2021藝體生高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-專題09-指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)(解析版)

專題09指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)y＝axa>10<a<1圖象定義域(1)R值域(2)(0，＋∞)性質(zhì)(3)過定點(diǎn)(0,1)(4)當(dāng)x>0時，y>1；x<0時，0<y<1(5)當(dāng)x>0時，0<y<1；x<0時，y>1(6)在(－∞，＋∞)上是增函數(shù)(7)在(－∞，＋∞)上是減函數(shù)二、對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)(1)定義域：(0，＋∞)(2)值域：R(3)過定點(diǎn)(1,0)，即x＝1時，y＝0(4)當(dāng)x>1時，y>0當(dāng)0<x<1時，y<0(5)當(dāng)x>1時，y<0當(dāng)0<x<1時，y>0(6)在(0，＋∞)上是增函數(shù)(7)在(0，＋∞)上是減函數(shù)三、常用的指對數(shù)變換公式：（1）；（2）；；（3）；（4）換底公式：；進(jìn)而有兩個推論：（令）；；四、方法與技巧1、指對比較大?。?）知識反思：需要熟悉指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性。（2）解題反思：問題為比較兩個數(shù)值得的大小，常規(guī)方法為作差法；而問確從函數(shù)思想出發(fā)，構(gòu)造了兩個指數(shù)函數(shù)，利用單調(diào)性從而比出數(shù)值的大小，而在（3）問中，問題層層推進(jìn)，進(jìn)而變式，引入中間量的方法，解決不同底數(shù)冪的大小比較問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的靈活性。（3）推而廣之：比較兩個數(shù)值的大小，在后續(xù)的對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)及三角函數(shù)學(xué)習(xí)中也有類似的問題出現(xiàn)，其解決問題的基本思想為函數(shù)思想，即運(yùn)用對應(yīng)函數(shù)的函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行大小比較；2、解決對數(shù)函數(shù)綜合問題時，無論是討論函數(shù)的性質(zhì)，還是利用函數(shù)的性質(zhì)(1)要分清函數(shù)的底數(shù)是a∈(0,1)，還是a∈(1，＋∞)；(2)確定函數(shù)的定義域，無論研究函數(shù)的什么性質(zhì)或利用函數(shù)的某個性質(zhì)，都要在其定義域上進(jìn)行；(3)如果需將函數(shù)解析式變形，一定要保證其等價性，否則結(jié)論錯誤.例1、(2019常州期末）函數(shù)y＝eq\r(1－lnx)的定義域為________．【答案】(0，e]【解析】由題得1－lnx≥0，lnx≤1，得0<x≤e，故函數(shù)的定義域為(0，e]．eq\a\vs4\al(易錯警示)①注意定義域是集合；②lnx≤1，從而得x≤e，但要注意x>0.變式1、(2019鎮(zhèn)江期末）函數(shù)f(x)＝eq\r(lg（3－x）)的定義域為________．【答案】(－∞，2]【解析】由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－x>0，,lg（3－x）≥0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x<3，,3－x≥1，))即x≤2，故函數(shù)的定義域為(－∞，2]．變式2、(2018南京、鹽城、連云港二模）函數(shù)f(x)＝lg(2－x)的定義域為________．【答案】(－∞，2)【解析】由題意得2－x>0，即x<2，所以函數(shù)f(x)＝lg(2－x)的定義域為(－∞，2)．例2、(2018蘇州期末）已知4a＝2，logax＝2a，則正實(shí)數(shù)x的值為________．【答案】eq\f(1,2)【解析】：由4a＝2，得22a＝21，所以2a＝1，即a＝eq\f(1,2).由logeq\f(1,2)x＝1，得x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(1)＝eq\f(1,2).變式、(2017徐州、連云港、宿遷三檢）如圖，已知正方形的邊長為，平行于軸，頂點(diǎn)，和分別在函數(shù)，和()的圖象上，則實(shí)數(shù)的值為．【答案】【解析】設(shè)（），因為正方形的邊長為2，所以，，則，即，解之得，即所求的實(shí)數(shù)的值為．例3、2.已知，，，則【答案】【解析】∵，,即；,即，∴y<z<x.變式1、已知定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，且當(dāng)時，單調(diào)遞減，若則的大小關(guān)系是【答案】【解析】∵定義在上的函數(shù)的圖像關(guān)于對稱，∴函數(shù)為偶函數(shù)，∵，∴，∴．∵當(dāng)時，單調(diào)遞減，∴，例4、(2018蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\a\vs4\ac\hs10\co2(a－ex，,x<1，,x＋\f(4,x)，,x≥1)))(e是自然對數(shù)的底)．若函數(shù)y＝f(x)的最小值是4，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】[e＋4，＋∞)【解析】解法1在x≥1時，f(x)min＝f(2)＝4.所以當(dāng)x<1時，a－ex≥4恒成立．轉(zhuǎn)化為a≥ex＋4對x<1恒成立．因為ex＋4在(－∞，1)上的值域為(4，e＋4)，所以a≥e＋4.解法2當(dāng)x<1時，f(x)＝a－ex>a－e，當(dāng)x≥1時，f(x)＝x＋eq\f(4,x)≥4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\f(4,x)，即x＝2時，取“＝”，故函數(shù)f(x)的值域是[e＋4，＋∞).eq\a\vs4\al(解后反思)解法1中，因為ex＋4在x<1上沒有最大值，所以要特別注意邊界值e＋4能否取到．變式1、(2017鎮(zhèn)江期末）已知函數(shù)y＝eq\f(2x＋1,2x＋1)與函數(shù)y＝eq\f(x＋1,x)的圖像共有k(k∈N*)個公共點(diǎn)：A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，…，Ak(xk，yk)，則(xi＋yi)＝________.【答案】2【解析】思路分析函數(shù)y＝eq\f(2x＋1,2x＋1)可變形為y＝2－eq\f(2,2x＋1)，則函數(shù)y＝eq\f(2x＋1,2x＋1)在R上單調(diào)遞增，也可變形為y＝eq\f(2x－1,2x＋1)＋1，則函數(shù)y＝eq\f(2x＋1,2x＋1)圖像關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱；函數(shù)y＝eq\f(x＋1,x)圖像也關(guān)于點(diǎn)(0,1)對稱，在(－∞，0)和(0，＋∞)上都是減函數(shù)．如圖，函數(shù)y＝eq\f(2x＋1,2x＋1)與函數(shù)y＝eq\f(x＋1,x)的圖像都關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對稱，所以它們的交點(diǎn)也關(guān)于點(diǎn)(0,1)成中心對稱，且只有兩個交點(diǎn)，所以i＝0，i＝2，則(xi＋yi)＝2.變式2、(2017鎮(zhèn)江期末）不等式logax－ln2x＜4(a＞0且a≠1)對任意x∈(1,100)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．【答案】(0,1)∪(eeq\f(1,4)，＋∞)【解析】：思路分析不等式恒成立問題常用方法是參變量分離，為了實(shí)現(xiàn)參變量分離，本題需要把logax化成eq\f(lnx,lna).不等式logax－ln2x＜4可化為eq\f(lnx,lna)－ln2x＜4，即eq\f(1,lna)＜eq\f(4,lnx)＋lnx對任意x∈(1,100)恒成立．因為x∈(1,100)，所以lnx∈(0,2ln10)，eq\f(4,lnx)＋lnx≥4，故eq\f(1,lna)＜4，解得lna＜0或lna＞eq\f(1,4)，即0＜a＜1或a＞eeq\f(1,4).1、(2017南京、鹽城二模）函數(shù)f(x)＝lneq\f(1,1－x)的定義域為________．【答案】(－∞，1)【解析】由eq\f(1,1－x)＞0，得1－x＞0，即x＜1.易錯警示定義域應(yīng)該寫成集合(或區(qū)間)形式，區(qū)間是某些集合的縮寫．2、(2017蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）函數(shù)f(x)＝的定義域為________．【答案】eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))∪(1，＋∞)【解析】：由題意可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－3＞0，,ln4x－3≠0，))解得x＞eq\f(3,4)且x≠1，故所求函數(shù)的定義域為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1))∪(1，＋∞)．3、(2019南京、鹽城一模）已知y＝f(x)為定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x>0時，f(x)＝ex＋1，則f(－ln2)的值為________．【答案】－3【解析】因為f(x)為奇函數(shù)，所以f(－ln2)＝－f(ln2)＝－(eln2＋1)＝－(2＋1)＝－3.4、(2017南京學(xué)情調(diào)研）已知f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，且f(x)＋g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x.若存在x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，使得等式af(x0)＋g(2x0)＝0成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．【答案】eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(5\r(2),2)))【解析】思路分析由于所給出的是一個函數(shù)方程，因此，根據(jù)函數(shù)的奇偶性，可以得到另外一個函數(shù)方程，從而可求出f(x)，g(x)的解析式，通過將等式af(x0)＋g(2x0)＝0中的a分離出來，轉(zhuǎn)化為求分離之后的函數(shù)的值域問題．因為f(x)＋g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))x，所以f(－x)＋g(－x)＝2x.又因為f(x)，g(x)分別為奇函數(shù)、偶函數(shù)，所以－f(x)＋g(x)＝2x，由此解得f(x)＝eq\f(2－x－2x,2)，g(x)＝eq\f(2x＋2－x,2)，從而等式af(x0)＋g(2x0)＝0等價于a(2－x0－2x0)＋(22x0＋2－2x0)＝0.因為x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，所以t＝2x0－2－x0∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(3,2)))，故a＝－eq\f(22x0＋2－2x0,2－x0－2x0)＝eq\f(t2＋2,t)＝t＋eq\f(2,t)在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\r(2)))上單調(diào)遞減，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\r(2)，\f(3,2)))上單調(diào)遞增，故t＋eq\f(2,t)∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(5\r(2),2)))，即a∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\r(2)，\f(5\r(2),2))).解后反思已知方程有解求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)的范圍；(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；(3)數(shù)形