高考數(shù)學(xué)微專題集專題11圓錐曲線第三定義與點差法微點2圓錐曲線中點弦問題與點差法(原卷版+解析)

專題11圓錐曲線第三定義與點差法微點2圓錐曲線中點弦問題與點差法專題11圓錐曲線第三定義與點差法微點2圓錐曲線中點弦問題與點差法【微點綜述】以圓錐曲線中點弦為背景的高考題、模擬題層出不窮，常用方法是點差法．點差法在圓錐曲線中應(yīng)用廣泛，可以用于求弦長、中點弦直線方程、軌跡問題、定點（定值）問題、面積問題、最值及取值范圍問題、存在性問題等，常與向量、圓等知識結(jié)合．三個微點我們討論了圓錐曲線第三定義及其推廣、應(yīng)用．下面我們來看第三次推廣——中點弦問題與點差法．一、圓錐曲線第三定義第三次推廣【中點弦·思維引導(dǎo)1】已知AB是圓的一條弦，點P是AB中點，當(dāng)AB和OP斜率存在時．思考：是否為定值？【解析】點P是AB中點，∴（垂徑定理），∴．【中點弦·思維引導(dǎo)2】已知AB是橢圓的一條弦，點P是AB中點，當(dāng)AB和OP斜率存在時．思考：是否為定值？【解析】設(shè)，，則．點A和點B在橢圓上，則有作差得：∴，即．（此方法名為“點差法”，即設(shè)點十作差）【中點弦·思維引導(dǎo)3】已知在橢圓上，點P是AB的中點，當(dāng)AB和OP斜率存在時．求證：為定值．【解析】設(shè)，，則．點A和點B在橢圓上，則有作差得，∴，即．【中點弦·思維引導(dǎo)4】已知在雙曲線上，點P是AB的中點，當(dāng)AB和OP斜率存在時．求證：為定值．【解析】設(shè)，，則．點A和點B在雙曲線上，則有作差得，∴，即．【中點弦·思維引導(dǎo)5】已知在雙曲線上，點P是AB的中點，當(dāng)AB和OP斜率存在時．求證：為定值．【解析】設(shè)，，則，點A和點B在雙曲線上，則有作差得，∴，即．【中點弦·思維引導(dǎo)6】已知在拋物線上，點P是AB的中點，當(dāng)AB斜率存在時，求證：為定值．【解析】設(shè)，，則．點A和點B在拋物線上，則有作差得，∴，即．【中點弦·思維引導(dǎo)7】已知在拋物線上，點P是AB的中點，當(dāng)AB不與y軸垂直時，求證：為定值．【解析】設(shè)，，則．點A和點B在拋物線上，則有作差得，∴，即．同理可證焦點在軸負半軸和軸負半軸的情形．總結(jié)上面的思考我們可得如下結(jié)論：【結(jié)論1】為橢圓的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則，即．證明：設(shè)，則①，②，由點差法，兩式相減得，由線段中點坐標(biāo)公式，得．【評注】此方法稱之為點差法，設(shè)點作差，設(shè)而不求．同理可證如下結(jié)論：【結(jié)論2】為橢圓的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則，即．【結(jié)論3】為雙曲線的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則，即．【結(jié)論4】為雙曲線的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則，即．【結(jié)論5】已知直線與拋物線相交于兩點，點為線段的中點，為原點，則．【結(jié)論6】已知直線與拋物線相交于兩點，點為線段的中點，為原點，則．【結(jié)論7】已知直線與拋物線相交于兩點，點為線段的中點，為原點，則．【結(jié)論8】已知直線與拋物線相交于兩點，點為線段的中點，為原點，則．總結(jié)可得如下表格——二、圓錐曲線第三定義及其推廣總結(jié)表圓周角定理的推廣（第三定義）圓的垂徑定理推廣橢圓為橢圓的長軸（或短軸）兩端點，是橢圓上異于的任一點，則．推廣：在橢圓中，是關(guān)于原點對稱的兩點，是橢圓上異于的一點，若存在，則．為橢圓的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則．為橢圓的長軸（或短軸）兩端點，是橢圓上異于的任一點，則．推廣：在橢圓中，是關(guān)于原點對稱的兩點，是橢圓上異于的一點，若存在，則．為橢圓的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則．雙曲線為雙曲線的實軸（或虛軸）兩端點，是橢圓上異于的任一點，則．推廣：在雙曲線中，是關(guān)于原點對稱的兩點，是雙曲線上異于的一點，若存在，則．為雙曲線的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則．為雙曲線的實軸（或虛軸）兩端點，是橢圓上異于的任一點，則．推廣：在雙曲線中，是關(guān)于原點對稱的兩點，是雙曲線上異于的一點，若存在，則．為雙曲線的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則．拋物線無為拋物線的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則．為拋物線的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則．為拋物線的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則．為拋物線的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則．三、應(yīng)用舉例（一）求離心率（或取值范圍）1．直線y＝x＋1與橢圓mx2＋ny2＝1(m>n>0)相交于A，B兩點，若弦AB的中點的橫坐標(biāo)等于，則橢圓的離心率等于_________.2．過點作斜率為的直線與橢圓：相交于，若是線段的中點，則橢圓的離心率為_____．（二）求斜率、弦長例3．(2023貴州貴陽市·高三期末）3．過拋物線的焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，若的中點的縱坐標(biāo)為2，則等于（

）A．4 B．6 C．8 D．104．過橢圓上一點作圓的切線，且切線的斜率小于，切點為，交橢圓另一點，若是線段的中點，則直線的斜率（

）A．為定值 B．為定值 C．為定值 D．隨變化而變化(2023年高考全國卷）5．斜率為k的直線l交橢圓于A、B兩點，線段AB的中點為，F(xiàn)是橢圓右焦點．(1)證明：．(2)點P是橢圓上一點且，證明：，，成等差，并求出公差．（三）求軌跡方程6．已知橢圓E：，的右焦點為，過點F的直線交橢圓E于A、B兩點．若AB的中點坐標(biāo)為，則E的方程為__________.7．直線（是參數(shù)）與拋物線的相交弦是，則弦的中點軌跡方程是___________.（2023年高考天津卷）8．已知橢圓的一個頂點為，右焦點為，且，其中為原點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點滿足，點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線與以為圓心的圓相切于點，且為線段的中點．求直線的方程．（四）對稱性問題(2023陜西咸陽市·高三一模）9．已知雙曲線上存在兩點，關(guān)于直線對稱，且線段的中點坐標(biāo)為，則雙曲線的離心率為（

）．A． B． C．2 D．10．已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上總有不同的兩點關(guān)于該直線對稱.（五）定點（定值）問題11．如圖，P為橢圓上的一動點，過點P作橢圓的兩條切線PA，PB，斜率分別為，.若為定值，則（

）A． B． C． D．12．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，、是雙曲線上的兩個動點，動點滿足，直線與直線斜率之積為2，已知平面內(nèi)存在兩定點、，使得為定值，則該定值為________（六）綜合應(yīng)用13．已知橢圓，過右焦點的直線交橢圓于、，且是線段的中點，是橢圓左焦點，求的面積．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、分別是橢圓的頂點，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于，兩點，其中點在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，設(shè)直線的斜率為．(1)若直線平分線段，求的值；(2)求面積的最大值，并指出對應(yīng)的點的坐標(biāo)；(3)對任意的，過點作的垂線交橢圓于，求證：，，三點共線．【針對訓(xùn)練】(2023西藏昌都一中高三期末）15．已知橢圓，是橢圓的一條弦的中點，點在直線上，求橢圓的離心率（

）A． B． C． D．(2023河南駐馬店高三期末）16．已知雙曲線的離心率為，直線與交于，兩點，若線段的中點為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．(2023湖北武漢高考模擬）17．過點P(4，2)作一直線AB與雙曲線C：－y2＝1相交于A，B兩點，若P為線段AB的中點，則|AB|＝（

）A．2 B．2C．3 D．4(2023河南高三月考）18．已知雙曲線，斜率為的直線交雙曲線于、，為坐標(biāo)原點，為的中點，若的斜率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．(2023上海楊浦區(qū)·復(fù)旦附中高二期末）19．已知三角形的三個頂點都在橢圓：上，設(shè)它的三條邊，，的中點分別為，，，且三條邊所在線的斜率分別為，，，且，，均不為0.為坐標(biāo)原點，若直線，，的斜率之和為1.則（

）A． B． C． D．20．過點作斜率為的直線與橢圓：相交于，若是線段的中點，則橢圓的離心率為_____．(2023福建龍巖市·高二期末）21．過點的直線與雙曲線交于兩點，且點恰好是線段的中點，則直線的方程為___________.22．在在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，M、N是橢圓上的兩個動點，動點P滿足，直線與直線斜率之積為-2，已知平面內(nèi)存在兩定點、，使得為定值，則該定值為_______________.23．已知中心在原點，一焦點為的橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程.24．若拋物線上存在不同的兩點關(guān)于直線對稱，求實數(shù)的取值范圍.25．拋物線，過點（2，0）的直線AC和BD相互垂直（斜率均存在），M、N分別是AC和BD的中點．求證：直線MN過定點．26．雙曲線，過點P（5，0）的直線AB和CD相互垂直（斜率存在），M、N分別是線段AB和線段CD的中點．求證：直線MN過定點．27．已知橢圓的右頂點坐標(biāo)為，左、右焦點分別為、，且，直線交橢圓于不同的兩點和．(1)求橢圓的方程；(2)若直線的斜率為，且以為直徑的圓經(jīng)過點，求直線的方程；(3)若直線與橢圓相切，求證：點、到直線的距離之積為定值．(2023福建·廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)高三階段練習(xí)）28．已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點作直線交曲線于兩點，試問在軸上是否存在點，使為定值？若存在，求出點的坐標(biāo)及該定值；若不存在，試說明理由.專題11圓錐曲線第三定義與點差法微點2圓錐曲線中點弦問題與點差法專題11圓錐曲線第三定義與點差法微點2圓錐曲線中點弦問題與點差法【微點綜述】以圓錐曲線中點弦為背景的高考題、模擬題層出不窮，常用方法是點差法．點差法在圓錐曲線中應(yīng)用廣泛，可以用于求弦長、中點弦直線方程、軌跡問題、定點（定值）問題、面積問題、最值及取值范圍問題、存在性問題等，常與向量、圓等知識結(jié)合．三個微點我們討論了圓錐曲線第三定義及其推廣、應(yīng)用．下面我們來看第三次推廣——中點弦問題與點差法．一、圓錐曲線第三定義第三次推廣【中點弦·思維引導(dǎo)1】已知AB是圓的一條弦，點P是AB中點，當(dāng)AB和OP斜率存在時．思考：是否為定值？【解析】點P是AB中點，∴（垂徑定理），∴．【中點弦·思維引導(dǎo)2】已知AB是橢圓的一條弦，點P是AB中點，當(dāng)AB和OP斜率存在時．思考：是否為定值？【解析】設(shè)，，則．點A和點B在橢圓上，則有作差得：∴，即．（此方法名為“點差法”，即設(shè)點十作差）【中點弦·思維引導(dǎo)3】已知在橢圓上，點P是AB的中點，當(dāng)AB和OP斜率存在時．求證：為定值．【解析】設(shè)，，則．點A和點B在橢圓上，則有作差得，∴，即．【中點弦·思維引導(dǎo)4】已知在雙曲線上，點P是AB的中點，當(dāng)AB和OP斜率存在時．求證：為定值．【解析】設(shè)，，則．點A和點B在雙曲線上，則有作差得，∴，即．【中點弦·思維引導(dǎo)5】已知在雙曲線上，點P是AB的中點，當(dāng)AB和OP斜率存在時．求證：為定值．【解析】設(shè)，，則，點A和點B在雙曲線上，則有作差得，∴，即．【中點弦·思維引導(dǎo)6】已知在拋物線上，點P是AB的中點，當(dāng)AB斜率存在時，求證：為定值．【解析】設(shè)，，則．點A和點B在拋物線上，則有作差得，∴，即．【中點弦·思維引導(dǎo)7】已知在拋物線上，點P是AB的中點，當(dāng)AB不與y軸垂直時，求證：為定值．【解析】設(shè)，，則．點A和點B在拋物線上，則有作差得，∴，即．同理可證焦點在軸負半軸和軸負半軸的情形．總結(jié)上面的思考我們可得如下結(jié)論：【結(jié)論1】為橢圓的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則，即．證明：設(shè)，則①，②，由點差法，兩式相減得，由線段中點坐標(biāo)公式，得．【評注】此方法稱之為點差法，設(shè)點作差，設(shè)而不求．同理可證如下結(jié)論：【結(jié)論2】為橢圓的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則，即．【結(jié)論3】為雙曲線的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則，即．【結(jié)論4】為雙曲線的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則，即．【結(jié)論5】已知直線與拋物線相交于兩點，點為線段的中點，為原點，則．【結(jié)論6】已知直線與拋物線相交于兩點，點為線段的中點，為原點，則．【結(jié)論7】已知直線與拋物線相交于兩點，點為線段的中點，為原點，則．【結(jié)論8】已知直線與拋物線相交于兩點，點為線段的中點，為原點，則．總結(jié)可得如下表格——二、圓錐曲線第三定義及其推廣總結(jié)表圓周角定理的推廣（第三定義）圓的垂徑定理推廣橢圓為橢圓的長軸（或短軸）兩端點，是橢圓上異于的任一點，則．推廣：在橢圓中，是關(guān)于原點對稱的兩點，是橢圓上異于的一點，若存在，則．為橢圓的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則．為橢圓的長軸（或短軸）兩端點，是橢圓上異于的任一點，則．推廣：在橢圓中，是關(guān)于原點對稱的兩點，是橢圓上異于的一點，若存在，則．為橢圓的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則．雙曲線為雙曲線的實軸（或虛軸）兩端點，是橢圓上異于的任一點，則．推廣：在雙曲線中，是關(guān)于原點對稱的兩點，是雙曲線上異于的一點，若存在，則．為雙曲線的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則．為雙曲線的實軸（或虛軸）兩端點，是橢圓上異于的任一點，則．推廣：在雙曲線中，是關(guān)于原點對稱的兩點，是雙曲線上異于的一點，若存在，則．為雙曲線的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則．拋物線無為拋物線的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則．為拋物線的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則．為拋物線的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則．為拋物線的不平行于對稱軸的弦，為線段的中點，為原點，則．三、應(yīng)用舉例（一）求離心率（或取值范圍）1．直線y＝x＋1與橢圓mx2＋ny2＝1(m>n>0)相交于A，B兩點，若弦AB的中點的橫坐標(biāo)等于，則橢圓的離心率等于_________.2．過點作斜率為的直線與橢圓：相交于，若是線段的中點，則橢圓的離心率為_____．（二）求斜率、弦長例3．(2023貴州貴陽市·高三期末）3．過拋物線的焦點的直線與拋物線交于A，B兩點，若的中點的縱坐標(biāo)為2，則等于（

）A．4 B．6 C．8 D．104．過橢圓上一點作圓的切線，且切線的斜率小于，切點為，交橢圓另一點，若是線段的中點，則直線的斜率（

）A．為定值 B．為定值 C．為定值 D．隨變化而變化(2023年高考全國卷）5．斜率為k的直線l交橢圓于A、B兩點，線段AB的中點為，F(xiàn)是橢圓右焦點．(1)證明：．(2)點P是橢圓上一點且，證明：，，成等差，并求出公差．（三）求軌跡方程6．已知橢圓E：，的右焦點為，過點F的直線交橢圓E于A、B兩點．若AB的中點坐標(biāo)為，則E的方程為__________.7．直線（是參數(shù)）與拋物線的相交弦是，則弦的中點軌跡方程是___________.（2023年高考天津卷）8．已知橢圓的一個頂點為，右焦點為，且，其中為原點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）已知點滿足，點在橢圓上（異于橢圓的頂點），直線與以為圓心的圓相切于點，且為線段的中點．求直線的方程．（四）對稱性問題(2023陜西咸陽市·高三一模）9．已知雙曲線上存在兩點，關(guān)于直線對稱，且線段的中點坐標(biāo)為，則雙曲線的離心率為（

）．A． B． C．2 D．10．已知橢圓，試確定的取值范圍，使得對于直線，橢圓上總有不同的兩點關(guān)于該直線對稱.（五）定點（定值）問題11．如圖，P為橢圓上的一動點，過點P作橢圓的兩條切線PA，PB，斜率分別為，.若為定值，則（

）A． B． C． D．12．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點，、是雙曲線上的兩個動點，動點滿足，直線與直線斜率之積為2，已知平面內(nèi)存在兩定點、，使得為定值，則該定值為________（六）綜合應(yīng)用13．已知橢圓，過右焦點的直線交橢圓于、，且是線段的中點，是橢圓左焦點，求的面積．14．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，、分別是橢圓的頂點，過坐標(biāo)原點的直線交橢圓于，兩點，其中點在第一象限，過作軸的垂線，垂足為，設(shè)直線的斜率為．(1)若直線平分線段，求的值；(2)求面積的最大值，并指出對應(yīng)的點的坐標(biāo)；(3)對任意的，過點作的垂線交橢圓于，求證：，，三點共線．【針對訓(xùn)練】(2023西藏昌都一中高三期末）15．已知橢圓，是橢圓的一條弦的中點，點在直線上，求橢圓的離心率（

）A． B． C． D．(2023河南駐馬店高三期末）16．已知雙曲線的離心率為，直線與交于，兩點，若線段的中點為，則直線的方程為（

）A． B．C． D．(2023湖北武漢高考模擬）17．過點P(4，2)作一直線AB與雙曲線C：－y2＝1相交于A，B兩點，若P為線段AB的中點，則|AB|＝（

）A．2 B．2C．3 D．4(2023河南高三月考）18．已知雙曲線，斜率為的直線交雙曲線于、，為坐標(biāo)原點，為的中點，若的斜率為，則雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．(2023上海楊浦區(qū)·復(fù)旦附中高二期末）19．已知三角形的三個頂點都在橢圓：上，設(shè)它的三條邊，，的中點分別為，，，且三條邊所在線的斜率分別為，，，且，，均不為0.為坐標(biāo)原點，若直線，，的斜率之和為1.則（

）A． B． C． D．20．過點作斜率為的直線與橢圓：相交于，若是線段的中點，則橢圓的離心率為_____．(2023福建龍巖市·高二期末）21．過點的直線與雙曲線交于兩點，且點恰好是線段的中點，則直線的方程為___________.22．在在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點，M、N是橢圓上的兩個動點，動點P滿足，直線與直線斜率之積為-2，已知平面內(nèi)存在兩定點、，使得為定值，則該定值為_______________.23．已知中心在原點，一焦點為的橢圓被直線截得的弦的中點的橫坐標(biāo)為，求橢圓的方程.24．若拋物線上存在不同的兩點關(guān)于直線對稱，求實數(shù)的取值范圍.25．拋物線，過點（2，0）的直線AC和BD相互垂直（斜率均存在），M、N分別是AC和BD的中點．求證：直線MN過定點．26．雙曲線，過點P（5，0）的直線AB和CD相互垂直（斜率存在），M、N分別是線段AB和線段CD的中點．求證：直線MN過定點．27．已知橢圓的右頂點坐標(biāo)為，左、右焦點分別為、，且，直線交橢圓于不同的兩點和．(1)求橢圓的方程；(2)若直線的斜率為，且以為直徑的圓經(jīng)過點，求直線的方程；(3)若直線與橢圓相切，求證：點、到直線的距離之積為定值．(2023福建·廈門大學(xué)附屬科技中學(xué)高三階段練習(xí)）28．已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為，記動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)過點作直線交曲線于兩點，試問在軸上是否存在點，使為定值？若存在，求出點的坐標(biāo)及該定值；若不存在，試說明理由.參考答案：1．分析：】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由mx12＋ny12＝1和mx22＋ny22＝1，兩式相減可得，從而可得離心率.【詳解】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點為M(x0，y0)，x0＝－，代入y＝x＋1得y0＝.所以mx12＋ny12＝1，（1）mx22＋ny22＝1，（2）由（1）-（2）得：，，∴，∴e2，∴e＝.故答案為：.【點睛】（1）本題主要考查點差法，意在考查學(xué)生對該知識的掌握水平和分析推理計算能力.(2)如果已知中涉及圓錐曲線的弦的中點，一般利用點差法，可以減少運算，提高解題效率.使用點差法，一般先“設(shè)點代點”，再作差，最后化簡，最后可以得到中點的坐標(biāo)和直線的斜率的關(guān)系.2．【詳解】試題分析：設(shè)A，B，則①，②，∵M是線段AB的中點，∴，∵直線AB的方程是，∴，∵過點M（1，1）作斜率為的直線與橢圓C：（a＞b＞0）相交于A，B兩點，M是線段AB的中點，∴①②兩式相減可得，即．考點：橢圓的簡單性質(zhì)3．C【解析】先根據(jù)拋物線的定義將焦點弦長問題轉(zhuǎn)化為中點到準線距離的兩倍，進而用中點橫坐標(biāo)表示，設(shè)直線AB的方程為：(m為常數(shù)),與拋物線方程聯(lián)立消去,得到關(guān)于y的一元二次方程，利用中點公式和韋達定理求得m的值，進而得到中點的橫坐標(biāo)，從而求得線段AB的長度.【詳解】拋物線的焦點坐標(biāo)F(1,0),準線方程,

設(shè)AB的中點為M,過A,B,M作準線l的垂線，垂足分別為C,D,N,則MN為梯形ABDC的中位線，,∵直線AB過拋物線的焦點F,∴可設(shè)直線AB的方程為：(m為常數(shù)),代入拋物線的方程消去x并整理得：,設(shè)A,B的縱坐標(biāo)分別為,線段AB中點,則,,∴直線AB的方程為,,，故選：C.【點睛】本題考查拋物線的焦點弦長問題，涉及拋物線的定義，方程，線段中點坐標(biāo)公式，直線與拋物線的交點問題，屬中檔題，關(guān)鍵是靈活使用拋物線的定義，將焦點弦長問題轉(zhuǎn)化為中點坐標(biāo)問題，注意直線方程的設(shè)法：過點(a,0)，斜率不為零的直線方程可以設(shè)為x=my+a的形式，不僅避免了討論，而且方程組消元化簡時更為簡潔.4．C分析：因為是線段的中點,故可設(shè),再用點差法根據(jù)直線與垂直斜率相乘等于求出切點的坐標(biāo),再求出直線的斜率即可.【詳解】設(shè),,則,化簡可得.因為是線段的中點,故.代入化簡可得的斜率.又直線與垂直,故,解得,代入圓可得.故直線的斜率為為定值.故選：C【點睛】本題主要考查了點差法在研究中點弦中的應(yīng)用,需要根據(jù)題意利用點差法以及直線與圓相切,斜率之間的關(guān)系列式求解.屬于中檔題.5．(1)證明見解析(2)證明見解析，公差為或．分析：（1）設(shè)點，點的坐標(biāo)，利用點差法和中點坐標(biāo)公式求解即可；（2）利用已知可得點坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示向量，確定的值，而可根據(jù)拋物線定義（或兩點間距離公式）求得，從而可得成等差數(shù)列，設(shè)該數(shù)列的公差為，將直線方程代入橢圓方程，消元后利用韋達定理即可求解.(1)解：）設(shè)，，則，．兩式相減，并由，得．由題設(shè)知，，于是．由題設(shè)得，，故．(2)解：由題意得F（1，0），設(shè)，則．由（1）得，．又點P在C上，∴，從而，．于是．同理，∴．所以，即，，成等差數(shù)列．設(shè)該數(shù)列的公差為d，則．②，由得k=-1．∴l(xiāng)的方程為，代入C的方程，并整理得．故，，代入②解得，∴該數(shù)列的公差為或．6．分析：設(shè)，，采用“點差法”，得，再根據(jù)直線過點，和AB的中點坐標(biāo)，得，結(jié)合橢圓中a，b，c的關(guān)系，可求得，，即可得E的方程.【詳解】已知，設(shè)，，則①，②，已知AB的中點坐標(biāo)為，，①－②得，∴，∵，∴，即，又，∴，，即E的方程為.【點睛】本題考查了求橢圓的標(biāo)準方程，考查了弦的中點有關(guān)問題；在中點弦或弦的中點問題中，常采用“點差法”和中點坐標(biāo)公式、斜率的計算公式求解.7．分析：設(shè)、中點，分析可得直線過定點，即，點差法可得，代入可得，與拋物線聯(lián)立可得的范圍【詳解】設(shè)，中點，則.，過定點，.又，（1），（2）得：，.

于是，即.又弦中點軌跡在已知拋物線內(nèi)，聯(lián)立故弦的中點軌跡方程是8．（Ⅰ）；（Ⅱ），或．分析：（Ⅰ）根據(jù)題意，并借助，即可求出橢圓的方程；（Ⅱ）利用直線與圓相切，得到，設(shè)出直線的方程，并與橢圓方程聯(lián)立，求出點坐標(biāo)，進而求出點坐標(biāo)，再根據(jù)，求出直線的斜率，從而得解.【詳解】（Ⅰ）橢圓的一個頂點為，，由，得，又由，得，所以，橢圓的方程為；（Ⅱ）直線與以為圓心的圓相切于點，所以，根據(jù)題意可知，直線和直線的斜率均存在，設(shè)直線的斜率為，則直線的方程為，即，，消去，可得，解得或.將代入，得，所以，點的坐標(biāo)為，因為為線段的中點，點的坐標(biāo)為，所以點的坐標(biāo)為，由，得點的坐標(biāo)為，所以，直線的斜率為，又因為，所以，整理得，解得或.所以，直線的方程為或.【點睛】本題考查了橢圓標(biāo)準方程的求解、直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與圓的位置關(guān)系、中點坐標(biāo)公式以及直線垂直關(guān)系的應(yīng)用，考查學(xué)生的運算求解能力，屬于中檔題.當(dāng)看到題目中出現(xiàn)直線與圓錐曲線位置關(guān)系的問題時，要想到聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程.9．B【解析】設(shè)，，根據(jù)線段的中點坐標(biāo)為，且，關(guān)于直線對稱，，在雙曲線上，整理可得，進而可得到離心率.【詳解】設(shè)，，且線段的中點坐標(biāo)為，則，又，關(guān)于直線對稱，所以，且，在雙曲線上，，，相減可得，即，故，即，離心率為，故選：B.【點睛】雙曲線的離心率是雙曲線最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝c2－a2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．10．取值范圍為【解析】根據(jù)對稱性可知線段被直線垂直平分，從而可得直線的斜率，直線與橢圓有兩個交點，且的中點在直線，可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理可得可求中點，由可求的范圍，由中點在直線可得，的關(guān)系，從而可求的范圍．【詳解】設(shè)橢圓上關(guān)于直線對稱的點，，則根據(jù)對稱性可知線段被直線垂直平分，故直線的斜率，直線與橢圓有兩個交點，且的中點在直線，故可設(shè)直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理可得，，，解得：，，，代入，解得：，，的取值范圍是．【點睛】方法點睛：本題重點考查了橢圓的基本性質(zhì)、直線與橢圓的位置關(guān)系等知識，解決直線與橢圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題，其常規(guī)思路是先把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消元、化簡，然后應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系建立方程，解決相關(guān)問題，涉及弦中點的問題時用“點差法”解決，往往會更簡單．屬于中檔題．11．C分析：設(shè)出直線方程,根據(jù)直線與橢圓相切,聯(lián)立化簡后由判別式即可得關(guān)于的方程.利用韋達定理表示出.將點P帶代入橢圓,聯(lián)立兩個式子化簡即可求得的值.【詳解】設(shè)則過的直線方程為將直線方程與橢圓聯(lián)立可得化簡可得因為相切,所以判別式展開得同時除以可得合并可得同除以,得展開化簡成關(guān)于的方程可得因為有兩條直線,所以有兩個不等的實數(shù)根.因為為定值,可設(shè)由韋達定理,化簡得又因為在橢圓上,代入可得化簡可得則,化簡可得解得故選:C【點睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系,根據(jù)直線與橢圓的位置關(guān)系研究定值問題,計算量較大,變形化簡過程較為復(fù)雜,需要耐心計算,屬于中檔題.12．【詳解】設(shè)P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），則由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），即x=2x1-x2，y=2y1-y2，∵點M，N在雙曲線上，所以，，故2x2-y2=（8x12+2x22-8x1x2）-（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2-y1y2），設(shè)k0M，kON分別為直線OM，ON的斜率，根據(jù)題意可知k0MkON=2，∴y1y2-2x1x2=0，∴2x2-y2=20，所以P在雙曲線2x2-y2=20上；設(shè)該雙曲線的左，右焦點為F1，F(xiàn)2，由雙曲線的定義可推斷出為定值，該定值為點睛：本題主要考查了雙曲線定義及簡單的幾何性質(zhì)．充分考查了用代數(shù)的方法來處理平面幾何問題的手段．13．分析：首先求出，即可得到直線的方程，設(shè)，，利用點差法得到，再根據(jù)及求出橢圓方程，再聯(lián)立直線與橢圓方程，消元，列出韋達定理，求出，最后根據(jù)計算可得.【詳解】解：因為直線過點、，所以，所以直線，設(shè)，，則，，所以、，所以，即，所以，即，又，所以，又，，所以，所以橢圓方程為，聯(lián)立直線AB與橢圓方程為，消去整理得，所以，，所以，故．14．(1)；(2)最大值，；(3)證明見解析.分析：（1）根據(jù)橢圓的頂點坐標(biāo)公式，結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)、中點坐標(biāo)公式、斜率公式進行求解即可；（2）設(shè)出與平行的直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用一元二次方程根的判別式、三角形面積公式進行求解即可；（3）利用點差法，結(jié)合直線斜率公式進行求解即可.（1）由題設(shè)知，，，故，，線段中點坐標(biāo)為．由于直線平分線段，故直線過線段的中點，又直線過原點，；（2），，，設(shè)與平行的直線方程為，聯(lián)立，得．由，解得：．由題意可知，當(dāng)時，直線與直線的距離最大，最大值．即面積有最大值，等于．由，解得，，點坐標(biāo)為；（3）設(shè)，，，，中點，，則，，兩式作差可得：，，即．，，即，．，，，即．，，故，，三點共線．【點睛】關(guān)鍵點睛：利用點差法是解題的關(guān)鍵.15．D【解析】中點弦問題，處理方法為點差法.得出，用替代，求出關(guān)系式，從而求得離心率.【詳解】設(shè)則兩式相減可得故①是橢圓的一條弦的中點故，代入①式中可得故有則，則故選：D【點睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)．16．B【解析】利用點差法求得，再利用雙曲線的離心率求，求直線的斜率，最后表示直線方程.【詳解】設(shè)，，則，，兩式相減可得．因為線段以點為中點，所以，，所以，因為的離心率為，所以，故直線的斜率為，所以直線的方程為，即,經(jīng)檢驗成立.故選：B【點睛】方法點睛：本題考查直線與雙曲線相交的中點弦問題，點差法是直線與圓錐曲線相交，研究中點弦問題比較好的方法，一般設(shè)兩點，代入圓錐曲線方程，兩個式子再做差，表示中點和斜率的關(guān)系.17．D【解析】解法一，設(shè)直線方程與曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示中點坐標(biāo)，求直線的斜率，并代入弦長公式求；解法二，利用點差法，求直線的斜率，再代入弦長公式.【詳解】解法一：由題意可知，直線AB的斜率存在．設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y＝k(x－4)＋2.由消去y并整理，得(1－2k2)x2＋8k(2k－1)x－32k2＋32k－10＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．因為P(4，2)為線段AB的中點，所以x1＋x2＝－＝8，解得k＝1.所以x1x2＝＝10.所以|AB|＝·＝4.故選:D.解法二：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則，①.②①－②得(x1－x2)(x1＋x2)－(y1－y2)(y1＋y2)＝0.因為P(4，2)為線段AB的中點，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4.所以4(x1－x2)－4(y1－y2)＝0，即x1－x2＝y(tǒng)1－y2，所以直線AB的斜率k＝＝1.則直線AB的方程為y＝x－2.由消去y并整理，得x2－8x＋10＝0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝10.所以|AB|＝·＝4.故選：D【點睛】思路點睛：1.一般涉及中點弦問題時，采用直線與曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系表示中點坐標(biāo)，或用點差法求解；2.直線與圓錐曲線相交問題時，有時需要考查斜率不存在和存在兩種情況，斜率存在的情況經(jīng)常和曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系解決幾何問題.18．A分析：設(shè)點、，利用點差法求得，進而可得出雙曲線的離心率為，即可得解.【詳解】設(shè)點、，則，由題意，得，，兩式相減，得，整理得，所以，因此，雙曲線的離心率為，故選：A.【點睛】方法點睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：（1）定義法：通過已知條件列出方程組，求得、的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率的值；（2）齊次式法：由已知條件得出關(guān)于、的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程求解；（3）特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.19．A【解析】設(shè)，，，，，，利用，在橢圓上，代入橢圓方程，兩式相減得：，同理可得：，，再利用已知條件即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，，，，，，因為，在橢圓上，所以，，兩式相減得：，即，同理可得，，所以因為直線??的斜率之和為1，所以，故選：A.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用.利用平方差法轉(zhuǎn)化求解斜率是解決本題的關(guān)鍵.20．【詳解】試題分析：設(shè)A，B，則①，②，∵M是線段AB的中點，∴，∵直線AB的方程是，∴，∵過點M（1，1）作斜率為的直線與橢圓C：（a＞b＞0）相交于A，B兩點，M是線段AB的中點，∴①②兩式相減可得，即．考點：橢圓的簡單性質(zhì)21．【解析】設(shè)，，，，分別代入雙曲線方程，兩式相減，化簡可得：，結(jié)合中點坐標(biāo)公式求得直線的斜率，再利用點斜式即可求直線方程．【詳解】過點的直線與該雙曲線交于，兩點，設(shè)，，，，，兩式相減可得：，因為為的中點，，，，則，所以直線的方程為，即為．故答案為：．【點睛】方法點睛：對于有關(guān)弦中點問題常用“點差法”，其解題步驟為：①設(shè)點（即設(shè)出弦的兩端點坐標(biāo)）；②代入（即代入圓錐曲線方程）；③作差（即兩式相減，再用平方差公式分解因式）；④整理（即轉(zhuǎn)化為斜率與中點坐標(biāo)的關(guān)系式），然后求解.22．分析：先設(shè)P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），利用坐標(biāo)表示求動點P軌跡方程，最后根據(jù)橢圓定義求結(jié)果.【詳解】設(shè)P（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），則由，得（x，y）=2（x1，y1）-（x2，y2），即x=2x1-x2，y=2y1-y2，∵點M，N在橢圓上，所以，，故2x2+y2=（8x12+2x22-8x1x2）+（4y12+y22-4y1y2）=20-4（2x1x2+y1y2），設(shè)k0M，kON分別為直線OM，ON的斜率，根據(jù)題意可知k0MkON=-