專題07 旋轉模型（解析版）

專題07旋轉模型基本模型：例題精講例1．（三角形旋轉）如圖，在直角中，，點D是上一點，連接，把繞點A逆時針旋轉90°，得到，連接交于點M．（1）如圖1，若，求的長；（2）如圖2，若，點N為上一點，，求證：；（3）如圖3，若，點D為直線上一動點，直線與直線交于點M，當為等腰三角形時，請直接寫出此時的度數(shù)．【答案】（1）；（2）見解析；（3）或或【詳解】解：（1）∵，，∴BC=2AB=4，，∵∴，∴BD=AB=1，∴=BC-BD=4-1=3；（2）證明：如圖2，在BD上截取DF=EN，∵把繞點A逆時針旋轉90°，得到，∴AD=AE，，，∵，∴，∴，∴AN=AF，，∵，，∴，∵，，∴，∵AN=AF，∴，∴，即F是BC的中點，∴AF=FC=DF+CD=EN+CD，∵AN=AF，∴；（3）解：由題意可得AD=AE，，∴，分三種情況：①AM=MD時，∵AM=MD，∴，∴，∵，∴；②AM=AD時，∵AM=AD，∴，∵，∴；③AD=MD時，∵AD=MD，∴，∴，∴，∵，∴．∴當為等腰三角形時，的度數(shù)為或或．例2．（四邊形旋轉）（1）如圖1，在四邊形中，，，點E、F分別在邊上，且，探究圖中、、之間的數(shù)量關系．小明探究的方法是：延長FD到點G，使，連接AG，先證明，再證明，可得出結論，他的結論是______．（2）如圖2，在四邊形中，，，點E、F分別在邊上，且，探究上述結論是否仍然成立，并說明理由．（3）如圖3，在四邊形中，，，若點E在的延長線上，點F在的延長線上，仍然滿足，請直接寫出與的數(shù)量關系為______．【答案】（1）；（2）仍成立，理由見解析；（3）．【詳解】解：（1）．理由：如圖1，延長到點G，使，連接，證明和即可得出結論．在和中，，∴，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴．故答案為：；（2）仍成立，理由：如圖2，延長到點G，使，連接，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴（3）．證明：如圖3，在DC延長線上取一點G，使得，連接AG，∵，，∴，又∵，∴，∴，，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴．故答案為：．【變式訓練1】如圖，將兩塊含45°角的大小不同的直角三角板△COD和△AOB如圖①擺放，連結AC，BD．（1）如圖①，猜想線段AC與BD存在怎樣的數(shù)量關系和位置關系，請寫出結論并證明；（2）將圖①中的△COD繞點O順時針旋轉一定的角度（如圖②），連結AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD還存在（1）中的關系嗎？請寫出結論并說明理由．（3）將圖①中的△COD繞點O逆時針旋轉一定的角度（如圖③），連結AC，BD，其他條件不變，線段AC與BD存在怎樣的關系？請直接寫出結論．【答案】（1）AC=BD，AC⊥BD，證明見解析；（2）存在，AC=BD，AC⊥BD，證明見解析；（3）AC=BD，AC⊥BD【詳解】（1）AC=BD，AC⊥BD，證明：延長BD交AC于點E．∵△COD和△AOB均為等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠COA=∠BOD=90o，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，

∴∠OAC=∠OBD，∵∠ADE=∠BDO，∴∠AED=∠BOD=90o，∴AC⊥BD；（2）存在，證明：延長BD交AC于點F，交AO于點G．∵△COD和△AOB均為等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90o，∵∠AOC=∠DOC－∠DOA，∠BOD=∠BOA－∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AGF=∠BGO，∴∠AFG=∠BOG=90o，∴AC⊥BD；（3）AC=BD，AC⊥BD．證明：BD交AC于點H，AO于M，∵△COD和△AOB均為等腰直角三角形，∴OC=OD，OA=OB，∠DOC=BOA=90o，∵∠AOC=∠DOC+∠DOA，∠BOD=∠BOA+∠DOA，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC=BD，∠OAC=∠OBD，∵∠AMH=∠BMO，∴∠AHM=∠BOH=90o，∴AC⊥BD．

．【變式訓練2】【問題背景】（1）如圖1，是正三角形外一點，，則？小明為了證明這個結論，將繞點逆時針旋轉請幫助小明完成他的作圖；【遷移應用】（2）如圖2，在等腰中，，點在外部，使得，若，求；【拓展創(chuàng)新】（3）如圖3，在四邊形中，點在四邊形內部．且，直接寫出的長．【答案】（1）見解析；（2）3；（3）5【詳解】（1）如圖，作，連結，則即為所求作的圖形：（2）作線段垂直于交延長線于點連接為等腰直角三角形，在與中：（3）5．證明如下：如圖，將順時針旋轉至，則，，，，即為直角三角形，其中，，由勾股定理得，又旋轉角為，即，則，即，在與中，【變式訓練3】在中，在直線上，且．（1）如圖1，當點在線段上時，求證：．（2）如圖2，當點在的延長線上且點在線段上時，上述結論是否成立？若成立，請證明，若不成立，請說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）成立，證明見解析．【詳解】如圖1，，將繞點C逆時針旋轉，得到，則，，連接，=45°，，為直角三角形，，又，，在和中，，，，即；如圖2，，將繞點C逆時針旋轉得到，，，，為直角三角形，，又，，在和中，，，．【變式訓練4】（1）操作發(fā)現(xiàn)：將等腰與等腰按如圖1方式疊放，其中，點，分別在，邊上，為的中點，連結，．小明發(fā)現(xiàn)，你認為正確嗎？請說明理由．（2）思考探究：小明想：若將圖1中的等腰繞點沿逆時針方向旋轉一定的角度，上述結論會如何呢？為此進行以下探究：探究一：將圖1中的等腰繞點沿逆時針方向旋轉（如圖2），其他條件不變，發(fā)現(xiàn)結論依然成立．請你給出證明．探究二：將圖1中的等腰繞點沿逆時針方向旋轉（如圖3），其他條件不變，則結論還成立嗎？請說明理由．

【答案】（1）正確，理由見解析；（2）證明見解析；（3）成立，理由見解析【詳解】解：（1）如圖一，連接DM并延長，作BN⊥AB，與DM的延長線交于N，連接CN，∵∠EDA=∠ABN=90°，∴DE∥BN，∴∠DEM=∠MBN，∵在△EMD和△BMN中，，∴△EMD≌△BMN（ASA），∴BN=DE=DA，MN=MD，在△CAD和△CNB中，，∴△CAD≌△CNB，∴CD=CN，∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底邊的中線，∴CM⊥DN，∴△DCM是等腰直角三角形，∴DM=CM；（2）探究一，理由：如圖二，連接DM并延長DM交BC于N，∵∠EDA=∠ACB=90°，∴DE∥BC，∴∠DEM=∠MBC，∵在△EMD和△BMN中，，∴△EMD≌△BMN（ASA），∴BN=DE=DA，MN=MD∵AC=BC，∴CD=CN，∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底邊的中線，∴CM⊥DM，∠DCM=∠DCN=45°=∠BCM，∴△CMD為等腰直角三角形．∴DM=CM；探究二，理由：如圖三，連接DM，過點B作BN∥DE交DM的延長線于N，連接CN，∴∠E=∠MBN=45°．∵點M是BE的中點，∴EM=BM．∵在△EMD和△BMN中，∴△EMD≌△BMN（ASA），∴BN=DE=DA，MN=MD，∵∠DAE=∠BAC=∠ABC=45°，∴∠DAC=∠NBC=90°∵在△DCA和△NCB中，∴△DCA≌△NCB（SAS），∴∠DCA=∠NCB，DC=CN，∴∠DCN=∠ACB=90°，∴△DCN是等腰直角三角形，且CM是底邊的中線，∴CM⊥DM，∠DCM=∠DCN=45°=∠CDM，∴△CMD為等腰直角三角形．∴DM=CM課后訓練1．在△ABC中，AB=AC，點D是直線BC上的一點（不與B，C重合），以AD為一邊在AD的右側作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，連接CE，設∠BAC=α，∠BCE=β．（1）如圖，當點D在線段BC上移動，則α和β之間有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．（2）當點D在直線BC上移動，則α和β之間有怎樣的數(shù)量關系？請說明理由．【答案】（1）α＋β=180°，理由見解析；（2）當點D在線段BC上移動或點D在BC延長線上移動時，α＋β=180°；當點D在CB延長線上移動時，α=β，理由見解析．【詳解】解：（1）α＋β=180°，理由如下∵∠DAE=∠BAC∴∠DAE－∠DAC=∠BAC－∠DAC∴∠EAC=∠DAB在△DAB和△EAC中∴△DAB≌△EAC∴∠B=∠ACE∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°∴α＋∠ACE＋∠ACB=180°∴α＋∠BCE=180°∴α＋β=180°（2）①當點D在線段BC上移動時，由（1）知α＋β=180°；②當點D在BC延長線上移動時，如下圖所示∵∠DAE=∠BAC∴∠DAE＋∠DAC=∠BAC＋∠DAC∴∠EAC=∠DAB在△DAB和△EAC中∴△DAB≌△EAC∴∠B=∠ACE∵∠BAC＋∠B＋∠ACB=180°∴α＋∠ACE＋∠ACB=180°∴α＋∠BCE=180°∴α＋β=180°③當點D在CB延長線上移動時，如下圖所示，連接BE∵∠DAE=∠BAC∴∠DAE－∠BAE=∠BAC－∠BAE∴∠DAB=∠EAC在△DAB和△EAC中∴△DAB≌△EAC∴∠ABD=∠ACE∵∠ABD=∠BAC＋∠BCA，∠ACE=∠BCA＋∠BCE∴∠BAC＋∠BCA=∠BCA＋∠BCE∴∠BAC=∠BCE∴α=β．綜上：當點D在線段BC上移動或點D在BC延長線上移動時，α＋β=180°；當點D在CB延長線上移動時，α=β．2．如圖1，△ABC中，AB＝AC，過B點作射線BE，過C點作射線CF，使∠ABE＝∠ACF，且射線BE，CF交于點D，過A點作AM⊥BD于M．（1）探究∠BDC和∠CAB的數(shù)量關系并說明理由；（2）求證：BM＝DM+DC；（3）如圖2，將射線BE，CF分別繞點B和點C順時針旋轉至如圖位置，若∠ABE＝∠ACF仍然成立，射線BE交射線CF的反向延長線于點D，過A點作AM⊥BD于M．請問（2）中的結論是否還成立？如果成立，請證明．如果不成立，線段BM，DM，DC又有怎樣的數(shù)量關系？并證明你的結論．【答案】（1）∠BDC＝∠CAB，見解析；（2）見解析；（3）不成立，BM＝DM﹣DC，見解析【詳解】（1）解：∠BDC＝∠CAB；理由如下：∵，，∠ABE＝∠ACF，∴＝＝∴；（2）證明：作AN⊥CF于N，連接AD，如圖1所示：∵AM⊥BD，∴，在△AMB和△ANC中，，∴△AMB≌△ANC，∴BM＝CN＝DC+DN，AM＝AN，在Rt△AMD和Rt△AND中，，∴Rt△AMD≌Rt△AND，∴DM＝DN，∴BM＝DM+DC；（3）不成立，BM＝DM﹣DC；理由如下：作AN⊥CF于N，連接AD，如圖2所示：∵AM⊥BD，∴，在△AMB和△ANC中，，∴△AMB≌△ANC，∴，AM＝AN，在Rt△AMD與Rt△AND中，，∴Rt△AMD≌Rt△AND，∴DM＝DN，∴．3．已知：△ABC和△ADE是兩個不全等的等腰直角三角形，其中BA=BC，DA=DE，連接EC，取EC的中點M，連接BM和DM．（1）如圖1，如果點D、E分別在邊AC、AB上，那么BM、DM的數(shù)量關系與位置關系是；（2）將圖1中的△ADE繞點A旋轉到圖2的位置時，判斷（1）中的結論是否仍然成立，并說明理由．【答案】1），；（2）成立，理由見解析【詳解】（1）如圖1；∵M是EC的中點，∴BM=EC，DM=EC，（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半），∴DM=BM．∵M是EC的中點，∴MC=EC，∴BM=MC=DM，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∵∠BME=∠1+∠2，∠EMD=∠3+∠4，∴∠BMD=2（∠1+∠3），∵△ABC等腰直角三角形，∴∠BCA=45°，∴∠BMD=90°，∴BM=DM且BM⊥DM；故答案為BM=DM且BM⊥DM．（2）成立．方法1如下圖所示，分別取AC，AE的中點H，F(xiàn)，連接HM，F(xiàn)M．則，．∵點M為CE的中點，∴，，，．∴，，．∵，，∴．∴．∴，．．∴BM、DM的數(shù)量關系與位置關系是：，．方法2

倍長中線法

理由如下：延長DM至點F，使MF=MD，連接CF、BF、BD．在△EMD和△CMF中，∵∴△EMD≌△CMF（SAS），∴ED=CF，∠DEM=∠1．∵AB=BC，AD=DE，且∠ADE=∠ABC=90°，∴∠2=∠3=45°，∠4=∠5=45°．∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6．∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1，∠7=180°-∠6-∠9，∴∠8=360°-45°-（180°-∠6-∠9）-（∠3+∠9），=360°-45°-180°+∠6+∠9-45°-∠9=90°+∠6．∴∠8=∠BAD．在△ABD和△CBF中，∵，∴△ABD≌△CBF（SAS），∴BD=BF，∠ABD=∠CBF．∴∠DBF=∠ABC=90°．∵MF=MD，∴BM=DM且BM⊥DM．4．如圖，在中，，點D在內，，，點E在外，．(1)的度數(shù)為_______________；(2)小華說是等腰三角形，小明說是等邊三角形，___________的說法更準確，并說明理由；(3)連接，若，求的長．【答案】(1)(2)小明，理由見解析(3)5【詳解】（1）解：∵BD=BC，∠DBC=60°，∴△DBC是等邊三角形，∴DB=DC，∠BDC=∠DBC=∠DCB=60°．在△ADB和△ADC中，

，∴△ADB≌△ADC（SSS），∴∠ADB=∠ADC

，∴∠ADB=(360°﹣60°)=150°．（2）解：小明的說法更準確，理由如下：∵∠ABE=∠DBC=60°，∴∠ABD=∠EBC，在△ABD和△EBC中，∴△ABD≌△EBC（ASA），∴AB=BE．∵∠ABE=60°，∴△ABE是等邊三角形．（3）解：連接DE，如圖所示，∵∠BCE=150°，∠DCB=60°，∴∠DCE=90°，∵∠EDB=90°，∠BDC=60°，∴∠EDC=30°，∴．∵△ABD≌△EBC，∴．5．在內有一點，過點分別作，，垂足分別為，．且，點，分別在邊和上．（1）如圖1，若，請說明；（2）如圖2，若，，猜想，，具有的數(shù)量關系，并說明你的結論成立的理由．【答案】（1）見解析；（2），見解析【詳解】解：（1），，，在和中，．；（2），理由：過點作，交于點，在和中，，，，．，，．，．在和中，，．，．6．如圖，中，于點，，點在上，，連接．（1）求證：；（2）延長交于點，連接，求的度數(shù)；（3）過點作，，連接交于點，若，，直接寫出的面積．【答案】（1）見解析；（2）∠CFD=135°；（3）△NBC的面積為21．【詳解】證明（1）在△BDE和△CDA中，，∴△BDE≌△CDA（SAS），∴BE=CA；（2）如圖2，過點D作DG⊥AC于G，DH⊥BF于H，∵△BDE≌△CDA，∴∠DBE=∠DCA，S△BDE=S△ADC，∵∠DBE+∠A=∠ACD+∠A=90°，∴∠AFB=∠CFB=90°，∵S△BDE=S△ADC，∴，∴DH=DG，又∵DG⊥AC，DH⊥BF，∴∠DFG=∠DFH=45°，∴∠CFD=135°；（3）如圖3，在CD上截取DE=AD=5，連接BE，延長BE交AC于F，由（1）、（2）可得BE=AC，BF⊥AC，BD=CD=12，∵CM⊥CA，∴BF∥CM，∴∠M=∠FBN，∵CM=CA，∴CM=BE，在△BEN和△MCN中，，∴△BEN≌△MCN（AAS），∴EN=CN，∵EC=CD-DE=12-5=7，∴，∴△NBC的面積，故△NBC的面積為21．7．如圖，△EBF為等腰直角三角形，點B為直角頂點，四邊形ABCD是正方形．⑴求證：△ABE≌△CBF；⑵CF與AE有什么特殊的位置關系？請證明你的結論．【答案】（1）見解析；（2）CF⊥AE，理由見解析【詳解】解：（1）∵△EBF為等腰直角三角形，∴BE=BF，∠EBF=90°，則∠EBA+∠FBA=90°，∵四邊形ABCD為正方形，∴AB=BC，∠ABC=90°，則∠ABF+∠CBF=90°，∴∠EBA=∠CBF，又∵BE=BF，AB=BC，∴△ABE≌△CBF（SAS）；（2）延長CF，交AE于點G，由（1）得：∠CFB=∠AEB，∵∠CFB+∠BFG=180°，∴∠AEB+∠BFG=180°，∴∠EGF