2025年九年級(jí)中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)壓軸題專(zhuān)題練習(xí)10正方形存在性問(wèn)題含答案

/專(zhuān)題10正方形存在性問(wèn)題（2024?無(wú)錫）1．已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)．(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)點(diǎn)在直線上，點(diǎn)在該二次函數(shù)圖象上．問(wèn)：在軸上是否存在點(diǎn)，使得以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2024?綏化三模）2．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，頂點(diǎn)坐標(biāo)為．(1)求二次函數(shù)的解析式；(2)直線與相交于點(diǎn)，當(dāng)為拋物線上第四象限內(nèi)一點(diǎn)且時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(3)為平面內(nèi)一點(diǎn)，試判斷坐標(biāo)軸上是否存在一點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為正方形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2023秋?斗門(mén)區(qū)期末）3．【實(shí)踐探究】數(shù)學(xué)課題學(xué)習(xí)小組，為了研究學(xué)習(xí)二次函數(shù)問(wèn)題，他們經(jīng)歷了實(shí)踐——應(yīng)用——探究的過(guò)程：(1)實(shí)踐：他們對(duì)一條拋物線形拱橋進(jìn)行測(cè)量，測(cè)得當(dāng)拱頂高離水面時(shí)，水面寬，并畫(huà)出了拱橋截面圖，建立了如圖1所示的直角坐標(biāo)系，求該拋物線的解析式；(2)應(yīng)用：按規(guī)定，船通過(guò)拱橋時(shí)，頂部與拱橋頂部在豎直方向上的高度差至少為．一場(chǎng)大雨，讓水面上升了，為了確保安全，問(wèn)該拱橋能否讓寬度為、高度為的貨船通過(guò)?請(qǐng)通過(guò)計(jì)算進(jìn)行說(shuō)明（貨船看作長(zhǎng)方體）；(3)探究：該課題學(xué)習(xí)小組為進(jìn)一步探索拋物線的有關(guān)知識(shí)，他們借助上述拋物線模型，并過(guò)原點(diǎn)作一條的直線，交拋物線于點(diǎn)F，交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)E，提出了以下兩個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)予解答：①如圖2，B為直線上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)B作垂直于x軸，交x軸于A，交直線于C，過(guò)點(diǎn)B作垂直于直線，交直線于，求的最大值．②如圖3，G為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)G點(diǎn)作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)H，點(diǎn)P在坐標(biāo)平面內(nèi)．問(wèn)：是否存在以E、G、H、P為頂點(diǎn)的四邊形是正方形?若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出G點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2024?濱州模擬）4．綜合與探究如圖，某一次函數(shù)與二次函數(shù)的圖象交點(diǎn)為A（-1，0），B（4，5）．(1)求拋物線的解析式；(2)點(diǎn)C為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AC與BC的和最小時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為；(3)點(diǎn)D為拋物線位于線段AB下方圖象上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸，交線段AB于點(diǎn)E，求線段DE長(zhǎng)度的最大值；(4)在（2）條件下，點(diǎn)M為y軸上一點(diǎn)，點(diǎn)F為直線AB上一點(diǎn)，點(diǎn)N為平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)，若以點(diǎn)C，M，F(xiàn)，N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)．（2024?甘肅模擬）5．如圖，二次函數(shù)的圖象交x軸于點(diǎn)A，，交y軸于點(diǎn)，點(diǎn)M是直線上方的二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作軸，垂足為點(diǎn)D，交于點(diǎn)E．(1)求二次函數(shù)的解析式和點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)連接，交y軸于點(diǎn)F．①當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；②連接，四邊形有可能是正方形嗎？如果有可能，此時(shí)的正切值是多少？如果沒(méi)可能，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2024?香洲區(qū)三模）6．在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A在y軸負(fù)半軸上.(1)如圖1，已知點(diǎn)O0,0，，在拋物線上，則________；_______；(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)D在拋物線上，且軸，是否存在四邊形為菱形？請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)如圖2，已知正方形的頂點(diǎn)B，D在二次函數(shù)（a為常數(shù)，且）的圖象上，點(diǎn)D在點(diǎn)B的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B，D的橫坐標(biāo)分別為m，n，請(qǐng)求出m，n滿足的數(shù)量關(guān)系.（2024春?天河區(qū)校級(jí)月考）7．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線，點(diǎn)A在拋物線G的對(duì)稱(chēng)軸上，且在x軸上方．(1)求拋物線G與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)（用含a的式子表示）；(2)已知正方形的頂點(diǎn)B、D在該二次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)B、D在拋物線對(duì)稱(chēng)軸的同側(cè)，且點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，設(shè)點(diǎn)B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n，試探究是否為定值，如果是，求出這個(gè)值：如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)在拋物線G上存在兩點(diǎn)B、D，且B、D在對(duì)稱(chēng)軸右側(cè)，點(diǎn)B在點(diǎn)D的左側(cè)，使得四邊形是正方形，求動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)y，在的最大值．參考答案：1．(1)(2)存在，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或或或．【分析】（1）將點(diǎn)A和點(diǎn)B的坐標(biāo)代入，求出a和c的值，即可得出這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）求出直線的函數(shù)解析式為，然后進(jìn)行分類(lèi)討論：當(dāng)為正方形的邊時(shí)；當(dāng)為正方對(duì)角線時(shí)，結(jié)合正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)，即可解答．【詳解】（1）解：把，代入得：，解得：，∴這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式為；（2）解：設(shè)直線的函數(shù)解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的函數(shù)解析式為，當(dāng)為正方形的邊時(shí)，①∵，∴，過(guò)點(diǎn)M作y軸的垂線，垂足為點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)P作的垂線，垂足為點(diǎn)H，∵軸，∴，∴，則，設(shè)，則，∴，∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為，即，∵以，，，為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，∴，∴，∵，∴，∵，，，∴，∴，∴，把代入得：，解得：，（舍去），∴；②如圖：構(gòu)造，和①同理可得：，，設(shè)，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；③如圖：構(gòu)造，和①同理可得：，，設(shè)，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；④如圖：構(gòu)造，和①同理可得：，，設(shè)，則，∴，，，把代入得：，解得：，（舍去），∴；當(dāng)為正方形對(duì)角線時(shí)，⑤如圖：構(gòu)造矩形，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)K，易得，∴，設(shè)，則，和①同理可得：，∴，∴四邊形為正方形，∴，∴，則，∴，設(shè)，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；⑥如圖：構(gòu)造，同理可得：，設(shè)，則，∴，，，把代入得：，解得：（舍去），∴；綜上：點(diǎn)的坐標(biāo)為或或或或或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合，解直角三角形，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)性質(zhì)定理，正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形解答．2．(1)(2)或(3)存在，或或．【分析】本題考查二次函數(shù)與幾何綜合，涉及待定系數(shù)求解析式，相似和正方形存在性，圖形結(jié)合和分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵．（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)，設(shè)，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，再利用列式求解；（3）利用先探究是等腰直角三角形，再確定點(diǎn)的方法，分三種：①過(guò)點(diǎn)作交坐標(biāo)軸于點(diǎn)；②過(guò)點(diǎn)作交坐標(biāo)軸于點(diǎn)；③作的垂直平分線交坐標(biāo)軸于點(diǎn)．本題利用此方法，再結(jié)合是等腰直角三角形即可確定．【詳解】（1）解：把，代入，得，解得，∴二次函數(shù)的解析式為；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，解得，∴，當(dāng)時(shí)，得，∴，設(shè)直線解析式為，代入，，得，解得，∴直線解析式為，設(shè)，則，∴，∵，∴，∴，∴，解得或，∴或；（3）∵，，∴，∵，∴，根據(jù)題意分三種情況：①如圖，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，此時(shí)四邊形是矩形，∵，，∴，∴，∴四邊形是正方形，∴，∴；②如圖，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，同①可得四邊形是正方形，，∴；③如圖，∵是等腰直角三角形，∴點(diǎn)與點(diǎn)重合，∴作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，∴四邊形是正方形，∴，∴，綜上，存在，或或．3．(1)(2)該貨船不能通過(guò)，理由見(jiàn)解析(3)①；②或【分析】（1）設(shè)拋物線的解析式為，將代入，即可求解；（2）根據(jù)題意將代入解析式，得出，而輪船安全通過(guò)需要米，即可求解；（3）①依題意，得出，是等腰直角三角形，則，進(jìn)而設(shè)點(diǎn)，則，表示出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解；②由①可得，當(dāng)以E、G、H、P為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，是等腰直角三角形，將代入，即可求解．【詳解】（1）解：依題意，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線的解析式為，測(cè)得當(dāng)拱頂高離水面時(shí)，水面寬，則拋物線經(jīng)過(guò)，當(dāng)時(shí)，，即，解得：，∴拋物線解析式為；（2）解：依題意，當(dāng)寬度為、高度為的貨船通過(guò)，∴，將代入解析式得：，，∴該貨船不能通過(guò)；（3）解：①∵，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線，∵交拋物線于點(diǎn)F，交拋物線對(duì)稱(chēng)軸于點(diǎn)E，∴，∴，∵，則是等腰直角三角形，∴，∴，設(shè)點(diǎn)，則，∴∴當(dāng)時(shí)，取得最大值為,則的最大值為．②由①可得，當(dāng)以E、G、H、P為頂點(diǎn)的四邊形是正方形時(shí)，是等腰直角三角形，∴，且，∵，∴的縱坐標(biāo)為，將代入解得：或∴的橫坐標(biāo)為，或，又∵G為直線上一動(dòng)點(diǎn)，∴或．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，二次函數(shù)的性質(zhì)，線段周長(zhǎng)問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．(1)(2)（1，2）(3)(4)【分析】（1）將A（-1，0），B（4，5）代入得到關(guān)于m，n的二元一次方程組求解即可；（2）拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，求出直線AB與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)即可求解；（3）設(shè)，則，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（4）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，分情況求解即可．【詳解】（1）解：將A（-1，0），B（4，5）代入得，，解這個(gè)方程組得，拋物線的解析式為：；（2）解：如圖，設(shè)直線AB的解析式為：，把點(diǎn)A（-1，0），B（4，5）代入，得，解得，直線AB的解析式為：，由（1）知拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為，點(diǎn)C為拋物線對(duì)稱(chēng)軸上一動(dòng)點(diǎn)，，當(dāng)點(diǎn)C在AB上時(shí)，最小，把x=1代入，得y=2，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，2）；（3）解：如圖，由（2）知直線AB的解析式為y=x+1設(shè)，則，則，當(dāng)時(shí)，DE有最大值為，（4）解：如圖，直線AB的解析式為：y=x+1，直線與y軸的交點(diǎn)為D（0，1），，，若以點(diǎn)C，M，F(xiàn)，N為頂點(diǎn)的四邊形是正方形，分情況討論：①過(guò)點(diǎn)C作軸于點(diǎn)，則為等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)C作，則四邊形為正方形，依題意，知D與F重合，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）；②以為中心分別作點(diǎn)F，點(diǎn)C點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接，則四邊形是正方形，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（-1，2）；③延長(zhǎng)到使，作于點(diǎn)，則四邊形是正方形，則的坐標(biāo)為（1，4）；④取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，則為正方形，則的坐標(biāo)為，綜上所述，點(diǎn)N的坐標(biāo)為：【點(diǎn)睛】本題考查了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)和二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，正方形的判定，根據(jù)題意正確畫(huà)圖是解本題的關(guān)鍵．5．(1)二次函數(shù)的解析式為，；(2)①點(diǎn)M的坐標(biāo)為1,4；②有可能，．【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）①求得直線的解析式，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為，由，求得，，根據(jù)，代入數(shù)據(jù)即可求解；②證明四邊形是矩形，當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形，據(jù)此求解即可．【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)，，∴，解得，∴二次函數(shù)的解析式為，令，則，解得，，∴；（2）解：①∵，，設(shè)直線的解析式為，代入得，解得，∴直線的解析式為，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)E的坐標(biāo)為，∴，，，，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴，∵，∴，解得（舍去）或，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為1,4；②由①得，∵，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是矩形，當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形，∴，解得，∴，，∴．【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合問(wèn)題，考查的知識(shí)點(diǎn)有二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)，一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，相似三角形的判斷和性質(zhì)，解直角三角形．解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問(wèn)題．6．(1)－1；－1(2)不存在，理由見(jiàn)解析(3)，滿足的等量關(guān)系為或【分析】（1）利用待定系數(shù)法將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式即可求出a、m的值；（2）假設(shè)存在，由，，可知，因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，可求出，因此可求得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)軸，亦可求出點(diǎn)的坐標(biāo)，又已知點(diǎn)在拋物線上，而，因此假設(shè)不成立，即不存在四邊形為菱形；（3）過(guò)點(diǎn)B作軸，垂足為，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，則，，然后分情況討論：①當(dāng)點(diǎn)B，均在軸左側(cè)時(shí)，②當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)，點(diǎn)B在軸右側(cè)時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)B，均在軸右側(cè)時(shí)，證明，因此利用，，即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：，在拋物線上，將代入，得，，將代入，得，（2）不存在．理由如下：假設(shè)存在，由（1）得，，，設(shè)與軸交于點(diǎn)，，四邊形為菱形，，．點(diǎn)的坐標(biāo)為，軸，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在拋物線上，而，假設(shè)不成立，不存在四邊形為菱形；（3）過(guò)點(diǎn)B作軸，垂足為，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，則，，①當(dāng)點(diǎn)B，均在軸左側(cè)時(shí)，如圖1，，，，，，，，又，，，，，化簡(jiǎn)得，，；②當(dāng)點(diǎn)在軸左側(cè)，點(diǎn)B在軸右側(cè)時(shí)，如圖2，，，，，同理可得，，，，化簡(jiǎn)得，或；③當(dāng)點(diǎn)B，均在軸右側(cè)時(shí)，如圖3，，，，，同理可得，，，，化簡(jiǎn)得，，，綜上所述，，滿足的等量關(guān)系為或．【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，正方形和菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，本題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)解題．7．(1)或(2)是定值，且值為；(3)【分析】（1）令，解方程即可求解；（2）連接、交點(diǎn)為，過(guò)作軸于，過(guò)作于，證明，，，，則，，設(shè)，則，，，，進(jìn)而因式分解得出，即可求解；（3）根據(jù)（2）可得又，則，，分別得出的關(guān)系式，根據(jù)動(dòng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)確定的范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：當(dāng)，則，即解得：∴拋物線與軸交點(diǎn)的坐標(biāo)或（2）解：由（1）可得對(duì)