笫四章機(jī)械能守恒.ppt

1,笫四章 機(jī)械能守恒, 功 動能定理 保守力做功與勢能 機(jī)械能和機(jī)械能守恒定律 4. 兩體碰撞,目 錄,2,在笛卡兒提出動量守恒原理后42年，德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲 提出了“活力”的概念及“活力”守恒原理。他認(rèn)為宇宙中運(yùn)動的 總量保持不變的，應(yīng)該是 ，而不是 。兩者爭論一百 多年后，人們逐漸明白，這是兩種不同的守恒規(guī)律，萊布尼茲 的活力守恒應(yīng)歸結(jié)為機(jī)械能守恒。,3,一、變力的功, 功 動能定律,定義：力對質(zhì)點(diǎn)所做的功等于力在質(zhì)點(diǎn)位移方向的分量 與位移大小的乘積.,4,合力對質(zhì)點(diǎn)所作的功，等于每個(gè)分力所作的功的代數(shù)和。,（1）功是標(biāo)量，沒有方向，但有正負(fù).,說明：,5,例題4.1 物體由靜止出發(fā)作直線運(yùn)動，質(zhì)量為m，受力bt，b為常量，求在T秒內(nèi)，此力所作的功。,根據(jù)牛頓定律和加速度的定義求,6,二、質(zhì)點(diǎn)動能定理,力對物體作功，物體的運(yùn)動狀態(tài)要發(fā)生變化，它們之間的關(guān)系如何呢？,質(zhì)點(diǎn)由A到B這一過程中，力作總功為：,7,質(zhì)點(diǎn)動能定理合外力對質(zhì)點(diǎn)所作的功，等于質(zhì)點(diǎn)動能的增量,（2）功與動能之間的區(qū)別和聯(lián)系： 區(qū)別：功與物體的狀態(tài)變化過程相聯(lián)系，為過程量，動 能決定于質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動狀態(tài)，動能是狀態(tài)量。 聯(lián)系：外力的功是動能變化的量度。,（3）功和動能具有相對性，但 具有相對不變性. （4）動能定理同樣僅適用于慣性系。動能定理提供了一種 計(jì)算功的簡便方法.,8,例題4.2 如圖，初始時(shí)，繩子垂在桌外的長度為b,設(shè) 繩子總長度為L,求繩全部離開光滑桌面時(shí)的瞬時(shí)速率.,解：方法（1）：利用動能定理,建立坐標(biāo)系，重力在dt內(nèi)所作元功為：,由動能定理得：,9,方法（2）：利用牛頓定律,由牛頓定律得,兩種方法結(jié)果相同,10,例題4.3 假定地球的密度是均勻的，并沿地球的直徑鉆一個(gè)洞，質(zhì)點(diǎn)從很高的位置h 落入洞中，求質(zhì)點(diǎn)通過地心的速度。,由動能定理：,解：矢徑方向如圖所示，設(shè)通過 地心的速度為,11,質(zhì)點(diǎn)在地球外受力為,質(zhì)點(diǎn)在地球內(nèi)受力為,故,12,三、質(zhì)點(diǎn)系動能定理,質(zhì)點(diǎn)系的動能定理-作用于質(zhì)點(diǎn)系的力所作的功，等于該質(zhì)點(diǎn)系總動能的增量。,對所有質(zhì)點(diǎn)求和：,設(shè)一個(gè)系統(tǒng)內(nèi)有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)，作用于笫i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的力所作的 功分別為 ，由質(zhì)點(diǎn)動能定理,13,（1） 質(zhì)點(diǎn)系所受的力分外力和內(nèi)力。則,說明：,14,內(nèi)力做功不為零，由系統(tǒng)的動能定理,解：取A和B組成的系統(tǒng)，根據(jù)動量守恒,例題4.4 在光滑的水平面上，有一質(zhì)量為 的靜止物體B，在B上又有一質(zhì)量為 的靜止物體A，A受沖擊，以 （相對于水平面向右運(yùn)動，A和B之間的摩擦系數(shù)為 ，A逐漸帶動B一起運(yùn)動，問A從開始運(yùn)動到相對于B靜止時(shí)，在B上運(yùn)動多遠(yuǎn)？,15,例題4.5 如圖，質(zhì)量為M的卡車載一質(zhì)量為m的木箱， 以速率v沿平直路面行駛.因故突然緊急剎車，車輪 立即停止轉(zhuǎn)動，卡車滑行一定距離后靜止，木箱在 卡車上相對于卡車滑行了 距離,卡車滑行了L距離. 求L和 .巳知木箱與卡車間的滑動摩擦系數(shù)為 ，卡 車輪與地面的滑動摩擦系數(shù)為,L,16,卡車和木箱受力如圖.只有二者間摩擦力 和地面對車的摩擦力F做功，三力 之受力質(zhì)點(diǎn)位移各為 .,解得,解：解法一（用質(zhì)點(diǎn)動能定理求解）,根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動能定理得,17,解法二（用質(zhì)點(diǎn)系動能定理求解）,視卡車與木箱為一質(zhì)點(diǎn)系.外力F做功 ， 內(nèi)力做功等于力與相對位移的標(biāo)積，即,注意：卡車與木箱之間相互摩擦力做的功并不等值，表明 一對內(nèi)力之功并不一定等值反號.滑動摩擦力做正功 或負(fù)功，必須在搞清楚力和相對于一定參考受力點(diǎn)位 移的基礎(chǔ)上作具體分析.但一對滑動摩擦力所做功的代 數(shù)和卻總是負(fù)的.,18,例題4.6 一炮彈的質(zhì)量為 ，射出時(shí)的水平 和豎直分速度分別為u和v，當(dāng)炮彈到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)， 其內(nèi)部的炸藥產(chǎn)生能量E，使炸藥分成 及 兩部 分.開始時(shí)兩者仍沿原方向前進(jìn)，試求它們落地時(shí)相 隔的距離?,解：炮彈到達(dá)最高點(diǎn)在爆炸前具有水平速度u.爆炸后， 和 分別具有水平速度 .由動能定理可得,由動量守恒（x方向）可得,19,由、式可求得（舍去不合題意的一個(gè)解）,故 落地時(shí)相隔的距離為,由最高點(diǎn)落下的時(shí)間為：,20, 保守力做功與勢能,一、幾種常見的力作功,1、重力作功,重力作功只與質(zhì)點(diǎn)的初終兩處的高度差有關(guān)，而與所經(jīng)過的路徑無關(guān)。下降運(yùn)動，重力做正功；反之做負(fù)功。,x,21,于是,2、萬有引力作功,如圖，M不動，m由a經(jīng)任一路徑到b， 在平面極坐標(biāo)系中,a,引力作功只取決于質(zhì)點(diǎn)的初終位置，與路徑具體形跡無關(guān)。以力心為原點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動由近至遠(yuǎn)，引力做負(fù)功；反之做正功。,22,在彈性限度內(nèi)，彈性力所作的功只由彈簧的初終位置決定 ，而與形變的過程無關(guān)。彈簧形變程度加強(qiáng)，彈性力做負(fù)功， 反之做正功。,23,保守力：作功只與物體的始末位置有關(guān)，而與路徑無關(guān)的力。反之稱為非保守力,二、保守力與非保守力,分析三種力 作功的特點(diǎn),保守力作功特點(diǎn)的數(shù)學(xué)描述：,物體沿不同路徑從a 到 b，保守力作功,24,保守力沿任意閉合路徑作功為零。,沿閉合路徑運(yùn)動一周，保守力作功,非保守力分類： 稱為耗散力（如滑動摩擦力）， 將機(jī)械能轉(zhuǎn)化為熱能. （如爆炸力），將其他形態(tài)的能 （如化學(xué)能、電磁能）轉(zhuǎn)化為機(jī)械能.,25,三、勢 能,將等式兩邊同一時(shí)空點(diǎn)的量合并一起，出現(xiàn)了令人興奮的方程,1。勢能概念,26,保守力場 勢能的普遍定義式是,即保守力場中，某點(diǎn)的勢能等于將質(zhì)點(diǎn)由該處沿任意路徑遷移到某一參考位置，保守力所做的功。,27,(2)勢能是相對性的。為確定質(zhì)點(diǎn)系在任一給定位置的勢能值，必須選定某一位置為參考位置（勢能零點(diǎn)），規(guī)定該點(diǎn)的勢能為零.而勢能零點(diǎn)可根據(jù)問題的需要任意選擇.,(3)勢能既然與質(zhì)點(diǎn)系各質(zhì)點(diǎn)間相互作用的保守力相聯(lián)系，因而為體系所共有。,說明：,(4)從現(xiàn)代物理學(xué)的觀點(diǎn)來看，勢能是比力更為基本的概念， 可以認(rèn)為它表示質(zhì)點(diǎn)間的相互作用，或更一般意義上的粒子 之間的相互作用。,(1)勢能總是與保守力相聯(lián)系。當(dāng)質(zhì)點(diǎn)間存在若干種保守力時(shí)，就可引進(jìn)若干種勢能。,28,引力勢能,彈性勢能,即：保守力對物體作的功等于物體勢能增量負(fù)值。,重力勢能,2 三種勢能：,保守力作功可用勢能差表示：,勢能零點(diǎn)在地面,勢能零點(diǎn)在無窮遠(yuǎn),勢能零點(diǎn)在自然端點(diǎn),29,3 勢能曲線,當(dāng)坐標(biāo)系和勢能零點(diǎn)一經(jīng)確定，勢能僅是坐標(biāo)的函數(shù)。,勢能隨坐標(biāo)變化的曲線稱為勢能曲線。如圖:, 勢能曲線的用途： 求平衡位置及判斷平衡的穩(wěn)定性., 由勢能曲線求保守力.（力是矢量，而勢能是標(biāo)量，一 般情況下，確定標(biāo)量函數(shù)比確定矢量要容易）,30,保守力與勢能的關(guān)系：,31,一、質(zhì)點(diǎn)系的功能原理, 機(jī)械能守恒定律,根據(jù)質(zhì)點(diǎn)系動能定理,32,二、機(jī)械能守恒定律,當(dāng)作用于質(zhì)點(diǎn)系的外力和內(nèi)非保守力作功為零時(shí)，系統(tǒng)機(jī)械能守恒。,當(dāng),根據(jù)功能原理：,即,33,幾點(diǎn)說明,（1）當(dāng)摩擦力作為體系外力時(shí)，對體系可能做正功，也可能做負(fù)功（也可能不做功）。而摩擦力作為體系內(nèi)力時(shí)，必定是成對出現(xiàn)的。因摩擦力總是與兩物體的相對位移反方向，因而，動摩擦總是消耗體系的機(jī)械能，是一種耗散力，而靜摩擦力不同，它不消耗體系的機(jī)械能。,(3)可以說，機(jī)械能守恒及其條件的確立，在物理學(xué)中開創(chuàng)了關(guān)于不同形式能量之間的轉(zhuǎn)換與守恒新天地，從而在更大的范疇中確立了能量的轉(zhuǎn)換與守恒規(guī)律。,(2)盡管在任何慣性系中動能定理、功能原理和機(jī)械能守恒定律都可應(yīng)用，但力所做的功、體系的動能和機(jī)械能的數(shù)值在不同的參考系中并不相同。而且，一個(gè)體系在一個(gè)參考系內(nèi)機(jī)械能守恒，在另一個(gè)參考系機(jī)械能未必守恒。,34,三、柯尼希（Konig）定理,對孤立質(zhì)點(diǎn)系，在質(zhì)心系里，體系的動量恒為零，質(zhì)心系 是慣性系，功能原理和機(jī)械能守恒定律照樣適用.但相對質(zhì)心系 和其它慣性系（如實(shí)驗(yàn)室參照系），功和能未必相同。具體地 說，外力的功和體系的動能相對兩個(gè)參照系的值不一定相同。,相對一定慣性參照系，質(zhì)點(diǎn)系的動能為所有質(zhì)點(diǎn)的動能之和,設(shè) 為質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心速度， 為笫i個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對質(zhì)心系的速 度，則有,代入上式得,35,其中笫三項(xiàng)中,于是,36,四、三種宇宙速度,笫一宇宙速度人造衛(wèi)星,笫二宇宙速度人造行星（太陽系）,飛行物沖出地球引力范圍而圍繞太陽運(yùn)動，成為人造行星。脫離地球引力的最低水平速度被稱為笫二宇宙速度.,飛行物在地球引力作用下，環(huán)繞地球運(yùn)行，成為人造衛(wèi)星.,分別考慮r處和無窮遠(yuǎn)處的機(jī)械能,37,應(yīng)當(dāng)滿足機(jī)械能守恒，即 ，于是,取其等于零，得笫二宇宙速度,笫三宇宙速度人造行星(銀河系),飛行物沖出太陽的引力范圍而成為銀河系中的人造行星.,根據(jù)笫二宇宙速度的同樣原理，得到以太陽為參考系的 笫三宇宙速度,38,其中太陽質(zhì)量 （地球質(zhì)量） ，日地 平均距離 （地球半徑），故,這是從日心系看飛行器沖出的速度，自然其中包含了地球繞 太陽的公轉(zhuǎn)速度 ，兩者相減,這是地球參考系看來，飛行器沖出地球引力范圍時(shí)，應(yīng)有的 速度.再追溯到地面附近h高度，發(fā)射速度 應(yīng)當(dāng)滿足機(jī)械能守 恒，即,39,注意到 ，故,最后得出笫三宇宙速度,綜上所述，三種宇宙速度均立足于地球上空預(yù)定高度，物體在水平方向上的三個(gè)特征速度： 當(dāng) ，發(fā)射體環(huán)繞地球作橢園軌道運(yùn)行； 當(dāng) ，發(fā)射體環(huán)繞太陽作橢圓軌道運(yùn)行； 當(dāng) ，發(fā)射體將沿雙曲線軌道離開太陽系.,40, 兩體碰撞,所謂碰撞，是指兩質(zhì)點(diǎn)相互接近，運(yùn)動狀態(tài)發(fā)生迅速變化的 現(xiàn)象.碰撞的特征是極短的時(shí)間和強(qiáng)烈的相互作用.,一、正碰對心碰撞（一維碰撞）,說明： e=0 完全非彈性碰撞 0e1 非彈性碰撞 e=1 完全彈性碰撞,碰撞前兩球速度均沿兩球中心 連線.滿足： 動量守恒定律,41,當(dāng)兩物體發(fā)生對心碰撞時(shí)，由以上兩方程解得,討論：,碰撞過程中損失的動能為,由此可知，對于完全彈性碰撞，e=1，動能守恒； 對于完全非彈性碰撞，e=0，動能損失最大.,42, 質(zhì)心系中的正碰撞,上面討論的是在實(shí)驗(yàn)室系（L系）中正碰撞.而在質(zhì)心系 （c系）中，由于對質(zhì)量中心的動量之和永遠(yuǎn)為零，故在 質(zhì)心系中描寫碰撞，表達(dá)形式簡單，物理意義清晰.,在L系中，質(zhì)心速度為,在c系中，設(shè)碰撞前后兩質(zhì)點(diǎn)的速度分別為 和 則,由這兩方程可得,43,在c系中，碰撞損失的動能為,思考：如何把質(zhì)心系的碰撞結(jié)論化回實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系?,提示：,44,如圖，取 的方向?yàn)閤軸，則上 面笫一式化為,在完全彈性碰撞中，動量和能量都守恒，有,式中 稱為散射角.另外，碰撞結(jié)果還與碰撞前兩小球中 心在y方向上的距離b有關(guān).b稱為瞄準(zhǔn)距離.b=0時(shí)即為正碰.,通常，應(yīng)用實(shí)驗(yàn)方法測出上面四個(gè)未知數(shù)中的一個(gè)，才 能求出其余三個(gè)未知數(shù).,45,例題4.7 如圖，質(zhì)量為M的物塊A在離平板為h的高度 處自由下落.落在質(zhì)量也為M的平板B上.已知輕質(zhì)彈 簧的倔強(qiáng)系數(shù)為k，物體與平板作完全非彈性碰撞， 求碰撞后彈簧的最大壓縮量.,解：本題可分為三個(gè)物理過程,物塊A下落,物塊A與平板B發(fā)生碰撞,A,B,46,彈簧被最大壓縮時(shí),如圖，取彈簧不承載平板 的平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)0.則 平板B放上后位移為 ，物 塊A碰撞后位移為 ，則,根據(jù)