《概率論》第3章§5兩個隨機變量的函數(shù)的分布

實際背景冷冗余系統(tǒng)：設有兩個部件

、

其工作壽命分別為部件

壞了,換上備用部件

繼續(xù)工作熱冗余系統(tǒng)：部件

、并聯(lián)同時工作,僅當兩個部件都損壞時，整個系統(tǒng)才失效串聯(lián)系統(tǒng)：部件

、串聯(lián)同時工作,只要有一個部件損壞，整個系統(tǒng)就失效問題怎樣確定上述各系統(tǒng)的壽命

？系統(tǒng)壽命X+Y系統(tǒng)壽命XYmax{,}系統(tǒng)壽命XYmin{,}離散型隨機變量函數(shù)的分布例

5/24/2023概率解等價于5/24/2023概率5/24/20235/24/2023結(jié)論5/24/2023設X1與X2相互獨立，分別服從b(n1,p)和b(n1,p)，求Y=X1+X2的分布.解依題知X+Y的可能取值為0,1,2,...,n1+n2,由與獨立性有由得所以Y=X1+X2服從二項分布b(n1+n2,p)二項分布的可加性5/24/2023X~π(1),Y~π(2),則Z=X+Y

的可能取值為0,1,2,,泊松分布的可加性5/24/2023問題question怎樣求若的分布？一般地設是一個二元函數(shù)怎樣求的分布？思路：設,則的分布函數(shù)為(一)的分布ZXY=+若相互獨立,則的密度函數(shù)為稱為卷積公式,記為由獨立性及卷積公式有解例設

相互獨立,且求

的分布密度.令則獨立正態(tài)r.v和的一般結(jié)果設

相互獨立,且一般地，若相互獨立,且則對于不全為零的常數(shù)有獨立正態(tài)r.v的非零線性組合仍服從正態(tài)分布例

已知(X,Y)~Z=X+Y,求fZ(z)解法一分布函數(shù)法解法二圖形定限法解法三不等式組法5/24/2023解法一（分布函數(shù)法）

x+y=z當z<0時，1yx15/24/2023當0z<1時，yx11x+y=z?z?z5/24/2023x+y=z當1

z<2時，z-11yx1?z?z5/24/20231yx1x+y=z22當2

z時，5/24/2023解法二（圖形定限法）顯然X,Y相互獨立,且5/24/2023z1z=xz-1=xx215/24/2023解法三（不等式組法）顯然X,Y相互獨立,且5/24/2023x210z-1zz-1zz-1zz-1z5/24/2023例已知(X,Y)的聯(lián)合密度為Z=X+Y,求fZ(z)解法一（圖形定限法）5/24/2023zxz=xz=2xx=112當z<0或z>2,zzzz當0≤z<1,當1≤z<2,fZ

(z)=05/24/20235/24/2023解法二（不等式組法）考慮被積函數(shù)取非零值的區(qū)域令不等式邊邊相等,解得z軸上的三個分界點0,1,2當或時不等式組無解當時不等式組解為當時不等式組解為5/24/20235/24/2023解法三（積分換元法）令5/24/20232uzz=2uz=u+1z=u115/24/2023z=2u2uzz=u+15/24/2023求串聯(lián)后的總電阻的概率密度.解例某電氣設備中的兩個部件存在接觸電阻兩個部件的工作狀態(tài)是相互獨立的,概率密度均為其它由卷積公式有被積函數(shù)的非零區(qū)域是其它其它其它解例設

相互獨立且都服從參數(shù)為的指數(shù)分布,的概率密度.求由卷積公式有的密度函數(shù)為實際背景冷冗余系統(tǒng)的系統(tǒng)壽命的密度函數(shù)XEXP()~θ研究問題question相互獨立且都服從參數(shù)為的指數(shù)分布設的分布密度.求提示：,則記設法導出遞推公式，然后用歸納法證明連續(xù)型隨機變量商的分布5/24/2023同理可得故有5/24/2023當X,Y獨立時,由此可得分布密度為5/24/2023例

設二維隨機變量(X，Y)的密度函數(shù)為試求隨機變量Z=X/Y的密度函數(shù).解由公式5/24/20235/24/2023解例設

獨立同分布,其密度函數(shù)為的概率密度.求時當?shù)姆植己瘮?shù)為思考題在本例條件下,證明相互獨立(瑞利Rayleigh分布)解例設

相互獨立同服從正態(tài)分布求的概率密度.時當?shù)姆植己瘮?shù)為

設,且相互獨立(二)的分布XYmax(,),min(,)XY①,則設相互獨立且則②特別當獨立同分布于時有③設獨立同分布,具有密度怎樣求question問題的密度？分析體育館的大屏幕由信號處理機和顯示屏構成，例它們的壽命分別為

若它們的概率密度分別為其中試求大屏幕系統(tǒng)的壽命

的概率密度.分析信號處理機和顯示屏構成串聯(lián)系統(tǒng),故整個系統(tǒng)的壽命為密度函數(shù)也是一種指數(shù)分布,其中參數(shù)稱為失效率,而表示平均壽命.解大屏幕系統(tǒng)壽命,由獨立性有的失效率之和其失效率是每個部件可見指數(shù)分布的串聯(lián)例

5/24/2023解5/24/20235/24/20235/24/20235/24/20235/24/2023小結(jié)多維隨