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文檔簡介

1,笫四章 機(jī)械能守恒, 功 動能定理 保守力做功與勢能 機(jī)械能和機(jī)械能守恒定律 4. 兩體碰撞,目 錄,2,在笛卡兒提出動量守恒原理后42年,德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲 提出了“活力”的概念及“活力”守恒原理。他認(rèn)為宇宙中運(yùn)動的 總量保持不變的,應(yīng)該是 ,而不是 。兩者爭論一百 多年后,人們逐漸明白,這是兩種不同的守恒規(guī)律,萊布尼茲 的活力守恒應(yīng)歸結(jié)為機(jī)械能守恒。,3,一、變力的功, 功 動能定律,定義:力對質(zhì)點(diǎn)所做的功等于力在質(zhì)點(diǎn)位移方向的分量 與位移大小的乘積.,4,合力對質(zhì)點(diǎn)所作的功,等于每個(gè)分力所作的功的代數(shù)和。,(1)功是標(biāo)量,沒有方向,但有正負(fù).,說明:,5,例題4.1 物體由靜止出發(fā)作直線運(yùn)動,質(zhì)量為m,受力bt,b為常量,求在T秒內(nèi),此力所作的功。,根據(jù)牛頓定律和加速度的定義求,6,二、質(zhì)點(diǎn)動能定理,力對物體作功,物體的運(yùn)動狀態(tài)要發(fā)生變化,它們之間的關(guān)系如何呢?,質(zhì)點(diǎn)由A到B這一過程中,力作總功為:,7,質(zhì)點(diǎn)動能定理合外力對質(zhì)點(diǎn)所作的功,等于質(zhì)點(diǎn)動能的增量,(2)功與動能之間的區(qū)別和聯(lián)系: 區(qū)別:功與物體的狀態(tài)變化過程相聯(lián)系,為過程量,動 能決定于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài),動能是狀態(tài)量。 聯(lián)系:外力的功是動能變化的量度。,(3)功和動能具有相對性,但 具有相對不變性. (4)動能定理同樣僅適用于慣性系。動能定理提供了一種 計(jì)算功的簡便方法.,8,例題4.2 如圖,初始時(shí),繩子垂在桌外的長度為b,設(shè) 繩子總長度為L,求繩全部離開光滑桌面時(shí)的瞬時(shí)速率.,解:方法(1):利用動能定理,建立坐標(biāo)系,重力在dt內(nèi)所作元功為:,由動能定理得:,9,方法(2):利用牛頓定律,由牛頓定律得,兩種方法結(jié)果相同,10,例題4.3 假定地球的密度是均勻的,并沿地球的直徑鉆一個(gè)洞,質(zhì)點(diǎn)從很高的位置h 落入洞中,求質(zhì)點(diǎn)通過地心的速度。,由動能定理:,解:矢徑方向如圖所示,設(shè)通過 地心的速度為,11,質(zhì)點(diǎn)在地球外受力為,質(zhì)點(diǎn)在地球內(nèi)受力為,故,12,三、質(zhì)點(diǎn)系動能定理,質(zhì)點(diǎn)系的動能定理-作用于質(zhì)點(diǎn)系的力所作的功,等于該質(zhì)點(diǎn)系總動能的增量。,對所有質(zhì)點(diǎn)求和:,設(shè)一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn),作用于笫i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力所作的 功分別為 ,由質(zhì)點(diǎn)動能定理,13,(1) 質(zhì)點(diǎn)系所受的力分外力和內(nèi)力。則,說明:,14,內(nèi)力做功不為零,由系統(tǒng)的動能定理,解:取A和B組成的系統(tǒng),根據(jù)動量守恒,例題4.4 在光滑的水平面上,有一質(zhì)量為 的靜止物體B,在B上又有一質(zhì)量為 的靜止物體A,A受沖擊,以 (相對于水平面向右運(yùn)動,A和B之間的摩擦系數(shù)為 ,A逐漸帶動B一起運(yùn)動,問A從開始運(yùn)動到相對于B靜止時(shí),在B上運(yùn)動多遠(yuǎn)?,15,例題4.5 如圖,質(zhì)量為M的卡車載一質(zhì)量為m的木箱, 以速率v沿平直路面行駛.因故突然緊急剎車,車輪 立即停止轉(zhuǎn)動,卡車滑行一定距離后靜止,木箱在 卡車上相對于卡車滑行了 距離,卡車滑行了L距離. 求L和 .巳知木箱與卡車間的滑動摩擦系數(shù)為 ,卡 車輪與地面的滑動摩擦系數(shù)為,L,16,卡車和木箱受力如圖.只有二者間摩擦力 和地面對車的摩擦力F做功,三力 之受力質(zhì)點(diǎn)位移各為 .,解得,解:解法一(用質(zhì)點(diǎn)動能定理求解),根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動能定理得,17,解法二(用質(zhì)點(diǎn)系動能定理求解),視卡車與木箱為一質(zhì)點(diǎn)系.外力F做功 , 內(nèi)力做功等于力與相對位移的標(biāo)積,即,注意:卡車與木箱之間相互摩擦力做的功并不等值,表明 一對內(nèi)力之功并不一定等值反號.滑動摩擦力做正功 或負(fù)功,必須在搞清楚力和相對于一定參考受力點(diǎn)位 移的基礎(chǔ)上作具體分析.但一對滑動摩擦力所做功的代 數(shù)和卻總是負(fù)的.,18,例題4.6 一炮彈的質(zhì)量為 ,射出時(shí)的水平 和豎直分速度分別為u和v,當(dāng)炮彈到達(dá)最高點(diǎn)時(shí), 其內(nèi)部的炸藥產(chǎn)生能量E,使炸藥分成 及 兩部 分.開始時(shí)兩者仍沿原方向前進(jìn),試求它們落地時(shí)相 隔的距離?,解:炮彈到達(dá)最高點(diǎn)在爆炸前具有水平速度u.爆炸后, 和 分別具有水平速度 .由動能定理可得,由動量守恒(x方向)可得,19,由、式可求得(舍去不合題意的一個(gè)解),故 落地時(shí)相隔的距離為,由最高點(diǎn)落下的時(shí)間為:,20, 保守力做功與勢能,一、幾種常見的力作功,1、重力作功,重力作功只與質(zhì)點(diǎn)的初終兩處的高度差有關(guān),而與所經(jīng)過的路徑無關(guān)。下降運(yùn)動,重力做正功;反之做負(fù)功。,x,21,于是,2、萬有引力作功,如圖,M不動,m由a經(jīng)任一路徑到b, 在平面極坐標(biāo)系中,a,引力作功只取決于質(zhì)點(diǎn)的初終位置,與路徑具體形跡無關(guān)。以力心為原點(diǎn),質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動由近至遠(yuǎn),引力做負(fù)功;反之做正功。,22,在彈性限度內(nèi),彈性力所作的功只由彈簧的初終位置決定 ,而與形變的過程無關(guān)。彈簧形變程度加強(qiáng),彈性力做負(fù)功, 反之做正功。,23,保守力:作功只與物體的始末位置有關(guān),而與路徑無關(guān)的力。反之稱為非保守力,二、保守力與非保守力,分析三種力 作功的特點(diǎn),保守力作功特點(diǎn)的數(shù)學(xué)描述:,物體沿不同路徑從a 到 b,保守力作功,24,保守力沿任意閉合路徑作功為零。,沿閉合路徑運(yùn)動一周,保守力作功,非保守力分類: 稱為耗散力(如滑動摩擦力), 將機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能. (如爆炸力),將其他形態(tài)的能 (如化學(xué)能、電磁能)轉(zhuǎn)化為機(jī)械能.,25,三、勢 能,將等式兩邊同一時(shí)空點(diǎn)的量合并一起,出現(xiàn)了令人興奮的方程,1。勢能概念,26,保守力場 勢能的普遍定義式是,即保守力場中,某點(diǎn)的勢能等于將質(zhì)點(diǎn)由該處沿任意路徑遷移到某一參考位置,保守力所做的功。,27,(2)勢能是相對性的。為確定質(zhì)點(diǎn)系在任一給定位置的勢能值,必須選定某一位置為參考位置(勢能零點(diǎn)),規(guī)定該點(diǎn)的勢能為零.而勢能零點(diǎn)可根據(jù)問題的需要任意選擇.,(3)勢能既然與質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)間相互作用的保守力相聯(lián)系,因而為體系所共有。,說明:,(4)從現(xiàn)代物理學(xué)的觀點(diǎn)來看,勢能是比力更為基本的概念, 可以認(rèn)為它表示質(zhì)點(diǎn)間的相互作用,或更一般意義上的粒子 之間的相互作用。,(1)勢能總是與保守力相聯(lián)系。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)間存在若干種保守力時(shí),就可引進(jìn)若干種勢能。,28,引力勢能,彈性勢能,即:保守力對物體作的功等于物體勢能增量負(fù)值。,重力勢能,2 三種勢能:,保守力作功可用勢能差表示:,勢能零點(diǎn)在地面,勢能零點(diǎn)在無窮遠(yuǎn),勢能零點(diǎn)在自然端點(diǎn),29,3 勢能曲線,當(dāng)坐標(biāo)系和勢能零點(diǎn)一經(jīng)確定,勢能僅是坐標(biāo)的函數(shù)。,勢能隨坐標(biāo)變化的曲線稱為勢能曲線。如圖:, 勢能曲線的用途: 求平衡位置及判斷平衡的穩(wěn)定性., 由勢能曲線求保守力.(力是矢量,而勢能是標(biāo)量,一 般情況下,確定標(biāo)量函數(shù)比確定矢量要容易),30,保守力與勢能的關(guān)系:,31,一、質(zhì)點(diǎn)系的功能原理, 機(jī)械能守恒定律,根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動能定理,32,二、機(jī)械能守恒定律,當(dāng)作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力和內(nèi)非保守力作功為零時(shí),系統(tǒng)機(jī)械能守恒。,當(dāng),根據(jù)功能原理:,即,33,幾點(diǎn)說明,(1)當(dāng)摩擦力作為體系外力時(shí),對體系可能做正功,也可能做負(fù)功(也可能不做功)。而摩擦力作為體系內(nèi)力時(shí),必定是成對出現(xiàn)的。因摩擦力總是與兩物體的相對位移反方向,因而,動摩擦總是消耗體系的機(jī)械能,是一種耗散力,而靜摩擦力不同,它不消耗體系的機(jī)械能。,(3)可以說,機(jī)械能守恒及其條件的確立,在物理學(xué)中開創(chuàng)了關(guān)于不同形式能量之間的轉(zhuǎn)換與守恒新天地,從而在更大的范疇中確立了能量的轉(zhuǎn)換與守恒規(guī)律。,(2)盡管在任何慣性系中動能定理、功能原理和機(jī)械能守恒定律都可應(yīng)用,但力所做的功、體系的動能和機(jī)械能的數(shù)值在不同的參考系中并不相同。而且,一個(gè)體系在一個(gè)參考系內(nèi)機(jī)械能守恒,在另一個(gè)參考系機(jī)械能未必守恒。,34,三、柯尼希(Konig)定理,對孤立質(zhì)點(diǎn)系,在質(zhì)心系里,體系的動量恒為零,質(zhì)心系 是慣性系,功能原理和機(jī)械能守恒定律照樣適用.但相對質(zhì)心系 和其它慣性系(如實(shí)驗(yàn)室參照系),功和能未必相同。具體地 說,外力的功和體系的動能相對兩個(gè)參照系的值不一定相同。,相對一定慣性參照系,質(zhì)點(diǎn)系的動能為所有質(zhì)點(diǎn)的動能之和,設(shè) 為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心速度, 為笫i個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對質(zhì)心系的速 度,則有,代入上式得,35,其中笫三項(xiàng)中,于是,36,四、三種宇宙速度,笫一宇宙速度人造衛(wèi)星,笫二宇宙速度人造行星(太陽系),飛行物沖出地球引力范圍而圍繞太陽運(yùn)動,成為人造行星。脫離地球引力的最低水平速度被稱為笫二宇宙速度.,飛行物在地球引力作用下,環(huán)繞地球運(yùn)行,成為人造衛(wèi)星.,分別考慮r處和無窮遠(yuǎn)處的機(jī)械能,37,應(yīng)當(dāng)滿足機(jī)械能守恒,即 ,于是,取其等于零,得笫二宇宙速度,笫三宇宙速度人造行星(銀河系),飛行物沖出太陽的引力范圍而成為銀河系中的人造行星.,根據(jù)笫二宇宙速度的同樣原理,得到以太陽為參考系的 笫三宇宙速度,38,其中太陽質(zhì)量 (地球質(zhì)量) ,日地 平均距離 (地球半徑),故,這是從日心系看飛行器沖出的速度,自然其中包含了地球繞 太陽的公轉(zhuǎn)速度 ,兩者相減,這是地球參考系看來,飛行器沖出地球引力范圍時(shí),應(yīng)有的 速度.再追溯到地面附近h高度,發(fā)射速度 應(yīng)當(dāng)滿足機(jī)械能守 恒,即,39,注意到 ,故,最后得出笫三宇宙速度,綜上所述,三種宇宙速度均立足于地球上空預(yù)定高度,物體在水平方向上的三個(gè)特征速度: 當(dāng) ,發(fā)射體環(huán)繞地球作橢園軌道運(yùn)行; 當(dāng) ,發(fā)射體環(huán)繞太陽作橢圓軌道運(yùn)行; 當(dāng) ,發(fā)射體將沿雙曲線軌道離開太陽系.,40, 兩體碰撞,所謂碰撞,是指兩質(zhì)點(diǎn)相互接近,運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生迅速變化的 現(xiàn)象.碰撞的特征是極短的時(shí)間和強(qiáng)烈的相互作用.,一、正碰對心碰撞(一維碰撞),說明: e=0 完全非彈性碰撞 0e1 非彈性碰撞 e=1 完全彈性碰撞,碰撞前兩球速度均沿兩球中心 連線.滿足: 動量守恒定律,41,當(dāng)兩物體發(fā)生對心碰撞時(shí),由以上兩方程解得,討論:,碰撞過程中損失的動能為,由此可知,對于完全彈性碰撞,e=1,動能守恒; 對于完全非彈性碰撞,e=0,動能損失最大.,42, 質(zhì)心系中的正碰撞,上面討論的是在實(shí)驗(yàn)室系(L系)中正碰撞.而在質(zhì)心系 (c系)中,由于對質(zhì)量中心的動量之和永遠(yuǎn)為零,故在 質(zhì)心系中描寫碰撞,表達(dá)形式簡單,物理意義清晰.,在L系中,質(zhì)心速度為,在c系中,設(shè)碰撞前后兩質(zhì)點(diǎn)的速度分別為 和 則,由這兩方程可得,43,在c系中,碰撞損失的動能為,思考:如何把質(zhì)心系的碰撞結(jié)論化回實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系?,提示:,44,如圖,取 的方向?yàn)閤軸,則上 面笫一式化為,在完全彈性碰撞中,動量和能量都守恒,有,式中 稱為散射角.另外,碰撞結(jié)果還與碰撞前兩小球中 心在y方向上的距離b有關(guān).b稱為瞄準(zhǔn)距離.b=0時(shí)即為正碰.,通常,應(yīng)用實(shí)驗(yàn)方法測出上面四個(gè)未知數(shù)中的一個(gè),才 能求出其余三個(gè)未知數(shù).,45,例題4.7 如圖,質(zhì)量為M的物塊A在離平板為h的高度 處自由下落.落在質(zhì)量也為M的平板B上.已知輕質(zhì)彈 簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k,物體與平板作完全非彈性碰撞, 求碰撞后彈簧的最大壓縮量.,解:本題可分為三個(gè)物理過程,物塊A下落,物塊A與平板B發(fā)生碰撞,A,B,46,彈簧被最大壓縮時(shí),如圖,取彈簧不承載平板 的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)0.則 平板B放上后位移為 ,物 塊A碰撞后位移為 ,則,根據(jù)

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