上海市交通大學(xué)附屬中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題含解析

上海市交通大學(xué)附屬中學(xué)2024屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），若對任意，不等式都成立，則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.2．若函數(shù)，則（）A. B.C. D.3．已知集合，集合，則A. B.C. D.4．已知集合，則（）A B.C. D.5．函數(shù)的最小值和最大值分別為()A. B.C. D.6．設(shè)集合，則=A. B.C. D.7．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù)，且，當(dāng)時，，則在區(qū)間上零點的個數(shù)為（）A.2 B.3C.4 D.58．下列函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)的是（）A. B.C. D.9．已知冪函數(shù)的圖象過點，則等于（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)，則下列說法不正確的是A.的最小正周期是 B.在上單調(diào)遞增C.是奇函數(shù) D.的對稱中心是二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．=_______.12．已知A，B，C為的內(nèi)角.（1）若，求的取值范圍；（2）求證：；（3）設(shè)，且，，，求證：13．已知集合，，則集合中元素的個數(shù)為__________14．若xlog23＝1，則9x+3﹣x＝_____15．函數(shù)的反函數(shù)為___________16．設(shè)一扇形的弧長為4cm，面積為4cm2，則這個扇形的圓心角的弧度數(shù)是_____.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，.（1）求函數(shù)圖象的對稱軸的方程；（2）當(dāng)時，求函數(shù)的值域；（3）設(shè)，存在集合，當(dāng)且僅當(dāng)實數(shù)，且在時，不等式恒成立．若在（2）的條件下，恒有（其中），求實數(shù)的取值范圍.18．某種商品在天內(nèi)每件的銷售價格（元）與時間（天）的函數(shù)關(guān)系為，該商品在天內(nèi)日銷售量（件）與時間（天）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，具體數(shù)據(jù)如下表：第天（Ⅰ）根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，求出日銷售量關(guān)于時間的函數(shù)表達(dá)式；（Ⅱ）求該商品在這天中的第幾天的日銷售金額最大，最大值是多少？19．已知函數(shù)（1）若，求a的值；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明你的結(jié)論；（3）若對于恒成立，求實數(shù)m的范圍20．某紀(jì)念章從某年某月某日起開始上市，通過市場調(diào)查，得到該紀(jì)念章每枚的市場價（單位：元）與上市時間（單位：天）的數(shù)據(jù)如下：上市時間天市場價元（1）根據(jù)上表數(shù)計，從下列函數(shù)中選取一個恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)描述該紀(jì)念章的市場價與上市時間的變化關(guān)系并說明理由：①；②；③；④；（2）利用你選取的函數(shù)，求該紀(jì)念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低的價格.21．某興趣小組要測量鐘樓的高度（單位：）.如示意圖，垂直放置的標(biāo)桿的高度為，仰角.（1）該小組已測得一組的值，算出了，請據(jù)此算出的值（精確到）；（2）該小組分析測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到鐘樓的距離（單位：），使與之差較大，可以提高測量精度.若鐘樓的實際高度為，試問為多少時，最大？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解題分析】由題意結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性求解不等式即可.【題目詳解】由函數(shù)的解析式可知函數(shù)為定義在R上的增函數(shù)，且函數(shù)為奇函數(shù)，故不等式即，據(jù)此有，即恒成立；當(dāng)時滿足題意，否則應(yīng)有：，解得：，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.本題選擇C選項.【題目點撥】對于求值或范圍的問題，一般先利用函數(shù)的奇偶性得出區(qū)間上的單調(diào)性，再利用其單調(diào)性脫去函數(shù)的符號“f”，轉(zhuǎn)化為解不等式(組)的問題.2、C【解題分析】應(yīng)用換元法求函數(shù)解析式即可.【題目詳解】令，則，所以，即.故選：C3、B【解題分析】交集是兩個集合的公共元素，故.4、D【解題分析】利用元素與集合的關(guān)系判斷即可.【題目詳解】由集合，即集合是所有的偶數(shù)構(gòu)成的集合.所以，，，故選：D5、C【解題分析】2.∴當(dāng)時，，當(dāng)時，，故選C.6、C【解題分析】由補(bǔ)集的概念，得，故選C【考點】集合的補(bǔ)集運算【名師點睛】研究集合的關(guān)系，處理集合的交、并、補(bǔ)的運算問題，常用韋恩圖、數(shù)軸等幾何工具輔助解題．一般地，對離散的數(shù)集、抽象的集合間的關(guān)系及運算，可借助韋恩圖，而對連續(xù)的集合間的運算及關(guān)系，可借助數(shù)軸的直觀性，進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化7、C【解題分析】根據(jù)函數(shù)的周期性、偶函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合零點的定義進(jìn)行求解即可.【題目詳解】因為，所以函數(shù)的周期為，當(dāng)時，，即，因為函數(shù)是偶函數(shù)且周期為，所以有，所以在區(qū)間上零點的個數(shù)為，故選：C8、A【解題分析】函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，排除B，單調(diào)區(qū)間不能用并集連接，排除CD.【題目詳解】定義域為R，且在定義域上單調(diào)遞增，滿足題意，A正確；定義域為，在定義域內(nèi)是減函數(shù)，B錯誤；定義域為，而在為單調(diào)遞增函數(shù)，不能用并集連接，C錯誤；同理可知：定義域為，而在區(qū)間上單調(diào)遞增，不能用并集連接，D錯誤.故選：A9、A【解題分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義，結(jié)合代入法進(jìn)行求解即可.【題目詳解】因為是冪函數(shù)，所以，又因為函數(shù)的圖象過點，所以，因此，故選：A10、A【解題分析】對進(jìn)行研究，求出其最小正周期，單調(diào)區(qū)間，奇偶性和對稱中心，從而得到答案.【題目詳解】，最小正周期為；單調(diào)增區(qū)間為，即，故時，在上單調(diào)遞增；定義域關(guān)于原點對稱，，故為奇函數(shù)；對稱中心橫坐標(biāo)為，即，所以對稱中心為【題目點撥】本題考查了正切型函數(shù)的最小正周期，單調(diào)區(qū)間，奇偶性和對稱中心，屬于簡單題.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、##【解題分析】利用對數(shù)的運算法則進(jìn)行求解.【題目詳解】.故答案為：.12、（1）（2）證明見解析（3）證明見解析【解題分析】（1）根據(jù)兩角和的正切公式及均值不等式求解；（2）先證明，再由不等式證明即可；（3）找出不等式的等價條件，換元后再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性構(gòu)造不等式，利用不等式性質(zhì)即可得證.【小問1詳解】,為銳角，，，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，即.【小問2詳解】在中，，,,.【小問3詳解】由（2）知，令，原不等式等價為，在上為增函數(shù)，，，同理可得，，，，故不等式成立，問題得證.【題目點撥】本題第3問的證明需要用到，換元后轉(zhuǎn)換為，再構(gòu)造不等式是證明的關(guān)鍵，本題的難點就在利用函數(shù)單調(diào)性構(gòu)造出不等式.13、2【解題分析】依題意，故，即元素個數(shù)為個.14、【解題分析】由已知條件可得x＝log32，即3x＝2，再結(jié)合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算即可得解.【題目詳解】解：∵，∴x＝log32，則3x＝2，∴9x＝4，，∴，故答案為：【題目點撥】本題考查了指數(shù)與對數(shù)形式的互化，重點考查了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運算，屬基礎(chǔ)題.15、【解題分析】先求出函數(shù)的值域有，再得出，從而求得反函數(shù).【題目詳解】由，可得由，則，所以故答案為：.16、2【解題分析】設(shè)扇形的半徑為r，圓心角的弧度數(shù)為，由弧度制下扇形的弧長與面積計算公式可得，，解得半徑r=2，圓心角的弧度數(shù)，所以答案為2考點：弧度制下扇形的弧長與面積計算公式三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）；（3）.【解題分析】（1）利用兩角和的正弦公式化函數(shù)為一個角的一個三角函數(shù)形式，然后結(jié)合正弦函數(shù)的對稱性得解；（2）令，換元，化函數(shù)為的二次函數(shù)，求出，由此可值域；（3）由題意利用分離參數(shù)法、換元法、基本不等式先求出集合，根據(jù)（2）中范圍得出的范圍，再由可得的范圍【題目詳解】解：（1）令，得所以函數(shù)圖象的對稱軸方程為：（2）由（1）知，，當(dāng)時，，∴，，即令，則，，由得，∴當(dāng)時，有最小值，當(dāng)時，有最大值1，所以當(dāng)時，函數(shù)的值域為（3）當(dāng)，不等式恒成立，因為時，，，所以，令，則，所以又，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號而，所以，即，所以又由（2）知，，當(dāng)時，，所以，要使恒成立，只須使，故的取值范圍是【題目點撥】關(guān)鍵點點睛：本題考查兩角和的正弦公式，三角函數(shù)的對稱性，換元法求三角函數(shù)的值域，考查不等式恒成立問題，在同時出現(xiàn)和的函數(shù)中常常設(shè)換元轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，再結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)求解．不等式恒成立問題仍然采用分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值18、（Ⅰ）（，，）（Ⅱ）第天的日銷售金額最大，為元【解題分析】（Ⅰ）設(shè)，代入表中數(shù)據(jù)可求出，得解析式；（Ⅱ）日銷售金額為，根據(jù)（1）及已知可得其表達(dá)式，這是一個分段函數(shù)，分段求出最大值后比較即得最大值【題目詳解】（Ⅰ）設(shè)日銷售量關(guān)于時間的函數(shù)表達(dá)式為，依題意得：，解之得：，所以日銷售量關(guān)于時間的函數(shù)表達(dá)式為（，，）.（Ⅱ）設(shè)商品的日銷售金額為（元），依題意：，所以，即：.當(dāng)，時，，當(dāng)時，；當(dāng)，時，，當(dāng)時，；所以該商品在這天中的第天的日銷售金額最大，為元.【題目點撥】本題考查函數(shù)模型應(yīng)用，由所給函數(shù)模型求出解析式是解題關(guān)鍵．本題屬于中檔題19、（1）（2）奇函數(shù)，證明見解析（3）【解題分析】（1）代入，得到，利用對數(shù)的運算即可求解；（2）先判斷奇偶性，然后分析定義域并計算的數(shù)量關(guān)系，由此完成證明；（3）將已知轉(zhuǎn)化為，求出在的最小值，即可得解.【小問1詳解】，，即，解得，所以a的值為【小問2詳解】為奇函數(shù)，證明如下：由，解得：或，所以定義域為關(guān)于原點對稱，又，所以為奇函數(shù)；【小問3詳解】因為，又外部函數(shù)為增函數(shù)，內(nèi)部函數(shù)在上為增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知函數(shù)在上為增函數(shù)，所以，又對于恒成立，所以，所以，所以實數(shù)的范圍是20、（1）②；（2）上市天，最低價元【解題分析】（1）根據(jù)所給的四個函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合表中數(shù)據(jù)所表示的變化特征進(jìn)行選擇即可；（2）根據(jù)表中數(shù)據(jù)代入所選函數(shù)的解析式，用待定系數(shù)法求出解析式，最后利用函數(shù)的單調(diào)性求出紀(jì)念章市場價最低時的上市天數(shù)及最低的價格.【題目詳解】（1）通過表中數(shù)據(jù)所知紀(jì)念章的市場價與上市時間的變化先是遞減而后遞增，而已知所給的函數(shù)中除了②以外，其他函數(shù)要么是單調(diào)遞增，要么是單調(diào)遞減，要么是常值函數(shù)，所以選擇②；（2）由（1）可知選擇的函數(shù)解析式為：.函數(shù)圖象經(jīng)過點，代入解析式中得：，顯然當(dāng)時，函數(shù)有最小值，最小值為26.所以該紀(jì)念章時的上市20天時市場價最低，最低的價格2