2025屆廣東省部分學(xué)校高三下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1廣東省部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榧?，?故選：C.2.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A.4 B.5 C.6 D.1【答案】C【解析】由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，整理得，故，得.故選：C.3.已知小明和小王從5張編號為的卡牌中依次不放回各抽取2張卡牌，設(shè)甲：小明手中的兩張卡牌編號和為3，乙：小王手中的兩張卡牌編號均不小于3，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】由小明手中的兩張卡牌編號和為3，可知小明手中的兩張卡牌編號分別為1，2，根據(jù)題意此時(shí)小王手中的兩張卡牌編號可能為中的兩個(gè)，均滿足編號不小于3，充分性成立，若小王手中的兩張卡牌編號均不小于3，例如3，4，此時(shí)小明手中的卡牌編號可能有5，不滿足小明手中的兩張卡牌編號和為3，故必要性不成立，故甲是乙的充分條件但不是必要條件.故選:A.4.已知，則的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】設(shè)，則，而.故由可解得，故，于是，故的最小值為1.故選：A.5.人工智能技術(shù)（簡稱AI技術(shù)）已成為引領(lǐng)世界新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)改革戰(zhàn)略性技術(shù)，AI技術(shù)加持的電腦（以下簡稱AI電腦）也在全國各地逐漸熱銷起來.下表為市統(tǒng)計(jì)的2024年10月至2025年2月這5個(gè)月該市AI電腦的月銷量，其中為月份代號，（單位：萬臺(tái)）代表AI電腦該月銷量.月份2024年10月2024年11月2024年12月2025年1月2025年2月月份代號12345月銷量萬臺(tái)0.50.911.21.4經(jīng)過分析，與線性相關(guān)，且其線性回歸方程為，則預(yù)測2025年3月該市AI電腦的月銷量約為（）A.1.63萬臺(tái) B.1.57萬臺(tái) C.1.61萬臺(tái) D.1.72萬臺(tái)【答案】A【解析】因?yàn)?所以，所以關(guān)于的線性回歸方程為，令，故此時(shí)萬臺(tái).故選：A.6.已知拋物線，點(diǎn)，直線，記關(guān)于的對稱點(diǎn)為，且在上，則的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)榈男甭蕿椋灾本€的斜率為，故直線的方程為4，將直線的方程與聯(lián)立，設(shè)兩直線的交點(diǎn)為，則，所以，解得，將的坐標(biāo)代入的方程，有，解得，故的準(zhǔn)線方程為.故選:B.7.中，點(diǎn)滿足，且，則（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】由題意可得，，，因?yàn)?，所以，即，故，于?故選：C.8.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由的定義域?yàn)?，時(shí)，，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性可知，解得，由可知，由可知，即，即，而，故只能為0或1，時(shí)，結(jié)合可知；時(shí)，，于是.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.記為等差數(shù)列前項(xiàng)和，已知，則（）A.的公差為3 B.C.有最小值 D.數(shù)列為遞增數(shù)列【答案】BC【解析】對于A，由題意可得，解得，故A錯(cuò)誤；對于B，，故，故B正確；對于C，，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值，故C正確；對于D，，且，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記的軌跡為，則（）A.始終關(guān)于原點(diǎn)對稱B.圓與關(guān)于原點(diǎn)對稱C.與上的點(diǎn)的最小距離為6D.與上的點(diǎn)的最大距離為12【答案】BC【解析】圓的圓心為，半徑為2，對于A，設(shè)，由，得，則關(guān)于原點(diǎn)不一定對稱，A錯(cuò)誤；對于B，由在圓上，則，化簡得到，是以為圓心，2為半徑的圓，圓與關(guān)于原點(diǎn)對稱，B正確；對于C，由選項(xiàng)B知，兩圓的圓心距離為，即兩圓外離，與上的點(diǎn)的最小距離是的圓心距離再減去兩圓半徑和的差，即，C正確；對于D，與上的點(diǎn)的最大距離是的圓心距離再加上兩圓半徑和，即，D錯(cuò)誤.故選：BC11.中，，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】對于，因，故，故是銳角三角形.由，于是，故A正確；對于，由可知，故，故B正確；對于C，設(shè)函數(shù)，則，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，即.于是，故，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，又因?yàn)?，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.雙曲線的實(shí)軸長與焦距之積為__________.【答案】【解析】由知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，故其焦距為，故雙曲線實(shí)軸長與焦距之積為.故答案為：.13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】解法一：由題意可得，而恒成立，故僅有時(shí)滿足題意.解法二：令，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知外層函數(shù)在上單調(diào)遞增，故內(nèi)層函數(shù)在上也要單調(diào)遞增，故時(shí)滿足，其他情況均不滿足，故的取值范圍為.故答案為：.14.已知某圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周上的點(diǎn)均在球的表面上，且球的表面積與體積相等，則該圓錐側(cè)面積的最大值為__________.【答案】【解析】由可知，故球半徑為3，由題意可知，為使該圓錐側(cè)面積取得最大值，此時(shí)球心在該圓錐的高上，作出該圓錐的軸截面，如圖其中，分別表示該圓錐的母線長，底面圓半徑，球心到底面圓的距離，球心可能在圓錐內(nèi)或圓錐外，故，，故圓錐側(cè)面積，記函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.故，于是.故答案為:.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.為了調(diào)查小鼠的日均睡眠時(shí)長（單位：小時(shí)），某科研團(tuán)隊(duì)隨機(jī)抽取了90只小鼠的日均睡眠時(shí)長作為樣本，整理數(shù)據(jù)如下表.已知抽取的90只小鼠的樣本極差為5.現(xiàn)從日均睡眠時(shí)長在的小鼠中抽取5只進(jìn)行藥物測試，已知抽取所得的小鼠的日均睡眠時(shí)長分別為.日均睡眠時(shí)長56789小鼠數(shù)量61925168（1）求；（2）求參與藥物測試的小鼠的日均睡眠時(shí)長的方差；（3）從參與藥物測試的小鼠中隨機(jī)抽取2只，求其日均睡眠時(shí)長之差的絕對值的分布列.解：（1）因?yàn)闃颖緲O差為，.（2）求得參與藥物測試的小鼠的日均睡眠時(shí)長的平均數(shù)為，所以方差.（3）因?yàn)槌槿∷玫男∈蟮娜站邥r(shí)長分別為，故可能值為.則的情況下，抽取到的兩只小鼠日均睡眠時(shí)長均為7，的情況下，抽取到的兩只小鼠日均睡眠時(shí)長分別為6，8，故，，，故的分布列為01216.如圖，在幾何體中，互相平行，四邊形與四邊形是全等的等腰梯形，平面平面，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面平面;（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：如圖，因?yàn)樗倪呅问堑妊菪危c(diǎn)G為的中點(diǎn)，點(diǎn)H為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，平面，所以，取BE的中點(diǎn)M，連接，則四邊形是邊長為2的菱形，所以，又，所以，因?yàn)榍叶荚诿鎯?nèi)，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）解：由（1）知，兩兩垂直，以H為原點(diǎn)，所在的直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成的角為θ，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在原點(diǎn)處的切線方程；（2）若存在零點(diǎn)且與極值點(diǎn)相等，求的最小值.解：（1）因?yàn)?，所以?當(dāng)時(shí)，，且，.故曲線在原點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）設(shè)既是的零點(diǎn)，也是的極值點(diǎn)，則有，，解方程，解得或.①當(dāng)時(shí)，，解得，又，故；②當(dāng)時(shí)，，且易知，又，故只有，結(jié)合，同①解得.綜上，，當(dāng)時(shí)，取最小值，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意.18.已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上，且的左、右焦點(diǎn)分別為.設(shè)直線為上不重合的兩點(diǎn).（1）求的離心率；（2）已知；（i）證明：點(diǎn)在軸的異側(cè)；（ii）證明：當(dāng)?shù)拿娣e取最小值時(shí)，存在常數(shù)使得，并求的值.解：（1）由題設(shè)，.則，即，且，即.則的離心率為.（2）（i）由（1）可得，設(shè).則由，得，即0.故必存在一點(diǎn)在第一象限，另一點(diǎn)在第四象限，即點(diǎn)在軸的異側(cè).（ii）記的面積為，點(diǎn)到的距離為，則.要使最小，則必須使與同時(shí)達(dá)到最小值.顯然當(dāng)運(yùn)動(dòng)至的右頂點(diǎn)時(shí)最小，此時(shí)，而，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號，最小值為.此時(shí).且，故，解得.19.若正整數(shù)數(shù)列滿足：存在連續(xù)項(xiàng)之和為正整數(shù)，則稱數(shù)列為“—和數(shù)列”.已知項(xiàng)數(shù)為的正整數(shù)數(shù)列對于任意整數(shù)，有.（1），寫出一個(gè)滿足條件的2—和數(shù)列；（2）時(shí)，證明：是4—和數(shù)列；（3）對于任意，證明：是既為—和數(shù)列，也為—和數(shù)列.（1）解：取滿足題意.（2）證明：記為的前項(xiàng)和，則有，另一方面，要考慮存在兩個(gè)不相等的，使得，則對于，有：，則與是1到39中的40個(gè)整數(shù)，因此其必存在兩個(gè)數(shù)相同，又，則必存在，使得，因此，即，因此是4—和數(shù)列.（3）證明：①記為的前項(xiàng)和，則有，對于，有：，則與是1到中的個(gè)整數(shù)，因此其必存在兩個(gè)數(shù)相同，又，則必存在，使得，因此，即，因此是—和數(shù)列.②若存在的倍數(shù)，由于，則存在必為，則是—和數(shù)列，若其中沒有的倍數(shù)，則必然是除以余的數(shù)，其中共有種不同的可能，而是個(gè)不同的數(shù)，因此必存在，使得除以的余數(shù)相同，因此存在，使得是的倍數(shù)，又，則，則，故為—和數(shù)列.廣東省部分學(xué)校2025屆高三下學(xué)期2月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因?yàn)榧希?故選：C.2.已知函數(shù)為偶函數(shù)，則（）A.4 B.5 C.6 D.1【答案】C【解析】由題意可知函數(shù)的定義域?yàn)?，因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，整理得，故，得.故選：C.3.已知小明和小王從5張編號為的卡牌中依次不放回各抽取2張卡牌，設(shè)甲：小明手中的兩張卡牌編號和為3，乙：小王手中的兩張卡牌編號均不小于3，則（）A.甲是乙的充分條件但不是必要條件B.甲是乙的必要條件但不是充分條件C.甲是乙的充要條件D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】A【解析】由小明手中的兩張卡牌編號和為3，可知小明手中的兩張卡牌編號分別為1，2，根據(jù)題意此時(shí)小王手中的兩張卡牌編號可能為中的兩個(gè)，均滿足編號不小于3，充分性成立，若小王手中的兩張卡牌編號均不小于3，例如3，4，此時(shí)小明手中的卡牌編號可能有5，不滿足小明手中的兩張卡牌編號和為3，故必要性不成立，故甲是乙的充分條件但不是必要條件.故選:A.4.已知，則的最小值為（）A.1 B. C. D.2【答案】A【解析】設(shè)，則，而.故由可解得，故，于是，故的最小值為1.故選：A.5.人工智能技術(shù)（簡稱AI技術(shù)）已成為引領(lǐng)世界新一輪科技革命和產(chǎn)業(yè)改革戰(zhàn)略性技術(shù)，AI技術(shù)加持的電腦（以下簡稱AI電腦）也在全國各地逐漸熱銷起來.下表為市統(tǒng)計(jì)的2024年10月至2025年2月這5個(gè)月該市AI電腦的月銷量，其中為月份代號，（單位：萬臺(tái)）代表AI電腦該月銷量.月份2024年10月2024年11月2024年12月2025年1月2025年2月月份代號12345月銷量萬臺(tái)0.50.911.21.4經(jīng)過分析，與線性相關(guān)，且其線性回歸方程為，則預(yù)測2025年3月該市AI電腦的月銷量約為（）A.1.63萬臺(tái) B.1.57萬臺(tái) C.1.61萬臺(tái) D.1.72萬臺(tái)【答案】A【解析】因?yàn)?所以，所以關(guān)于的線性回歸方程為，令，故此時(shí)萬臺(tái).故選：A.6.已知拋物線，點(diǎn)，直線，記關(guān)于的對稱點(diǎn)為，且在上，則的準(zhǔn)線方程為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)榈男甭蕿椋灾本€的斜率為，故直線的方程為4，將直線的方程與聯(lián)立，設(shè)兩直線的交點(diǎn)為，則，所以，解得，將的坐標(biāo)代入的方程，有，解得，故的準(zhǔn)線方程為.故選:B.7.中，點(diǎn)滿足，且，則（）A.1 B. C. D.2【答案】C【解析】由題意可得，，，因?yàn)椋?，即，故，于?故選：C.8.已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由的定義域?yàn)椋瑫r(shí)，，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性可知，解得，由可知，由可知，即，即，而，故只能為0或1，時(shí)，結(jié)合可知；時(shí)，，于是.故選：D二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.記為等差數(shù)列前項(xiàng)和，已知，則（）A.的公差為3 B.C.有最小值 D.數(shù)列為遞增數(shù)列【答案】BC【解析】對于A，由題意可得，解得，故A錯(cuò)誤；對于B，，故，故B正確；對于C，，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值，故C正確；對于D，，且，故D錯(cuò)誤.故選：BC.10.已知為圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)滿足，記的軌跡為，則（）A.始終關(guān)于原點(diǎn)對稱B.圓與關(guān)于原點(diǎn)對稱C.與上的點(diǎn)的最小距離為6D.與上的點(diǎn)的最大距離為12【答案】BC【解析】圓的圓心為，半徑為2，對于A，設(shè)，由，得，則關(guān)于原點(diǎn)不一定對稱，A錯(cuò)誤；對于B，由在圓上，則，化簡得到，是以為圓心，2為半徑的圓，圓與關(guān)于原點(diǎn)對稱，B正確；對于C，由選項(xiàng)B知，兩圓的圓心距離為，即兩圓外離，與上的點(diǎn)的最小距離是的圓心距離再減去兩圓半徑和的差，即，C正確；對于D，與上的點(diǎn)的最大距離是的圓心距離再加上兩圓半徑和，即，D錯(cuò)誤.故選：BC11.中，，則（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】對于，因，故，故是銳角三角形.由，于是，故A正確；對于，由可知，故，故B正確；對于C，設(shè)函數(shù)，則，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，即.于是，故，故C正確；對于D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，又因?yàn)?，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.雙曲線的實(shí)軸長與焦距之積為__________.【答案】【解析】由知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，且，故其焦距為，故雙曲線實(shí)軸長與焦距之積為.故答案為：.13.已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍為__________.【答案】【解析】解法一：由題意可得，而恒成立，故僅有時(shí)滿足題意.解法二：令，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知外層函數(shù)在上單調(diào)遞增，故內(nèi)層函數(shù)在上也要單調(diào)遞增，故時(shí)滿足，其他情況均不滿足，故的取值范圍為.故答案為：.14.已知某圓錐的頂點(diǎn)和底面圓周上的點(diǎn)均在球的表面上，且球的表面積與體積相等，則該圓錐側(cè)面積的最大值為__________.【答案】【解析】由可知，故球半徑為3，由題意可知，為使該圓錐側(cè)面積取得最大值，此時(shí)球心在該圓錐的高上，作出該圓錐的軸截面，如圖其中，分別表示該圓錐的母線長，底面圓半徑，球心到底面圓的距離，球心可能在圓錐內(nèi)或圓錐外，故，，故圓錐側(cè)面積，記函數(shù)，則.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減.故，于是.故答案為:.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟.15.為了調(diào)查小鼠的日均睡眠時(shí)長（單位：小時(shí)），某科研團(tuán)隊(duì)隨機(jī)抽取了90只小鼠的日均睡眠時(shí)長作為樣本，整理數(shù)據(jù)如下表.已知抽取的90只小鼠的樣本極差為5.現(xiàn)從日均睡眠時(shí)長在的小鼠中抽取5只進(jìn)行藥物測試，已知抽取所得的小鼠的日均睡眠時(shí)長分別為.日均睡眠時(shí)長56789小鼠數(shù)量61925168（1）求；（2）求參與藥物測試的小鼠的日均睡眠時(shí)長的方差；（3）從參與藥物測試的小鼠中隨機(jī)抽取2只，求其日均睡眠時(shí)長之差的絕對值的分布列.解：（1）因?yàn)闃颖緲O差為，.（2）求得參與藥物測試的小鼠的日均睡眠時(shí)長的平均數(shù)為，所以方差.（3）因?yàn)槌槿∷玫男∈蟮娜站邥r(shí)長分別為，故可能值為.則的情況下，抽取到的兩只小鼠日均睡眠時(shí)長均為7，的情況下，抽取到的兩只小鼠日均睡眠時(shí)長分別為6，8，故，，，故的分布列為01216.如圖，在幾何體中，互相平行，四邊形與四邊形是全等的等腰梯形，平面平面，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn).（1）證明：平面平面;（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：如圖，因?yàn)樗倪呅问堑妊菪?，點(diǎn)G為的中點(diǎn)，點(diǎn)H為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，平面平面，所以平面，平面，所以，取BE的中點(diǎn)M，連接，則四邊形是邊長為2的菱形，所以，又，所以，因?yàn)榍叶荚诿鎯?nèi)，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）解：由（1）知，兩兩垂直，以H為原點(diǎn)，所在的直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，得，設(shè)直線與平面所成的角為θ，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.17.設(shè)函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在原點(diǎn)處的切線方程；（2）若存在零點(diǎn)且與極值點(diǎn)相等，求的最小值.