《高等數(shù)學(xué)》課件第二章 導(dǎo)數(shù)與微分

第二章導(dǎo)數(shù)與微分第一節(jié)導(dǎo)數(shù)概念第二節(jié)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則第三節(jié)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則第四節(jié)初等函數(shù)的求導(dǎo)法第五節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)法第六節(jié)高階導(dǎo)數(shù)第七節(jié)函數(shù)的微分第八節(jié)數(shù)學(xué)實驗三用Mathematica求極限和一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.變速運動的速度第一節(jié)導(dǎo)數(shù)的概念一、變化率問題舉例2.切線問題

上面兩個例子分別屬于不同領(lǐng)域,一為運動問題，一為幾何問題,但都要求計算函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比,在當后者無限趨于零時的極限.此外,很多理論或?qū)嶋H問題,也要求計算這種類型的極限,這些量的具體意義，抓住它們在數(shù)量關(guān)系上的共性,便得出函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念.二、導(dǎo)數(shù)的定義解三、求導(dǎo)舉例解解解解四、導(dǎo)數(shù)的幾何意義圖2-2導(dǎo)數(shù)幾何意義解解五、函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性的關(guān)系思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第二節(jié)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則

第一根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義求出一些簡單的導(dǎo)數(shù)，但對于比較復(fù)雜的函數(shù)，直接安定義來求它們的導(dǎo)數(shù)往往是很困難的.在本節(jié)和下節(jié)中將介紹求導(dǎo)的幾個基本法則和基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式.

解解解解解解思考題1.牢記函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則;答案答案課堂練習(xí)題答案答案第三節(jié)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

上述定理又稱鏈鎖法則.即復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于復(fù)合函數(shù)對中間變量的導(dǎo)數(shù)乘以中間變量對自變量的導(dǎo)數(shù).該法則可推廣到有限次復(fù)合形成的復(fù)合函數(shù)上去.如解解解解解例6

證明導(dǎo)數(shù)公式:證解答案答案答案思考題課堂練習(xí)題答案答案第四節(jié)初等函數(shù)的求導(dǎo)法一、反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為了求反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，先研究一般反函數(shù)的求導(dǎo)法.解例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：解二、初等函數(shù)求導(dǎo)問題1.求導(dǎo)法則2.基本初等函數(shù)求導(dǎo)公式思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第五節(jié)隱函數(shù)及參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)法一、隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

有的隱函數(shù)可以顯化，有的則不能，不論隱函數(shù)是否能顯化，可以直接由方程求出它所確定的隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù).解二、冪指函數(shù)的導(dǎo)數(shù)解

在導(dǎo)數(shù)運算中,僅有和的導(dǎo)數(shù)等于導(dǎo)數(shù)的和最簡單,利用對數(shù)可以簡化乘積和商及乘方的導(dǎo)數(shù).如例3解三、由參數(shù)方程所確定函數(shù)的求導(dǎo)法解解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案第六節(jié)高階導(dǎo)數(shù)

二階和二階以上導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱稱高階導(dǎo)數(shù)，自然原來所說的導(dǎo)數(shù)就是一階導(dǎo)數(shù).由導(dǎo)數(shù)的定義，很容易寫出二階及二階以上導(dǎo)數(shù)定義.如高階導(dǎo)數(shù)也有許多實際背景.例如，加速度是速度的變化率，因而加速度是速度對時間的導(dǎo)數(shù)，但速度本身是路程對時間的導(dǎo)數(shù)，所以加速度是路程對時間的二階導(dǎo)數(shù)，并把此說成二階導(dǎo)數(shù)的一個物理模型.解解解解思考題答案答案課堂練習(xí)題答案答案第七節(jié)函數(shù)的微分一、微分的概念導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)相對于自變量變化快慢的程度(導(dǎo)數(shù)絕對值大,函數(shù)y相對于自變量x變化的速度快;小則慢,導(dǎo)數(shù)值為零,幾乎無改變),而不是改變量本身,然而在許多情形下,需要考察和估計函數(shù)的改變量.

計算函數(shù)的改變量一般沒有什么好竅門,只需兩個函數(shù)值相減即可.一般來講,一些復(fù)雜函數(shù)這樣運算較麻煩,并且又不實際,因為世界上絕對精確的東西是沒有的.所以當自變量的改變量很小時,要對函數(shù)的改變量進行估計.先看一個實例.解二、微分的運算

按照定義，一個函數(shù)的微分就等于它的導(dǎo)數(shù)乘以自變量的微分，所以由導(dǎo)數(shù)便可立刻寫出微分公式，解解解解解三、近似計算解思考題答案答案答案課堂練習(xí)題答案答案*第八節(jié)數(shù)學(xué)實驗三

用Mathematica求極限和一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)一、求一元函數(shù)的極限1.學(xué)習(xí)Mathematica的命令Mathematica的求極限命令調(diào)用格式為2.理解函數(shù)極概念解解解3.求一元函數(shù)的極限例4求下列函數(shù)的極限：解二、求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.學(xué)習(xí)Mathemmatica命令Mathematica的求導(dǎo)數(shù)命令調(diào)用格式為2.導(dǎo)數(shù)概念根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，利用Mathematica的求極限命令可以求出函數(shù)在任何一點處的導(dǎo)數(shù).Limit[(f[x+h]-f[x])/h,h->0]解定義函數(shù)3.求一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)例6求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；解解返