第四章 桿件的變形計(jì)算.ppt

第四章桿件的變形計(jì)算 本部分主要內(nèi)容 拉壓桿的軸向變形圓軸的扭轉(zhuǎn)變形與相對扭轉(zhuǎn)角梁的彎曲變形 撓曲線近似微分方程用積分法求梁的彎曲變形用疊加法求梁的彎曲變形 直桿在其軸線的外力作用下 縱向發(fā)生伸長或縮短變形 而其橫向變形相應(yīng)變細(xì)或變粗 桿件在軸線方向的伸長 縱向應(yīng)變 由胡克定律 得到軸向拉壓變形公式 第一節(jié)拉壓桿的軸向變形 公式的適用條件 1 線彈性范圍以內(nèi) 材料符合胡克定律 2 在計(jì)算桿件的伸長時 l長度內(nèi)其FN A l均應(yīng)為常數(shù) 若為變截面桿或階梯桿 則應(yīng)進(jìn)行分段計(jì)算或積分計(jì)算 橫向也會發(fā)生變形 橫向應(yīng)變 通過試驗(yàn)發(fā)現(xiàn) 當(dāng)材料在彈性范圍內(nèi)時 拉壓桿的縱向應(yīng)變和橫向應(yīng)變存在如下的比例關(guān)系 泊松比 泊松比 彈性模量E 切變模量G都是材料的彈性常數(shù) 可以通過實(shí)驗(yàn)測得 對于各向同性材料 可以證明三者之間存在著下面的關(guān)系 例題4 1 教材70頁 如圖所示階梯形直桿 已知該桿AB段橫截面面積A1 800mm2 BC段橫截面面積A2 240mm2 桿件材料的彈性模量E 200GPa 求該桿的總伸長量 1 求出軸力 并畫出軸力圖 2 求伸長量 mm 伸長 縮短 縮短 例4 2節(jié)點(diǎn)位移問題 教材70頁 如圖所示桁架 鋼桿AC的橫截面面積A1 960mm2 彈性模量E1 200GPa 木桿BC的橫截面面積A2 25000mm2 長1m 彈性模量E2 10GPa 求鉸接點(diǎn)C的位移 F 40kN 分析 通過節(jié)點(diǎn)C的受力分析可以判斷AC桿受拉而BC桿受壓 AC桿將伸長 而BC桿將縮短 因此 C節(jié)點(diǎn)變形后將位于C3點(diǎn) 由于材料力學(xué)中的小變形假設(shè) 可以近似用C1和C2處的圓弧的切線來代替圓弧 以切代弧法 得到交點(diǎn)C0 解 1 分析節(jié)點(diǎn)C 求AC和BC的軸力 均預(yù)先設(shè)為拉力 拉 壓 伸長 縮短 2 求AC和BC桿分別的變形量 3 分別作AC1和BC2的垂線交于C0 C點(diǎn)總位移 此問題若用圓弧精確求解 第二節(jié)圓軸的扭轉(zhuǎn)變形及相對扭轉(zhuǎn)角 在談到圓軸扭轉(zhuǎn)切應(yīng)力公式的推導(dǎo)時 相距為dx的兩個相鄰截面之間有相對轉(zhuǎn)角dj 取 單位長度扭轉(zhuǎn)角用來表示扭轉(zhuǎn)變形的大小 單位長度扭轉(zhuǎn)角的單位 rad m 抗扭剛度 越大 單位長度扭轉(zhuǎn)角越小 在一段軸上 對單位長度扭轉(zhuǎn)角公式進(jìn)行積分 就可得到兩端相對扭轉(zhuǎn)角j 相對扭轉(zhuǎn)角的單位 rad 當(dāng)為常數(shù)時 請注意單位長度扭轉(zhuǎn)角和相對扭轉(zhuǎn)角的區(qū)別 同種材料階梯軸扭轉(zhuǎn)時 例4 3一受扭圓軸如圖所示 已知 T1 1400N m T2 600N m T3 800N m d1 60mm d2 40mm 剪切彈性模量G 80GPa 計(jì)算最大單位長度扭轉(zhuǎn)角 1 根據(jù)題意 首先畫出扭矩圖 2 AB段單位長度扭轉(zhuǎn)角 3 BC段單位長度扭轉(zhuǎn)角 綜合兩段 最大單位長度扭轉(zhuǎn)角應(yīng)在BC段為0 03978rad m 例4 4圖示一等直圓桿 已知d 40mma 400mmG 80GPa jDB 1 求 1 最大切應(yīng)力 2 jAC 1 畫出扭矩圖 2 求最大切應(yīng)力 首先要求出M的數(shù)值 梁還必須有足夠的剛度 即在受載后不至于發(fā)生過大的彎曲變形 否則構(gòu)件將無法正常工作 例如軋鋼機(jī)的軋輥 若彎曲變形過大 軋出的鋼板將薄厚不均勻 產(chǎn)品不合格 如果是機(jī)床的主軸 則將嚴(yán)重影響機(jī)床的加工精度 一 梁的變形 第三節(jié)梁的彎曲變形 撓曲線近似微分方程 梁在平面內(nèi)彎曲時 梁軸線從原來沿x軸方向的直線變成一條在xy平面內(nèi)的曲線 該曲線稱為撓曲線 某截面的豎向位移 稱為該截面的撓度 某截面的法線方向與x軸的夾角稱為該截面的轉(zhuǎn)角 撓度和轉(zhuǎn)角的大小和截面所處的x方向的位置有關(guān) 可以表示為關(guān)于x的函數(shù) 撓度方程 撓曲線方程 轉(zhuǎn)角方程 撓度和轉(zhuǎn)角的正負(fù)號規(guī)定 在圖示的坐標(biāo)系中 撓度w向上為正 向下為負(fù) 轉(zhuǎn)角規(guī)定截面法線與x軸夾角 逆時針為正 順時針為負(fù) 即在圖示坐標(biāo)系中撓曲線具有正斜率時轉(zhuǎn)角q為正 撓度和轉(zhuǎn)角的關(guān)系 在小變形假設(shè)條件下 撓曲線的斜率 一階導(dǎo)數(shù) 近似等于截面的轉(zhuǎn)角 二 撓曲線近似微分方程 純彎曲情況下梁的中性層曲率與梁的彎矩之間的關(guān)系是 橫力彎曲情況下 若梁的跨度遠(yuǎn)大于梁的高度時 剪力對梁的變形可以忽略不計(jì) 但此時彎矩不再為常數(shù) 高等數(shù)學(xué)中 關(guān)于曲率的公式 在梁小變形情況下 梁的撓曲線近似微分方程最終可寫為 梁的撓曲線近似微分方程 對上式進(jìn)行一次積分 可得到轉(zhuǎn)角方程 等直梁EI為常數(shù) 再進(jìn)行一次積分 可得到撓度方程 其中 C和D是積分常數(shù) 需要通過邊界條件或者連續(xù)條件來確定其大小 第四節(jié)用積分法求梁的彎曲變形 邊界條件 在約束處的轉(zhuǎn)角或撓度可以確定 連續(xù)條件 在梁的彎矩方程分段處 截面轉(zhuǎn)角相等 撓度相等 若梁分為n段積分 則要出現(xiàn)2n個待定常數(shù) 總可找到2n個相應(yīng)的邊界條件或連續(xù)條件將其確定 1 按照圖示坐標(biāo)系建立彎矩方程請同學(xué)們自己做一下 時間 1分鐘 2 撓曲線近似微分方程 3 積分 4 確定積分常數(shù)由邊界條件 代入上面兩式 5 列出轉(zhuǎn)角方程和撓曲線方程 將C D的值代入方程 6 求B點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角 在自由端 x l 例4 6 教材75頁例4 5 如圖所示 簡支梁受集中力F作用 已知EI為常量 試求B端轉(zhuǎn)角和跨中撓度 1 求約束反力 2 列出彎矩方程 AC段 CB段 3 建立撓曲線微分方程并積分 由于彎矩方程在C點(diǎn)處分段 故應(yīng)對AC和CB分別計(jì)算 3 建立撓曲線微分方程并積分 由于彎矩方程在C點(diǎn)處分段 故應(yīng)對AC和CB分別計(jì)算 AC段 CB段 利用邊界條件和連續(xù)條件確定四個積分常數(shù) 邊界條件 連續(xù)條件 由于撓曲線在C點(diǎn)處是連續(xù)光滑的 因此其左右兩側(cè)轉(zhuǎn)角和撓度應(yīng)相等 即 代入上面的式子 得到轉(zhuǎn)角方程和撓度方程 AC段 CB段 5 求指定截面處的撓度和轉(zhuǎn)角 若 通過積分法我們可以求出梁任意一截面上的撓度和轉(zhuǎn)角 但是當(dāng)載荷情況復(fù)雜時 彎矩方程分段就很多 導(dǎo)致出現(xiàn)大量積分常數(shù) 運(yùn)算較為繁瑣 而在工程中 較多情況下并不需要得出整個梁的撓曲線方程 只需要某指定截面的撓度和轉(zhuǎn)角 或者梁截面的最大撓度和轉(zhuǎn)角 這時采用疊加法比積分法方便 在桿件符合線彈性 小變形的前提下 變形與載荷成線性關(guān)系 即任一載荷使桿件產(chǎn)生的變形均與其他載荷無關(guān) 這樣只要分別求出桿件上每個載荷單獨(dú)作用產(chǎn)生的變形 將其相加 就可以得到這些載荷共同作用時桿件的變形 這就是求桿件變形的疊加法 用疊加法求等截面梁的變形時 每個載荷作用下的變形可查教材78 79頁表4 2計(jì)算得出 查表時應(yīng)注意載荷的方向 跨長及字符一一對應(yīng) 第五節(jié)用疊加法求梁的彎曲變形 例4 7求圖中所示梁跨中點(diǎn)的撓度及A點(diǎn)的轉(zhuǎn)角 已知 梁的抗彎剛度EI為常數(shù) 例4 8如圖 梁的左半段受到均布載荷q的作用 求B端的撓度和轉(zhuǎn)角 梁的抗彎剛度EI為常數(shù) 考慮其變形 由于CB段梁上沒有載荷 各截面的彎矩均為零 說明在彎曲過程中此段并不產(chǎn)生變形 即C B 仍為直線 根據(jù)幾何關(guān)系可知 由于在小變形的假設(shè)前提下 查表 代入上面的計(jì)算式 在使用疊加法求解梁的變形時 我們通常需要參考教材表4 2中列出的各種基本形式梁的撓曲線方程和特定點(diǎn)的位移 類似于外伸梁和其它一些較為復(fù)雜結(jié)構(gòu)的梁的問題中 有些梁是不能直接查表進(jìn)行位移的疊加計(jì)算 需要經(jīng)過分析和處理才能查表計(jì)算 一般的處理方式是把梁分段 并把每段按照受力與變形等效的原則變成表中形式的梁 然后查表按照疊加法求解梁的變形 也可將復(fù)雜梁的各段逐段剛化求解位移 最后進(jìn)行疊加來處理 逐段剛化法 例4 9求圖11 4所示外伸梁的C截面的撓度轉(zhuǎn)角EI為常數(shù) 怎樣應(yīng)用表4 2中已有的結(jié)果 對梁進(jìn)行分段剛化 利用受力與變形等效的原則來處理 首先剛化AB段 這樣BC段就可以作為一個懸臂梁來研究 再剛化BC段 由于BC段被剛化 可將作用于BC段的均布載荷簡化到