滿足dm am 1 當a 2時 四邊形abcd為正方形 則bd ac 2分 pa 底面abcd bd 平面abcd bd pa 又 pa ac a 3分 bd 平面pac 故當a 2時 bd 平面pac 4分 2 證明 當a 4時 取bc邊的中點m ad邊的中點n 連接am dm mn 如圖 5分 四邊形abmn和四邊形dcmn都是正方形 6分 amd amn dmn 45 45 90 7分即dm am 又pa 底面abcd pa dm dm 平面pam pm dm 9分故當a 4時 有bc邊的中點m使pm dm 3 設(shè)m是bc邊上符合題設(shè)的點m pa 底面abcd dm am 11分 m點應是以ad為直徑的圓和bc邊的交點 則ad 2ab 即a 4為所求 12分 規(guī)律總結(jié)無論是線面垂直還是面面垂直 都源自于線線垂直 在處理實際問題的過程中 可以先從題設(shè)條件入手 分析已有的垂直關(guān)系 再從結(jié)論入手分析所要證明的垂直關(guān)系 從而架起已知與未知之間的橋梁 變式訓練 2010 濟南3月模擬 如圖 已知正方體abcd a1b1c1d1 過bd1的平面分別交棱aa1 cc1于e f兩點 1 求證 a1e cf 2 若e f分別是棱aa1 cc1的中點 求證 平面ebfd1 平面bb1d1d 證明 1 由題意知 平面ebfd1與平面bcc1b1交于bf 與平面add1a1交于ed1 又平面bcc1b1 平面add1a1 bf ed1 同理be d1f 四邊形ebfd1為平行四邊形 d1e bf a1d1 cb d1e bf d1a1e bcf 90 rt a1d1e rt cbf a1e cf 2 ae a1e fc fc1 ab bc rt eab rt fcb be bf 又四邊形ebfd1是平行四邊形 故四邊形ebfd1為菱形 連接ef bd1 a1c1 則ef bd1 在正方體abcd a1b1c1d1中 有b1d1 a1c1 b1d1 a1a b1d1 平面a1acc1 又ef 平面a1acc1 ef b1d1 又b1d1 bd1 d1 ef 平面bb1d1d 又ef 平面ebfd1 平面ebfd1 平面bb1d1d 1 證明空間線面垂直的思維策略 1 由已知聯(lián)想性質(zhì) 由求證尋找判定 即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路 2 利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當添加輔助線 或面 是常用方法 3 正確選擇判定定理和性質(zhì)定理 用定理時要先申明條件再由定理得出相應結(jié)論 2 垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化線線垂直 線面垂直 面面垂直 3 證明或判斷線面垂直的常見方法 1 利用線面垂直的判定定理 此種方法要注意平面內(nèi)的兩條直線必須相交 2 利用線線平行的性質(zhì) 兩平行線中一條垂直于一個平面 另一條也垂直于這個平面 3 利用面面垂直的性質(zhì) 兩平面垂直 在一個平面內(nèi)垂直于交線的直線必垂直于另一個平面 4 利用面面平行的性質(zhì) 一條直線垂直于兩平行平面中的一個 必垂直于另一個平面 4 證明或判斷面面垂直的常用方法 1 求證二面角是直二面角 2 利用面面垂直的判定定理 3 兩個平行平面中 有一個垂直于第三個平面 則另一個也