實(shí)施分類討論策略以精準(zhǔn)解析數(shù)學(xué)問題（5大題型）-2025年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)（新高考）

思想01實(shí)施分類討論策略以精準(zhǔn)解析數(shù)學(xué)問題

目錄

01考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航.................................................2

02知識(shí)導(dǎo)圖?思維引航.................................................3

03知識(shí)梳理?方法技巧................................................4

04真題研析?精準(zhǔn)預(yù)測................................................5

05核心精講?題型突破................................................15

題型一：由情境的規(guī)則引起的分類討論15

題型二：由定義引起的分類討論20

題型三：由平面圖形的可變性引起的分類討論27

題型四：由變量的范圍引起的分類討論36

題型五：由空間圖形的可變性引起的分類討論42

考情透視?目標(biāo)導(dǎo)航

高考命題中，以知識(shí)為載體，以能力立意、思想方法為靈魂，以核心素養(yǎng)為統(tǒng)領(lǐng)，兼顧試題的基礎(chǔ)

性、綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性，展現(xiàn)數(shù)學(xué)的科學(xué)價(jià)值和人文價(jià)值.高考試題一是著眼于知識(shí)點(diǎn)新穎巧妙的

組合，二是著眼于對(duì)數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)能力的考查.如果說數(shù)學(xué)知識(shí)是數(shù)學(xué)的內(nèi)容，可用文字和符號(hào)來

記錄和描述，那么數(shù)學(xué)思想方法則是數(shù)學(xué)的意識(shí)，重在領(lǐng)會(huì)、運(yùn)用，屬于思維的范疇，用于對(duì)數(shù)學(xué)問題的

認(rèn)識(shí)、處理和解決.高考中常用到的數(shù)學(xué)思想主要有分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)

化與化歸思想等.

〃用識(shí)導(dǎo)圖?思維引航\\

㈤3

.n過偏—?—拈工弓

當(dāng)被研究的問題出現(xiàn)多種情況且綜合考慮無法深入時(shí)，我們通常將可能出現(xiàn)的所有情況分別進(jìn)行討論,

得出每種情況下相應(yīng)的結(jié)論，這就是分類討論的思想，包含分類與整合兩部分，既化整為零，各個(gè)擊破，又

集零為整.

基本步驟是：（1）研究討論的必要性，確定討論對(duì)象；（2）確定分類依據(jù)，并按標(biāo)準(zhǔn)分類；（3）逐類解

決，獲得各類的結(jié)果；（4）歸納整合，得到結(jié)果.

分類的基本原則是：（1）標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)一，不重不漏；（2）層次明晰，不混不亂.

分類討論應(yīng)用的熱點(diǎn)：（1）由概念、定義、公式、定理、性質(zhì)等引起的分類討論，如直線的斜率是否存

在，幕、指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，等比數(shù)列的公比是否為1等.（2）由數(shù)學(xué)運(yùn)算規(guī)則引起的分類討論，如

除法運(yùn)算中分母不為零，偶次方根為非負(fù)數(shù)，不等式兩邊同乘（除）以一個(gè)數(shù)（式）的符號(hào)等.（3）由變量

的范圍引起的分類討論，如對(duì)數(shù)的真數(shù)與底數(shù)的范圍，指數(shù)運(yùn)算中底數(shù)的范圍，函數(shù)在不同區(qū)間上單調(diào)性受

參變量的影響等.（4）由圖形的可變性引起的分類討論，如圖形類型、位置，點(diǎn)所在的象限，角大小的可能

性等.（5）由情境的規(guī)則引起的分類討論，情境問題的規(guī)則在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)常需要分類討論思想，如體育

比賽的規(guī)則等.

0

心真題砒標(biāo)?精御皿\\

1(2024年新課標(biāo)全國II卷數(shù)學(xué)真題)設(shè)函數(shù)/(%)=(%+〃)ln(x+。)，若/(x)20,則1+及的最小值為

()

A.—B.—C.~D.1

842

【答案】C

【解析】解法一：由題意可知：/(%)的定義域?yàn)?-反依)，

令尤+a=0解得x=_Q；令ln(%+0)=0角軍得了=]_/?；

若—aW—b,當(dāng)％￡(—6,1一/?)時(shí)，可知x+a>0/n(x+〃)v0,

此時(shí)了(%)v0,不合題意；

-b<-a<l-b,當(dāng)犬￡(一。,1一b)時(shí)，可知x+Q>0,ln(x+b)<0,

此時(shí)了(無)<0,不合題意；

若一a=l—b,當(dāng)％￡(—41—人)時(shí)，可知vO,ln(x+Z?)<0,止匕時(shí)/(x)>0；

當(dāng)九$[1—Z?,+oo)時(shí)，可知無+〃N0,ln(x+Z?)20,止匕時(shí)/(%)>0；

可知若-々=1-6，符合題意；

若一。>1一6,當(dāng)無￡(1—。，一Q)時(shí)，可知x+avO,ln(%+》)>。，

此時(shí)了(無)<0,不合題意；

綜上所述：-a=l-b,即b=a+l,

則/+62=/+(4+1)2=2〃+1_1+]_2,當(dāng)且僅當(dāng)。=一_1,6=工時(shí)，等號(hào)成立，

所以的最小值為g；

解法二：由題意可知：“X)的定義域?yàn)?-"+8),

令％+々=0解得x=_Q；令ln(%+b)=O解得了=]_/?；

貝lj當(dāng)工￡(—41一Z?)時(shí)，ln(x+&)<0,故x+〃《0,所以1一〃+々40；

無￡(l—b,+co)時(shí)，ln(x+b)>0,故x+0,所以1一〃+々20；

故1一人+4=0,貝1」々2+〃2=々2+(4+]『=2[〃+』]1,

當(dāng)且僅當(dāng)〃時(shí),等號(hào)成立,

所以/+〃的最小值為

故選：c.

2.（2024年天津高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)asR,函數(shù)〃x）=24?-奴-麻-2|+1.若/（力恰有一個(gè)零點(diǎn),貝匹

的取值范圍為

【解析】令/(x)=0，即24r—ax=|av—2|-1,

由題可得/一收上0,

當(dāng)〃=0時(shí)，XGR,有W?=卜2|-1=1,則x=±g,不符合要求，舍去;

.2

ax-3,x>—

當(dāng)〃〉0時(shí)，則2&一依=麻_2卜1=<a

12

l-ax,x<—

a

ax-3,x>—

即函數(shù)g(x)=2jf-以與函數(shù)〃(x)=:有唯一交點(diǎn),

1-ax,x<—

、a

由Y一成;20,可得xNa或％<0,

當(dāng)x40時(shí)，貝?。菘谝?<0,貝！J2dx2-ax=|四一2|-1二1一以，

即4f—4以=（1—ox）2,整理得（4—九2—2（xv—1=［（2+々）尤+1］［（2—九一1］=0,

當(dāng)a=2時(shí)，即4%+1=0,BPx=~—,

4

當(dāng)“￡（0,2）,%=-——或％=J—>o（正值舍去），

'72+Q2-a

當(dāng)。￡（2,+8）時(shí)，X=--^―<0^^=-^—<0,有兩角軋舍去，

'）2+Q2-a

即當(dāng)a?0,2］時(shí)，2,當(dāng)—依以—2|+1=0在%00時(shí)有唯一角%

貝IJ當(dāng)〃￡（0,2］時(shí)，2,爐—依_|四—2|+1=0在％」々時(shí)需無角軋

當(dāng)QG（O,2］,且時(shí)，

。2

ax-3,x>—

由函數(shù)力（力=<:關(guān)于「對(duì)稱，令g)=0,可得X」或x=3

,2aaa

\-ax,x<—

a

且函數(shù)Mx)在],。

上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

(x)y1

故X加時(shí)，g(x)圖象為雙曲線三一/=1右支的X軸上方部分向右平移所得,

~4"

22

(x)y,a_,o

由丁一/T的漸近線方程為，=一"無=，

72

即g(x)部分的漸近線方程為y=2其斜率為2,

c2

ax-3,x>—

又ae（O,2],即〃（x）=，;在尤22時(shí)的斜率。?0,2],

i乙Cl

1-ax,x<—

a

令g(尤)=242尤=0,可得x=a或*=0(舍去)，

且函數(shù)g(x)在(a,+8)上單調(diào)遞增,

1

—〈〃

故有，1,解得l<a<Q,故l<a<g符合要求;

—>a

、a

c2

ax-3,x<—

a

當(dāng)av0時(shí),則2&2_奴=\ax-2\-l=<

12

l-ax,x>—

a

ax-3,x<—

即函數(shù)g（元）=2〃2-依與函數(shù)〃（x）=<:有唯一交點(diǎn),

I-ax,x>—

、a

由一依>0,可得兀20或x<〃，

當(dāng)無之0時(shí)，貝lJar-2vO,則2dx2-ax=|依一2k1二1一av,

即4X2—4分=（1—辦了,整理得（4—光?—2ax—1=[（2+a）尤+1][（2—a）九一1]=0,

當(dāng)〃二一2時(shí)，即4%—1=0,BPx=—

4

當(dāng)“直一2，。），尤=-￡<。（負(fù)值舍去）或x=￡。，

1

當(dāng)ae(-w,2)時(shí),x=->---0--或-x=]—>0,有兩解，舍去,

2+Q2-Q

即當(dāng)。目一2,0）時(shí)，2&一g一皿一2|+1=0在xNO時(shí)有唯一解,

則當(dāng)。目-2,0）時(shí)，-麻-2|+1=0在xWa時(shí)需無解,

當(dāng)ae[-2,0）,且尤4a時(shí),

c2

cuc-3,x<—

由函數(shù)〃(%)=<:關(guān)于無二對(duì)稱，令〃(x)=。,可得X」或x=3

.2aaa

\-ax,x>—

a

且函數(shù)網(wǎng)力在D32

上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增,

aa

y2

同理可得：時(shí)，g（x）圖象為雙曲線丁一靛二1左支的x軸上方部分向左平移所得,

T一

g（x）部分的漸近線方程為y=-V+f，其斜率為-2,

c2

ax-3,x>—

又問-2,0）,即人（尤）=，;在尤<2時(shí)的斜率ae[-2,0),

zCl

1-ax,x<—

a

令g(x)=2,%2_依=0,可得x=〃或％=0(舍去),

且函數(shù)g（x）在上單調(diào)遞減,

1

—〉a

故有，1，解得-石<"-1,故-6<0<-1符合要求;

—<a

綜上所述，?e(-V3,-l)u(l,V3).

故答案為：卜百,百）.

3.（2024年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)｛%｝與也｝是兩個(gè)不同的無窮數(shù)列，且都不是常數(shù)列.記集合

M=｛k\ak=bk,k^N^,給出下列4個(gè)結(jié)論:

①若｛4｝與也,｝均為等差數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素;

②若｛??)與｛b,,｝均為等比數(shù)列，則M中最多有2個(gè)元素；

③若｛%｝為等差數(shù)列，｛2｝為等比數(shù)列，則M中最多有3個(gè)元素；

④若｛4｝為遞增數(shù)列，物,｝為遞減數(shù)列，則M中最多有1個(gè)元素.

其中正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】①③④

【解析】對(duì)于①，因?yàn)椋鹮｝,也,｝均為等差數(shù)列，故它們的散點(diǎn)圖分布在直線上，

而兩條直線至多有一個(gè)公共點(diǎn)，故M中至多一個(gè)元素，故①正確.

對(duì)于②，取%=2力也=_(-2廣,則｛《｝,｛〃｝均為等比數(shù)列,

但當(dāng)，為偶數(shù)時(shí)，有%=21=64=-(-2廣，此時(shí)M中有無窮多個(gè)元素，故②錯(cuò)誤.

對(duì)于③，設(shè)"=Aq"(AqwO,qw±l),an=kn+b(k^O),

若M中至少四個(gè)元素，則關(guān)于〃的方程4/=如+6至少有4個(gè)不同的正數(shù)解，

若q>0,qW1,則由y=Aq'和y=切+人的散點(diǎn)圖可得關(guān)于n的方程Aq”=kn+b至多有兩個(gè)不同的解，矛

盾；

若q<0,qW±1,考慮關(guān)于n的方程Aq'l=初+b奇數(shù)解的個(gè)數(shù)和偶數(shù)解的個(gè)數(shù)，

當(dāng)Aqn=切+b有偶數(shù)解，此方程即為A0"=kn+b,

方程至多有兩個(gè)偶數(shù)解，且有兩個(gè)偶數(shù)解時(shí)AMnM>0,

否則AZln@<0,因〉=川/'廣=如+6單調(diào)性相反，

方程川才=初+6至多一個(gè)偶數(shù)解，

當(dāng)Aq"=kn+b有奇數(shù)解，此方程即為=kn+b,

方程至多有兩個(gè)奇數(shù)解，且有兩個(gè)奇數(shù)解時(shí)-4In同>0即AHn|q|<0

否則A%lnM>0,因>=—川同，y=加+6單調(diào)性相反，

方程_川城’=初+6至多一個(gè)奇數(shù)解，

因?yàn)椤?川4>0,AZlnM<0不可能同時(shí)成立，

故A/=5+6不可能有4個(gè)不同的整數(shù)解，即M中最多有3個(gè)元素，故③正確.

對(duì)于④，因?yàn)椋姡秊檫f增數(shù)列，他,｝為遞減數(shù)列，前者散點(diǎn)圖呈上升趨勢，

后者的散點(diǎn)圖呈下降趨勢，兩者至多一個(gè)交點(diǎn)，故④正確.

故答案為：①③④.

x+2,x<

4.（2023年北京高考數(shù)學(xué)真題）設(shè)。>0,函數(shù)/。）=二尤V。,，給出下列四個(gè)結(jié)論:

-y［x-\,x>a.

①y（x）在區(qū)間m-L+◎上單調(diào)遞減；

②當(dāng)時(shí)，/（x）存在最大值；

③設(shè)”（%,/（%））（石<4Z）,A^（X2,/（X2））（X2>a）,貝!||MN|>1；

④設(shè)網(wǎng)&,/伍））（&<-。）,。（％,/伍））&"。）?若1尸。1存在最小值，則。的取值范圍是.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

【答案】②③

【解析】依題意，4>0,

當(dāng)時(shí)，/（x）=x+2,易知其圖像為一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞增的射線；

當(dāng)-“4x4a時(shí)，小）”_龍2,易知其圖像是，圓心為（0,0）,半徑為。的圓在無軸上方的圖像（即半

圓）；

當(dāng)x>a時(shí)，/（力=_?_1,易知其圖像是一條端點(diǎn)取不到值的單調(diào)遞減的曲線；

顯然，當(dāng)xe（aT+8）,即時(shí)，在［-；,。］上單調(diào)遞增，故①錯(cuò)誤;

對(duì)于②，當(dāng)Q21時(shí)，

當(dāng)x<-a時(shí)，f（九）=%+2v—a+2<1；

當(dāng)-aWxWa時(shí)，/（x）=3七一尤2顯然取得最大值a；

當(dāng)x>a時(shí)，/(x)=―\[x—1<—\/a_1V—2,

綜上：〃龍)取得最大值。，故②正確；

對(duì)于③，結(jié)合圖像，易知在％=。，馬>。且接近于x處，加(西,/(%))(%>a)的

距離最小，

當(dāng)士=。時(shí)，y=/(%)=0,當(dāng)9>a且接近于x=a處，y2=f(x1)<-4a-\,

此時(shí)，>G+1>1，故③正確；

因?yàn)镻(￡,/(￡))(￡<-a),fi(x4,/(x4))(x4>-a),

結(jié)合圖像可知，要使|尸0取得最小值，則點(diǎn)P在外)-+2卜<-￡|上，點(diǎn)。在

同時(shí)|PQ|的最小值為點(diǎn)。到〃x)=x+2(x<—皆的距離減去半圓的半徑。，

此時(shí)，因?yàn)椤▁)=y=x+2(x<-：j的斜率為1,貝故直線0P的方程為'=一彳,

[y=-x[x=-1/、

聯(lián)立解得|，則尸-1,1)，

[y=x+2[)/=1'7

顯然在=X+2口<-|K,滿足取得最小值,

即a也滿足|尸0存在最小值，故.的取值范圍不僅僅是，故④錯(cuò)誤.

故答案為：②③.

5.(2024年高考全國甲卷數(shù)學(xué)(理)真題)已知函數(shù)/(尤)=(1-依)ln(l+x)-x.

⑴當(dāng)a=—2時(shí)，求〃元)的極值；

(2)當(dāng)xNO時(shí)，/(%)>0,求。的取值范圍.

【解析】(1)當(dāng)a=—2時(shí),f(x)=(1+2x)ln(l+x)-x,

故/''(;(:)=21n(l+龍)+^^-l=21n(l+龍)---+1,

1+x1+x

因?yàn)閥=21n(l+x),y=-/^+1在(-1,+8)上為增函數(shù)，

故;(無)在(一1,+8)上為增函數(shù)，而/'(。)=0,

故當(dāng)-l<x<0時(shí)，f'(x)<0,當(dāng)x>0時(shí)，>0,

故/(x)在x=0處取極小值且極小值為/(0)=0,無極大值.

(2)/'(x)=-aIn(1+x)+-——-1=-aln(l+x)-("+1)”,x>0,

1+JC1+X

(a+\]x

設(shè)s(x)=-aln(l+x)-——^-,x>0

1+x

,z、-a(a+1)Q(X+1)+Q+1ax+2a+l

貝卜叱-―記「一干丁

當(dāng)■時(shí)，s'(x)>0,故s(x)在(0,+力)上為增函數(shù),

故s(x)>s(O)=O,gpfr(x)>0,

所以/(x)在［。,+功上為增函數(shù)，故"x)2"0)=0.

當(dāng)一;<a<0時(shí)，當(dāng)0Vxe_2。+1時(shí),s［x)<0,

故s(x)在［。,-誓］上為減函數(shù)，故在［o,-寧］上s(x)<s(o),

??2,(2+1

即在0,------上尸(x)<0即為減函數(shù),

\a

故在[o,-一1J上/(x)</(o)=o,不合題意，舍.

當(dāng)。20,此時(shí)s'(x)<o在(0,+8)上恒成立,

同理可得在(0,+力)上/(x)</(O)=O恒成立，不合題意，舍；

綜上，a<—.

2

6.(2024年天津高考數(shù)學(xué)真題)已知｛?｝為公比大于0的等比數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為S“，且

4—1,*S，2=。3-].

⑴求｛〃“｝的通項(xiàng)公式及S"；

(、[k,n=a,

⑵設(shè)數(shù)列2滿足a=八.，其中左eN*.

也_i+2《見<〃<%]

(i)求證：當(dāng)"=4+i(AwN",且左>1)時(shí)，求證：>ak-bn-

S"

(ii)求8>一

i=l

【解析】(1)設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為4>0,

因?yàn)椋?1,=?一1，即％+4=。3-1,

可得1+4=/一1,整理得g2_q_2=0,解得4=2或4=一1(舍去)，

1一)〃

所以%=2已邑=y=2"-1.

(2)(i)由(1)可知。"=2"'且無eN*#N2,

.a.=2“T<2'—1=〃—1

當(dāng)〃=q+i=224時(shí)，貝叫，即以<〃一1<磯

[n-l=ak+i-l<ak+l

可知久=21也=左+1,

%=%+(?一為T.2人力+2畸1一1)=左(2J1),

可得b”_「a『b“=4(2/_1)_化+1)21=化_1)21—左22優(yōu)—I)—左=左一220,

當(dāng)且僅當(dāng)人=2時(shí)，等號(hào)成立，

所以舟-2%也;

(ii)由(1)可知：Sn=2"-l=an+i-l,

若"=1,則s=1,仿=1;

若〃22,則ak+l-ak=2"T,

當(dāng)2修〈注21一1時(shí),—k,可知他｝為等差數(shù)列,

-r/日中2*-1（2k-'-1）1r

kkr-1

可何.bt=k-2-'+2k——%——^-=k-4-'=-[（3^-1）4*-（3^-4）4*]>

jSfflUZZ?,=1+1[5X42-2X4+8X43-5X42+---+（3M-1）4"-（3M-4）4,,-1]=^3W-^4+1

且〃=1,符合上式，綜上所述：￡"=（3"1）4"+1

S.9

i=2、i1

7.根據(jù)等差數(shù)列求和分析可得斗=丑r31）4。（31）41].

㈤5

孩心精說，題型突破

題型一：由情境的規(guī)則引起的分類討論

【典例1-1】甲、乙兩人各有三張卡片，每張卡片上標(biāo)有一個(gè)數(shù)字，甲的卡片上分別標(biāo)有數(shù)字L3,4,乙的卡

片上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,5,兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)任選兩張，并比較所選卡片上數(shù)字之和的大

小，數(shù)字之和大的人獲勝.則甲獲勝的概率為.

4

【答案】j-

【解析】設(shè)事件W="甲乙兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)任選兩張”，

事件A=“兩人各自從自己持有的卡片中隨機(jī)任選兩張，甲比乙選的數(shù)字之和大”，

則Q（W）=C?=9,

乙選1,2時(shí)，甲獲勝有C；=3種選法;

乙選1,5時(shí)，甲獲勝只有1種選法；

乙選2,5時(shí)，甲不可能獲勝，

所以Q（A）=3+1=4,

所以「⑷=篇=4

9

,4

故答案為：—.

【典例1-2】已知實(shí)數(shù)1,5,的平均數(shù)為4,則這四個(gè)數(shù)的中位數(shù)的取值范圍是

【答案】[3,目

【解析】由題意可知l+5+x+y=16nx+y=10,

若該四個(gè)數(shù)按大小排列，1,5位于中間,則位于兩側(cè)，此時(shí)中位數(shù)是3；

若該四個(gè)數(shù)按大小排列，l,x位于中間,則5,y位于兩側(cè),此時(shí)xV5,yVl,不符合題意;

若該四個(gè)數(shù)按大小排列，I,y位于中間,則羽5位于兩側(cè),同上不符合題意;

x+5

若該四個(gè)數(shù)按大小排列，5,x位于中間,則Ly位于兩側(cè),則有5n------e[3，可;

2

若該四個(gè)數(shù)按大小排列，5,y位于中間，貝口,1位于兩側(cè),同上1WyV5n上e[3,5]；

2

x+y

若該四個(gè)數(shù)按大小排列，x，y位于中間，貝收,5位于兩側(cè),可知x=y=5n=5：

2

此時(shí)中位數(shù)是5；

綜上所述這四個(gè)數(shù)的中位數(shù)的取值范圍是[3,5].

故答案為：[3,5].

【變式1-1】某學(xué)校組織數(shù)學(xué)競賽活動(dòng)，準(zhǔn)備了兩組題目分別放在A,B兩個(gè)箱子中.A箱中有4道代數(shù)

題和2道幾何題，B箱中有3道代數(shù)題和3道幾何題.參賽選手先在兩個(gè)箱子中任選一個(gè)箱子，然后從選

中的箱子中依次抽取2道題（不放回）作答.

（1）若甲同學(xué)選擇A箱，求甲第一次抽到代數(shù)題且第二次抽到幾何題的概率；

（2）若乙同學(xué)選擇A箱，答題結(jié)束后工作人員失誤將乙抽取的題目放回了B箱，接著丙同學(xué)選擇從B箱抽

取題目，求丙抽取的2道題中至少有一道代數(shù)題的概率.

【解析】（1）設(shè)事件M表示“甲第一次從A箱中抽到代數(shù)題”，事件N表示“甲第二次從A箱中抽到幾何

題”，

49

則尸（M）=N=￡.

O3

在加發(fā)生的條件下，A箱中還剩下3道代數(shù)題和2道幾何題，所以「（N|M）=y.

224

故尸（MN）=P（M）尸（?/陽）=§*（=百.

（2）設(shè)事件。為“丙從B箱中抽取的2道題中至少有一道代數(shù)題”，

事件R為“乙從A箱中取出2道代數(shù)題”，

事件S為“乙從A箱中取出1道代數(shù)題和1道幾何題”，

事件T為“乙從A箱中取出2道幾何題”，

則尸⑻=與=2,汽5）=堡i=§,尸（7）=與」.

'，C；5'，或15V15

當(dāng)R發(fā)生時(shí)，B箱中有5道代數(shù)題和3道幾何題，P（Q|R）=1-德=1二=||；

Cg2o2o

當(dāng)S發(fā)生時(shí)，B箱中有4道代數(shù)題和4道幾何題，P（M=1-冬=1-2=萼；

Cg2o14

當(dāng)T發(fā)生時(shí)，B箱中有3道代數(shù)題和5道幾何題，P（e|T）=l-||=l-^=-^.

C-82o14

975R111QQA

由全概率公式可得P（Q）=P⑻P（Q|R）+P⑸P（。團(tuán)+P（T）P（Q|T）=x反+RXR+?X在=而.

DZoID14IDJL4IUD

【變式1-2】將連續(xù)正整數(shù)1,2,L,"（〃eN*）從小到大排列構(gòu)成一個(gè)數(shù)123n,尸（"）為這個(gè)數(shù)的位數(shù)（

如當(dāng)〃=12時(shí)，此數(shù)為123456789101112,共有15個(gè)數(shù)字，/（12）=15）,現(xiàn)從這個(gè)數(shù)中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，

0（"）為恰好取到。的概率.

⑴求以100）.

(2)當(dāng)2021時(shí)，求尸5)的表達(dá)式.

(3)令g(")為這個(gè)數(shù)中數(shù)字0的個(gè)數(shù)，,⑺為這個(gè)數(shù)中數(shù)字9的個(gè)數(shù)，/z(?)=/(?)-g(〃),

S={〃|〃(")=l,"4100,〃eN*},求當(dāng)“eS時(shí)p(〃)的最大值.

【解析】(1)當(dāng)n=100時(shí)，F(xiàn)(100)=9+90x2+3=192,

即這個(gè)數(shù)中共有192個(gè)數(shù)字，其中數(shù)字。的個(gè)數(shù)為11,

則恰好取到0的概率為0(100)=意；

(2)當(dāng)時(shí)，這個(gè)數(shù)有1位數(shù)組成，F(xiàn)(?)=?；

當(dāng)10V〃<99時(shí)，這個(gè)數(shù)有9個(gè)一位數(shù)組成，"-9個(gè)兩位數(shù)組成，則/(〃)=2〃-9；

當(dāng)100V/1W999時(shí)，這個(gè)數(shù)有94'一■位數(shù)組成，90個(gè)兩位數(shù)組成，a-99個(gè)三位數(shù)組成，/⑺=3〃-108；

當(dāng)1000W/W2021時(shí)，這個(gè)數(shù)有9個(gè)一位數(shù)組成，90個(gè)兩位數(shù)組成，900個(gè)三位數(shù)組成999個(gè)四位數(shù)組

成，尸⑺=4〃-1107；

n,l<n<9

2n-9,10<?<99

綜上所述：F(〃)=

3M-108,100<?<999

4n-1107,1000<n<2021

(3)當(dāng)〃=〃(1<6?9,O￡N*)時(shí)，g(〃)=0,

當(dāng)〃=l(R+b(lK左<9,0<0<9,%￡?4*,0￡?4*)時(shí)，g(n)=k；

當(dāng)〃=ioo時(shí)，g(〃)=n,

0,l<n<9

即g(〃)=<k,n=10k+b,l<k<9,0<b<9,keN,bEN,

ll,n=100

0,1<n<8

/、k,n=10k+b-l,l<k<8,0<b<9,kEN*,bGN*

同理有〃〃卜

n-80,89<?<98

20,〃=99,100

由M〃)=f(n)-g(n)=l,可知“=9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,

所以當(dāng)“4100時(shí),S={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90},

當(dāng)"=9時(shí)，p(9)=0,

oi

當(dāng)〃=90時(shí)，2(90)=——=—,

')17119

當(dāng)”=1瞅+9(14”8,強(qiáng)叼時(shí)，。⑺=瑞=&=上，

k191

由y=---------x關(guān)于上單調(diào)遞增,

20左+9202020左+9

故當(dāng)〃=10%+9(1〈左V8#eN*)時(shí)，有p(")的最大值為p(89)=焉,

又旃＜?xì)v，

所以當(dāng)"eS時(shí)，p(〃)的最大值為

?命題預(yù)測飛

1.某班學(xué)生分A,B,C,。四組參加數(shù)學(xué)知識(shí)競答，規(guī)則如下：四組之間進(jìn)行單循環(huán)(每組均與另外三

組進(jìn)行一場比賽)；每場比賽勝者積3分，負(fù)者0分；若出現(xiàn)平局，則比賽雙方各積1分.現(xiàn)假設(shè)四個(gè)組戰(zhàn)

勝或者負(fù)于對(duì)手的概率均為出現(xiàn)平局的概率為;，每場比賽相互獨(dú)立.

42

(1)求A組在參加兩場比賽后得分為3分的概率；

(2)一輪單循環(huán)結(jié)束后，求四組總積分一樣的情況種數(shù)，并計(jì)算四組總積分一樣的概率.

【解析】(1)A組在參加兩場比賽后得分為3分的概率為9XJX2=:

448

(2)四組總積分一樣，可以每次都是平局，

也可以每組學(xué)生是一勝一負(fù)一平.

如：

A勝8負(fù)，A負(fù)C勝，AQ平

BC平，8勝。負(fù)，C負(fù)。勝

不難發(fā)現(xiàn)，A的三種情況確定后，(8,0,(民。),(C,?比賽結(jié)果是確定的，

所以只要去看(A3),(AO,(A0可能出現(xiàn)的情況，

A勝2負(fù)，A負(fù)C勝，AL(平，

A負(fù)8勝，A勝C負(fù)，AD平

A勝8負(fù)，A負(fù)。勝，AC平,

A負(fù)2勝，A勝。負(fù)，AC平

A勝C負(fù)，A負(fù)。勝，A8平，

A負(fù)C勝，A勝。負(fù)，AB平

共6+1=7種

2.甲、乙兩人準(zhǔn)備進(jìn)行羽毛球比賽，比賽規(guī)定：一回合中贏球的一方作為下一回合的發(fā)球方.若甲發(fā)球,

則本回合甲贏的概率2為若乙發(fā)球，則本回合甲贏的概率為1:，每回合比賽的結(jié)果相互獨(dú)立.經(jīng)抽簽決

定，第1回合由甲發(fā)球.

⑴求第4個(gè)回合甲發(fā)球的概率；

(2)設(shè)前4個(gè)回合中，甲發(fā)球的次數(shù)為X,求X的分布列及期望.

21

【解析】(1)由題可知，第2回合甲發(fā)球的概率為1,乙發(fā)球的概率為5.

所以第3回合甲發(fā)球的概率為；2x；2+s1x1；=5=,

33339

4

2112

乙發(fā)球的概率為+9-

524114

可得第4個(gè)回合甲發(fā)球的概率為xx彳+「＞＜；；=

939327

14

故第4個(gè)回合甲發(fā)球的概率為二；

27

(2)由題意可知：X可以取1,2,3,4.

1224，八3

當(dāng)X=1時(shí)，4=_x—x_=一；當(dāng)X=4時(shí)，P=-

333274⑺

當(dāng)X=2時(shí)，前4個(gè)回合甲發(fā)球兩次的情況分以下三種:

4

2

第一種情況，甲第1，2回合發(fā)球，乙第3,4回合發(fā)球，其概率為］-

271

-

第二種情況，甲第1,3回合發(fā)球，乙第2,4回合發(fā)球，其概率為:

272

一

第三種情況，甲第1,4回合發(fā)球，乙第2,3回合發(fā)球，其概率為:27

故前4個(gè)回合甲發(fā)球兩次的概率為鳥二方+(+方；

44/乙/4/

O

當(dāng)X=3時(shí)，P.=\-Px-P2-P,=—.

故X的分布列為:

X1234

4788

P

27272727

74

E(X)=1X——+2x——+3x——+4x——

2727272727

題型二：由定義引起的分類討論

【典例2-1]設(shè)數(shù)列｛?！埃鸵玻捻?xiàng)數(shù)均為機(jī)，則將數(shù)列｛4｝和也｝的距離定義為

m

+a

￡|4?一2|二|。1一4|+|〃2-仇|+\n~^n\.

i=l

(1)給出數(shù)列1,3,5,6和數(shù)列2,3,10,7的距離；

(2)設(shè)A為滿足遞推關(guān)系。用=警的所有數(shù)列｛《,｝的集合，｛2｝和｛g｝為A中的兩個(gè)元素，且項(xiàng)數(shù)均

1an

為加，若4=2,q=3,也｝和｛1｝的距離小于4032,求，"的最大值；

(3)記S是所有7項(xiàng)數(shù)列｛。/1《〃47,4=0或1｝的集合，T=S.且T中任何兩個(gè)元素的距離大于或等于

3.證明：T中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16.

【解析】(1)由題意可知，數(shù)列1,3,5,6和數(shù)列2,3,10,7的距離為1+0+5+1=7；

1+4Z

(2)設(shè)q=p,其中ox。，且。片±1,由----,

l-a?

~1+〃1p-1

所以〃2=一,%=---:

1一。pP+1

貝I」％=%,

因此集合A中數(shù)列的項(xiàng)周期性重復(fù)，且間隔4項(xiàng)重復(fù)一次，

所以數(shù)列｛2｝中，砥一3=2,甌一2=-3,*_[=-；,如=:，笈eN*,

故｛｝中'c4?,-3=c_!=--,左

c"3,c4k_2=-2,4jtc4k=—,eN*,

k+1k

z=li=\

所以項(xiàng)數(shù)機(jī)越大，數(shù)列｛〃｝和｛，｝的距離越大,

4769127

由X、_止￡，可得Z\b-c\=-X1728=4032,

z=i3z=i3

所以功<6912時(shí),Z出一。|<4032,

/=1

故加的最大值為6911；

(3)證明：假設(shè)T中的元素個(gè)數(shù)大于等于17個(gè),

因?yàn)閿?shù)列｛%｝中，4=?；?,1<z<7

所以僅由數(shù)列前三項(xiàng)組成的數(shù)組口。2,4)有且僅有8個(gè)，

即(0,0,0),(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),(1,1,1),

那么這17個(gè)元素(即數(shù)列)之中必有三個(gè)具有相同的％,%a3,

設(shè)這個(gè)數(shù)列分別為｛%｝：q,c?,C3,c4,c5,c6,c7,

｛〃“｝t4，d[,d3,d4,d59,dj,

U)：33為，儲(chǔ)fs，八，力，

其中G=4=yi，c2=d2=f2,c3=d3=f3

因?yàn)檫@三個(gè)數(shù)列中每兩個(gè)的距離大于等于3,

所以｛c“｝和｛4,｝中，q手d,?=4,5,6,7)中至少有三個(gè)成立，

不妨設(shè)C4RZ，c5Hd5，06Rd6

由題意可知，和4中一個(gè)等于0,而另一個(gè)等于1，又因?yàn)榱?0或1,

所以力=和力=〃中必有一個(gè)成立，

同理可得，￡=。5和￡=4中必有一個(gè)成立，%=。6和九=4中必有一個(gè)成立，

所以=c,?=4,5,6)中至少有兩個(gè)成立“或，"=4。=4,5,6)中至少有兩個(gè)成立”中必有一個(gè)成立，

77

所以El￡「q|w2和力力-用42中必有一個(gè)成立，與題意矛盾，

1=1i=l

故T中的元素個(gè)數(shù)小于或等于16.

【典例2-2】對(duì)于無窮數(shù)列給出如下三個(gè)性質(zhì)：①％<0；②對(duì)于任意正整數(shù)〃，s,都有

a,,+as<an+s.③對(duì)于任意正整數(shù)〃，存在正整數(shù)t,使得>見定義：同時(shí)滿足性質(zhì)①和②的數(shù)列為“s

數(shù)列“，同時(shí)滿足性質(zhì)①和③的數(shù)列為數(shù)列”，則下列說法正確的是()

A.若｛%｝為“s數(shù)列”，則｛?｝為“/數(shù)列”

B.若4=(-》"，則｛%｝為)數(shù)列”

C.若q=2〃-3,則｛4｝為“s數(shù)列”

D.若等比數(shù)列｛4｝為口數(shù)列"則｛%』為“s數(shù)列”

【答案】C

【解析】設(shè)?！?一2〃一3,此時(shí)滿足4=-2-3=-5<。，

也滿足s￡N*,〃〃+$=—2(〃+s)—3,4=—2〃—3—2s—3——2(〃+s)—6,

即V〃,sGN*,an+s>an+as,｛an｝為飛數(shù)列”，

因?yàn)??！?1=~2(n+t)-3=-2n-2t-3=an-2t<an,所以A錯(cuò)誤；

若為=(-;)"，則見=(-;尸=-g<0,滿足①，

%=(-嚴(yán)，令(J嚴(yán)>(-1"，

若〃為奇數(shù)，此時(shí)(-夕<0,存在feN*,且為奇數(shù)時(shí)，此時(shí)滿足(-；嚴(yán)>。>(-；)"，

若〃為偶數(shù)，此時(shí)J；)"〉。，則此時(shí)不存在twN*,使得所以B錯(cuò)誤；

若氏=2〃-3,則％,=2-3=-1<0,滿足①，

\/n,seN*,an+s=2(〃+s)-3,a“+4=2〃-3+2s-3=2(〃+s)-6,

因?yàn)?("+s)-3>2(〃+s)-6,所以2〃,seN*,an+s>an+as,滿足②，所以C正確；

不妨設(shè)?！?(-2)”,滿足且VweN*,an=(-2)",

當(dāng)〃為奇數(shù)，取”1,使得%=(-2嚴(yán)>%；

當(dāng)力為偶數(shù)，取仁2,使得%+2=(-2產(chǎn)>為，所以｛%｝為“數(shù)列”，

但此時(shí)不滿足Ww,seN*,an+s>an+as,不妨取〃=l,s=2,

貝ijq=-2,u,2=4,%=—8,而4+2=-8<—2+4=q+Q2,

則｛%｝為“s數(shù)列"，所以D錯(cuò)誤.

故選：C.

人個(gè)

【變式2?1］設(shè)數(shù)列｛4｝」,-2,-2,3,3,3TTTT，(_。五㈠了五即當(dāng)

胃乂<n<"?(%eN*)時(shí)，an=(-1尸k.記Sn為數(shù)列上｝前〃項(xiàng)和.對(duì)于/?N*,定義集合片=｛4S”是

?！钡恼麛?shù)倍，“eN*，且則集合片中元素的個(gè)數(shù)為;集合與頻中元素的個(gè)數(shù)為.

【答案】51008

【解析】由數(shù)列｛為｝的定義，得

———

ax=1,a2=2,〃3—2,〃4=3,Q5—3,a6=3,=—4,g—4,a9=—4,ai0=—4,an=5,

S[=1,S2=一1,S3=—3,S4=0,S5=3,S6=6,S7=2,S8=—2,S9=—6,S10=—10,R]=—5,

E=%,S4=0xQ4,S5=(I5,S§—2a6,S]]=.Q]],

???集合匕中元素的個(gè)數(shù)為5.

先證：％，叫=7⑵+D(，eN*),

事實(shí)上，

①當(dāng):1時(shí)，5;(2；+I)=S3=-3,-j(2f+l)=-3,原等式成立；

②當(dāng)7=加時(shí)成立，即⑵w+D0weN*),

22

則i=機(jī)+1時(shí),5(m+1)(2m+3)=5m(2m+1)+