2024-2025學年高中數(shù)學周周回饋練八含解析新人教A版選修1-2

PAGE1-周周回饋練(八)一、選擇題1．下面幾種推理是合情推理的是()①由正三角形的性質(zhì)類比出正三棱錐的有關(guān)性質(zhì)；②由正方形、矩形的內(nèi)角和是360°，歸納出全部四邊形的內(nèi)角和都是360°；③三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，由此得出凸n邊形內(nèi)角和是(n－2)·180°；④小李某次數(shù)學模塊考試成果是90分，由此推出小李的全班同學這次數(shù)學模塊考試的成果都是90分．A．①②B．①②③C．①②④D．②③④答案B解析①是類比推理，②③是歸納推理．故選B.2．用反證法證明命題“若關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a，b，c∈Z)有有理根，那么a，b，c中至少有一個是奇數(shù)”時，下列假設(shè)正確的是()A．假設(shè)a，b，c都是奇數(shù)B．假設(shè)a，b，c都不是奇數(shù)C．假設(shè)a，b，c至多有一個奇數(shù)D．假設(shè)a，b，c至多有兩個奇數(shù)答案B解析命題“a，b，c中至少有一個是奇數(shù)”的否定是“a，b，c都不是奇數(shù)”，故選B.3．因為奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱(大前提)，而函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx＋1，x>0，,0，x＝0，,xx－1，x<0))是奇函數(shù)(小前提)，所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于原點對稱(結(jié)論)．上面的推理有錯誤，其錯誤的緣由是()A．大前提錯導致結(jié)論錯B．小前提錯導致結(jié)論錯C．推理形式錯導致結(jié)論錯D．大前提和小前提都錯導致結(jié)論錯答案B解析因為f(1)＝f(－1)＝2，所以f(－1)≠－f(1)，所以f(x)不是奇函數(shù)，故推理錯誤的緣由是小前提錯導致結(jié)論錯，故選B.4．求證：eq\r(2)＋eq\r(3)>eq\r(5).證明：因為eq\r(2)＋eq\r(3)和eq\r(5)都是正數(shù)，所以為了證明eq\r(2)＋eq\r(3)>eq\r(5)，只需證明(eq\r(2)＋eq\r(3))2>(eq\r(5))2，綻開得5＋2eq\r(6)>5，即2eq\r(6)>0，此式明顯成立，所以不等式eq\r(2)＋eq\r(3)>eq\r(5)成立．上述證明過程運用了()A．反證法B．分析法C．歸納法D．綜合法答案B解析證明過程中的“為了證明…”，“只需證明…”這樣的語句是分析法所特有的，是分析法的證明模式．5．由“正三角形的內(nèi)切圓切于三邊的中點”，可類比猜想出正四面體的內(nèi)切球切于四個側(cè)面()A．各正三角形內(nèi)任一點B．各正三角形的某高線上的點C．各正三角形的中心D．各正三角形外的某點答案C解析正三角形的邊對應正四面體的面，即正三角形所在的正四面體的側(cè)面，所以邊的中點對應的就是正四面體各正三角形的中心．6．設(shè)x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，a＋b＝2eq\r(3)，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最大值為()A．2B.eq\f(3,2)C．1D.eq\f(1,2)答案C解析∵ax＝by＝3，x＝loga3，y＝logb3，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝log3(ab)≤log3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))2＝1.故選C.二、填空題7．已知a>0，b>0，m＝lgeq\f(\r(a)＋\r(b),2)，n＝lgeq\f(\r(a＋b),2)，則m，n的大小關(guān)系是________．答案m>n解析ab>0?eq\r(ab)>0?a＋b＋2eq\r(ab)>a＋b?(eq\r(a)＋eq\r(b))2>(eq\r(a＋b))2?eq\r(a)＋eq\r(b)>eq\r(a＋b)?eq\f(\r(a)＋\r(b),2)>eq\f(\r(a＋b),2)?lgeq\f(\r(a)＋\r(b),2)>lgeq\f(\r(a＋b),2).8．已知eq\r(2＋\f(2,3))＝2eq\r(\f(2,3))，eq\r(3＋\f(3,8))＝3eq\r(\f(3,8))，eq\r(4＋\f(4,15))＝4eq\r(\f(4,15))，…，eq\r(6＋\f(a,b))＝6eq\r(\f(a,b))，a，b均為正實數(shù)，由以上規(guī)律可推想出a，b的值，則a＋b＝________.答案41解析由題意歸納推理得eq\r(6＋\f(a,b))＝6eq\r(\f(a,b))，b＝62－1＝35，a＝6.∴a＋b＝6＋35＝41.9．現(xiàn)有一個關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一平面內(nèi)有兩個邊長都是a的正方形，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為eq\f(a2,4).類比到空間，有兩個棱長為a的正方體，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為________．答案eq\f(a3,8)解析解法的類比(特別化)，易得兩個正方體重疊部分的體積為eq\f(a3,8).三、解答題10．用綜合法或分析法證明：(1)假如a，b>0，則lgeq\f(a＋b,2)≥eq\f(lga＋lgb,2)；(2)eq\r(6)＋eq\r(10)>2eq\r(3)＋2.證明(1)當a，b>0時，∵有eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，∴l(xiāng)geq\f(a＋b,2)≥lgeq\r(ab)，∴l(xiāng)geq\f(a＋b,2)≥eq\f(1,2)lgab＝eq\f(lga＋lgb,2).(2)要證eq\r(6)＋eq\r(10)>2eq\r(3)＋2，只要證(eq\r(6)＋eq\r(10))2>(2eq\r(3)＋2)2，即2eq\r(60)>2eq\r(48)，這是明顯成立的，所以，原不等式成立．11．已知實數(shù)x，且有a＝x2＋eq\f(1,2)，b＝2－x，c＝x2－x＋1，求證：a，b，c中至少有一個不小于1.證明假設(shè)a，b，c都小于1，即a<1，b<1，c<1，則a＋b＋c<3.∵a＋b＋c＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x2＋\f(1,2)))＋(2－x)＋(x2－x＋1)＝2x2－2x＋eq\f(7,2)＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋3，且x為實數(shù)，∴2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋3≥3，即a＋b＋c≥3，這與a＋b＋c<3沖突．∴假設(shè)不成立，原命題成立．∴a，b，c中至少有一個不小于1.12．已知△ABC的三邊長分別為a，b，c，且其中隨意兩邊長均不相等，若eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列．(1)比較eq\r(\f(b,a))與eq\r(\f(c,b))的大小，并證明你的結(jié)論；(2)求證：角B不行能是鈍角．解(1)eq\r(\f(b,a))<eq\r(\f(c,b)).證明如下：要證eq\r(\f(b,a))<eq\r(\f(c,b))，只需證eq\f(b,a)<eq\f(c,b).∵a，b，c>0，∴只需證b2<ac.，∵eq\f(1,a)，eq\f(1,b)，eq\f(1,c)成等差數(shù)列，∴eq\f(2,b)＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,c)≥2eq\r(\f(1,ac))，∴b2≤ac.又a，b，c均不相等，∴b2<ac.故所得大小關(guān)系正確．(2)證明：證法一：假設(shè)角B是鈍角，則cosB<0.由余弦定理得，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)≥eq\f(2ac－b2,2ac)>eq\f(ac－b2,2ac)>0，這與cosB<0沖突，故假設(shè)不成立．所以角B不行能是鈍角．證法二：假設(shè)角B是鈍角，則角B的對邊b為最