淺析Vandermonde行列式的相關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用 數(shù)學(xué)畢業(yè)論文

淺析Vandermonde行列式的相關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用數(shù)學(xué)畢業(yè)論文一、緒論行列式是矩陣?yán)碚撝械闹匾拍?，它不僅是線性代數(shù)、微積分、數(shù)論等許多分支的基礎(chǔ)，而且在科學(xué)研究和工程技術(shù)中也具有廣泛的應(yīng)用。Vandermonde行列式是一種特殊的行列式，具有一些特殊的性質(zhì)和應(yīng)用。本文將就Vandermonde行列式的相關(guān)性質(zhì)和其在應(yīng)用中的作用進(jìn)行探討。二、Vandermonde行列式的定義與性質(zhì)Vandermonde行列式是由Vandermonde在18世紀(jì)提出的，它在數(shù)論、代數(shù)學(xué)、組合數(shù)學(xué)、微積分等領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用。對(duì)于一個(gè)給定的$n$個(gè)數(shù)$x_1,x_2,\\cdots,x_n$，可以定義它們的Vandermonde行列式為：$$V_n=\\begin{vmatrix}1&x_1&x_1^2&\\cdots&x_1^{n-1}\\\\1&x_2&x_2^2&\\cdots&x_2^{n-1}\\\\\\vdots&\\vdots&\\vdots&\\ddots&\\vdots\\\\1&x_n&x_n^2&\\cdots&x_n^{n-1}\\end{vmatrix}$$Vandermonde行列式具有一些特殊的性質(zhì)：（1）Vandermonde行列式的值可以表示為：$$V_n=\\prod_{1\\leqi<j\\leqn}(x_j-x_i)$$（2）Vandermonde行列式是一個(gè)$n\\timesn$的Vandermonde矩陣的行列式，即：$$V_n=\\det\\begin{pmatrix}1&x_1&\\cdots&x_1^{n-1}\\\\1&x_2&\\cdots&x_2^{n-1}\\\\\\vdots&\\vdots&\\ddots&\\vdots\\\\1&x_n&\\cdots&x_n^{n-1}\\end{pmatrix}$$（3）Vandermonde行列式的值與$x_1,x_2,\\cdots,x_n$的順序無(wú)關(guān)。上述性質(zhì)說明了Vandermonde行列式的一些基本特征，下面我們就Vandermonde行列式的一些應(yīng)用進(jìn)行探討。三、Vandermonde行列式在代數(shù)學(xué)中的應(yīng)用（1）Vandermonde行列式與Weierstrass方程的關(guān)系Weierstrass方程是一個(gè)重要的代數(shù)方程，它的形式為：$$y^2=x^3+ax+b$$其中$a,b$為復(fù)數(shù)，且$4a^3+27b^2\eq0$，$x,y$均為復(fù)數(shù)。當(dāng)$a,b$并不是平方數(shù)時(shí)，Weierstrass方程的任意有理點(diǎn)$(x_0,y_0)$可以表示為：$$x_0=\\frac{p^2}{q^2},y_0=\\frac{r}{q^3}$$其中$p,q,r$都是整數(shù)，并且$q\eq0$。此時(shí)，Vandermonde行列式可以用于求解Weierstrass方程。容易證明，如果$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\\cdots,(x_n,y_n)$都是Weierstrass方程的有理點(diǎn)，則Vandermonde行列式$V_n$也是一個(gè)有理數(shù)。因此，當(dāng)$V_n\eq0$時(shí)，我們就可以通過分?jǐn)?shù)分解的方法求出Weierstrass方程的解。（2）Vandermonde行列式與第一類斯特林?jǐn)?shù)的關(guān)系斯特林?jǐn)?shù)是一類組合數(shù)學(xué)問題中的系數(shù)，分為第一類和第二類斯特林?jǐn)?shù)。第一類斯特林?jǐn)?shù)表示將$n$個(gè)元素分成$k$個(gè)非空環(huán)的方案數(shù)。容易證明，對(duì)于任意的$n,k$，第一類斯特林?jǐn)?shù)$\\begin{Bmatrix}n\\\\k\\end{Bmatrix}$都可以表示為：$$\\begin{Bmatrix}n\\\\k\\end{Bmatrix}=\\frac{1}{k!}\\sum_{i=0}^k(-1)^{k-i}\\binom{k}{i}i^n$$此時(shí)，我們可以用Vandermonde行列式來證明這個(gè)公式。不妨設(shè)$x_1,x_2,\\cdots,x_k$都是$n$的$k$個(gè)非空環(huán)的長(zhǎng)度，則顯然有：$$\\sum_{i_1+i_2+\\cdots+i_k=n}\\binom{n}{i_1}\\binom{n-i_1}{i_2}\\cdots\\binom{n-i_1-i_2-\\cdots-i_{k-1}}{i_k}=\\binom{n}{x_1,x_2,\\cdots,x_k}$$其中$\\binom{n}{x_1,x_2,\\cdots,x_k}$表示從$n$個(gè)元素中選出$x_1$個(gè)第一組，$x_2$個(gè)第二組，$\\cdots$，$x_k$個(gè)第$k$組的方案數(shù)。根據(jù)Vandermonde行列式的定義，可以得到：$$V_k=\\prod_{1\\leqi<j\\leqk}(x_j-x_i)$$即$$V_k=\\det\\begin{pmatrix}1&x_1&\\cdots&x_1^{k-1}\\\\1&x_2&\\cdots&x_2^{k-1}\\\\\\vdots&\\vdots&\\ddots&\\vdots\\\\1&x_k&\\cdots&x_k^{k-1}\\end{pmatrix}$$根據(jù)行列式展開的定義，可以得到：$$V_k=(-1)^{\\frac{k(k-1)}{2}}\\sum_{i_1=1}^n\\sum_{i_2>i_1}^n\\cdots\\sum_{i_k>i_{k-1}}^n(x_{i_1}+x_{i_2}+\\cdots+x_{i_k})^2\\cdots(x_{i_1}+\\cdots+x_{i_k-k+1})^2$$我們可以重新排列上面的和式，得到：$$\\begin{aligned}V_k&=(-1)^{\\frac{k(k-1)}{2}}\\sum_{i_k=1}^n\\sum_{i_{k-1}=1}^{i_k-1}\\cdots\\sum_{i_1=1}^{i_2-1}(x_{i_1}+x_{i_2}+\\cdots+x_{i_k})^2\\cdots(x_{i_1}+\\cdots+x_{i_k-k+1})^2\\\\&=(-1)^{\\frac{k(k-1)}{2}}\\sum_{i_k=1}^n\\sum_{i_{k-1}=1}^{i_k-1}\\cdots\\sum_{i_1=1}^{i_2-1}\\left(\\sum_{j=1}^kix_{i_j}\\right)^2\\cdots\\left(\\sum_{j=1}^kx_{i_j}-\\frac{k(k-1)}{2}\\right)^2\\\\&=(-1)^{\\frac{k(k-1)}{2}}\\sum_{i_k=1}^n\\sum_{i_{k-1}=1}^{i_k-1}\\cdots\\sum_{i_1=1}^{i_2-1}\\sum_{1\\leqp,q\\leqk}ipjq_{p+q-2}x_{i_p}x_{i_q}\\\\&=(-1)^{\\frac{k(k-1)}{2}}\\sum_{i=0}^{k-1}(-1)^i\\binom{k}{i}i^n\\end{aligned}$$最后一步利用了等式$\\sum\\limits_{i=1}^ni^2=\\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$和$\\sum\\limits_{i=0}^k(-1)^i\\binom{k}{i}q_i=0$，其中$q_i$是第二類斯特林?jǐn)?shù)，即將$n$個(gè)元素劃分成$k$個(gè)非空集合的方案數(shù)。因此，我們最終得到：$$\\begin{Bmatrix}n\\\\k\\end{Bmatrix}=\\frac{1}{k!}V_k=(-1)^{\\frac{k(k-1)}{2}+n-k}\\frac{1}{k!}\\prod_{1\\leqi<j\\leqk}(j-i)$$這個(gè)公式表明，第一類斯特林?jǐn)?shù)與Vandermonde行列式之間存在一個(gè)簡(jiǎn)單的關(guān)系，由此我們可以更好地進(jìn)行組合