2024-2025學(xué)年湖南省長沙市鐵路一中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年湖南省長沙市鐵路一中高一（下）期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知復(fù)數(shù)z1=6?5i，z2=3+2i，其中i為虛數(shù)單位，則A.9?3i B.9+3i C.9?7i D.9+7i2.已知向量a=(1,2)，b=(x,4)，若b=2a，則A.5 B.2 C.3 D.43.如圖是由哪個平面圖形旋轉(zhuǎn)得到的(

)

A. B. C. D.4.已知圓錐的底面半徑是1，高是2，則這個圓錐的體積為(

)A.2π3 B.π C.4π3 5.半徑為R的球內(nèi)接一個正方體，則該正方體的體積是(

)A.22R3 B.43π6.已知tan(α+β)=3，tan(α?β)=2，則tan2β=(

)A.65 B.7 C.17 7.把函數(shù)y=sin2x圖像上所有點的橫坐標(biāo)伸長為原來的2倍(縱坐標(biāo)不變)，再把所得圖像向右平移π4個單位長度，得到f(x)的圖像，則f(x)=(

)A.sin(x?π4) B.sin(x+π8.在△ABC中，點P是AB上一點，且P為靠近A點的三等分點，Q是BC中點，AQ與CP交點為M，又CM=tCP，則t=(

)A.12B.23

C.34二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.如圖所示，觀察下列四個幾何體，其中判斷正確的是(

)

A.①是棱臺 B.②是圓臺 C.③是四面體 D.④是棱柱10.已知復(fù)數(shù)z=5?4i，以下說法正確的是(

)A.z的實部是5 B.|z|=41

C.z?=5+4i11.函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的部分圖象如圖，若f(x)的相鄰兩個零點間的距離為π2，則A.ω=2

B.φ=π6

C.f(x)的零點形成的集合為{x|x=kπ?π12(k∈Z)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.i為虛數(shù)單位，計算1?i2?i=13.△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若B=30°，b=1，c=2，則C=______．14.若f(α)=12tanα+2sinα四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知向量a=(1,3)，b=(?2,1)．

(1)求向量a與b夾角的余弦值；

(2)若向量a+b與a16.(本小題15分)

如圖，這是某建筑大樓的直觀圖，它是由一個半球和一個圓柱組合而成的.已知該幾何體的下半部分圓柱的軸截面(過圓柱上、下底面圓的圓心連線的平面)ABCD是邊長為6的正方形．

(1)求該幾何體的表面積；

(2)求該幾何體的體積．17.(本小題15分)

設(shè)函數(shù)f(x)=2sin(2x?π6)．

(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期和對稱軸方程；

(2)求函數(shù)在x∈[0,π218.(本小題17分)

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，已知3bcosA=3asinB．

(1)求A；

(2)若a=2，△ABC周長為6，求△ABC的面積；

(3)若△ABC為銳角三角形，求a+c19.(本小題17分)

已知O為坐標(biāo)原點，對于函數(shù)f(x)=asinx+bcosx，稱向量OM=(a,b)為函數(shù)f(x)的相伴特征向量，同時稱函數(shù)f(x)為向量OM的相伴函數(shù)．

(1)設(shè)g(x)=cos(x+π4)+3cos(π4?x)(x∈R)，試求函數(shù)g(x)的相伴特征向量OM，并求出與OM方向相反的單位向量；

(2)記向量ON=(1,3)的相伴函數(shù)為f(x)，若f(x)=45且x∈(?π3,π6)，求sinx的值；

參考答案1.A

2.B

3.D

4.A

5.D

6.C

7.A

8.C

9.CD

10.ABC

11.ABD

12.3513.90°

14.?1

15.解：(1)a=(1,3)，b=(?2,1)，

∴a?b=?2+3=1，

|a|=12+32=10，|b|=(?2)2+12=5，

設(shè)向量a與b16.解：由題意可知半球的半徑R=3，圓柱的底面圓半徑r=3，高?=6，

(1)由球的表面積公式可得半球的曲面面積S1=12×4πR2=18π，

由圓的面積公式可得圓柱底面圓的面積S2=πr2=9π，

由圓柱的側(cè)面積公式可得圓柱的側(cè)面積S3=2πr?=36π，

故該幾何體的表面積S=17.解：(1)函數(shù)f(x)=2sin(2x?π6)的最小正周期為T=2π2=π，

由2x?π6=kπ+π2，k∈Z，可得x=kπ2+π3，k∈Z，

所以函數(shù)f(x)的圖象對稱軸方程為x=kπ2+π3，k∈Z．

(2)由(1)知，在x∈[0,π2]上，2x?π6∈[?π6,5π6]，

故當(dāng)2x?π6=π2，即x=π3時，f(x)取得最大值為2，

當(dāng)2x?π6=?π6，即x=0時，f(x)取得最小值為?1，

故f(x)的最大值是2，此時x=π3，f(x)的最小值是?1，此時x=0．

18.解：(1)△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，3bcosA=3asinB．

可得：sinBcosA?33sinAsinB=0，

因為B∈(0,π)，所以sinB≠0，則cosA?33sinA=0，

則tanA=3，又A∈(0,π)，所以A=π3；

(2)由余弦定理a2=b2+c2?2bccosA，得4=b2+c2?bc=(b+c)2?3bc，

由△ABC周長為6，得b+c=4，解得bc=4，

所以△AB