2025屆河南省名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟高三下學(xué)期模擬沖刺數(shù)學(xué)試題（六）（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河南省名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期模擬沖刺數(shù)學(xué)試題（六）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，則（）A.2 B.5 C.3 D.1【答案】B【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則，即得，則.故選：B.2.設(shè)集合，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可知，由，可得，所以．故選：A.3.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由余弦和角公式、倍角公式、降冪公式可得，所以的最小正周期為．故選：C4.過(guò)原點(diǎn)且與曲線相切的直線有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】C【解析】設(shè)切點(diǎn)，因?yàn)榍€，所以，所以，所以，所以或，當(dāng)時(shí)，所以，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，所以，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，所以，所以切線方程為，即；所以切線有3條.故選：C.5.已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由在上單調(diào)遞增，則值域?yàn)?，由?duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，開口向上，則，顯然成立；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，顯然成立；當(dāng)時(shí)，開口向下，則，則；綜上，.故選：D6.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，，，則l的斜率是（）A.±1 B. C. D.±2【答案】D【解析】下圖所示為l的斜率大于0的情況．如圖，設(shè)點(diǎn)A，B在C的準(zhǔn)線上的射影分別為，，，垂足為H．設(shè)，，則．而，所以，l的斜率為．同理，l的斜率小于0時(shí)，其斜率為．另一種可能的情形是l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，可知一交點(diǎn)為，則，可求得，可求得l斜率為，同理，l的斜率小于0時(shí)，其斜率為．故選：D7.已知某圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，（）A.1 B.2C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則圓錐的底面半徑，側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)，即圓錐底面的周長(zhǎng)，因此，，．記，，則，因?yàn)樵谏线f減，且，，所以存在唯一的滿足，即，且當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，故是的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．此時(shí)．故選：D8.已知，，則的最大值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】由①，令，，則①式，所以的最大值為，，所以，令，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)①式，即，綜上，，時(shí)目標(biāo)式取最大值為1.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知橢圓，則（）A.的取值范圍為 B.若的焦點(diǎn)在軸上，則C.若，則的焦距為6 D.若，則的離心率為【答案】CD【解析】由題設(shè)，可得，A錯(cuò)；若的焦點(diǎn)在軸上，則，可得，B錯(cuò)；若，則的焦距為，C對(duì)；若，則的離心率為，D對(duì).故選：CD10.已知任何大于1的非質(zhì)數(shù)總可以分解成素?cái)?shù)乘積的形式，且如果不計(jì)分解式中素?cái)?shù)的次序，則這種分解式是唯一的．例如，其中素?cái)?shù)2和3稱為24的素因數(shù)，且24的不同正因數(shù)個(gè)數(shù)為．完全數(shù)，又稱完美數(shù)或完備數(shù)，是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身，例如，可知6的所有真因子為1，2，3，且，則6為完全數(shù)，則（）A.97200的素因數(shù)為2，3，5B.97200不同的正因數(shù)有96個(gè)C.在小于30的非負(fù)偶數(shù)中有3個(gè)完全數(shù)D.在小于30的非負(fù)偶數(shù)中隨機(jī)選兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)完全數(shù)的概率為【答案】AD【解析】由，即97200的素因數(shù)為2，3，5，A對(duì)；由題設(shè)，97200不同的正因數(shù)有個(gè)，B錯(cuò)；由，，，，，，，，，，，，，，，綜上，只有是完全數(shù)，共2個(gè)，C錯(cuò)；由C分析知，15個(gè)數(shù)中有2個(gè)完全數(shù)，故隨機(jī)選兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)完全數(shù)的概率為，D對(duì).故選：AD11.已知在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，且，，．記的軌跡分別為，，且與所封閉的面積分別為，則（）A.為圓 B.最大值的最小值為C. D.的最大值為【答案】ABD【解析】A項(xiàng)，點(diǎn)到定點(diǎn)距離為定值，為以為圓心，為半徑的圓，故A正確；B項(xiàng)，由A項(xiàng)，可設(shè)，又，可設(shè)，則，由，得，，則，，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.記則，令得，則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；所以，最大值的最小值為，故B正確；C項(xiàng)，由，可知在以為圓心，為內(nèi)徑，為外徑圓環(huán)上，即軌跡為，則.設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，則，即，則，由，則，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，由題意可得，則，設(shè)，則，令，解得，則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，上單調(diào)遞減；，所以的最大值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，且，則正數(shù)______．【答案】2【解析】由題設(shè)，又，所以，可得，又，故.故答案為：213.記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，，為等比數(shù)列，則______．【答案】【解析】由題設(shè)，可得，即，又為等比數(shù)列，若公比為，則，故，所以，則，所以.故答案為：14.已知事件A，滿足，，，則的取值范圍為______．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，所以，又，所以，設(shè)，則，所以，所以設(shè)，所以，令，則，令，得，得，又，即，符合題意，令，解得；，解得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，取得最大值，所以，的取值范圍為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程和解題步驟．15.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．（1）求；（2）若，求面積的最大值．解：（1）因?yàn)?，由余弦定理可得，由正弦定理可得，所以，又因?yàn)?，所以．?）因?yàn)榍?，由余弦定理得，即又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，解得，所以的面積，即面積的最大值為．16.氮氧化物是一種常見的大氣污染物，它是由氮和氧兩種元素組成的化合物，有多種不同的形式．下圖為我國(guó)2014年至2022年氮氧化物排放量（單位：萬(wàn)噸）的折線圖，其中，年份代碼1～9分別對(duì)應(yīng)年份2014～2022．計(jì)算得，，．（1）是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？請(qǐng)用折線圖和相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；（2）是否可用題中數(shù)據(jù)擬合得到的線性回歸模型預(yù)測(cè)2023年和2033年的氮氧化物排放量？請(qǐng)說(shuō)明理由．附：相關(guān)系數(shù)，．解：（1）從折線圖看，各點(diǎn)近似落在一條直線附近，因而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．因?yàn)椋栽摻M數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)．，因而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．（2）可以用回歸模型預(yù)測(cè)2023年的氮氧化物排放量，但不可以預(yù)測(cè)2033年的氮氧化物排放量，理由如下：①2023年與題設(shè)數(shù)據(jù)的年份較接近，因而可以認(rèn)為，短期內(nèi)氮氧化物的排放量將延續(xù)（1）中的線性趨勢(shì)，故可以用（1）中的回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)；②2033年與題設(shè)數(shù)據(jù)的年份相距過(guò)遠(yuǎn)，而影響氮氧化物排放量的因素有很多，這些因素在短期內(nèi)可能保持，但從長(zhǎng)期角度看很有可能會(huì)變化，因而用（1）中的回歸模型預(yù)測(cè)是不準(zhǔn)確的．17.如圖，四棱錐中，是正三角形，底面是矩形，平面底面，，分別為棱，的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若二面角為，求直線與底面所成角的正弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，又，分別為棱，的中點(diǎn)，所以且，又底面是矩形，即且，所以且，即為平行四邊形，故，由平面，平面，故平面；（2）解：記為的中點(diǎn)，作，因?yàn)槭钦切危?，面面，面面，面，所以面，則為直線與底面所成角，易知面，面，則，所以可構(gòu)建如圖示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，所以，，，若分別為面、面的一個(gè)法向量，則，取，則，，取，則，由二面角為，則，所以或，當(dāng)時(shí)，，所以為等邊三角形，且，，所以，即，，所以二面角為，故不合題設(shè)，即（經(jīng)驗(yàn)證滿足題設(shè)），故.18.（1）證明：雙曲線上任意一點(diǎn)處的切線方程為；（2）已知直線，，直線分別交和于點(diǎn)和，點(diǎn)和在軸同側(cè)，且的面積為1（為坐標(biāo)原點(diǎn)），恒與一焦點(diǎn)在軸上的等軸雙曲線相切，求該等軸雙曲線的方程；（3）在（2）的條件下，記（2）中的等軸雙曲線為，與相切于點(diǎn)且不在坐標(biāo)軸上，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線分別交軸和軸于點(diǎn)和，證明：，，，四點(diǎn)共圓，且該圓過(guò)定點(diǎn)．（1）證明：若切線的斜率存在，即切點(diǎn)不為雙曲線的頂點(diǎn)，令方程為，聯(lián)立，所以，則，所以，整理得，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，所以，則，所以，則，由，則，即，所以，顯然切線的斜率不存在時(shí)，即切線過(guò)雙曲線頂點(diǎn)也滿足，得證；（2）解：由題意，設(shè)，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)與雙曲線的切點(diǎn)為，則切線方程為，聯(lián)立，可得，即，同理，所以，，則，而，故，即所求等軸雙曲線的方程；（3）解：由（2）雙曲線為，若，則，所以過(guò)點(diǎn)作直線的垂線為，即，令，則，即，令，則，即，聯(lián)立，可得，同理，綜上，、的中點(diǎn)坐標(biāo)均為，即是點(diǎn)，所以四點(diǎn)共圓，易知圓的方程為，顯然原點(diǎn)恒在圓上，得證.19.對(duì)于各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，如果，給定，且對(duì)于任意都有，我們就稱為一個(gè)數(shù)列．（1）若數(shù)列是－數(shù)列，且，，直接寫出，，的值；（2）若數(shù)列為數(shù)列，且，，則，都存在一個(gè)或若干個(gè)互不相鄰且互不相同的正整數(shù)，，，使得，證明：，的表示具有唯一性；（3）能否將正整數(shù)集拆成若干個(gè)集合，，，（可以是無(wú)窮個(gè)集合），使得，都有，這些集合的并集為正整數(shù)集，且將每個(gè)集合的數(shù)從小到大排列之后都是數(shù)列？解：（1），.（2）采用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時(shí)，，顯然存在，假設(shè)當(dāng)時(shí)，都存在一個(gè)或若干個(gè)互不相鄰互不相同的正整數(shù)，使得，當(dāng)時(shí)，設(shè)是滿足的最大正整數(shù)，則，因?yàn)椋ㄈ?，則與是滿足的最大正整數(shù)矛盾），且由歸納假設(shè)可以表示成的形式，其中互不相鄰且與也不相鄰（因?yàn)椋砸部梢员硎境扇舾蓚€(gè)互不相鄰互不相同的的和；再證明唯一性：假設(shè)，不妨設(shè)，設(shè)，根據(jù)數(shù)列的增長(zhǎng)性質(zhì)，得單調(diào)遞增且增長(zhǎng)速度由遞推關(guān)系決定，從最大項(xiàng)開始分析，若，不妨設(shè)，則，因?yàn)榈脑鲩L(zhǎng)使得前面項(xiàng)的和小于較大的項(xiàng)，故矛盾，所以，去掉這一項(xiàng)后繼續(xù)比較剩下的和，以此類推可得且；（3）首先構(gòu)造集合，設(shè)是以1，2為首項(xiàng)的數(shù)列構(gòu)成的集合，根據(jù)－數(shù)列的遞推公式，則，，，,，以此類推可得，然后構(gòu)造集合，為了保證，從正整數(shù)集中去掉的元素后，取最小的正整數(shù)4作為的首項(xiàng)，再取一個(gè)不同于中元素的數(shù)作為第二項(xiàng)，不妨取6，則，，，，依此類推，則是以4為首項(xiàng)的數(shù)列構(gòu)成的集合，即，再構(gòu)造集合，在正整數(shù)集中去掉的元素，此時(shí)最小的正整數(shù)為7，取7作為的首項(xiàng)，再取一個(gè)合適的數(shù)如9作為第二項(xiàng)，則，，，,，那么是以7為首項(xiàng)的數(shù)列構(gòu)成的集合，即，按照上述方法，不斷地在正整數(shù)集中去掉前面以構(gòu)造集合的元素，然后取剩余最小正整數(shù)作新集合的首項(xiàng)，再選取一個(gè)合適的數(shù)作為第二項(xiàng)，依據(jù)數(shù)列的遞推公式生成新的集合，由于每次構(gòu)造新集合時(shí)，都是從前面集合未包含的正整數(shù)中選取元素，所以對(duì)于任意都有，因?yàn)槭前凑照麛?shù)從小到大的順序，依次將正整數(shù)分配到不同的集合中，所以，在構(gòu)造每個(gè)集合時(shí)，都是根據(jù)－數(shù)列的遞推公式來(lái)生成集合內(nèi)的元素，所以每個(gè)集合的數(shù)從小到大排列之后都是數(shù)列，綜上，能將正整數(shù)集拆成若干個(gè)集合（可以是無(wú)窮個(gè)集合），使得對(duì)于任意，都有，這些集合的并集為正整數(shù)集，且將每個(gè)集合的數(shù)從小到大排列之后都是－數(shù)列.河南省名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟2025屆高三下學(xué)期模擬沖刺數(shù)學(xué)試題（六）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)，若為實(shí)數(shù)，則（）A.2 B.5 C.3 D.1【答案】B【解析】因?yàn)閺?fù)數(shù)為實(shí)數(shù)，則，即得，則.故選：B.2.設(shè)集合，若，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由題可知，由，可得，所以．故選：A.3.函數(shù)的最小正周期是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由余弦和角公式、倍角公式、降冪公式可得，所以的最小正周期為．故選：C4.過(guò)原點(diǎn)且與曲線相切的直線有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條【答案】C【解析】設(shè)切點(diǎn)，因?yàn)榍€，所以，所以，所以，所以或，當(dāng)時(shí)，所以，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，所以，所以切線方程為，即；當(dāng)時(shí)，所以，所以切線方程為，即；所以切線有3條.故選：C.5.已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由在上單調(diào)遞增，則值域?yàn)?，由?duì)稱軸為，當(dāng)時(shí)，開口向上，則，顯然成立；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，且，顯然成立；當(dāng)時(shí)，開口向下，則，則；綜上，.故選：D6.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，，，則l的斜率是（）A.±1 B. C. D.±2【答案】D【解析】下圖所示為l的斜率大于0的情況．如圖，設(shè)點(diǎn)A，B在C的準(zhǔn)線上的射影分別為，，，垂足為H．設(shè)，，則．而，所以，l的斜率為．同理，l的斜率小于0時(shí)，其斜率為．另一種可能的情形是l經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O，可知一交點(diǎn)為，則，可求得，可求得l斜率為，同理，l的斜率小于0時(shí)，其斜率為．故選：D7.已知某圓錐的軸截面是頂角為的等腰三角形，側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，（）A.1 B.2C. D.【答案】D【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，則圓錐的底面半徑，側(cè)面展開圖的扇形弧長(zhǎng)，即圓錐底面的周長(zhǎng)，因此，，．記，，則，因?yàn)樵谏线f減，且，，所以存在唯一的滿足，即，且當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在單調(diào)遞減，故是的極大值點(diǎn)，也是最大值點(diǎn)．此時(shí)．故選：D8.已知，，則的最大值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】由①，令，，則①式，所以的最大值為，，所以，令，當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)①式，即，綜上，，時(shí)目標(biāo)式取最大值為1.故選：A二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知橢圓，則（）A.的取值范圍為 B.若的焦點(diǎn)在軸上，則C.若，則的焦距為6 D.若，則的離心率為【答案】CD【解析】由題設(shè)，可得，A錯(cuò)；若的焦點(diǎn)在軸上，則，可得，B錯(cuò)；若，則的焦距為，C對(duì)；若，則的離心率為，D對(duì).故選：CD10.已知任何大于1的非質(zhì)數(shù)總可以分解成素?cái)?shù)乘積的形式，且如果不計(jì)分解式中素?cái)?shù)的次序，則這種分解式是唯一的．例如，其中素?cái)?shù)2和3稱為24的素因數(shù)，且24的不同正因數(shù)個(gè)數(shù)為．完全數(shù)，又稱完美數(shù)或完備數(shù)，是一些特殊的自然數(shù)，它所有的真因子（即除了自身以外的約數(shù)）的和恰好等于它本身，例如，可知6的所有真因子為1，2，3，且，則6為完全數(shù)，則（）A.97200的素因數(shù)為2，3，5B.97200不同的正因數(shù)有96個(gè)C.在小于30的非負(fù)偶數(shù)中有3個(gè)完全數(shù)D.在小于30的非負(fù)偶數(shù)中隨機(jī)選兩個(gè)數(shù)，這兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)完全數(shù)的概率為【答案】AD【解析】由，即97200的素因數(shù)為2，3，5，A對(duì)；由題設(shè)，97200不同的正因數(shù)有個(gè)，B錯(cuò)；由，，，，，，，，，，，，，，，綜上，只有是完全數(shù)，共2個(gè)，C錯(cuò)；由C分析知，15個(gè)數(shù)中有2個(gè)完全數(shù)，故隨機(jī)選兩個(gè)數(shù)中至少有一個(gè)完全數(shù)的概率為，D對(duì).故選：AD11.已知在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，且，，．記的軌跡分別為，，且與所封閉的面積分別為，則（）A.為圓 B.最大值的最小值為C. D.的最大值為【答案】ABD【解析】A項(xiàng)，點(diǎn)到定點(diǎn)距離為定值，為以為圓心，為半徑的圓，故A正確；B項(xiàng)，由A項(xiàng)，可設(shè)，又，可設(shè)，則，由，得，，則，，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故的最大值為.記則，令得，則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；所以，最大值的最小值為，故B正確；C項(xiàng)，由，可知在以為圓心，為內(nèi)徑，為外徑圓環(huán)上，即軌跡為，則.設(shè)，則，故在上單調(diào)遞增，則，即，則，由，則，故C錯(cuò)誤；D項(xiàng)，由題意可得，則，設(shè)，則，令，解得，則當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，上單調(diào)遞減；，所以的最大值為，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，，且，則正數(shù)______．【答案】2【解析】由題設(shè)，又，所以，可得，又，故.故答案為：213.記為正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和，，為等比數(shù)列，則______．【答案】【解析】由題設(shè)，可得，即，又為等比數(shù)列，若公比為，則，故，所以，則，所以.故答案為：14.已知事件A，滿足，，，則的取值范圍為______．【答案】【解析】因?yàn)?，，所以，所以，又，所以，設(shè)，則，所以，所以設(shè)，所以，令，則，令，得，得，又，即，符合題意，令，解得；，解得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以，取得最大值，所以，的取值范圍為，故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程和解題步驟．15.在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且．（1）求；（2）若，求面積的最大值．解：（1）因?yàn)椋捎嘞叶ɡ砜傻?，由正弦定理可得，所以，又因?yàn)椋裕?）因?yàn)榍?，由余弦定理得，即又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即，解得，所以的面積，即面積的最大值為．16.氮氧化物是一種常見的大氣污染物，它是由氮和氧兩種元素組成的化合物，有多種不同的形式．下圖為我國(guó)2014年至2022年氮氧化物排放量（單位：萬(wàn)噸）的折線圖，其中，年份代碼1～9分別對(duì)應(yīng)年份2014～2022．計(jì)算得，，．（1）是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？請(qǐng)用折線圖和相關(guān)系數(shù)加以說(shuō)明；（2）是否可用題中數(shù)據(jù)擬合得到的線性回歸模型預(yù)測(cè)2023年和2033年的氮氧化物排放量？請(qǐng)說(shuō)明理由．附：相關(guān)系數(shù)，．解：（1）從折線圖看，各點(diǎn)近似落在一條直線附近，因而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．因?yàn)?，所以該組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)．，因而可以用線性回歸模型擬合與的關(guān)系．（2）可以用回歸模型預(yù)測(cè)2023年的氮氧化物排放量，但不可以預(yù)測(cè)2033年的氮氧化物排放量，理由如下：①2023年與題設(shè)數(shù)據(jù)的年份較接近，因而可以認(rèn)為，短期內(nèi)氮氧化物的排放量將延續(xù)（1）中的線性趨勢(shì)，故可以用（1）中的回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè)；②2033年與題設(shè)數(shù)據(jù)的年份相距過(guò)遠(yuǎn)，而影響氮氧化物排放量的因素有很多，這些因素在短期內(nèi)可能保持，但從長(zhǎng)期角度看很有可能會(huì)變化，因而用（1）中的回歸模型預(yù)測(cè)是不準(zhǔn)確的．17.如圖，四棱錐中，是正三角形，底面是矩形，平面底面，，分別為棱，的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）若二面角為，求直線與底面所成角的正弦值．（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，又，分別為棱，的中點(diǎn)，所以且，又底面是矩形，即且，所以且，即為平行四邊形，故，由平面，平面，故平面；（2）解：記為的中點(diǎn)，作，因?yàn)槭钦切?，所以，面面，面面，面，所以面，則為直線與底面所成角，易知面，面，則，所以可構(gòu)建如圖示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，，所以，，，若分別為面、面的一個(gè)法向量，則，取，則，，取，則，由二面角為，則，所以或，當(dāng)時(shí)，，所以為等邊三角形，且，，所以，即，，所以二面角為，故不合題設(shè)，即（經(jīng)驗(yàn)證滿足題設(shè)），故.18.（1）證明：雙曲線上任意一點(diǎn)處的切線方程為；（2）已知直線，，直線分別交和于點(diǎn)和，點(diǎn)和在軸同側(cè)，且的面積為1（為坐標(biāo)原點(diǎn)），恒與一焦點(diǎn)在軸上的等軸雙曲線相切，求該等軸雙曲線的方程；（3）在（2）的條件下，記（2）中的等軸雙曲線為，與相切于點(diǎn)且不在坐標(biāo)軸上，過(guò)點(diǎn)作直線的垂線分別交軸和軸于點(diǎn)和，證明：，，，四點(diǎn)共圓，且該圓過(guò)定點(diǎn)．（1）證明：若切線的斜率存在，即切點(diǎn)不為雙曲線的頂點(diǎn)，令方程為，聯(lián)立，所以，則，所以，整理得，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，所以，則，所以，則，由，則，即，所以，顯然切線的斜率不存在時(shí)，即切線過(guò)雙曲線頂點(diǎn)也滿足，得證；（2）解：由題意，設(shè)，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)與雙曲線的切點(diǎn)為，則切線方程為，聯(lián)立，可得，即，同理，所以，，則，而，故，即所求等軸雙曲線的方程；（3）解：由（2）雙曲線為，若，則，所以過(guò)點(diǎn)作直線的垂線為，即，令，則，即，令，則，即，聯(lián)立，可得，同理，綜上，、的中點(diǎn)坐標(biāo)均為，即是點(diǎn)，所以四點(diǎn)共圓，易知圓的方程為，顯然原點(diǎn)恒在圓上，得證.19.對(duì)于各項(xiàng)均為正整數(shù)的數(shù)列，如果，給定，且對(duì)