自動(dòng)控制第九章

自動(dòng)控制第九章課件第一頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日經(jīng)典控制理論a.特點(diǎn)研究對(duì)象：?jiǎn)屋斎?、單輸出線性定常系統(tǒng)。解決方法：頻率法、根軌跡法、傳遞函數(shù)。非線性系統(tǒng)：相平面法和描述函數(shù)法。數(shù)學(xué)工具：常微分方程、差分方程、拉氏變換、Z變換。b.局限性不能應(yīng)用于時(shí)變系統(tǒng)、多變量系統(tǒng)。不能揭示系統(tǒng)更為深刻的內(nèi)部特性。第二頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日現(xiàn)代控制理論a.特點(diǎn)研究對(duì)象：多輸入、多輸出系統(tǒng)，線性、非線性、定常或時(shí)變、連續(xù)或離散系統(tǒng)。解決方法：狀態(tài)空間法（時(shí)域方法）。數(shù)學(xué)工具：線性代數(shù)、微分方程組、矩陣?yán)碚?。b.主要標(biāo)志1958年，R.E.Kalman采用狀態(tài)空間法分析系統(tǒng)，提出能控性、能觀測(cè)性、Kalman濾波理論1961年，龐特里亞金極大值原理。1965年，R.Bellman提出了最優(yōu)控制的動(dòng)態(tài)規(guī)劃方法。第三頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日現(xiàn)代控制理論以狀態(tài)空間為基礎(chǔ)，解決多輸入—多輸出、參變量、非線性、高精度、高性能等控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)問題。最優(yōu)控制、最佳濾波、系統(tǒng)辯識(shí)、自適應(yīng)控制等都是這一領(lǐng)域的課題。在現(xiàn)代控制理論的發(fā)展中，線性系統(tǒng)理論首先得到研究和發(fā)展，已形成較為完整成熟的理論?，F(xiàn)代控制理論中的線性系統(tǒng)理論運(yùn)用狀態(tài)空間分析方法描述輸入－狀態(tài)—輸出諸變量之間的因果關(guān)系，不但反映了系統(tǒng)輸入—輸出的外部特性，而且揭示了系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)特征，是一種既適用于單輸入—單輸出系統(tǒng)又適用于多輸入—多輸出系統(tǒng)，既可用于線性定常系統(tǒng)又可用于線性時(shí)變系統(tǒng)的有效分析和設(shè)計(jì)。第四頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日一、系統(tǒng)數(shù)學(xué)描述的兩種基本類型我們研究的系統(tǒng)假定具有若干輸入端和輸出端如圖示。

系統(tǒng)的外部變量：輸入向量輸出向量系統(tǒng)的內(nèi)部變量：系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述是反映系統(tǒng)變量間因果關(guān)系和變換關(guān)系的一種數(shù)學(xué)模型。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述通常有兩種基本形式。9-1線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述第五頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日1.系統(tǒng)的外部描述其外部數(shù)學(xué)描述是：n階微分方程及對(duì)應(yīng)的傳遞函數(shù)。

微分方程：

傳遞函數(shù)：2.系統(tǒng)的內(nèi)部描述系統(tǒng)的內(nèi)部描述即狀態(tài)空間描述，通常有兩個(gè)數(shù)學(xué)方程組成。

第六頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日二、狀態(tài)空間描述的幾個(gè)基本概念1．狀態(tài)所謂狀態(tài)，是指系統(tǒng)過去、現(xiàn)在和將來的狀況，是系統(tǒng)信息的集合。2．狀態(tài)變量

狀態(tài)變量是指能確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的最少數(shù)目的一組變量。3．狀態(tài)向量

將狀態(tài)變量視作向量的分量，即稱為狀態(tài)向量

4．狀態(tài)空間

以n個(gè)狀態(tài)變量作為坐標(biāo)軸所組成的n維空間。第七頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日5．狀態(tài)方程由系統(tǒng)的狀態(tài)變量構(gòu)成的一階微分方程組，稱為狀態(tài)方程。6．輸出方程在指定系統(tǒng)輸出的情況下，輸出與狀態(tài)變量間的函數(shù)關(guān)系式。7．狀態(tài)空間表達(dá)式(動(dòng)態(tài)方程)狀態(tài)方程與輸出方程的組合，又稱為動(dòng)態(tài)方程。線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式的一般形式為：第八頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日

為n維向量，為p維向量，為q維向量，A為n×n矩陣，B為n×p矩陣，C為q×n矩陣，D為q×p矩陣。由于A，B，C，D矩陣完整地表征了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，因此有時(shí)把一個(gè)確定的系統(tǒng)簡(jiǎn)稱為（A，B，C，D）。第九頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日三、線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立建立狀態(tài)空間表達(dá)式的方法主要有兩種：一是直接根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)理建立相應(yīng)的微分方程，然后選擇有關(guān)的物理量作為狀態(tài)變量，從而導(dǎo)出狀態(tài)空間表達(dá)式；二是由已知的系統(tǒng)其它數(shù)學(xué)模型經(jīng)過轉(zhuǎn)化而得到狀態(tài)空間表達(dá)式。

1．根據(jù)系統(tǒng)機(jī)理建立狀態(tài)空間表達(dá)式

以i(t)作為中間變量，列寫該回路的微分方程第十頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日(1)設(shè)狀態(tài)變量則狀態(tài)方程為：輸出方程為：寫成矩陣—向量的形式為：簡(jiǎn)記為：

第十一頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日(2)設(shè)狀態(tài)變量，寫成矩陣—向量的形式為：第十二頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例建立右圖所示機(jī)械系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式（注：質(zhì)量塊m的重量已經(jīng)和彈簧k的初始拉伸相抵消）根據(jù)牛頓第二定律即：選擇狀態(tài)變量則：第十三頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下第十四頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日2．由系統(tǒng)微分方程建立狀態(tài)空間表達(dá)式系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型為輸入—輸出之間的高階微分方程，其一般形式為：系統(tǒng)的時(shí)域數(shù)學(xué)模型為狀態(tài)空間表達(dá)式，其形式為：如何由系統(tǒng)的高階微分方程建立(轉(zhuǎn)化為)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式，關(guān)鍵問題是選擇系統(tǒng)的狀態(tài)變量。(1)系統(tǒng)輸入量中不含導(dǎo)數(shù)項(xiàng)

選取n個(gè)狀態(tài)變量：

第十五頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日狀態(tài)方程：輸出方程：其向量矩陣形式為：

第十六頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例設(shè)系統(tǒng)方程為求狀態(tài)空間表達(dá)式。解設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為輸出方程為其向量矩陣形式為：

第十七頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日首先考察三階系統(tǒng)，其微分方程為選擇狀態(tài)變量：其中，待定系數(shù)為：2）微分方程中含有輸入信號(hào)導(dǎo)數(shù)項(xiàng)第十八頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日于是寫成矩陣形式第十九頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日系統(tǒng)的狀態(tài)圖第二十頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日系統(tǒng)的微分方程為：選擇下列n個(gè)狀態(tài)變量：原則：使?fàn)顟B(tài)方程不含u的導(dǎo)數(shù)。第二十一頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日系統(tǒng)的的狀態(tài)方程為

輸出方程為第二十二頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日3．由系統(tǒng)傳遞函數(shù)建立狀態(tài)空間表達(dá)式設(shè)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為

應(yīng)用綜合除法有

(1)串聯(lián)分解的情況第二十三頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

輸出方程為

其對(duì)應(yīng)的微分方程為：選擇一組狀態(tài)變量為：

第二十四頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日動(dòng)態(tài)方程寫成向量—矩陣形式為：A和B具有以上形狀時(shí)，A陣稱為友矩陣，相應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程稱為可控標(biāo)準(zhǔn)型。

第二十五頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日第二十六頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日當(dāng)時(shí)，A，B，C均不變，若我們選擇另一組狀態(tài)變量時(shí)，會(huì)得到系統(tǒng)的請(qǐng)注意A，C矩陣的形狀特征，對(duì)應(yīng)的動(dòng)態(tài)方程稱為可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型?？煽貥?biāo)準(zhǔn)型與可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型之間存在對(duì)偶關(guān)系：

第二十七頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日(2)只含單實(shí)極點(diǎn)時(shí)的情況傳遞函數(shù)可展成部分分式之和：若令狀態(tài)變量其反變換結(jié)果為

第二十八頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日展開得

向量-矩陣形式為：第二十九頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日第三十頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日若令狀態(tài)變量滿足進(jìn)行反變換并展開有其向量-矩陣形式為第三十一頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日第三十二頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，試求對(duì)角型狀態(tài)空間表式。解狀態(tài)空間表達(dá)式為：第三十三頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日(3)含重實(shí)極點(diǎn)時(shí)的情況

設(shè)D(s)可分解為傳遞函數(shù)可展成為下列部分分式之和

式中的計(jì)算公式（r重極點(diǎn)）：

狀態(tài)變量的選取方法與之含單實(shí)極點(diǎn)時(shí)相同，可得出向量-矩陣形式的動(dòng)態(tài)方程。

第三十四頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日動(dòng)態(tài)方程：或者

第三十五頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日四、線性定常系統(tǒng)的線性變換

對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性變換，便于揭示系統(tǒng)特性及分析和綜合設(shè)計(jì)，且不會(huì)改變系統(tǒng)的性質(zhì)。1.系統(tǒng)的特征值及其不變性選擇不同的狀態(tài)變量便有不同形式的動(dòng)態(tài)方程，若兩組狀態(tài)變量之間用一個(gè)非奇異矩陣聯(lián)系著，則兩組動(dòng)態(tài)方程的矩陣與該非奇異矩陣有確定的關(guān)系。(1)等價(jià)系統(tǒng)方程

設(shè)線性定常系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為令，P為非奇異線性變換矩陣，則：第三十六頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日經(jīng)過線性變換后系統(tǒng)的狀態(tài)方程式為：同一系統(tǒng)選取不同的狀態(tài)變量便有不同形式的動(dòng)態(tài)方程，對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性變換的目的是使矩陣規(guī)范化，以便揭示系統(tǒng)特性及分析計(jì)算。對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行線性變換后并不會(huì)改變系統(tǒng)原有的性質(zhì)，故有等價(jià)變換之稱。

第三十七頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日在進(jìn)行狀態(tài)空間的線性變換中，需要計(jì)算矩陣的逆，簡(jiǎn)要復(fù)習(xí)一下逆矩陣的計(jì)算。常用的逆矩陣計(jì)算方法有計(jì)算伴隨矩陣法。

計(jì)算式：

P-1=adj(P)/|P|其中adj(P)和|P|分別為矩陣P的伴隨矩陣和行列式。

伴隨矩陣的定義與計(jì)算如下：設(shè)有矩陣P為第三十八頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日則其伴隨矩陣為：其中為矩陣P的元素的代數(shù)余子式。代數(shù)余子式為nn矩陣P去掉第i行第j列余下的n-1行n-1列的行列式值乘以符號(hào)。第三十九頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例計(jì)算下述矩陣的逆矩陣。解(1)先計(jì)算代數(shù)余子式第四十頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日(2)計(jì)算伴隨矩陣(3)計(jì)算行列式值(4)計(jì)算逆矩陣第四十一頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為線性變換矩陣為求線性變換后系統(tǒng)的狀態(tài)方程。解第四十二頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日(2)系統(tǒng)的特征值系統(tǒng)的特征值就是系統(tǒng)矩陣A的特征值。n×n維系統(tǒng)矩陣A的特征值是下列特征方程的根：例求系統(tǒng)系數(shù)矩陣的特征值。解

第四十三頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日(3)特征值的性質(zhì)

①A為n×n方陣時(shí)，它的特征方程是

的n次代數(shù)方程，有且僅有n個(gè)特征值。②物理上存在的系統(tǒng)，A為實(shí)常數(shù)矩陣時(shí)，其特征值或?yàn)閷?shí)數(shù)，或?yàn)楣曹棌?fù)數(shù)對(duì)。③同一系統(tǒng)進(jìn)行非奇異線性變換后，其特征值不變。證明如下：為證明線性變換下特性值的不變性，需證明和的特征多項(xiàng)式相同。注意：乘積的行列式等于各行列式的乘積第四十四頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日注意到行列式和的乘積等于乘積的行列式，從而這就證明了在線性變換下矩陣A的特征值是不變的。④若A有互異的特征值且向量滿足下列方程式：則稱為特征值相對(duì)應(yīng)的A的特征向量。第四十五頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日2.將狀態(tài)方程化為對(duì)角線規(guī)范型(1)矩陣A具有任意形式當(dāng)矩陣A為任意形式的方陣，且有n個(gè)互異實(shí)數(shù)特征值，則由非奇異變換可將其化為對(duì)角陣變換矩陣為其中為矩陣A對(duì)應(yīng)于特征值的特征向量。第四十六頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例將矩陣化為對(duì)角形。解矩陣A的特征方程為特征值設(shè)對(duì)應(yīng)于的特征向量，則有展開得到第四十七頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日故得選取，則，于是同理可以算出對(duì)應(yīng)于時(shí)的特征向量故變換后的矩陣A為第四十八頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日(2)矩陣A為友矩陣A陣為友矩陣，且有互異實(shí)數(shù)特征根。則用范德蒙特矩陣P可以將A對(duì)角化。

范德蒙特矩陣第四十九頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例試將下列狀態(tài)空間模型變換為對(duì)角線規(guī)范形解

1.先求A的特征值。由特征方程可求得特征值為2.變換矩陣P及其逆陣P-1分別為第五十頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日3.計(jì)算各矩陣4.系統(tǒng)在新的狀態(tài)變量下的狀態(tài)空間模型為第五十一頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日(3)矩陣A為任意形式的方陣，若矩陣A具有m重實(shí)數(shù)特征值，其余為(n-m)個(gè)互異實(shí)數(shù)特征值，但在求解重特征值對(duì)應(yīng)的時(shí)，仍有m個(gè)獨(dú)立特征向量，即每個(gè)重特征值對(duì)應(yīng)的獨(dú)立特征向量數(shù)恰好等于重特征值的重?cái)?shù)。這時(shí)就同沒有重特征值的情況一樣，仍可將矩陣A化為對(duì)角陣。如何檢驗(yàn)n×n型矩陣A存在m重特征值時(shí)，有沒有m個(gè)獨(dú)立的特征向量?由矩陣?yán)碚撝?，重特征值?duì)應(yīng)的矩陣中，只有(n-m)個(gè)獨(dú)立方程時(shí)，m重特征值對(duì)應(yīng)有m個(gè)獨(dú)立特征向量。第五十二頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例已知系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述為求系統(tǒng)的特征值，特征向量以及對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型。解系統(tǒng)的特征值設(shè)對(duì)應(yīng)的特征向量為第五十三頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日

設(shè)對(duì)應(yīng)重特征值的特征向量為可見對(duì)應(yīng)，只有(n-m)=(3-2)=1個(gè)獨(dú)立方程，所以有兩個(gè)獨(dú)立的特征向量。令，則同理令，則

第五十四頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日所以對(duì)應(yīng)的兩個(gè)獨(dú)立特征向量為變換后第五十五頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日于是變換后為對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)型3.將狀態(tài)方程化為約當(dāng)規(guī)范型(1)矩陣A具有任意形式當(dāng)矩陣A為任意形式的方陣，具有m重實(shí)特征值，其余為(n-m)個(gè)互異實(shí)特征值，但在求解時(shí)，只有一個(gè)獨(dú)立實(shí)特征向量，則只能使A化為約當(dāng)陣J。第五十六頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形為變換矩陣式中是互異特征根對(duì)應(yīng)的實(shí)特征向量，算法同上。是廣義特征向量。m行n-m行約當(dāng)塊第五十七頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日廣義特征向量滿足或可寫成第五十八頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。解令對(duì)應(yīng)的特征向量為，則第五十九頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日令對(duì)應(yīng)的廣義特征向量為，由，即對(duì)于對(duì)應(yīng)的特征向量，有第六十頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日第六十一頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日(2)矩陣A為友矩陣設(shè)A陣為友矩陣，具有m重實(shí)特征值，其余為(n-m)個(gè)互異實(shí)特征值，但重根只有一個(gè)獨(dú)立的特征向量，則能使A化為約當(dāng)陣J。變換矩陣為第六十二頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例化為約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型。解第六十三頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日五、線性定常連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程的解建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)描述之后，接著而來的是對(duì)系統(tǒng)作定量和定性的分析。定量分析主要包括研究系統(tǒng)對(duì)給定輸入信號(hào)的響應(yīng)問題，也就是對(duì)描述系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程的求解問題。定性分析主要包括研究系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)性質(zhì)，如能控性、能觀測(cè)性、穩(wěn)定性等。這里主要是討論用狀態(tài)空間模型描述的線性系統(tǒng)的定量分析問題，即狀態(tài)空間模型—狀態(tài)方程和輸出方程的求解問題。第六十四頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日1．齊次狀態(tài)方程的解在沒有控制作用下，線性定常系統(tǒng)由初始條件引起的運(yùn)動(dòng)稱為線性定常系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)。齊次狀態(tài)方程(齊次向量微分方程)為齊次狀態(tài)方程通常采用冪級(jí)數(shù)法和拉普拉斯變換法求解。(1)冪級(jí)數(shù)法設(shè)齊次狀態(tài)方程的解是t的向量?jī)缂?jí)數(shù)，即第六十五頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日式中，都是n維向量，且。將上式代入方程得到令上式等號(hào)兩端的同冪項(xiàng)系數(shù)相等定義則第六十六頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例設(shè)某控制系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

試用冪級(jí)數(shù)法求解該方程。解第六十七頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日(2)拉普拉斯變換法將式取拉氏變換，有

給出了的閉合形式。

第六十八頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為試用拉氏變換法求解。解

狀態(tài)方程的解為：

第六十九頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日2．狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的運(yùn)算性質(zhì)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣具有如下運(yùn)算性質(zhì)：(1)

(2)(3)(4)(5)第七十頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日(6)(7)(8)(9)引入非奇異變換后，(10)兩種常見的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第七十一頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例設(shè)A為2×2的常數(shù)矩陣，對(duì)于系統(tǒng)的狀態(tài)方程試求:(1)系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；

(2)系統(tǒng)矩陣A。解(1)系統(tǒng)齊次方程解為

，因此應(yīng)有

第七十二頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日解方程組得(2)對(duì)兩邊求導(dǎo)，可得到第七十三頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日3.非齊次狀態(tài)方程的解非齊次狀態(tài)方程當(dāng)初始條件為的解為當(dāng)初始條件為的解為

采用積分法證明：兩端同左乘

第七十四頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例設(shè)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)方程為，式中a，b，c均為實(shí)數(shù)，試求：(1)求系統(tǒng)對(duì)角型動(dòng)態(tài)方程；(2)求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣；(3)當(dāng)輸入函數(shù)u(t)=1(t)時(shí)，求系統(tǒng)狀態(tài)方程的解。解

(1)求系統(tǒng)對(duì)角型動(dòng)態(tài)方程

(2)求系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣第七十五頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日(3)當(dāng)輸入函數(shù)u(t)=1(t)時(shí)，求系統(tǒng)狀態(tài)方程的解第七十六頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日六、傳遞函數(shù)矩陣1．定義初始條件為零時(shí)，輸出向量的拉氏變換式與輸入向量的拉氏變換式之間的傳遞關(guān)系稱為傳遞函數(shù)矩陣，簡(jiǎn)稱傳遞矩陣。2．表達(dá)式

設(shè)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為令初始條件為零，求拉氏變換式則系統(tǒng)傳遞矩陣表達(dá)式為：

第七十七頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日其展開式

其中表示第i個(gè)輸出對(duì)第j個(gè)輸入之間的傳遞函數(shù)。系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式不具有唯一性，選擇不同的狀態(tài)變量，便會(huì)有不同的狀態(tài)空間表達(dá)式，但傳遞函數(shù)矩陣是不變的。

第七十八頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例線性定常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為求系統(tǒng)的傳遞函數(shù)矩陣。解第七十九頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日七、線性離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的建立及其解1．由脈沖傳遞函數(shù)建立動(dòng)態(tài)方程單輸入-單輸出線性定常離散系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的一般形式為上式與連續(xù)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)在形式上相同，故連續(xù)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程的建立方法可用于離散系統(tǒng)。

第八十頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日采用串聯(lián)分解，可以得到動(dòng)態(tài)方程為簡(jiǎn)記為離散系統(tǒng)狀態(tài)方程描述了(k+1)T時(shí)刻的狀態(tài)與kT時(shí)刻的狀態(tài)及輸入之間的關(guān)系；其輸出方程描述了kT時(shí)刻的輸出量與kT時(shí)刻的狀態(tài)及輸入量之間的關(guān)系。第八十一頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日2．線性定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化

無論是采用數(shù)字控制裝置對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)作實(shí)時(shí)控制，還是采用數(shù)字計(jì)算機(jī)分析連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)行為，都會(huì)遇到把連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)化為等價(jià)離散時(shí)間系統(tǒng)的問題。這類問題為連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)間離散化。線性連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)狀態(tài)方程離散化的實(shí)質(zhì)是將矩陣微分方程化為矩陣差分方程，它是描述多輸入多輸出離散時(shí)間系統(tǒng)的一種方便的數(shù)學(xué)模型。

第八十二頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日

所謂連續(xù)線性系統(tǒng)的時(shí)間離散化問題，就是基于一定的采樣方式和保持方式，由系統(tǒng)的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間描述導(dǎo)出相應(yīng)的離散時(shí)間狀態(tài)空間描述，并對(duì)兩者的系數(shù)矩陣建立對(duì)應(yīng)的關(guān)系式。線性定常連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為第八十三頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日令，則令，則若記

引入新的變量置換積分下限積分上限上式可化簡(jiǎn)為

第八十四頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日離散化的狀態(tài)方程為離散化的輸出方程為式中與連續(xù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的關(guān)系為例試將狀態(tài)方程離散化解第八十五頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日3．線性離散動(dòng)態(tài)方程的解求解離散系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的方法主要有z變換法和遞推法，前者只適用于線性定常系統(tǒng)，而后者對(duì)非線性系統(tǒng)、時(shí)變系統(tǒng)都適用，且特別適合計(jì)算機(jī)計(jì)算。下面用遞推法求解系統(tǒng)響應(yīng)。離散系統(tǒng)狀態(tài)方程為令上式中的可以得到時(shí)刻的狀態(tài)，即第八十六頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日對(duì)方程系統(tǒng)解為

第八十七頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日可控性和可觀測(cè)性概念，是卡爾曼于20世紀(jì)60年代首先提出的，是用狀態(tài)空間描述系統(tǒng)引伸出來的新概念，在現(xiàn)代控制理論中起著重要的作用。它不僅是研究線性系統(tǒng)控制問題必不可少的重要概念，而且對(duì)于許多最優(yōu)控制、最優(yōu)估計(jì)和自適應(yīng)控制問題，也是常用到的概念之一?？煽匦?、可觀測(cè)性與穩(wěn)定性是現(xiàn)代控制系統(tǒng)的三大基本特性?？煽匦裕簎(t)x(t)可觀測(cè)性：y(t)x(t)

9-2線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性第八十八頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述

解展開

系統(tǒng)可控、不可觀測(cè)例橋式電路解取i和作為狀態(tài)變量,u—輸入,—輸出。

u只能控制i。

系統(tǒng)不可控，不可觀測(cè)

第八十九頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日一、可控性定義線性連續(xù)系統(tǒng)的可控性的定義為：若存在一個(gè)無約束的控制向量u(t)，能在有限時(shí)間間隔內(nèi)，將系統(tǒng)任意的初態(tài)狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意終端狀態(tài)，則稱該系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)是可控的或可控系統(tǒng)。二、可觀測(cè)性定義線性連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)性的定義為：已知輸入u(t)及有限時(shí)間間隔內(nèi)測(cè)量到的輸出y(t)，能唯一確定初始狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)可觀測(cè)。第九十頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日三、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可控性判據(jù)1．凱萊—哈密頓定理設(shè)n階矩陣A的特征多項(xiàng)式為

則A滿足其特征方程，即稱之為凱萊—哈密頓定理。推論1.矩陣A的k(k≥n)次冪，可表為A的(n-1)階多項(xiàng)式，即：推論2.矩陣指數(shù)可表為A的(n-1)階多項(xiàng)式，即：第九十一頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日2．狀態(tài)可控性判據(jù)的第一種形式（秩判據(jù)）設(shè)狀態(tài)方程為終態(tài)解為設(shè)初始時(shí)刻于是有

第九十二頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日記為系統(tǒng)可控性矩陣。根據(jù)解存在定理，矩陣S的秩為n時(shí)，方程組才有解。于是系統(tǒng)狀態(tài)可控的充分必要條件是

第九十三頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：

試判別其狀態(tài)的可控性。解

系統(tǒng)可控

第九十四頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為：試判別其狀態(tài)的可控性。解顯見S矩陣的第二、三行元素絕對(duì)值相同系統(tǒng)不可控。第九十五頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日3．狀態(tài)可控性判據(jù)的第二種形式當(dāng)系統(tǒng)矩陣A已化成對(duì)角陣或約當(dāng)陣時(shí)，由可控性矩陣能導(dǎo)出更簡(jiǎn)潔直觀的可控性判據(jù)。1)A陣為對(duì)角陣引例設(shè)二階系數(shù)A、b矩陣為其可控性矩陣的行列式為

時(shí)系統(tǒng)可控當(dāng)A有相異特征值時(shí)，應(yīng)存在意為A陣對(duì)角化且有相異元素時(shí)，只需根據(jù)輸入矩陣沒有全零行即可判斷系統(tǒng)可控。

第九十六頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日設(shè)n階系統(tǒng)狀態(tài)方程為A為對(duì)角陣時(shí)的可控性判據(jù)又可表為：A為對(duì)角陣且元素各異時(shí)，輸入矩陣B不存在全零行。當(dāng)A為對(duì)角陣且含有相同元素時(shí)，上述判據(jù)不適用，應(yīng)根據(jù)可控性矩陣的秩來判斷。第九十七頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日2)A陣為約當(dāng)陣又設(shè)二階系數(shù)A、b矩陣為可控性矩陣S的行列式為時(shí)系統(tǒng)可控，于是要求：即當(dāng)A陣約當(dāng)化且相同特征值分布在一個(gè)約當(dāng)塊時(shí)，只需根據(jù)輸入矩陣中與約當(dāng)塊最后一行所對(duì)應(yīng)的行不是全零行，即可判斷系統(tǒng)可控，與輸入矩陣中的其它行是否為零行是無關(guān)的。第九十八頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日設(shè)n階系統(tǒng)狀態(tài)方程為

A陣約當(dāng)化時(shí)的可控性判據(jù)又可表為：輸入矩陣中與約當(dāng)塊最后一行所對(duì)應(yīng)的行不是全零行（與約當(dāng)塊其它行所對(duì)應(yīng)的行允許是全零行）；輸入矩陣中與相異特征值所對(duì)應(yīng)的行不是全零行。當(dāng)A陣的相同特征值分布在兩個(gè)或更多個(gè)約當(dāng)塊時(shí)，以上判據(jù)不適用，也應(yīng)根據(jù)可控性矩陣的秩來判斷。第九十九頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例下列系統(tǒng)是可控的，試自行說明。

第一百頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例下列系統(tǒng)是不可控的，試自行說明。

第一百零一頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日4．可控標(biāo)準(zhǔn)型問題一個(gè)單輸入系統(tǒng)，如果其A、B陣具有如下標(biāo)準(zhǔn)形式則系統(tǒng)一定可控。

通過驗(yàn)證可控性矩陣的秩即可證明以上結(jié)論的正確性。

第一百零二頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日5．輸出可控性概念線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為連續(xù)系統(tǒng)的輸出可控性定義為：如果存在一個(gè)無約束的控制向量，在有限的時(shí)間間隔內(nèi)，使任意給定的初始輸出能夠轉(zhuǎn)移到任意最終輸出，那么稱這個(gè)系統(tǒng)是輸出完全可控的。系統(tǒng)輸出可控的充要條件為：當(dāng)且僅當(dāng)維輸出可控性矩陣的秩等于q時(shí)，系統(tǒng)為輸出可控的。第一百零三頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為試判別其狀態(tài)的可控性和輸出可控性。解

系統(tǒng)狀態(tài)不可控系統(tǒng)輸出可控第一百零四頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日四、線性定常連續(xù)系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù)1．狀態(tài)可觀測(cè)性判據(jù)的第一種形式（秩判據(jù)）設(shè)多輸入-多輸出連續(xù)系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程為其輸出向量為上式表明，在時(shí)間內(nèi)，根據(jù)觀測(cè)到的輸出量y(t)，唯一地確定系統(tǒng)狀態(tài)向量x(0)的充分和必要條件是x(0)的系數(shù)矩陣可逆。第一百零五頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日記為系統(tǒng)可觀測(cè)性矩陣

系統(tǒng)可觀測(cè)的充分必要條件是：或例設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程如下，判別系統(tǒng)的可觀測(cè)性。解系統(tǒng)是可觀測(cè)的

第一百零六頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程如下，試判別系統(tǒng)的可觀測(cè)性和可控性。解判別系統(tǒng)的可觀測(cè)性判別系統(tǒng)的可控性第一百零七頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日2．狀態(tài)可觀測(cè)性判據(jù)的第二種形式當(dāng)系統(tǒng)矩陣A已化成對(duì)角陣或約當(dāng)陣時(shí)，由可觀測(cè)性矩陣能導(dǎo)出更簡(jiǎn)捷直觀的可觀測(cè)性判據(jù)。(1)A為對(duì)角陣時(shí)的可觀測(cè)性判據(jù)引例設(shè)二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程中A、C分別為

時(shí)系統(tǒng)狀態(tài)可觀測(cè)，于是要求：當(dāng)對(duì)角陣有相異特征值時(shí)，應(yīng)存在，即只需根據(jù)輸出矩陣中沒有全零列便可判斷系統(tǒng)可觀測(cè)。

第一百零八頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日

以上判斷方法可推廣到A陣對(duì)角化n階系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為狀態(tài)變量間解耦，輸出解為A為對(duì)角陣時(shí)可觀測(cè)判據(jù)又可表為：A為對(duì)角陣且元素各異時(shí)，輸出矩陣C不存在全零列。

第一百零九頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日(2)A為約當(dāng)陣時(shí)的可觀測(cè)性判據(jù)引例設(shè)二階系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程中A、C分別為只要，系統(tǒng)便可觀測(cè)，與無關(guān)，即為A陣約當(dāng)化且相同特征值分布在一個(gè)約當(dāng)塊內(nèi)時(shí)，只需根據(jù)輸出矩陣中與約當(dāng)塊最前一列所對(duì)應(yīng)的列不是全零列，即可判斷系統(tǒng)可觀測(cè)，與輸出矩陣中的其它列是否為全零列無關(guān)。第一百一十頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日以上判斷方法可推廣到A陣對(duì)角化n階系統(tǒng)。設(shè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為可觀測(cè)判據(jù)又可表為：輸出矩陣中與約當(dāng)塊最前一列對(duì)應(yīng)的列不是全零列；輸出矩陣中與相異特征值所對(duì)應(yīng)的列不是全零列。

第一百一十一頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例下列系統(tǒng)可觀測(cè)例下列系統(tǒng)不可觀測(cè)第一百一十二頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日3．可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)型問題一個(gè)單輸入系統(tǒng)，如果其A、C陣具有如下標(biāo)準(zhǔn)形式則系統(tǒng)一定可觀測(cè)。通過驗(yàn)證可觀測(cè)矩陣的秩即可證明以上結(jié)論的正確性。第一百一十三頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日五、線性離散系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性1．線性離散定常系統(tǒng)的可控性判據(jù)線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)可控性定義為：在有限時(shí)間間隔內(nèi)，存在無約束的階梯控制序列能使系統(tǒng)從任意初態(tài)轉(zhuǎn)移至任意終態(tài)，則稱該系統(tǒng)狀態(tài)完全可控，簡(jiǎn)稱可控。線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)可控的充分必要條件是可控性矩陣滿秩，即。

第一百一十四頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日2．線性離散定常系統(tǒng)的可觀測(cè)性判據(jù)線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)可觀測(cè)定義為：已知輸入向量序列及有限采樣周期內(nèi)測(cè)量到的輸出向量序列，能唯一確定任意初始狀態(tài)向量，則稱系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的，簡(jiǎn)稱系統(tǒng)可觀測(cè)。線性定常離散系統(tǒng)狀態(tài)可觀測(cè)的充分必要條件是可觀測(cè)性矩陣滿秩，即

第一百一十五頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日六、可控性與可觀測(cè)性的對(duì)偶關(guān)系1.線性系統(tǒng)的對(duì)偶關(guān)系線性系統(tǒng)1、2如下：輸入r維，輸出m維，輸入m維，輸出r維，如果兩系統(tǒng)滿足如下關(guān)系：則稱兩系統(tǒng)是互為對(duì)偶的。第一百一十六頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日2.對(duì)偶原理設(shè)和是互為對(duì)偶的兩個(gè)系統(tǒng)，若是狀態(tài)完全可控的(或完全可觀的)，則是完全可觀的(完全可控的)。利用對(duì)偶原理，可以把對(duì)系統(tǒng)可控性分析轉(zhuǎn)化為對(duì)其對(duì)偶系統(tǒng)可觀測(cè)性的分析。從而溝通了控制問題和估計(jì)問題之間的關(guān)系。第一百一十七頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例這個(gè)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)方程為可控標(biāo)準(zhǔn)形，系統(tǒng)可控。其對(duì)偶系統(tǒng)

系統(tǒng)完全可觀測(cè)第一百一十八頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日穩(wěn)定性是控制系統(tǒng)的重要性能，也是系統(tǒng)能夠正常工作的首要條件?？刂葡到y(tǒng)在實(shí)際運(yùn)行過程中，總會(huì)受到外界和內(nèi)部一些因素的擾動(dòng)，例如負(fù)載和能源的波動(dòng)、系統(tǒng)參數(shù)的變化、環(huán)境條件的改變等。如果系統(tǒng)不穩(wěn)定，就會(huì)在任何微小的擾動(dòng)作用下偏離原來的平衡狀態(tài)，并隨時(shí)間的推移而發(fā)散。因此，如何分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性并提出保證系統(tǒng)穩(wěn)定的措施，是自動(dòng)控制理論的基本任務(wù)之一。9-3李雅普諾夫穩(wěn)定性分析第一百一十九頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日在經(jīng)典控制理論中給出的穩(wěn)定性的概念是：如果在擾動(dòng)作用下系統(tǒng)偏離了原來的平衡狀態(tài)，當(dāng)擾動(dòng)消失后，系統(tǒng)能夠以足夠的準(zhǔn)確度恢復(fù)到原來的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。否則，系統(tǒng)不穩(wěn)定。經(jīng)典控制理論判穩(wěn)方法：

勞斯判據(jù)、赫爾維茨判據(jù)、根軌跡法、奈奎斯特判據(jù)、對(duì)數(shù)頻率判據(jù)。適用范圍：?jiǎn)屋斎?單輸出線性定常系統(tǒng)。經(jīng)典控制理論的判穩(wěn)方法無法滿足以多變量、非線性、時(shí)變?yōu)樘卣鞯默F(xiàn)代控制系統(tǒng)對(duì)穩(wěn)定性分析的要求。在解決這類系統(tǒng)的穩(wěn)定性方面，最通用的方法還是基于李雅普諾夫第二法而得到的一些穩(wěn)定性的理論。第一百二十頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日

1892年，俄國學(xué)者李雅普諾夫建立了基于狀態(tài)空間描述的穩(wěn)定性概念。提出了依賴于線性系統(tǒng)微分方程的解來判斷穩(wěn)定性的第一方法(稱為間接法)和利用經(jīng)驗(yàn)和技巧來構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)藉以判斷穩(wěn)定性的第二方法(稱為直接法)。李雅普諾夫提出的穩(wěn)定性理論是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的更一般的理論，在現(xiàn)代控制系統(tǒng)的分析與設(shè)計(jì)中，得到了廣泛的應(yīng)用與發(fā)展。第一百二十一頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日穩(wěn)定性是系統(tǒng)的重要特性，是系統(tǒng)正常工作的必要條件。描述系統(tǒng)的穩(wěn)定性有兩種方法：

外部穩(wěn)定性：通過系統(tǒng)的輸入—輸出關(guān)系來描述系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

內(nèi)部穩(wěn)定性：通過零輸入下的狀態(tài)運(yùn)動(dòng)的響應(yīng)來描述系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（本章研究重點(diǎn)）第一百二十二頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日本章主要討論系統(tǒng)的內(nèi)部穩(wěn)定性（特別是著重介紹在穩(wěn)定性分析中最為重要和應(yīng)用最廣的李雅普諾夫方法），在研究運(yùn)動(dòng)的內(nèi)部穩(wěn)定性時(shí)，為體現(xiàn)出系統(tǒng)自身結(jié)構(gòu)的特點(diǎn)，常限于研究沒有外部輸入作用時(shí)的系統(tǒng)。也就是說內(nèi)部穩(wěn)定性表現(xiàn)為系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)，即在輸入恒為零時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)演變的趨勢(shì)。

李雅普諾夫穩(wěn)定性理論是確定系統(tǒng)穩(wěn)定性的更一般性理論，不僅適用于線性定常系統(tǒng)，而且適用于非線性、時(shí)變系統(tǒng)。

從工程上來看，系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性是指，在系統(tǒng)的工作過程中，如果受到長時(shí)間起作用的初始擾動(dòng)時(shí)，經(jīng)過“足夠長”的時(shí)間以后，系統(tǒng)恢復(fù)到平衡狀態(tài)的能力。第一百二十三頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日李雅普諾夫第一法（間接法）：利用線性系統(tǒng)微分方程的解來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。由于間接法需要解系統(tǒng)微分方程，并非易事，所以間接法的應(yīng)用受到了很大的限制。李雅普諾夫第二法（直接法）：先利用經(jīng)驗(yàn)和技巧來構(gòu)造李亞普諾夫函數(shù)，再利用李雅普諾夫函數(shù)來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性。直接法不需解系統(tǒng)微分方程，給判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性帶來極大方便，獲得廣泛應(yīng)用。第一百二十四頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日一、李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性設(shè)非線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

設(shè)在給定初始條件下，上式有唯一解當(dāng)時(shí)，1.平衡狀態(tài)及其穩(wěn)定性李雅普諾夫關(guān)于穩(wěn)定性的研究均針對(duì)平衡狀態(tài)而言。由描述的系統(tǒng)中，對(duì)所有t總存在則稱為系統(tǒng)的平衡狀態(tài)或平衡點(diǎn)。

若已知狀態(tài)方程，令，所求得的解X便是平衡狀態(tài)。第一百二十五頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例系統(tǒng)方程為：令

可以推出：對(duì)于任意孤立的平衡狀態(tài)總可以經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換，把它變換到狀態(tài)空間的原點(diǎn)，因此常用的連續(xù)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)表達(dá)式為：第一百二十六頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日2．李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性主要研究平衡狀態(tài)位于狀態(tài)空間原點(diǎn)（即零狀態(tài)）的穩(wěn)定性問題。應(yīng)用范數(shù)表示以平衡狀態(tài)為圓心，以R為半徑的球域時(shí)，可以寫成。稱之為歐幾里德范數(shù)(歐氏范數(shù))。它等于：它代表向量的長度，即表示狀態(tài)空間中

點(diǎn)至點(diǎn)之間的距離的尺度。例如：

第一百二十七頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日以向量的范數(shù)大小說明系統(tǒng)穩(wěn)定性的含義。設(shè)對(duì)應(yīng)于系統(tǒng)的初始條件可以畫出一個(gè)球域，即系統(tǒng)的初始狀態(tài)位于以平衡狀態(tài)為球心，半徑為δ的閉球域內(nèi)，它的范數(shù)為：若能使系統(tǒng)方程的解在的過程中，都位于以為球心，任意規(guī)定的半徑的閉球域內(nèi)，即則稱該是穩(wěn)定的，通常稱為李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性。只要δ與無關(guān)，這種平衡狀態(tài)稱為一致穩(wěn)定的平衡狀態(tài)。第一百二十八頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日第一百二十九頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日3．漸近穩(wěn)定性若平衡狀態(tài)是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定，并且從球域出發(fā)的運(yùn)動(dòng)軌跡在時(shí)，不僅不會(huì)超出之外，而且最終收斂于，則稱平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的。即：若δ與無關(guān)，則稱平衡狀態(tài)是一致漸近穩(wěn)定。

第一百三十頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日第一百三十一頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日4．大范圍內(nèi)漸近穩(wěn)定性對(duì)所有的狀態(tài)，即狀態(tài)空間的所有的點(diǎn)，如果從這些狀態(tài)出發(fā)的軌跡都保持漸近穩(wěn)定性，則稱平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定（全局穩(wěn)定）。即：

大范圍漸近穩(wěn)定的必要條件：在整個(gè)狀態(tài)空間中只有一個(gè)平衡狀態(tài)。(1)線性系統(tǒng)：如果它是漸近穩(wěn)定的，必是也是大范圍漸近穩(wěn)定性(線性系統(tǒng)穩(wěn)定性與初始條件的大小無關(guān))。(2)非線性系統(tǒng)：非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性一般與初始條件的大小密切相關(guān)，通常只能在小范圍內(nèi)穩(wěn)定。(3)當(dāng)δ與無關(guān)時(shí)，則稱大范圍一致漸近穩(wěn)定。第一百三十二頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日5．不穩(wěn)定性不論δ取得得多么小，只要在內(nèi)有一條軌跡跨出，則稱此平衡狀態(tài)是不穩(wěn)定的。線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定，表征系統(tǒng)不穩(wěn)定。非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)不穩(wěn)定，只說明存在局部發(fā)散的軌跡，至于是否趨于無窮遠(yuǎn)，要看域外是否存在其它平衡狀態(tài)，若存在極限環(huán)，則系統(tǒng)仍是李亞普諾夫意義下的穩(wěn)定。第一百三十三頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日第一百三十四頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日xex0x1x2xe李雅普諾夫意義下穩(wěn)定xex0x1x2xe漸近穩(wěn)定xex0x1x2xe全局漸近穩(wěn)定xex0x1x2xe不穩(wěn)定第一百三十五頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日注意：按李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性定義，當(dāng)系統(tǒng)作不衰減的振蕩運(yùn)動(dòng)時(shí)，將在平面描繪出一條封閉曲線，只要不超過，則認(rèn)為是穩(wěn)定的，例如線性系統(tǒng)的無阻尼自由振蕩和非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定極限環(huán)，這同經(jīng)典控制理論中的穩(wěn)定性定義是有差異的。經(jīng)典控制理論的穩(wěn)定是李雅普諾夫意義下的一致漸近穩(wěn)定。二、李雅普諾夫穩(wěn)定性定理

1892年，A.M.Lyapunov提出了兩種方法（稱為第一法和第二法），用于確定由微分方程描述的動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。李雅普諾夫第一法包括了利用微分方程顯式解進(jìn)行系統(tǒng)分析的所有步驟，也稱為間接法。第一百三十六頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日李雅普諾夫第二法不需求出微分方程的解，也就是說，采用Lyapunov第二法，可以在不求出狀態(tài)方程解的條件下確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第二法也稱為直接法。(一)李雅普諾夫第一法（間接法）李氏第一法是利用狀態(tài)方程解的特性來判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法，又稱間接法。它適用于線性定常、線性時(shí)變系統(tǒng)及非線性函數(shù)可線性化的情況。1．線性定常系統(tǒng)穩(wěn)定性的特征值判據(jù)

系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是：系統(tǒng)矩陣A的全部特征值位于復(fù)平面左半部。即

第一百三十七頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例1試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解

系統(tǒng)的狀態(tài)是穩(wěn)定的，其輸出必然是穩(wěn)定的。第一百三十八頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例2已知系統(tǒng)試判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解

第一百三十九頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日2．非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析假定非線性系統(tǒng)在平衡狀態(tài)附近可展開成臺(tái)勞級(jí)數(shù)，可線性化的情況。此時(shí)，可用線性化系統(tǒng)的特征值判據(jù)判斷非線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性。設(shè)非線性系統(tǒng)狀態(tài)方程：在平衡狀態(tài)附近存在各階偏導(dǎo)數(shù)，于是：

左式為向量函數(shù)的雅可比矩陣第一百四十頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日令則線性化系統(tǒng)方程為：結(jié)論：1)若，則非線性系統(tǒng)在處是漸近穩(wěn)定的，與無關(guān)。2)若，則非線性系統(tǒng)在處不穩(wěn)定。3)若，穩(wěn)定性與有關(guān)。必須用其他方法來判定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。當(dāng)時(shí)，則非線性系統(tǒng)在處是李氏意義下的穩(wěn)定(臨界穩(wěn)定狀態(tài))。第一百四十一頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為

試分析系統(tǒng)在平衡處的穩(wěn)定性。解

求系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，在處將方程線性化，由于第一百四十二頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日得線性化后的方程為原非線性系統(tǒng)在處是不穩(wěn)定的。同理，在處線性化，得其特征值為，實(shí)部為零。因此不能由線性化方程得出原系統(tǒng)在處的穩(wěn)定性。這種情況要應(yīng)用李雅普諾夫第二種方法進(jìn)行判定。(二)李雅普諾夫第二法（直接法）第一百四十三頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日1．標(biāo)量函數(shù)定號(hào)性設(shè)是向量的標(biāo)量函數(shù)，S是

空間包含原點(diǎn)的封閉有限區(qū)域。正定性

標(biāo)量函數(shù)在S域中對(duì)所有非零狀態(tài)總有且，稱在S域內(nèi)是正定的。負(fù)定性標(biāo)量函數(shù)在S域中對(duì)所有非零有且，稱在S域內(nèi)是負(fù)定的。如果是負(fù)定的，則一定是正定的。負(fù)(正)半定性標(biāo)量函數(shù)在S域中，當(dāng)時(shí)，有，且，則稱在S域內(nèi)負(fù)(正)半定。設(shè)為負(fù)半定，則為正半定。不定性標(biāo)量函數(shù)在S域內(nèi)可正可負(fù)，則稱不定。第一百四十四頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例確定下列標(biāo)量函數(shù)的正定性，已知：

(1)解

(2)解(3)解第一百四十五頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日(4)解(5)解2．二次型函數(shù)及其定號(hào)性二次型函數(shù)是一類重要的標(biāo)量函數(shù)，記第一百四十六頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日其中：P為對(duì)稱矩陣，。顯然滿足，檢驗(yàn)的定號(hào)性是由賽爾維斯特準(zhǔn)則判定。(1)當(dāng)P的各順序主子行列式均大于零時(shí)，即

P為正定矩陣，則正定。

第一百四十七頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日(2)當(dāng)P的各順序主子行列式負(fù)、正相間時(shí)，即P為負(fù)定矩陣，則負(fù)定。(3)若主子行列式含有等于零的情況，則為正半定或負(fù)半定。(4)不屬以上所有情況的不定。

第一百四十八頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例解第一百四十九頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日李氏第二法是基于若系統(tǒng)的內(nèi)部能量隨時(shí)間推移而衰減，則系統(tǒng)最終將達(dá)到靜止?fàn)顟B(tài)這個(gè)思想而建立起來的穩(wěn)定判據(jù)。若系統(tǒng)有一個(gè)漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，當(dāng)系統(tǒng)向這個(gè)平衡狀態(tài)附近運(yùn)動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)儲(chǔ)存的能量隨時(shí)間的推移則應(yīng)逐漸衰減，直到平衡狀態(tài)處衰減到最小值。反之，若系統(tǒng)是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，則系統(tǒng)將不斷從外界吸收能量，其存儲(chǔ)的能量將越來越大。要找到實(shí)際系統(tǒng)的能量函數(shù)表達(dá)式是相當(dāng)復(fù)雜的，為了克服這個(gè)困難，李雅普諾夫提出可以虛構(gòu)一個(gè)能量函數(shù)，后來便將其稱之為李雅普諾夫函數(shù)。第一百五十頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日李雅普諾夫函數(shù)一般與和t有關(guān)，我們用來表示，如果在李雅普諾夫函數(shù)中不顯含t，則用表示。在李雅普諾夫第二法中，李氏函數(shù)和其對(duì)時(shí)間的全導(dǎo)數(shù)的符號(hào)特征，提供了判斷平衡狀態(tài)處的穩(wěn)定性、漸近穩(wěn)定性或不穩(wěn)定性的準(zhǔn)則。這種方法不必求解給定系統(tǒng)的狀態(tài)方程，故稱為直接法。3．穩(wěn)定性定理設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程：其平衡狀態(tài)滿足，假定狀態(tài)空間原點(diǎn)作為平衡狀態(tài)，并設(shè)在原點(diǎn)領(lǐng)域存在對(duì)x的連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)。第一百五十一頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日定理1

若(1)正定；(2)負(fù)定；則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。負(fù)定，說明能量隨時(shí)間連續(xù)單調(diào)衰減。如果隨著有，則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍內(nèi)的漸近穩(wěn)定。第一百五十二頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日穩(wěn)定性定理的幾點(diǎn)說明(本節(jié)其他定理也同此)

(1)穩(wěn)定性定理給出的只是漸近穩(wěn)定性的充分條件，而不是充要條件。即如果能找到滿足定理?xiàng)l件的V(x，t)，則系統(tǒng)一定是一致漸近穩(wěn)定的。但如果找不到這樣的V(x，t)，也并不意味著系統(tǒng)是不穩(wěn)定的，因?yàn)楹芸赡苓€沒有找到合適的V(x，t)。(2)對(duì)于漸近穩(wěn)定的平衡狀態(tài)，具有所需特性的李雅普諾夫函數(shù)總是存在的。(3)李雅普諾夫函數(shù)的選取并非唯一，由于選取不同的李雅普諾夫函數(shù)，會(huì)使分析的過程有所不同，但只要能說明系統(tǒng)的穩(wěn)定性。第一百五十三頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日對(duì)穩(wěn)定性的判斷，并不因選取的李雅普諾夫函數(shù)不同而有所影響。(5)此定理對(duì)于線性系統(tǒng)、非線性系統(tǒng)、定常系統(tǒng)及時(shí)變系統(tǒng)都適用，因此它是判定系統(tǒng)穩(wěn)定性的一個(gè)最基本的定理。對(duì)于復(fù)雜的系統(tǒng)，要想找到一個(gè)合適李雅普諾夫函數(shù)可能是十分困難的，至今尚無構(gòu)造李雅普諾夫函數(shù)的通用方法，這是應(yīng)用李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的主要障礙。如果選取不當(dāng)，會(huì)導(dǎo)致不定的結(jié)果，這時(shí)便作不出確定的判斷，需要重新選取。第一百五十四頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例已知系統(tǒng)方程為試分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解令，解出平衡狀態(tài)選取為正定顯然是負(fù)定的，因此平衡狀態(tài)點(diǎn)(原點(diǎn))是漸近穩(wěn)定的。又由于，則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是在大范圍內(nèi)的漸近穩(wěn)定。第一百五十五頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日定理2若(1)正定；(2)負(fù)半定；(3)在非零狀態(tài)不恒為零；則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。如果隨著有，則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍內(nèi)的漸近穩(wěn)定。第一百五十六頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例已知系統(tǒng)方程為，試分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解令，得知原點(diǎn)是唯一的平衡狀態(tài)。選，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

故不定，不能對(duì)穩(wěn)定性作出判斷。選，則得故負(fù)半定。根據(jù)定理2，原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的，并且是大范圍一致漸近穩(wěn)定。若選，則為負(fù)定。因此在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是在大范圍內(nèi)的漸近穩(wěn)定的。第一百五十七頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例已知系統(tǒng)方程為試分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解令，得知原點(diǎn)是唯一的平衡狀態(tài)。設(shè)，則。將原方程代入上式得當(dāng)任意，時(shí)，；當(dāng)任意，時(shí)，。其他x均有，所以是半負(fù)定的。又由于，則在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是在大范圍內(nèi)的漸近穩(wěn)定。第一百五十八頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日定理3若(1)正定；

(2)負(fù)半定；(3)在非零狀態(tài)恒為零；則原點(diǎn)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。沿狀態(tài)軌跡能維持，表示系統(tǒng)能維持等能量水平運(yùn)行，使系統(tǒng)維持在非零狀態(tài)而不運(yùn)行至原點(diǎn)。在這種情況下，系統(tǒng)保持在一個(gè)穩(wěn)定的等幅振蕩狀態(tài)上，是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定。第一百五十九頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例已知系統(tǒng)方程為，試分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。

解由，可知原點(diǎn)是唯一平衡狀態(tài)。選考慮狀態(tài)方程則得對(duì)所有狀態(tài)故系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。第一百六十頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日定理4若(1)正定；

(2)正定；則原點(diǎn)是不穩(wěn)定的。正定表示能量函數(shù)隨時(shí)間增大，故狀態(tài)軌跡在原點(diǎn)鄰域發(fā)散。參考定理2可推論：正定，當(dāng)正半定，且在非零狀態(tài)不恒為零時(shí)，則原點(diǎn)不穩(wěn)定。

例已知系統(tǒng)方程為，試分析平衡狀態(tài)的穩(wěn)定性。解由，可知原點(diǎn)是唯一平衡狀態(tài)。選，則故正半定根據(jù)定理4的推論，系統(tǒng)不穩(wěn)定。

第一百六十一頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日從以上的分析可知，李氏第二法的步驟為：1)構(gòu)造一個(gè)；2)求，并將狀態(tài)方程代入；3)判斷的定號(hào)性；和的符號(hào)相反，則漸近穩(wěn)定；和的符號(hào)相同，則不穩(wěn)定。4)判斷非零情況下，是否恒為零。若，成立，則李氏意義下穩(wěn)定；若僅，成立，則漸近穩(wěn)定。

第一百六十二頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日(三)線性定常系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為A為非奇異矩陣，是系統(tǒng)唯一平衡狀態(tài)。設(shè)選取正定二次型函數(shù)為李氏函數(shù)P是正定實(shí)對(duì)稱矩陣將代入，在已知P是正定的條件下，由漸近穩(wěn)定性定理可知，只要Q是正定的(即負(fù)定)，則系統(tǒng)是大范圍一致漸近穩(wěn)定。第一百六十三頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日定理5系統(tǒng)大范圍漸近穩(wěn)定的充要條件為：給定一正定實(shí)對(duì)稱矩陣Q，存在唯一的正定實(shí)對(duì)稱矩陣P使成立，則為系統(tǒng)的一個(gè)李氏函數(shù)。

說明：1.可以先給定一個(gè)正定的P陣，然后驗(yàn)證Q陣是否正定去分析穩(wěn)定性。但若P陣選取不當(dāng)，往往會(huì)導(dǎo)致Q陣不定，使得判別過程多次重復(fù)進(jìn)行。2.通常在判定的符號(hào)特性時(shí)，首先指定一個(gè)正定的矩陣Q，然后用塞爾維斯特準(zhǔn)則檢查滿足等式的P是否也是正定的。第一百六十四頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日若選取，由再確定P的各元素尤為方便。3.由定理2可以推知，若系統(tǒng)狀態(tài)軌跡在非零狀態(tài)不存在恒為零時(shí)，Q陣可取做正半定矩陣，即允許單位矩陣中主對(duì)角線上部分元素為零，而解得的P仍應(yīng)正定。最簡(jiǎn)單的是

第一百六十五頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日例設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為

試確定該系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解平衡狀態(tài)是原點(diǎn)。設(shè)系統(tǒng)的李氏函數(shù)為選定設(shè)矩陣P為2×2的正定實(shí)對(duì)稱矩陣由有第一百六十六頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日

用塞爾維斯特準(zhǔn)則檢驗(yàn)矩陣P是正定的。系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)定的。且李氏函數(shù)為：第一百六十七頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日本章內(nèi)容到此結(jié)束請(qǐng)同學(xué)們課下好好復(fù)習(xí)領(lǐng)會(huì)！第一百六十八頁，共一百九十一頁，2022年，8月28日小結(jié)(1)狀態(tài)變量、狀態(tài)空間、狀態(tài)變量圖的有關(guān)概念；由物理模型、結(jié)構(gòu)圖