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第10講函數(shù)與導(dǎo)數(shù)調(diào)研一函數(shù)的性質(zhì)備考工具1函數(shù)的單調(diào)性增函數(shù)減函數(shù)定義一般地,設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)某個區(qū)間D上的任意兩個自變量x1,x2當(dāng)x1x2時,都有f(x1)f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是增函數(shù)當(dāng)x1f(x2),那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間D上是減函數(shù)圖象描述自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的(2)函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論:若f(x),g(x)均是區(qū)間A上的增(減)函數(shù),則f(x)g(x)也是區(qū)間A上的增(減)函數(shù);若k0,則kf(x)與f(x)單調(diào)性相同;若k0)在公共定義域內(nèi)與yf(x),y的單調(diào)性相反;函數(shù)yf(x)(f(x)0)在公共定義域內(nèi)與y的單調(diào)性相同2函數(shù)的奇偶性與對稱性(1)偶函數(shù)和奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù)定義條件如果對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個x,都有f(x)f(x)f(x)f(x)結(jié)論函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)圖象特征圖象關(guān)于y軸對稱圖象關(guān)于原點對稱(2)奇偶函數(shù)的性質(zhì):在公共定義域內(nèi):a兩個奇函數(shù)的和函數(shù)是奇函數(shù),兩個奇函數(shù)的積函數(shù)是偶函數(shù)b兩個偶函數(shù)的和函數(shù)、積函數(shù)都是偶函數(shù)c一個奇函數(shù)和一個偶函數(shù)的積函數(shù)是奇函數(shù)若f(x)是奇函數(shù)且在x0處有定義,則f(0)0.奇函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在關(guān)于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反(3)函數(shù)的對稱性常用的結(jié)論:函數(shù)yf(x)關(guān)于x對稱f(ax)f(bx)f(x)f(bax)特殊:函數(shù)yf(x)關(guān)于xa對稱f(ax)f(ax)f(x)f(2ax);函數(shù)yf(x)關(guān)于x0對稱f(x)f(x)(即為偶函數(shù))函數(shù)yf(x)關(guān)于點(a,b)對稱f(ax)f(ax)2bf(2ax)f(x)2b.特殊:函數(shù)yf(x)關(guān)于點(a,0)對稱f(ax)f(ax)0f(2ax)f(x)0;函數(shù)yf(x)關(guān)于(0,0)對稱f(x)f(x)0(即為奇函數(shù))yf(xa)是偶函數(shù)函數(shù)yf(x)關(guān)于直線xa對稱;yf(xa)是奇函數(shù)函數(shù)yf(x)關(guān)于點(a,0)對稱(4)常見奇函數(shù):ykx,ykx3,ykx,y,yAsinx,yAtanx,yln,yln(1),y,yaxax.(5)常見偶函數(shù):yc,yk|x|,ykx2,yAcosx,yaxax.3函數(shù)周期性(1)周期函數(shù)的定義:對于函數(shù)yf(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時,都有f(xT)f(x),那么就稱函數(shù)yf(x)為周期函數(shù),稱T為這個函數(shù)的周期(2)常見的幾個結(jié)論:周期函數(shù)yf(x)滿足:若f(xa)f(xa),則函數(shù)的周期為2a;若f(xa)f(x),則函數(shù)的周期為2a;若f(xa),則函數(shù)的周期為2a;若函數(shù)f(x)關(guān)于直線xa與xb對稱,則函數(shù)f(x)的周期為2|ba|;若函數(shù)f(x)關(guān)于點(a,0)對稱,又關(guān)于點(b,0)對稱,則函數(shù)f(x)的周期為2|ba|;若函數(shù)f(x)關(guān)于直線xa對稱,又關(guān)于點(b,0)對稱,則函數(shù)f(x)的周期為4|ba|;若函數(shù)f(x)是偶函數(shù),其圖象關(guān)于直線xa對稱,則其周期為2a;若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),其圖象關(guān)于直線xa對稱,則其周期為4a.自測自評12019全國卷已知alog20.2,b20.2,c0.20.3,則()AabcBacbCcabDbca解析:alog20.20,b20.21,c0.20.3(0,1),acb.故選B.答案:B22019天津卷已知alog52,blog0.50.2,c0.50.2,則a,b,c的大小關(guān)系為()AacbBabcCbcaDcab解析:alog520.51,故alog0.50.252,而c0.50.20.501,故cb.所以ac0)的圖象,可由yf(x)的圖象沿x軸方向向左(a)或向右(a)平移a個單位得到;yf(x)b(b0)的圖象,可由yf(x)的圖象沿y軸方向向上(b)或向下(b)平移b個單位得到(2)對稱變換:yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于y軸對稱;yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于x軸對稱;yf(x)與yf(x)的圖象關(guān)于原點對稱(3)伸縮變換:ykf(x)(k0)的圖象,可由yf(x)的圖象上每一個點的縱坐標(biāo)伸長(k1)或縮短(0k0)的圖象,可由yf(x)的圖象上每一個點的橫坐標(biāo)伸長(0k1)為原來的而得到(4)翻折變換:要得到y(tǒng)|f(x)|的圖象,可先畫出yf(x)的圖象,然后“上不動,下翻上”即可得到;由于yf(|x|)是偶函數(shù),要得到y(tǒng)f(|x|)的圖象,可先畫出yf(x)的圖象,然后“右不動,左去掉,右翻左”即可得到2利用函數(shù)的性質(zhì)確定函數(shù)圖象的一般步驟(1)確定函數(shù)的定義域;(2)化簡函數(shù)的解析式;(3)討論函數(shù)的性質(zhì)(奇偶性、單調(diào)性、周期性等)和圖象上的特殊線(如漸近線、對稱軸等);(4)利用基本函數(shù)的圖象確定所給函數(shù)的圖象3函數(shù)零點的等價關(guān)系4零點存在性定理自測自評12019惠州調(diào)研若函數(shù)f(x)ax2,g(x)loga|x|,其中a0,且a1,f(2)g(2)0,則函數(shù)f(x),g(x)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象是()解析:由題意知f(x)ax2是指數(shù)型函數(shù),g(x)loga|x|是對數(shù)型函數(shù),且是一個偶函數(shù),由f(2)g(2)0,可得g(2)0,故loga20,故0a0時,f(x)2xln22x,當(dāng)x0時,2x1,2x0,f(x)0,說明函數(shù)f(x)的圖象在y軸右側(cè)開始時是遞增的,故排除選項A,B,D,選C.答案:C32019長沙、南昌高三第一次聯(lián)考已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)mx2m有三個不同的零點,則實數(shù)m的取值范圍為()A(1,0)B(0,1)C(1,1)D(1,3)解析:函數(shù)g(x)f(x)mx2m的零點即方程f(x)m(x2)的根,m根據(jù)題意可知直線ym與函數(shù)y的圖象有三個不同的交點在同一平面直角坐標(biāo)系中作出這兩個函數(shù)的圖象,如圖,由圖可知當(dāng)0m0時,k|1,令g(x)1,x0,則g(x)0,所以g(x)在(0,)上單調(diào)遞增,因為g10,所以在上存在一個a,使得g(a)0,所以y|g(x)|的圖象如圖所示由題意知,直線yk與y|g(x)|的圖象有兩個交點,所以0k0)恰有兩個零點x1,x2,且x10)的零點,即方程a(x1)sinx0(a0)的根,即直線ya(x1)(a0)和曲線ysinx交點的橫坐標(biāo)畫出直線ya(x1)(a0)與曲線ysinx,如圖所示,則當(dāng)直線ya(x1)(a0)與曲線ysinx恰有兩個公共點A(x1,sinx1),B(x2,sinx2),且x10)與曲線ysinx相切,又直線ya(x1)(a0)恒過點(1,0),所以切點為A(x1,sinx1)對ysinx求導(dǎo),得ycosx,于是cosx1a,所以cosx1,得x1tanx11.故選D.答案:D72019武昌調(diào)研已知函數(shù)f(x)x3a,則f(x)的零點可能有()A1個B1個或2個C1個或2個或3個D2個或3個解析:因為f(x)x3a,所以f(x)x2axa,令f(x)0,則a24a(a2)24.因為x2x2(x1)20,所以令f(x)0,則a,f(x)的零點轉(zhuǎn)化為直線ya與函數(shù)g(x)的圖象的交點g(x),令g(x)0,即x4x32x20,整理得x2(x24x12)0,由于x24x12(x2)280,所以x0,所以g(x)0,所以g(x)在(,)上單調(diào)遞減,所以直線ya與函數(shù)g(x)的圖象可能有1個交點所以f(x)的零點可能有1個故選A.答案:A82019江蘇卷設(shè)f(x),g(x)是定義在R上的兩個周期函數(shù),f(x)的周期為4,g(x)的周期為2,且f(x)是奇函數(shù)當(dāng)x(0,2時,f(x),g(x)其中k0.若在區(qū)間(0,9上,關(guān)于x的方程f(x)g(x)有8個不同的實數(shù)根,則k的取值范圍是_解析:當(dāng)x(0,2時,令y,則(x1)2y21,y0,即f(x)的圖象是以(1,0)為圓心、1為半徑的半圓,利用f(x)是奇函數(shù),且周期為4,畫出函數(shù)f(x)在(0,9上的圖象,再在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)g(x)(x(0,9)的圖象,如圖,關(guān)于x的方程f(x)g(x)在(0,9上有8個不同的實數(shù)根,即兩個函數(shù)的圖象有8個不同的交點,數(shù)形結(jié)合知g(x)(x(0,1)與f(x)(x(0,1)的圖象有2個不同的交點時滿足題意,當(dāng)直線yk(x2)經(jīng)過點(1,1)時,k,當(dāng)直線yk(x2)與半圓(x1)2y21(y0)相切時,1,k或k(舍去),所以k的取值范圍是.答案:調(diào)研三導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用備考工具一、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則1基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式原函數(shù)導(dǎo)函數(shù)f(x)C(C為常數(shù))f(x)0f(x)x(Q*)f(x)x1f(x)sinxf(x)cosxf(x)cosxf(x)sinxf(x)axf(x)axlna(a0,且a1)f(x)exf(x)exf(x)logaxf(x)(a0,且a1)f(x)lnxf(x)2導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則(1)f(x)g(x)f(x)g(x);(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x);(3)(g(x)0)3復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于已知函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)與中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù)的乘積,設(shè)yf(u),ug(x),則yf(u)g(x),其中f(u)與g(x)有意義4導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)函數(shù)yf(x)在點xx0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義,就是曲線在點P(x0,f(x0)處的切線的斜率用好這個條件是解決切線問題的關(guān)鍵,不知道切點時要先設(shè)切點(2)曲線yf(x)在點P(x0,y0)處的切線是指P為切點,斜率為kf(x0)的切線,是唯一的一條切線(3)曲線yf(x)過點P(x0,y0)的切線,是指切線經(jīng)過點P,點P可以是切點,也可以不是切點,而且這樣的直線可能有多條二、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性1函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系在區(qū)間(a,b)內(nèi)f(x)2由函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b內(nèi)單調(diào)遞增(或遞減),可得f(x)0(或f(x)0)在該區(qū)間恒成立,而不是f(x)0(或0,右側(cè)f(x)0,那么f(x0)是極大值;(2)如果在x0附近的左側(cè)f(x)0,那么f(x0)是極小值(3)“極值點”不是點,若函數(shù)f(x)在x1處取得極大值,則x1即為極大值點,極大值為f(x1);在x2處取得極小值,則x2為極小值點,極小值為f(x2)2求可導(dǎo)函數(shù)f(x)的極值的步驟(1)求導(dǎo)函數(shù)f(x);(2)求方程f(x)0的根;(3)檢驗f(x)在方程f(x)0的根的左右兩側(cè)的函數(shù)值的符號,如果左正右負(fù),那么函數(shù)yf(x)在這個根處取得極大值;如果左負(fù)右正,那么函數(shù)yf(x)在這個根處取得極小值,可列表完成3函數(shù)的最值在閉區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)yf(x),在a,b上必有最大值與最小值在區(qū)間a,b上的連續(xù)函數(shù)yf(x),若有唯一的極值點,則這個極值點就是最值點自測自評12019全國卷已知曲線yaexxlnx在點(1,ae)處的切線方程為y2xb,則()Aae,b1Bae,b1Cae1,b1Dae1,b1解析:因為yaexlnx1,所以y|x1ae1,所以曲線在點(1,ae)處的切線方程為yae(ae1)(x1),即y(ae1)x1,所以解得答案:D22019合肥調(diào)研已知函數(shù)f(x)exex2cosx,其中e為自然對數(shù)的底數(shù),則對任意aR,下列不等式一定成立的是()Af(a21)f(2a)Bf(a21)f(2a)Cf(a21)f(a1)Df(a21)f(a)解析:依題意可知,f(x)exex2cosxf(x),所以f(x)是偶函數(shù),f(x)exex2sinx,且f(0)0,令h(x)f(x),則h(x)exex2cosx,當(dāng)x0,)時,h(x)exex2cosx0恒成立,所以f(x)exex2sinx在0,)上單調(diào)遞增,所以f(x)0在x0,)上恒成立,所以f(x)在0,)上單調(diào)遞增,又函數(shù)f(x)是偶函數(shù),(a21)24a2(a21)20,所以f(a21)f(2a),故選A.答案:A32019山西八校聯(lián)考已知函數(shù)f(x)(kx2)exx(x0),若f(x)0的解集為(s,t),且(s,t)中恰有兩個整數(shù),則實數(shù)k的取值范圍為()A.B.C.D.解析:令f(x)0,得kx20),則g(x)(x0),令g(x)0,解得0x1,令g(x)1,故g(x)在(1,)上單調(diào)遞減,在(0,1)上單調(diào)遞增當(dāng)x時,g(x)0,作出g(x)及函數(shù)ykx2的大致圖象如圖所示f(x)0的解集為(s,t),且在(s,t)上恰有兩個整數(shù)解,由圖可知,這兩個整數(shù)解為1和2,從而有解得k0.若x2,),使不等式fex(x33x3)f(aexx)成立,則實數(shù)a的最小值為()A.1B2C12e2D1解析:因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),且當(dāng)x0時,滿足f(x)f(x)0,所以不妨設(shè)f(x)exex,因為f(x)exex是定義在R上的單調(diào)遞增函數(shù),所以由fex(x33x3)f(aexx)得ex(x33x3)aexx,所以不等式ex(x33x3)aexx0在區(qū)間2,)上有解,所以ax33x3在區(qū)間2,)上有解,設(shè)g(x)x33x3,x2,),則g(x)3x23(x1),當(dāng)x2,1)時,g(x)0,所以函數(shù)g(x)在區(qū)間2,1)上是減函數(shù),在區(qū)間(1,)上是增函數(shù),所以g(x)g(1)1,所以a1,故選D.答案:D52019開封定位考試已知函數(shù)f(x)lnx,k4,),曲線yf(x)上總存在兩點M(x1,y1),N(x2,y2),使曲線yf(x)在M,N兩點處的切線互相平行,則x1x2的取值范圍為()A.B.C.D.解析:f(x)1(x0,k4),由題意知,f(x1)f(x2)(x1,x20且x1x2),即11,化簡得4(x1x2)x1x2,而x1x22,所以4(x1x2)對k4,)恒成立,令g(k)k,則g(k)10對k4,)恒成立,故g(k)在4,)上單調(diào)遞增,所以g(x)g(4)5,所以,所以x1x2,故x1x2的取值范圍為.答案:B62019安徽示范高中設(shè)函數(shù)f(x)在
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