G221第一型曲面積分.ppt

1,寄 語,假舟楫者，非能水也，而絕江河。,假輿馬者，非利足也，而致千里；,-旬子,2,第22章,第一節(jié)、第一型曲面積分(或：對面積的曲面積分),第三節(jié)、高斯(Gauss)公式與斯托克(Stokes)公式,曲面積分,第22章,本章內(nèi)容：,第二節(jié)、第二型曲面積分(或：對坐標(biāo)的曲面積分),第四節(jié)、場論初步（只講一部分）,3,第1節(jié) 第一型曲面積分 (或：對面積的曲面積分),一、第一型曲面積分的概念,二、第一型曲面積分的計算,第22章,本節(jié)內(nèi)容：,4,一、對面積的曲面積分的概念與性質(zhì),引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度,類似求平面薄板質(zhì)量的思想, 采用,可得,求質(zhì),“分割-大化小, 近似代替-常代變, 求近似和, 取極限”,的方法,量 M.,其中, 表示 n 小塊曲面的直徑的,最大值 (曲面的直徑為其上任意兩點間距離的最大者， 即劃分的細(xì)度).,5,定義:,設(shè) S 為光滑曲面,“乘積和式極限”,都存在,的曲面積分,其中 f (x, y, z) 叫做被積,據(jù)此定義, 曲面形構(gòu)件的質(zhì)量為,曲面面積為,f (x, y, z) 是定義在 S 上的一,個有界函數(shù),或第一類曲面積分.,若對 S做任意分割和局部區(qū)域任意取點,則稱此極限為函數(shù) f (x, y, z) 在曲面 S 上對面積,函數(shù), S 叫做積分曲面.,6,則對面積的曲面積分存在., 對積分域的可加性.,則有, 線性性質(zhì).,在光滑曲面 S 上連續(xù),對面積的曲面積分與對弧長的曲線積分性質(zhì)類似., 積分的存在性.,若 S 是分片光滑的,例如分成兩,片光滑曲面,7,定理22.1 設(shè)有光滑曲面,f (x, y, z) 在 S 上連續(xù),存在, 且有,二、第一型曲面積分的計算,則曲面積分,證明: 由定義知,8,而,(S光滑),9,說明:,可有類似的公式.,1) 如果曲面方程為,2) 若曲面為參數(shù)方程,只要求出在參數(shù)意義下dS,的表達(dá)式 ,也可將對面積的曲面積分轉(zhuǎn)化為對參數(shù)的,二重積分. (見P281 本節(jié)后面的例題 ),10,例1. 計算曲面積分,其中是球面,被平面,截出的頂部.,解:,11,思考:,若 S 是球面,被平行平面 z =h 截,出的上下兩部分,則,12,例2 計算,解：,例3 計算,解：,13,例4. 計算,其中 是由平面,坐標(biāo)面所圍成的四面體的表面. （補充）,解: 設(shè),上的部分, 則,與,原式 =,分別表示S 在平面,14,例5.,設(shè),計算,解: 錐面,與上半球面,交線為,為上半球面夾于錐面間的部分,它在 xoy 面上的,投影域為,則,15,思考: 若例5 中被積函數(shù)改為,計算結(jié)果如何 ?,16,例6. 計算,解: 取球面坐標(biāo)系, 則,17,例7. 計算,其中 S 是介于平面,之間的圓柱面,分析: 若將曲面分為前后(或左右),則,解: 取曲面面積元素,兩片,則計算較繁.,18,例8. 求橢圓柱面,位于 xoy 面上方及平面,z = y 下方那部分柱面 S 的側(cè)面積 S .,解:,取,19,例9. 求半徑為R 的均勻半球殼 S 的重心.,解: 設(shè) S 的方程為,利用對稱性可知重心的坐標(biāo),而,用球坐標(biāo),20,例10 設(shè)均勻拋物面殼,其面密度為,解：,21,例11. 計算,其中 S 是球面,利用對稱性可知,解: 顯然球心為,半徑為,利用重心公式,22,例12.,設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星, 距地面高度,h = 36000 km,運行的角速度與地球自轉(zhuǎn)角速度相同,試計算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比.,(地球半徑 R = 6400 km ),解:,建立坐標(biāo)系如圖,覆蓋曲面 S 的,半頂角為 ,利用球坐標(biāo)系, 則,衛(wèi)星覆蓋面積為,23,故通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比為,由以上結(jié)果可知, 衛(wèi)星覆蓋了地球,以上的面積,故使用三顆相隔,角度的通訊衛(wèi)星就幾乎可以覆蓋地球,全表面.,說明: 此題也可用二重積分求 A. 當(dāng)h=0時，上述面積之比為0， 當(dāng)h趨于無窮時，上述面積之比是1/2。-與直觀想象的結(jié)果一致。,24,內(nèi)容小結(jié),1. 定義:,2. 計算: 設(shè),則,(曲面的其他兩種情況類似),注意利用球面坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、對稱性、重心公式,簡化計算的技巧.,25,作業(yè),P 1（1）,(3); 2; 3,26,備用題 1. 已知曲面殼,求此曲面殼在平面 z1以上部分S 的,的面密度,質(zhì)量 M .,解: S在 xoy 面上的投影為,故,27,2. 設(shè) S 是四面體,面, 計算,解: 在四面體的四個面上,同上,28,