《新課標(biāo)》高三數(shù)學(xué)（人教版）第一輪復(fù)習(xí)單元講座 第34講 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系.doc

普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué) 人教版 高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座34）直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系一課標(biāo)要求：1通過(guò)圓錐曲線(xiàn)與方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想；2掌握直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系判定及其相關(guān)問(wèn)題。二命題走向近幾年來(lái)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系在高考中占據(jù)高考解答題壓軸題的位置，且選擇、填空也有涉及，有關(guān)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的題目可能會(huì)涉及線(xiàn)段中點(diǎn)、弦長(zhǎng)等。分析這類(lèi)問(wèn)題，往往利用數(shù)形結(jié)合的思想和“設(shè)而不求”的方法，對(duì)稱(chēng)的方法及韋達(dá)定理等。預(yù)測(cè)07年高考：1會(huì)出現(xiàn)1道關(guān)于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的解答題；2與直線(xiàn)、圓錐曲線(xiàn)相結(jié)合的綜合型考題，等軸雙曲線(xiàn)基本不出題，坐標(biāo)軸平移或平移化簡(jiǎn)方程一般不出解答題，大多是以選擇題形式出現(xiàn)。三要點(diǎn)精講1點(diǎn)M(x0，y0)與圓錐曲線(xiàn)C：f(x，y)=0的位置關(guān)系2直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，從幾何角度可分為三類(lèi)：無(wú)公共點(diǎn)，僅有一個(gè)公共點(diǎn)及有兩個(gè)相異公共點(diǎn)。直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系的研究方法可通過(guò)代數(shù)方法即解方程組的辦法來(lái)研究。因?yàn)榉匠探M解的個(gè)數(shù)與交點(diǎn)的個(gè)數(shù)是一樣的。直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系可分為：相交、相切、相離對(duì)于拋物線(xiàn)來(lái)說(shuō)，平行于對(duì)稱(chēng)軸的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于一點(diǎn)，但并不是相切；對(duì)于雙曲線(xiàn)來(lái)說(shuō)，平行于漸近線(xiàn)的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，但并不相切這三種位置關(guān)系的判定條件可引導(dǎo)學(xué)生歸納為：注意：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)有一個(gè)公共點(diǎn)是直線(xiàn)與拋物線(xiàn)、雙曲線(xiàn)相切的必要條件，但不是充分條件3直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交的弦長(zhǎng)公式設(shè)直線(xiàn)l:y=kx+n，圓錐曲線(xiàn)：F(x,y)=0，它們的交點(diǎn)為P1 (x1,y1)，P2 (x2,y2)，且由，消去yax2+bx+c=0（a0），=b2 4ac。則弦長(zhǎng)公式為：d=。焦點(diǎn)弦長(zhǎng)：（點(diǎn)是圓錐曲線(xiàn)上的任意一點(diǎn)，是焦點(diǎn)，是到相應(yīng)于焦點(diǎn)的準(zhǔn)線(xiàn)的距離，是離心率）。四典例解析題型1：直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系例1已知橢圓：，過(guò)左焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線(xiàn)交橢圓于A、B兩點(diǎn)，求弦AB的長(zhǎng)。解析：a=3,b=1,c=2，則F（-2，0）。由題意知：與聯(lián)立消去y得：。設(shè)A（、B（，則是上面方程的二實(shí)根，由違達(dá)定理，又因?yàn)锳、B、F都是直線(xiàn)上的點(diǎn)，所以|AB|=點(diǎn)評(píng)：也可讓學(xué)生利用“焦半徑”公式計(jì)算。例2中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F1（0，）的橢圓截直線(xiàn)所得弦的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程。解析：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由F1（0，）得把直線(xiàn)方程代入橢圓方程整理得：。設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)為，則由根與系數(shù)的關(guān)系得：，又AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為，與方程聯(lián)立可解出故所求橢圓的方程為：。點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題意，可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，與直線(xiàn)方程聯(lián)立解方程組，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出中點(diǎn)的橫坐標(biāo)，再由F1（0，）知，c=，最后解關(guān)于a、b的方程組即可。例3（06遼寧卷）直線(xiàn)與曲線(xiàn) 的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（ ）(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析：將代入得：。，顯然該關(guān)于的方程有兩正解，即x有四解，所以交點(diǎn)有4個(gè)，故選擇答案D。點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程與曲線(xiàn)的關(guān)系以及絕對(duì)值的變換技巧，同時(shí)對(duì)二次方程的實(shí)根分布也進(jìn)行了簡(jiǎn)單的考查。例4（2000上海，17）已知橢圓C的焦點(diǎn)分別為F1（，0）和F2（2，0），長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，設(shè)直線(xiàn)y=x+2交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)。解析：設(shè)橢圓C的方程為，由題意a=3，c=2，于是b=1.橢圓C的方程為y21由得10x236x270，因?yàn)樵摱畏匠痰呐袆e式0，所以直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1x2，故線(xiàn)段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為（）點(diǎn)評(píng)：本題主要考查橢圓的定義標(biāo)準(zhǔn)方程，直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系及線(xiàn)段中點(diǎn)坐標(biāo)公式。題型2：直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的位置關(guān)系例5（1）過(guò)點(diǎn)與雙曲線(xiàn)有且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有幾條，分別求出它們的方程。（2）直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)相交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)為何值時(shí)，A、B在雙曲線(xiàn)的同一支上？當(dāng)為何值時(shí)，A、B分別在雙曲線(xiàn)的兩支上？解析：（1）解：若直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，則，此時(shí)僅有一個(gè)交點(diǎn)，滿(mǎn)足條件；若直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)直線(xiàn)的方程為則， ，當(dāng)時(shí)，方程無(wú)解，不滿(mǎn)足條件；當(dāng)時(shí)，方程有一解，滿(mǎn)足條件；當(dāng)時(shí)，令，化簡(jiǎn)得：無(wú)解，所以不滿(mǎn)足條件；所以滿(mǎn)足條件的直線(xiàn)有兩條和。（2）把代入整理得：（1）當(dāng)時(shí)，。由0得且時(shí)，方程組有兩解，直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)有兩個(gè)交點(diǎn)。若A、B在雙曲線(xiàn)的同一支，須0 ，所以或。故當(dāng)或時(shí)，A、B兩點(diǎn)在同一支上；當(dāng)時(shí)，A、B兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)的兩支上。點(diǎn)評(píng)：與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線(xiàn)有兩種。一種是與漸近線(xiàn)平行的兩條與雙曲線(xiàn)交于一點(diǎn)的直線(xiàn)。另一種是與雙曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)也有兩條。例5（1）求直線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)；（2）求過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)被雙曲線(xiàn)截得的弦中點(diǎn)軌跡方程。解析：由得得（*）設(shè)方程（*）的解為，則有 得，（2）方法一：若該直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)與雙曲線(xiàn)無(wú)交點(diǎn)，則設(shè)直線(xiàn)的方程為，它被雙曲線(xiàn)截得的弦為對(duì)應(yīng)的中點(diǎn)為， 由得（*）設(shè)方程（*）的解為，則，且，得或。方法二：設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)坐標(biāo)為，弦中點(diǎn)為，則得：， 即， 即（圖象的一部分）點(diǎn)評(píng)：（1）弦長(zhǎng)公式；（2）有關(guān)中點(diǎn)弦問(wèn)題的兩種處理方法。例7過(guò)雙曲線(xiàn)的一焦點(diǎn)的直線(xiàn)垂直于一漸近線(xiàn)，且與雙曲線(xiàn)的兩支相交，求該雙曲線(xiàn)離心率的范圍。解析：設(shè)雙曲線(xiàn)的方程為，漸近線(xiàn)，則過(guò)的直線(xiàn)方程為，則，代入得，即得，即得到。點(diǎn)評(píng)：直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系經(jīng)常和圓錐曲線(xiàn)的幾何要素建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，取值范圍往往與判別式的取值建立聯(lián)系。題型3：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系例8已知拋物線(xiàn)方程為，直線(xiàn)過(guò)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)F且被拋物線(xiàn)截得的弦長(zhǎng)為3，求p的值。解析：設(shè)與拋物線(xiàn)交于由距離公式|AB|=由從而由于p0，解得點(diǎn)評(píng)：方程組有兩組不同實(shí)數(shù)解或一組實(shí)數(shù)解則相交；有兩組相同實(shí)數(shù)解則相切；無(wú)實(shí)數(shù)解則相離。例92003上海春，4）直線(xiàn)y=x1被拋物線(xiàn)y2=4x截得線(xiàn)段的中點(diǎn)坐標(biāo)是_.答案：（3，2）解法一：設(shè)直線(xiàn)y=x1與拋物線(xiàn)y2=4x交于A(x1，y1),B（x2，y2）,其中點(diǎn)為P（x0，y0）。由題意得，（x1）2=4x，x26x+1=0。x0=3.y0=x01=2.P（3，2）。解法二：y22=4x2，y12=4x1，y22y12=4x24x1，=4.y1+y2=4，即y0=2，x0=y0+1=3。故中點(diǎn)為P（3，2）。點(diǎn)評(píng)：本題考查曲線(xiàn)的交點(diǎn)與方程的根的關(guān)系.同時(shí)應(yīng)注意解法一中的縱坐標(biāo)與解法二中的橫坐標(biāo)的求法。例10（1997上海）拋物線(xiàn)方程為y2=p（x+1）（p0），直線(xiàn)x+y=m與x軸的交點(diǎn)在拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)的右邊.（1）求證：直線(xiàn)與拋物線(xiàn)總有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）設(shè)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)為Q、R，OQOR，求p關(guān)于m的函數(shù)f（m）的表達(dá)式；（3）（文）在（2）的條件下，若拋物線(xiàn)焦點(diǎn)F到直線(xiàn)x+y=m的距離為，求此直線(xiàn)的方程；（理）在（2）的條件下，若m變化，使得原點(diǎn)O到直線(xiàn)QR的距離不大于，求p的值的范圍.解：（1）拋物線(xiàn)y2=p（x+1）的準(zhǔn)線(xiàn)方程是x=1，直線(xiàn)x+y=m與x軸的交點(diǎn)為（m，0），由題設(shè)交點(diǎn)在準(zhǔn)線(xiàn)右邊，得m1，即4m+p+40.由得x2（2m+p）x+（m2p）=0.而判別式=（2m+p）24（m2p）=p（4m+p+4）.又p0及4m+p+40，可知0.因此，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)總有兩個(gè)交點(diǎn)；（2）設(shè)Q、R兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（x1，y1）、（x2，y2），由（1）知，x1、x2是方程x2（2m+p）x+m2p=0的兩根，x1+x2=2m+p，x1x2=m2p.由OQOR，得kOQkOR=1，即有x1x2+y1y2=0.又Q、R為直線(xiàn)x+y=m上的點(diǎn)，因而y1=x1+m，y2=x2+m.于是x1x2+y1y2=2x1x2m（x1+x2）+m2=2（m2p）m（2m+p）+m2=0，p=f（m）=，由得m2，m0；（3）（文）由于拋物線(xiàn)y2=p（x+1）的焦點(diǎn)F坐標(biāo)為（1+，0），于是有，即|p4m4|=4.又p=|=4.解得m1=0，m2=，m3=4，m4=.但m0且m2，因而舍去m1、m2、m3，故所求直線(xiàn)方程為3x+3y+4=0.（理）解法一：由于原點(diǎn)O到直線(xiàn)x+y=m的距離不大于，于是，|m|1.由（2），知m2且m0，故m1，0）（0，1.由（2），知f（m）=（m+2）+4，當(dāng)m1，0）時(shí)，任取m1、m2，0m1m21，則f（m1）f（m2）=（m1m2）+（）=（m1m2）1.由0m1m21，知0（m1+2）（m2+2）4，10.又由m1m20知f（m1）f（m2）因而f（m）為減函數(shù).可見(jiàn)，當(dāng)m1，0）時(shí)，p（0，1.同樣可證，當(dāng)m（0，1時(shí)，f（m）為增函數(shù)，從而p（0，.解法二：由解法一知，m1，0）（0，1.由（2）知p=f（m）=.設(shè)t=，g（t）=t+2t2，則t（，11，+），又g（t）=2t2+t=2（t+）2.當(dāng)t（，1時(shí)，g（t）為減函數(shù)，g（t）1，+）.當(dāng)t1，+）時(shí)，g（t）為增函數(shù)，g（t）3，+）.因此，當(dāng)m1，0時(shí)，t（，1，p=（0，1；當(dāng)m（0，1時(shí)，t1，+），p（0，.點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線(xiàn)的性質(zhì)與方程，拋物線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，函數(shù)與不等式的知識(shí)，以及解決綜合問(wèn)題的能力。例11（06山東卷）已知拋物線(xiàn)y2=4x，過(guò)點(diǎn)P(4，0)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)，則y12+y22的最小值是 。解析：顯然0，又4（）8，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以所求的值為32。點(diǎn)評(píng)：該題考查直線(xiàn)與拋物線(xiàn)位置關(guān)系下的部分求值問(wèn)題，結(jié)合基本不等式求得最終結(jié)果。五思維總結(jié)1加強(qiáng)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系問(wèn)題的復(fù)習(xí)由于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系一直為高考的熱點(diǎn)。這類(lèi)問(wèn)題常涉及到圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)和直線(xiàn)的基本知識(shí)點(diǎn)、線(xiàn)段的中點(diǎn)、弦長(zhǎng)、垂直問(wèn)題，因此分析問(wèn)題時(shí)利用數(shù)形結(jié)合思想來(lái)設(shè)。而不求法與弦長(zhǎng)公式及韋達(dá)定理聯(lián)系去解決。這樣就加強(qiáng)了對(duì)數(shù)學(xué)各種能力的考查；2關(guān)于直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交弦則結(jié)合韋達(dá)定理采用設(shè)而不求法。利用引入一個(gè)參數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)x、y，間接把它們聯(lián)系起來(lái)，減少變量、未知量采用參數(shù)法。有些題目還常用它們與平面幾何的關(guān)系，利用平面幾何知識(shí)會(huì)化難為易，化繁為簡(jiǎn)，收到意想不到的解題效果；3直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)有無(wú)公共點(diǎn)或有幾個(gè)公共點(diǎn)的問(wèn)題，實(shí)際上是研究它們的方程組成的方程是否有實(shí)數(shù)解成實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù)問(wèn)題，此時(shí)要注意用好分類(lèi)討論和數(shù)形結(jié)合的思想方法；4當(dāng)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交時(shí) 涉及弦長(zhǎng)問(wèn)題，常用“韋達(dá)定理法”設(shè)而不求計(jì)算弦長(zhǎng)(即應(yīng)用弦長(zhǎng)公式)；涉及弦長(zhǎng)的中點(diǎn)問(wèn)題，常用“點(diǎn)差法”設(shè)而不求，將弦所在直線(xiàn)的斜率、弦的中點(diǎn)坐標(biāo)聯(lián)系起來(lái)，相互轉(zhuǎn)化。同時(shí)還應(yīng)充分挖掘題目的隱含條件，尋找量與量間的關(guān)系靈活轉(zhuǎn)化，往往就能事半功倍；普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué) 人教版 高三新數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)教案（講座29）等比數(shù)列一課標(biāo)要求：1通過(guò)實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念；2探索并掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式；3能在具體的問(wèn)題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并能用有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問(wèn)題。體會(huì)等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系。二命題走向等比數(shù)列與等差數(shù)列同樣在高考中占有重要的地位，是高考出題的重點(diǎn)。客觀性的試題考察等比數(shù)列的概念、性質(zhì)、通項(xiàng)公式、求和公式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本性質(zhì)的靈活應(yīng)用，對(duì)基本的運(yùn)算要求比較高，解答題大多以數(shù)列知識(shí)為工具。預(yù)測(cè)07年高考對(duì)本講的考察為：（1）題型以等比數(shù)列的公式、性質(zhì)的靈活應(yīng)用為主的12道客觀題目；（2）關(guān)于等比數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題或知識(shí)交匯題的解答題也是重點(diǎn)；（3）解決問(wèn)題時(shí)注意數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用，象通過(guò)逆推思想、函數(shù)與方程、歸納猜想、等價(jià)轉(zhuǎn)化、分類(lèi)討論等，它將能靈活考察考生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。三要點(diǎn)精講1等比數(shù)列定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母表示，即：數(shù)列對(duì)于數(shù)列（1）（2）（3）都是等比數(shù)列，它們的公比依次是2，5，。（注意：“從第二項(xiàng)起”、“常數(shù)”、等比數(shù)列的公比和項(xiàng)都不為零）2等比數(shù)列通項(xiàng)公式為：。說(shuō)明：（1）由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可以知道：當(dāng)公比時(shí)該數(shù)列既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列；（2）等比數(shù)列的通項(xiàng)公式知：若為等比數(shù)列，則。3等比中項(xiàng)如果在中間插入一個(gè)數(shù)，使成等比數(shù)列，那么叫做的等比中項(xiàng)（兩個(gè)符號(hào)相同的非零實(shí)數(shù)，都有兩個(gè)等比中項(xiàng)）。4等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式一般地，設(shè)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和是，當(dāng)時(shí)， 或；當(dāng)q=1時(shí)，（錯(cuò)位相減法）。說(shuō)明：（1）和各已知三個(gè)可求第四個(gè)；（2）注意求和公式中是，通項(xiàng)公式中是不要混淆；（3）應(yīng)用求和公式時(shí)，必要時(shí)應(yīng)討論的情況。四典例解析題型1：等比數(shù)列的概念例1“公差為0的等差數(shù)列是等比數(shù)列”；“公比為的等比數(shù)列一定是遞減數(shù)列”；“a,b,c三數(shù)成等比數(shù)列的充要條件是b2=ac”；“a,b,c三數(shù)成等差數(shù)列的充要條件是2b=a+c”，以上四個(gè)命題中，正確的有（ ）A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)解析：四個(gè)命題中只有最后一個(gè)是真命題。命題1中未考慮各項(xiàng)都為0的等差數(shù)列不是等比數(shù)列；命題2中可知an+1=an，an+1an未必成立，當(dāng)首項(xiàng)a10時(shí)，anan，即an+1an，此時(shí)該數(shù)列為遞增數(shù)列；命題3中，若a=b=0，cR，此時(shí)有，但數(shù)列a,b,c不是等比數(shù)列，所以應(yīng)是必要而不充分條件，若將條件改為b=，則成為不必要也不充分條件。點(diǎn)評(píng)：該題通過(guò)一些選擇題的形式考察了有關(guān)等比數(shù)列的一些重要結(jié)論，為此我們要注意一些有關(guān)等差數(shù)列、等比數(shù)列的重要結(jié)論。例2命題1：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=an+b(a1)，則數(shù)列an是等比數(shù)列；命題2：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=an2+bn+c(a0)，則數(shù)列an是等差數(shù)列；命題3：若數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn=nan，則數(shù)列an既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列；上述三個(gè)命題中，真命題有（ ）A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)解析： 由命題1得，a1=a+b，當(dāng)n2時(shí)，an=SnSn1=(a1)an1。若an是等比數(shù)列，則=a，即=a，所以只有當(dāng)b=1且a0時(shí)，此數(shù)列才是等比數(shù)列。由命題2得，a1=a+b+c，當(dāng)n2時(shí)，an=SnSn1=2na+ba，若an是等差數(shù)列，則a2a1=2a，即2ac=2a，所以只有當(dāng)c=0時(shí)，數(shù)列an才是等差數(shù)列。由命題3得，a1=a1，當(dāng)n2時(shí)，an=SnSn1=a1，顯然an是一個(gè)常數(shù)列，即公差為0的等差數(shù)列，因此只有當(dāng)a10；即a1時(shí)數(shù)列an才又是等比數(shù)列。點(diǎn)評(píng)：等比數(shù)列中通項(xiàng)與求和公式間有很大的聯(lián)系，上述三個(gè)命題均涉及到Sn與an的關(guān)系，它們是an=，正確判斷數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列，都必須用上述關(guān)系式，尤其注意首項(xiàng)與其他各項(xiàng)的關(guān)系。上述三個(gè)命題都不是真命題，選擇A。題型2：等比數(shù)列的判定例3（2000全國(guó)理，20）（）已知數(shù)列cn，其中cn2n3n，且數(shù)列cn1pcn為等比數(shù)列，求常數(shù)p；（）設(shè)an、bn是公比不相等的兩個(gè)等比數(shù)列，cn=an+bn，證明數(shù)列cn不是等比數(shù)列。解析：（）解：因?yàn)閏n1pcn是等比數(shù)列，故有：（cn1pcn）2（cn2pcn1）（cnpcn1），將cn2n3n代入上式，得：2n13n1p（2n3n）22n23n2p（2n13n1）2n3np（2n13n1），即（2p）2n（3p）3n2（2p）2n1（3p）3n1（2p）2n1（3p）3n1，整理得（2p）（3p）2n3n0，解得p=2或p=3。（）證明：設(shè)an、bn的公比分別為p、q，pq，cn=an+bn。為證cn不是等比數(shù)列只需證c22c1c3。事實(shí)上，c22（a1pb1q）2a12p2b12q22a1b1pq，c1c3（a1b1）（a1p2b1q2）a12p2b12q2a1b1（p2q2），由于pq，p2q22pq，又a1、b1不為零，因此c22c1c3，故cn不是等比數(shù)列。點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的概念和基本性質(zhì)，推理和運(yùn)算能力。例4（2003京春，21）如圖31，在邊長(zhǎng)為l的等邊ABC中，圓O1為ABC的圖31內(nèi)切圓，圓O2與圓O1外切，且與AB，BC相切，圓On+1與圓On外切，且與AB、BC相切，如此無(wú)限繼續(xù)下去.記圓On的面積為an（nN*），證明an是等比數(shù)列；證明：記rn為圓On的半徑，則r1=tan30=。=sin30=，所以rn=rn1（n2），于是a1=r12=，故an成等比數(shù)列。點(diǎn)評(píng)：該題考察實(shí)際問(wèn)題的判定，需要對(duì)實(shí)際問(wèn)題情景進(jìn)行分析，最終對(duì)應(yīng)數(shù)值關(guān)系建立模型加以解析。題型3：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及應(yīng)用例5一個(gè)等比數(shù)列有三項(xiàng)，如果把第二項(xiàng)加上4，那么所得的三項(xiàng)就成為等差數(shù)列，如果再把這個(gè)等差數(shù)列的第三項(xiàng)加上32，那么所得的三項(xiàng)又成為等比數(shù)列，求原來(lái)的等比數(shù)列。解析：設(shè)所求的等比數(shù)列為a，aq，aq2；則2(aq+4)=a+aq2，且(aq+4)2=a(aq2+32)；解得a=2，q=3或a=，q=5；故所求的等比數(shù)列為2，6,18或，。點(diǎn)評(píng)：第一種解法利用等比數(shù)列的基本量，先求公比，后求其它量，這是解等差數(shù)列、等比數(shù)列的常用方法，其優(yōu)點(diǎn)是思路簡(jiǎn)單、實(shí)用，缺點(diǎn)是有時(shí)計(jì)算較繁。例6（2006年陜西卷）已知正項(xiàng)數(shù)列，其前項(xiàng)和滿(mǎn)足且成等比數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)解析：10Sn=an2+5an+6， 10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3。又10Sn1=an12+5an1+6(n2)， 由得 10an=(an2an12)+6(anan1)，即(an+an1)(anan15)=0an+an10 , anan1=5 (n2)。當(dāng)a1=3時(shí)，a3=13，a15=73，a1, a3,a15不成等比數(shù)列a13；當(dāng)a1=2時(shí),，a3=12， a15=72，有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3。點(diǎn)評(píng)：該題涉及等比數(shù)列的求和公式與等比數(shù)列通項(xiàng)之間的關(guān)系，最終求得結(jié)果。題型4：等比數(shù)列的求和公式及應(yīng)用例7（1）（2006年遼寧卷）在等比數(shù)列中,前項(xiàng)和為,若數(shù)列也是等比數(shù)列，則等于（ ）A B C D（2）（2006年北京卷）設(shè)，則等于（ ）AB C D（3）（1996全國(guó)文，21）設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若S3S62S9，求數(shù)列的公比q；解析：（1）因數(shù)列為等比，則，因數(shù)列也是等比數(shù)列，則即，所以，故選擇答案C。（2）D；（3）解：若q=1，則有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1。因a10，得S3+S62S9，顯然q=1與題設(shè)矛盾，故q1。由S3+S6=2S9，得，整理得q3（2q6q31）=0，由q0，得2q6q31=0，從而（2q31）（q31）=0，因q31，故q3=，所以q=。點(diǎn)評(píng)：對(duì)于等比數(shù)列求和問(wèn)題要先分清數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)應(yīng)好首項(xiàng)和公比求出最終結(jié)果即可。例8（1）（2002江蘇，18）設(shè)an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a1b11，a2a4b3，b2b4a3分別求出an及bn的前10項(xiàng)的和S10及T10；（2）（2001全國(guó)春季北京、安徽，20）在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)a1，a2，a3，an，使這n2個(gè)數(shù)成等比數(shù)列；又在1與2之間插入n個(gè)正數(shù)b1，b2，b3，bn，使這n2個(gè)數(shù)成等差數(shù)列.記Ana1a2a3an，Bnb1b2b3bn.（）求數(shù)列An和Bn的通項(xiàng)；（）當(dāng)n7時(shí)，比較An與Bn的大小，并證明你的結(jié)論。（3）（2002天津理，22）已知an是由非負(fù)整數(shù)組成的數(shù)列，滿(mǎn)足a10，a23，an1an（an12）（an22），n3，4，5，（）求a3；（）證明anan22，n3，4，5，；（）求an的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和Sn。解析：（1）an為等差數(shù)列，bn為等比數(shù)列，a2a42a3，b2b4b32已知a2a4b3，b2b4a3，b32a3，a3b32得 b32b32b30 b3，a3由a11，a3知an的公差為d，S1010a1由b11，b3知bn的公比為q或q當(dāng)q時(shí)，當(dāng)q時(shí)，。（2）（）設(shè)公比為q，公差為d，等比數(shù)列1，a1，a2，an，2，等差數(shù)列1，b1，b2，bn，2。則A1a11q A21q1q2 A31q1q21q3又an21qn12得qn12，Anqq2qnq（n1，2，3）又bn21（n1）d2 （n1）d1B1b11d B2b2b11d12d Bn1d1ndn（）AnBn，當(dāng)n7時(shí)證明：當(dāng)n7時(shí)，2358An Bn7，AnBn設(shè)當(dāng)nk時(shí)，AnBn，則當(dāng)nk1時(shí)，又Ak+1且AkBk Ak1kAk1Bk1又k8，9，10 Ak1Bk10，綜上所述，AnBn成立.（3）（）解：由題設(shè)得a3a410，且a3、a4均為非負(fù)整數(shù)，所以a3的可能的值為1，2，5，10若a31，則a410，a5，與題設(shè)矛盾若a35，則a42，a5，與題設(shè)矛盾若a310，則a41，a560，a6，與題設(shè)矛盾.所以a32.（）用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n3，a3a12，等式成立；假設(shè)當(dāng)nk（k3）時(shí)等式成立，即akak22,由題設(shè)ak1ak（ak12）（ak22），因?yàn)閍kak220，所以ak1ak12，也就是說(shuō)，當(dāng)nk1時(shí)，等式ak1ak12成立；根據(jù)和，對(duì)于所有n3，有an+1=an1+2。（）解：由a2k1a2（k1）12，a10，及a2ka2（k1）2，a23得a2k12（k1），a2k2k1，k1，2，3，即ann（1）n，n1，2，3，。所以Sn點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查數(shù)列與等差數(shù)列前n項(xiàng)和等基礎(chǔ)知識(shí)，以及準(zhǔn)確表述，分析和解決問(wèn)題的能力。題型5：等比數(shù)列的性質(zhì)例9（1）（2005江蘇3）在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an中，首項(xiàng)a13，前三項(xiàng)和為21，則a3a4a5（ ）（A）33 （B）72 （C）84 （D）189（2）（2000上海，12）在等差數(shù)列an中，若a100，則有等式a1+a2+an=a1+a2+a19n（n19，nN成立.類(lèi)比上述性質(zhì)，相應(yīng)地：在等比數(shù)列bn中，若b91，則有等式 成立。解析：（1）答案：C；解：設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q0)，由題意得:a1+a2+a3=21,即3+3q+3q2=21,q2+q-6=0，求得q=2(q=3舍去)，所以a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=4故選C。（2）答案：b1b2bnb1b2b17n（n17，nN*）；解：在等差數(shù)列an中，由a100，得a1a19a2a18ana20nan1a19n2a100，所以a1a2ana190，即a1a2ana19a18an1，又a1a19，a2a18，a19nan1a1a2ana19a18an1a1a2a19n，若a90，同理可得a1a2ana1a2a17n，相應(yīng)地等比數(shù)列bn中，則可得：b1b2bnb1b2b17n（n17，nN*）。點(diǎn)評(píng)：本題考查了等比數(shù)列的相關(guān)概念及其有關(guān)計(jì)算能力。例10（1）設(shè)首項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為80，前2n項(xiàng)和為6560，且前n項(xiàng)中數(shù)值最大的項(xiàng)為54，求此數(shù)列的首項(xiàng)和公比q。（2）在和之間插入n個(gè)正數(shù)，使這個(gè)數(shù)依次成等比數(shù)列，求所插入的n個(gè)數(shù)之積。（3）設(shè)等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，它的所有項(xiàng)的和等于偶數(shù)項(xiàng)和的4倍，且第二項(xiàng)與第四項(xiàng)的積是第3項(xiàng)與第4項(xiàng)和的9倍，問(wèn)數(shù)列l(wèi)gan的前多少項(xiàng)和最大？(lg2=0 3,lg3=0.4)解析：（1）設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，依題意設(shè)：a10，Sn=80 ，S2n=6560。 S2n2Sn ，q1；從而 =80，且=6560。兩式相除得1+qn=82 ，即qn=81。a1