物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)課件

第六專題萬有引力定律與天體運(yùn)動(dòng)解題知識(shí)與方法研究疑難題解答研究例題4（星球運(yùn)動(dòng)的阻力）例題1（天體軌道的判定）例題3（衛(wèi)星“怪像”）例題5（飛船著陸問題）例題6（飛船和宇航站對(duì)接問題）例題2（利用萬有引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)求橢圓曲率半徑）一、對(duì)宇宙中復(fù)雜的天體受力運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化二、引力問題的基本運(yùn)動(dòng)方程三、行星繞日運(yùn)動(dòng)的軌道與能量例題7（雙星問題）瘋赤宵敝逸刨律醬皆互弗幕欣髓亭賄伺隕樁歡竿升覺續(xù)伶飛催暖軌宜換楊物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)第六專題萬有引力定律與天體運(yùn)動(dòng)解題知識(shí)與方法研究疑難1一、對(duì)宇宙中復(fù)雜的天體受力運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化（1）天體通常相距很遠(yuǎn)，故可將天體處理為質(zhì)點(diǎn).（2）很多時(shí)候，某天體的所受其他諸天體引力中僅有一個(gè)是主要的：a、可將該兩天體作為二體問題處理.b、施力天體由于某些原因（如質(zhì)量相對(duì)很大）在某慣性系中可認(rèn)為幾乎不動(dòng)，這時(shí)問題很簡(jiǎn)單（我們通常討論的就是這種情況）.二、引力問題的基本動(dòng)力學(xué)方程如圖，行星m在太陽M的有心引力作用下運(yùn)動(dòng).行星的橫向加速度等于零.有徑向動(dòng)力學(xué)方程解題知識(shí)與方法研究在太陽慣性參照系中，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律和引力定律爵鴛孽覆亥彥坑增溺肌茵皮議繁活征深任足烙寧鼎徐毋愈趙豬中津告胎郵物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)一、對(duì)宇宙中復(fù)雜的天體受力運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化（1）天體通常相距很遠(yuǎn)，2此式變化后即得開普勒第二定律：表明：開普勒第二定律不過角動(dòng)量守恒定律的特殊表現(xiàn).開普勒第二定律不僅適用于行星的橢圓運(yùn)動(dòng)也將適用于有心引力作用下的任何行星軌道運(yùn)動(dòng).又因萬有引力為保守力，故“太陽+行星”系統(tǒng)的機(jī)械能守恒當(dāng)然，此方程也不限于行星做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)！因?yàn)橐橛行牧?，故行星?duì)太陽參考軸角動(dòng)量守恒戴持允躁緘抿訟弗拔煥云誅耀憚裴型充掙筒鮮悲覆吉酗拾頭駝配指天渾館物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)此式變化后即得開普勒第二定律：表明：又因萬有3三、天體繞日運(yùn)動(dòng)的軌道與能量根據(jù)萬有引力定律和其他牛頓力學(xué)定律（角動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒等）可導(dǎo)出在如圖的極坐標(biāo)下的繞日運(yùn)動(dòng)的天體的軌道方程：軌道方程為一圓錐曲線方程：（1）（即開普勒第一定律）；總能量為：（2）總能量為：鄭吸啪堿筍葷墮蔫瘓旅重逃抖瘴慢蹈宰辜撿渙仰鵬弘挪望獰儉嗣級(jí)暇筐鋸物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)三、天體繞日運(yùn)動(dòng)的軌道與能量根據(jù)萬有引力定律4（3）總能量為：自行計(jì)算出上述三個(gè)能量值?。芊癫挥酶叩葦?shù)學(xué)？）胎沿頻潦爆鈕憋荒隨拖帽眨玉磚顫筑硼反助裳膿粘捷教秩奢綢贛錯(cuò)提沽喀物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)（3）總能量為：自行計(jì)算出上述三個(gè)能量值！胎沿頻潦爆鈕憋荒隨5

例1（天體軌道的判定）如圖，太陽系中星體A做半徑為R1的圓運(yùn)動(dòng)，星體B作拋物線運(yùn)動(dòng).B在近日點(diǎn)處與太陽的相距為R2=2R1，且兩軌道在同一平面上，兩星體運(yùn)動(dòng)方向也相同.設(shè)B運(yùn)動(dòng)到近日點(diǎn)時(shí)，A恰好運(yùn)動(dòng)到B與太陽連線上.A、B隨即發(fā)生某種強(qiáng)烈的相互作用而迅速合并成一個(gè)新的星體.其間的質(zhì)量損失可忽略.試證明新星體繞太陽的運(yùn)動(dòng)軌道為橢圓.解計(jì)算新星體C的機(jī)械能.在徑向：可認(rèn)為在A、B靠攏過程中質(zhì)心未動(dòng).所以C到太陽的距離為在切向：A、B合并過程中動(dòng)量也守恒，②則有研究②式中的vA、vB：因A作圓運(yùn)動(dòng)，疑難題解答研究①兌貿(mào)失伶捶秩稿朔叛遞驕葬紹鈔國(guó)徊唆鱉淡畜尊篷嶼寂堤躲告恬身疲綴茂物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)例1（天體軌道的判定）如圖，太陽系中星6所以利用①③，C星體的機(jī)械能為因此，新星體C的軌道為橢圓.

題后思考

本題能不能直接判斷？EA<0，EB=0，EA+EB=？EC與(EA+EB)誰大誰??？C的軌道是什么？

將vA、vB代入②得③B作拋物線運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能為零.因而有①珠屠筍稱坦仕韋巷尖瓣現(xiàn)佐恫防臍魚顆袁昌撕捐佐澈池版袒轟九響堆疏養(yǎng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)所以利用①③，C星體的機(jī)械能為因此，新星體C的軌道為橢圓.7

例2（利用引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)求橢圓曲率半徑）行星繞太陽作橢圓運(yùn)動(dòng)，已知軌道半長(zhǎng)軸為A，半短軸為B，太陽質(zhì)量記為MS.試用物理方法求橢圓各定點(diǎn)處的曲率半徑.解行星運(yùn)動(dòng)情況如圖.由頂點(diǎn)1、2、3處的機(jī)械能守恒和面積速度相等可得由圖可知代入②式得③由①③解得只要求得頂點(diǎn)處的速度問題便不難解決！據(jù)①②均材掂衛(wèi)版潰匹氧促鹼糙拎毖礁脅勤馭飄糕侶幟閡祭墟趾捆痢詣吶沮窖蓬物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)例2（利用引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)求橢圓曲率半8求頂點(diǎn)1處的曲率半徑ρ1：將前面得到的v1代入，求頂點(diǎn)3處的曲率半徑ρ3：將前面得到的v3代入，

題后小結(jié)與思考橢圓上其他點(diǎn)曲率半徑能不能用此方法得到？求拋物線任意點(diǎn)的曲率半徑、正弦曲線頂點(diǎn)的曲率半徑.即得即得惦蔥免似爾意錦鋸藤揮斡恩諷深金笆閹懇菇漢恰暈蛋磊邊棗哈糙炔殲豺步物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)求頂點(diǎn)1處的曲率半徑ρ1：將前面得到的v1代9

例3（衛(wèi)星怪像問題）

質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在繞地球（質(zhì)量為Me）的飛行過程中，由于受到微弱的摩擦阻力f（常量），不能嚴(yán)格按圓周軌道運(yùn)動(dòng)，而是緩慢地沿一螺旋形軌道接近地球.因f很小，軌道半徑變化十分緩慢，每一周均可近似處理為半徑為r的圓周軌道，但r將逐周縮短.試求在r軌道上旋轉(zhuǎn)一周，r的改變量及衛(wèi)星動(dòng)能EK的改變量.解衛(wèi)星的動(dòng)能、勢(shì)能、總機(jī)械能為在運(yùn)行中萬有引力作為向心力將此代入EK、E的表達(dá)式，可得到衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周摩擦力做功為瑪寇恍癬長(zhǎng)它霸匙裁晦蘑犀潑體罩蔗崇勒繡酵委劣吊幸映兩掇絞墜躇溪騁物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)例3（衛(wèi)星怪像問題）質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在10所以衛(wèi)星每旋轉(zhuǎn)一周，r的改變量為動(dòng)能的改變量為由功能關(guān)系，當(dāng)衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，有即現(xiàn)在覺得“衛(wèi)星怪像”還怪不怪？駱璃蔗劫報(bào)瑟應(yīng)尊疚符徽鏡須抖腦氦催禿射壞毯譚喚拌趨柳立覺敬寒弄誠物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)所以衛(wèi)星每旋轉(zhuǎn)一周，r的改變量為動(dòng)能的改變量為11

例4（星體運(yùn)動(dòng)的阻力）一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R的星球以速度V通過質(zhì)量密度為的非常稀薄的氣體,由于它的引力場(chǎng)，此星球?qū)⑽娼咏牧Ｗ?，并俘獲撞在它表面上的所有的氣體分子.設(shè)相對(duì)于速度V，分子的熱運(yùn)動(dòng)速度可忽略.分子間的相互作用不計(jì).求作用在星體上的阻力.解為方便研究問題取星球?yàn)閰⒄障?氣體分子的運(yùn)動(dòng)及與星球的碰撞如圖所示.在橫截面為的圓柱體內(nèi)的分子才能與星球相碰.研究圓截面邊緣上的一個(gè)分子：設(shè)被俘獲前的瞬間（A點(diǎn)處）的速度為v.由角動(dòng)量守恒得由機(jī)械能守恒得楚癰滌慰表用欠綜懦焰弟納傈圃膳宿饞爐爸柯蓮郝錫諺簧摳毫克濾尋值獸物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)例4（星體運(yùn)動(dòng)的阻力）一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R12設(shè)氣體受到的阻力為f（等于星球所受阻力），使氣體的動(dòng)量改變?yōu)橛蓜?dòng)量定理知星球在Δt時(shí)間內(nèi)得到鉆漾彤曼智樸銷宏折毒涅乍棕憤腰菇靈崖字診琺榆蹈懼闖雷詭雞雨知株怠物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)設(shè)氣體受到的阻力為f（等于星球所使氣體的動(dòng)量13

例5（飛船著陸問題）一質(zhì)量為m=12×103kg的太空飛船在圍繞月球的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，其高度h=100km.為使飛船落到月球表面，噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)在圖中P點(diǎn)作一短時(shí)間發(fā)動(dòng).從噴口噴出的熱氣流相對(duì)飛船的速度為u=10km/s，月球半徑為R=170km，月球表面的落體加速度g=1.7m/s2.飛船可用兩種不同方式到達(dá)月球（如圖所示）：（1）向前噴射氣流，使飛船到達(dá)月球背面的A點(diǎn)（與P點(diǎn)相對(duì)），并相切.（2）向外噴射氣流，使飛船得到一指向月球中心的動(dòng)量，飛船軌道與月球表面B點(diǎn)相切.試計(jì)算上述兩種情況下所需要的燃料量.解噴氣后，飛船軌道由圓變成了的橢圓的一部分（如圖）.設(shè)飛船噴氣前的速度v0，月球質(zhì)量為M，月球表面的重力加速度為代入上式，便得（1）（2）則有求出噴氣前、后飛船的速度問題即可解決！廖樂贓駝琵道餐輝童暑口郎先墜橫怕丈逢啼槽燈閏醬聚字堆祁禹昌舷慫撿物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)例5（飛船著陸問題）一質(zhì)量為m=12×14（1）設(shè)飛船在P點(diǎn)向前方噴氣后速度減為v1.到達(dá)A處速度為vA.聯(lián)立此兩式消去vA解得對(duì)噴氣前后的短暫過程，由動(dòng)量守恒有解得（2）因沿圓半徑向外噴氣使飛船在向心方向獲的速度vr，從而飛船的速度變?yōu)橥瑯佑薪莿?dòng)量和能量守恒方程（1）（2）則由角動(dòng)量守恒和能量守恒得設(shè)噴出的氣體質(zhì)量為Δm1,刀會(huì)項(xiàng)升形虎景噬奠溝拽夸寧蘇偷康鄰贛稅痔锨詳材辰锨卑炙失炎峨旦賀物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)（1）設(shè)飛船在P點(diǎn)向前方噴氣后速度減為v1.到達(dá)A處速度為15聯(lián)立此兩式消去vB解得對(duì)噴氣前后的短暫過程，在沿原半徑方向上由動(dòng)量守恒有解得顯然，所以選擇第一種方式登月較省燃料.

題后思考仔細(xì)研究如何計(jì)算噴出的氣體相對(duì)月球的速度?。?）（2）設(shè)噴出的氣體質(zhì)量為Δm2,揣畦脂望殃霖悔十耘尉反湖織酞裝尖洞她芯潔獅匠哀隙預(yù)詣靳吏兄徐儡謅物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)聯(lián)立此兩式消去vB解得16

例6質(zhì)量為M的宇航站和已對(duì)接上的質(zhì)量為m的飛船沿圓形軌道繞地球運(yùn)動(dòng)著，其軌道半徑是地球半徑的n=1.25倍.某瞬間，飛船從宇航站沿運(yùn)動(dòng)方向射出后沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，其最遠(yuǎn)點(diǎn)到地心的距離為8nR.問飛船與宇航站的質(zhì)量比m/M為何值時(shí)，飛船繞地球運(yùn)行一周后正好與宇航站相遇.解發(fā)射前后飛船、宇航站的運(yùn)動(dòng)情況如圖.記地球質(zhì)量為ME，發(fā)射前共同速度為u.由得記分離后的瞬間飛船速度為v，宇航站速度為V.由動(dòng)量守恒有所求的比值為①進(jìn)一步研究分離后飛船和宇航站的運(yùn)動(dòng)，求v、V：匈狀間館伏海循韻掀韶蠢簽火隕廬速范棱緘餾熟吞瘟卜婚經(jīng)灤肯蚌瘴許伐物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)例6質(zhì)量為M的宇航站和已對(duì)接上的質(zhì)量為17研究分離后的飛船：由開普勒第二定律及能量守恒定律有由此兩式解出②研究分離后的宇航站：由開普勒第二定律及能量守恒定律有由此兩式解出③設(shè)遠(yuǎn)地心點(diǎn)的速度為v′，設(shè)近地心點(diǎn)的速度為V′，距地心r.晦眼潭服珠越黔靳限奪險(xiǎn)掂養(yǎng)似寅柴肉藩蒙鈕悄奪簽域訖睡市哄謀詳烹耽物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)研究分離后的飛船：18研究分離后的相遇以求得r：設(shè)飛船的周期為t，宇航站的周期為T.由開普勒第三定律有即確定t/T：因飛船運(yùn)行一周恰好與宇航站相遇，所以代入上式，得④故應(yīng)宇航站不能與地球相碰（只要近地點(diǎn)不碰，其它點(diǎn)便不會(huì)相碰）.將④代入，得抬縮址諒氮辭刻蟲鱉羊忽藩浪強(qiáng)社碾汞孜傀鑰爬閉莉漸償彎趾戊邑瞇尸棠物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)研究分離后的相遇以求得r：設(shè)飛船的周期為t19即所以由上述①②③④式求m/M：得可見k只能取兩個(gè)值：k=10，11.相應(yīng)有

題后思考最后結(jié)果為何與u無關(guān)？若分離后v、V反向，結(jié)果又如何？④③②①薔抖米兢孕謹(jǐn)虞陶叢嘿半邀辣伸那嗜賒蜘雙葡雖惺疹遠(yuǎn)喻廓要眷麓薪趙男物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)即所以由上述①②③④式求m/M：得可見k只能取兩個(gè)值：k=120

例7一雙星系統(tǒng)，兩顆星的質(zhì)量分別為M和m（設(shè)M>m），距離為d，在引力作用下繞不動(dòng)的質(zhì)心作圓周運(yùn)動(dòng).設(shè)這兩顆星近似為質(zhì)點(diǎn).在超新星爆炸中，質(zhì)量為M的星體損失質(zhì)量ΔM.假設(shè)爆炸是瞬時(shí)的、球?qū)ΨQ的，并且對(duì)殘余體不施加任何作用力（或作用力抵消），對(duì)另一顆星也無直接作用.試求，在什么條件下，余下的新的雙星系統(tǒng)仍被約束而不相互遠(yuǎn)離.解需計(jì)算爆炸后的總機(jī)械能.如圖，爆炸前兩星繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn).旋轉(zhuǎn)的角速度滿足爆炸后的瞬間，因球?qū)ΨQ爆炸所以（M-ΔM）位置、速度均不變.無作用，故m的位置、速度也不變.因爆炸對(duì)星體m也旋轉(zhuǎn)半徑滿足丈音娘縷艦驟舍悉竣廂蘸格塊豫漬鎬仲陪家吵沸看奔左亢氦裁具浮面勻跨物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)例7一雙星系統(tǒng)，兩顆星的質(zhì)量分別為M和21新系統(tǒng)的質(zhì)心C′還在兩星連線上的原處嗎？新系統(tǒng)的質(zhì)心C′還會(huì)靜止嗎？新系統(tǒng)的勢(shì)能為新系統(tǒng)在新質(zhì)心參照系中的動(dòng)能為由系統(tǒng)動(dòng)量的質(zhì)心表達(dá)可知新系統(tǒng)質(zhì)心速度為注意到式中的所以卸校訂舔再萌印歇淆叔及韶跪鎂甭婚崔漓名轄破賜寅洗菲爭(zhēng)梧凜嵌匣喬閻物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)新系統(tǒng)的質(zhì)心C′還在兩星連線上的原處嗎？新系統(tǒng)的質(zhì)心C′還會(huì)22進(jìn)而得到系統(tǒng)在新質(zhì)心系中的動(dòng)能為新系統(tǒng)仍被約束的條件是

題后思考以后兩星還繞新質(zhì)心作圓運(yùn)動(dòng)嗎?(嚴(yán)格證明你的結(jié)論！)煎級(jí)恰蕊嘎拂舶袒郴竄覽笆歌父斷坍圃懂芍缺濰頹瞇僑男縛淮洱舔幫廈抒物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)進(jìn)而得到系統(tǒng)在新質(zhì)心系中的動(dòng)能為新系統(tǒng)仍被約束的條件是23另解用二體問題折合質(zhì)量法爆炸前：兩星折合質(zhì)量?jī)尚钦酆腺|(zhì)量等效的運(yùn)動(dòng)如圖（a）.μ旋轉(zhuǎn)的速度v滿足爆炸后：等效的運(yùn)動(dòng)如圖（b）.新系統(tǒng)的勢(shì)能新系統(tǒng)的動(dòng)能代入系統(tǒng)約束的條件解得（b）（a）

題后思考計(jì)算兩體的引力勢(shì)能時(shí)為何不用折合質(zhì)量？勝拘爸裳戍壹秦珍峨瓦荒衣勘籬崎科攏翁膽礫意柿襟凱約漱叁籃服叼刁拄物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)另解用二體問題折合質(zhì)量法爆炸前：兩星折合質(zhì)量?jī)尚钦酆腺|(zhì)量等效24兩體問題僅有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的孤立系統(tǒng)，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m1、m1，相互作用力大小為f，從m1至m2的矢徑為.對(duì)m2，由牛頓第二定律有將（1）代入（2）：則有（3）式表明，若取m1為參照系（一般不是慣性系，在此系中牛頓第二定律不成立），則在此參照系中m2的運(yùn)動(dòng)完全相同于質(zhì)量為μ的質(zhì)點(diǎn)在中心力的作用下按牛頓第二定律所形成的運(yùn)動(dòng)，而無須考慮慣性力的作用.取二者的質(zhì)心C為參照系（慣性系）.設(shè)C到m1的矢徑為.有陡儲(chǔ)釣峽肆等簿真禾戚妻操麻魯娠悠煮麥盜瘸卡吁縮自訊嚴(yán)刮裂沸坡臨筍物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)兩體問題僅有兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的孤立系統(tǒng)，兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)25“衛(wèi)星怪象”問題

衛(wèi)星（質(zhì)量為m）與地球（質(zhì)量為M）系統(tǒng)的總能量為即于是可知對(duì)兩端的變化量有即怪哉！在總機(jī)械能減少（）時(shí)，動(dòng)能增加而勢(shì)能卻減少??？該如何解釋？鋪炎鹽譬快胸萄跋匣押雌咸任化罩懸烷象表際討阮奉七蹤柴編席四擲溉殿物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)“衛(wèi)星怪象”問題衛(wèi)星（質(zhì)量為m）與地球（質(zhì)量26第六專題萬有引力定律與天體運(yùn)動(dòng)解題知識(shí)與方法研究疑難題解答研究例題4（星球運(yùn)動(dòng)的阻力）例題1（天體軌道的判定）例題3（衛(wèi)星“怪像”）例題5（飛船著陸問題）例題6（飛船和宇航站對(duì)接問題）例題2（利用萬有引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)求橢圓曲率半徑）一、對(duì)宇宙中復(fù)雜的天體受力運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化二、引力問題的基本運(yùn)動(dòng)方程三、行星繞日運(yùn)動(dòng)的軌道與能量例題7（雙星問題）瘋赤宵敝逸刨律醬皆互弗幕欣髓亭賄伺隕樁歡竿升覺續(xù)伶飛催暖軌宜換楊物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)第六專題萬有引力定律與天體運(yùn)動(dòng)解題知識(shí)與方法研究疑難27一、對(duì)宇宙中復(fù)雜的天體受力運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化（1）天體通常相距很遠(yuǎn)，故可將天體處理為質(zhì)點(diǎn).（2）很多時(shí)候，某天體的所受其他諸天體引力中僅有一個(gè)是主要的：a、可將該兩天體作為二體問題處理.b、施力天體由于某些原因（如質(zhì)量相對(duì)很大）在某慣性系中可認(rèn)為幾乎不動(dòng)，這時(shí)問題很簡(jiǎn)單（我們通常討論的就是這種情況）.二、引力問題的基本動(dòng)力學(xué)方程如圖，行星m在太陽M的有心引力作用下運(yùn)動(dòng).行星的橫向加速度等于零.有徑向動(dòng)力學(xué)方程解題知識(shí)與方法研究在太陽慣性參照系中，由牛頓運(yùn)動(dòng)定律和引力定律爵鴛孽覆亥彥坑增溺肌茵皮議繁活征深任足烙寧鼎徐毋愈趙豬中津告胎郵物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)一、對(duì)宇宙中復(fù)雜的天體受力運(yùn)動(dòng)的簡(jiǎn)化（1）天體通常相距很遠(yuǎn)，28此式變化后即得開普勒第二定律：表明：開普勒第二定律不過角動(dòng)量守恒定律的特殊表現(xiàn).開普勒第二定律不僅適用于行星的橢圓運(yùn)動(dòng)也將適用于有心引力作用下的任何行星軌道運(yùn)動(dòng).又因萬有引力為保守力，故“太陽+行星”系統(tǒng)的機(jī)械能守恒當(dāng)然，此方程也不限于行星做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)！因?yàn)橐橛行牧Γ市行菍?duì)太陽參考軸角動(dòng)量守恒戴持允躁緘抿訟弗拔煥云誅耀憚裴型充掙筒鮮悲覆吉酗拾頭駝配指天渾館物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)此式變化后即得開普勒第二定律：表明：又因萬有29三、天體繞日運(yùn)動(dòng)的軌道與能量根據(jù)萬有引力定律和其他牛頓力學(xué)定律（角動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒等）可導(dǎo)出在如圖的極坐標(biāo)下的繞日運(yùn)動(dòng)的天體的軌道方程：軌道方程為一圓錐曲線方程：（1）（即開普勒第一定律）；總能量為：（2）總能量為：鄭吸啪堿筍葷墮蔫瘓旅重逃抖瘴慢蹈宰辜撿渙仰鵬弘挪望獰儉嗣級(jí)暇筐鋸物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)三、天體繞日運(yùn)動(dòng)的軌道與能量根據(jù)萬有引力定律30（3）總能量為：自行計(jì)算出上述三個(gè)能量值?。芊癫挥酶叩葦?shù)學(xué)？）胎沿頻潦爆鈕憋荒隨拖帽眨玉磚顫筑硼反助裳膿粘捷教秩奢綢贛錯(cuò)提沽喀物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)（3）總能量為：自行計(jì)算出上述三個(gè)能量值！胎沿頻潦爆鈕憋荒隨31

例1（天體軌道的判定）如圖，太陽系中星體A做半徑為R1的圓運(yùn)動(dòng)，星體B作拋物線運(yùn)動(dòng).B在近日點(diǎn)處與太陽的相距為R2=2R1，且兩軌道在同一平面上，兩星體運(yùn)動(dòng)方向也相同.設(shè)B運(yùn)動(dòng)到近日點(diǎn)時(shí)，A恰好運(yùn)動(dòng)到B與太陽連線上.A、B隨即發(fā)生某種強(qiáng)烈的相互作用而迅速合并成一個(gè)新的星體.其間的質(zhì)量損失可忽略.試證明新星體繞太陽的運(yùn)動(dòng)軌道為橢圓.解計(jì)算新星體C的機(jī)械能.在徑向：可認(rèn)為在A、B靠攏過程中質(zhì)心未動(dòng).所以C到太陽的距離為在切向：A、B合并過程中動(dòng)量也守恒，②則有研究②式中的vA、vB：因A作圓運(yùn)動(dòng)，疑難題解答研究①兌貿(mào)失伶捶秩稿朔叛遞驕葬紹鈔國(guó)徊唆鱉淡畜尊篷嶼寂堤躲告恬身疲綴茂物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)例1（天體軌道的判定）如圖，太陽系中星32所以利用①③，C星體的機(jī)械能為因此，新星體C的軌道為橢圓.

題后思考

本題能不能直接判斷？EA<0，EB=0，EA+EB=？EC與(EA+EB)誰大誰小？C的軌道是什么？

將vA、vB代入②得③B作拋物線運(yùn)動(dòng)，機(jī)械能為零.因而有①珠屠筍稱坦仕韋巷尖瓣現(xiàn)佐恫防臍魚顆袁昌撕捐佐澈池版袒轟九響堆疏養(yǎng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)所以利用①③，C星體的機(jī)械能為因此，新星體C的軌道為橢圓.33

例2（利用引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)求橢圓曲率半徑）行星繞太陽作橢圓運(yùn)動(dòng)，已知軌道半長(zhǎng)軸為A，半短軸為B，太陽質(zhì)量記為MS.試用物理方法求橢圓各定點(diǎn)處的曲率半徑.解行星運(yùn)動(dòng)情況如圖.由頂點(diǎn)1、2、3處的機(jī)械能守恒和面積速度相等可得由圖可知代入②式得③由①③解得只要求得頂點(diǎn)處的速度問題便不難解決！據(jù)①②均材掂衛(wèi)版潰匹氧促鹼糙拎毖礁脅勤馭飄糕侶幟閡祭墟趾捆痢詣吶沮窖蓬物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)例2（利用引力作用下的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)求橢圓曲率半34求頂點(diǎn)1處的曲率半徑ρ1：將前面得到的v1代入，求頂點(diǎn)3處的曲率半徑ρ3：將前面得到的v3代入，

題后小結(jié)與思考橢圓上其他點(diǎn)曲率半徑能不能用此方法得到？求拋物線任意點(diǎn)的曲率半徑、正弦曲線頂點(diǎn)的曲率半徑.即得即得惦蔥免似爾意錦鋸藤揮斡恩諷深金笆閹懇菇漢恰暈蛋磊邊棗哈糙炔殲豺步物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)求頂點(diǎn)1處的曲率半徑ρ1：將前面得到的v1代35

例3（衛(wèi)星怪像問題）

質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在繞地球（質(zhì)量為Me）的飛行過程中，由于受到微弱的摩擦阻力f（常量），不能嚴(yán)格按圓周軌道運(yùn)動(dòng)，而是緩慢地沿一螺旋形軌道接近地球.因f很小，軌道半徑變化十分緩慢，每一周均可近似處理為半徑為r的圓周軌道，但r將逐周縮短.試求在r軌道上旋轉(zhuǎn)一周，r的改變量及衛(wèi)星動(dòng)能EK的改變量.解衛(wèi)星的動(dòng)能、勢(shì)能、總機(jī)械能為在運(yùn)行中萬有引力作為向心力將此代入EK、E的表達(dá)式，可得到衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周摩擦力做功為瑪寇恍癬長(zhǎng)它霸匙裁晦蘑犀潑體罩蔗崇勒繡酵委劣吊幸映兩掇絞墜躇溪騁物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)例3（衛(wèi)星怪像問題）質(zhì)量為m的人造衛(wèi)星在36所以衛(wèi)星每旋轉(zhuǎn)一周，r的改變量為動(dòng)能的改變量為由功能關(guān)系，當(dāng)衛(wèi)星旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，有即現(xiàn)在覺得“衛(wèi)星怪像”還怪不怪？駱璃蔗劫報(bào)瑟應(yīng)尊疚符徽鏡須抖腦氦催禿射壞毯譚喚拌趨柳立覺敬寒弄誠物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)所以衛(wèi)星每旋轉(zhuǎn)一周，r的改變量為動(dòng)能的改變量為37

例4（星體運(yùn)動(dòng)的阻力）一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R的星球以速度V通過質(zhì)量密度為的非常稀薄的氣體,由于它的引力場(chǎng)，此星球?qū)⑽娼咏牧Ｗ?，并俘獲撞在它表面上的所有的氣體分子.設(shè)相對(duì)于速度V，分子的熱運(yùn)動(dòng)速度可忽略.分子間的相互作用不計(jì).求作用在星體上的阻力.解為方便研究問題取星球?yàn)閰⒄障?氣體分子的運(yùn)動(dòng)及與星球的碰撞如圖所示.在橫截面為的圓柱體內(nèi)的分子才能與星球相碰.研究圓截面邊緣上的一個(gè)分子：設(shè)被俘獲前的瞬間（A點(diǎn)處）的速度為v.由角動(dòng)量守恒得由機(jī)械能守恒得楚癰滌慰表用欠綜懦焰弟納傈圃膳宿饞爐爸柯蓮郝錫諺簧摳毫克濾尋值獸物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)例4（星體運(yùn)動(dòng)的阻力）一個(gè)質(zhì)量為M、半徑為R38設(shè)氣體受到的阻力為f（等于星球所受阻力），使氣體的動(dòng)量改變?yōu)橛蓜?dòng)量定理知星球在Δt時(shí)間內(nèi)得到鉆漾彤曼智樸銷宏折毒涅乍棕憤腰菇靈崖字診琺榆蹈懼闖雷詭雞雨知株怠物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)設(shè)氣體受到的阻力為f（等于星球所使氣體的動(dòng)量39

例5（飛船著陸問題）一質(zhì)量為m=12×103kg的太空飛船在圍繞月球的圓軌道上運(yùn)動(dòng)，其高度h=100km.為使飛船落到月球表面，噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)在圖中P點(diǎn)作一短時(shí)間發(fā)動(dòng).從噴口噴出的熱氣流相對(duì)飛船的速度為u=10km/s，月球半徑為R=170km，月球表面的落體加速度g=1.7m/s2.飛船可用兩種不同方式到達(dá)月球（如圖所示）：（1）向前噴射氣流，使飛船到達(dá)月球背面的A點(diǎn)（與P點(diǎn)相對(duì)），并相切.（2）向外噴射氣流，使飛船得到一指向月球中心的動(dòng)量，飛船軌道與月球表面B點(diǎn)相切.試計(jì)算上述兩種情況下所需要的燃料量.解噴氣后，飛船軌道由圓變成了的橢圓的一部分（如圖）.設(shè)飛船噴氣前的速度v0，月球質(zhì)量為M，月球表面的重力加速度為代入上式，便得（1）（2）則有求出噴氣前、后飛船的速度問題即可解決！廖樂贓駝琵道餐輝童暑口郎先墜橫怕丈逢啼槽燈閏醬聚字堆祁禹昌舷慫撿物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)例5（飛船著陸問題）一質(zhì)量為m=12×40（1）設(shè)飛船在P點(diǎn)向前方噴氣后速度減為v1.到達(dá)A處速度為vA.聯(lián)立此兩式消去vA解得對(duì)噴氣前后的短暫過程，由動(dòng)量守恒有解得（2）因沿圓半徑向外噴氣使飛船在向心方向獲的速度vr，從而飛船的速度變?yōu)橥瑯佑薪莿?dòng)量和能量守恒方程（1）（2）則由角動(dòng)量守恒和能量守恒得設(shè)噴出的氣體質(zhì)量為Δm1,刀會(huì)項(xiàng)升形虎景噬奠溝拽夸寧蘇偷康鄰贛稅痔锨詳材辰锨卑炙失炎峨旦賀物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)（1）設(shè)飛船在P點(diǎn)向前方噴氣后速度減為v1.到達(dá)A處速度為41聯(lián)立此兩式消去vB解得對(duì)噴氣前后的短暫過程，在沿原半徑方向上由動(dòng)量守恒有解得顯然，所以選擇第一種方式登月較省燃料.

題后思考仔細(xì)研究如何計(jì)算噴出的氣體相對(duì)月球的速度?。?）（2）設(shè)噴出的氣體質(zhì)量為Δm2,揣畦脂望殃霖悔十耘尉反湖織酞裝尖洞她芯潔獅匠哀隙預(yù)詣靳吏兄徐儡謅物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)聯(lián)立此兩式消去vB解得42

例6質(zhì)量為M的宇航站和已對(duì)接上的質(zhì)量為m的飛船沿圓形軌道繞地球運(yùn)動(dòng)著，其軌道半徑是地球半徑的n=1.25倍.某瞬間，飛船從宇航站沿運(yùn)動(dòng)方向射出后沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，其最遠(yuǎn)點(diǎn)到地心的距離為8nR.問飛船與宇航站的質(zhì)量比m/M為何值時(shí)，飛船繞地球運(yùn)行一周后正好與宇航站相遇.解發(fā)射前后飛船、宇航站的運(yùn)動(dòng)情況如圖.記地球質(zhì)量為ME，發(fā)射前共同速度為u.由得記分離后的瞬間飛船速度為v，宇航站速度為V.由動(dòng)量守恒有所求的比值為①進(jìn)一步研究分離后飛船和宇航站的運(yùn)動(dòng)，求v、V：匈狀間館伏海循韻掀韶蠢簽火隕廬速范棱緘餾熟吞瘟卜婚經(jīng)灤肯蚌瘴許伐物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)例6質(zhì)量為M的宇航站和已對(duì)接上的質(zhì)量為43研究分離后的飛船：由開普勒第二定律及能量守恒定律有由此兩式解出②研究分離后的宇航站：由開普勒第二定律及能量守恒定律有由此兩式解出③設(shè)遠(yuǎn)地心點(diǎn)的速度為v′，設(shè)近地心點(diǎn)的速度為V′，距地心r.晦眼潭服珠越黔靳限奪險(xiǎn)掂養(yǎng)似寅柴肉藩蒙鈕悄奪簽域訖睡市哄謀詳烹耽物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)研究分離后的飛船：44研究分離后的相遇以求得r：設(shè)飛船的周期為t，宇航站的周期為T.由開普勒第三定律有即確定t/T：因飛船運(yùn)行一周恰好與宇航站相遇，所以代入上式，得④故應(yīng)宇航站不能與地球相碰（只要近地點(diǎn)不碰，其它點(diǎn)便不會(huì)相碰）.將④代入，得抬縮址諒氮辭刻蟲鱉羊忽藩浪強(qiáng)社碾汞孜傀鑰爬閉莉漸償彎趾戊邑瞇尸棠物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)研究分離后的相遇以求得r：設(shè)飛船的周期為t45即所以由上述①②③④式求m/M：得可見k只能取兩個(gè)值：k=10，11.相應(yīng)有

題后思考最后結(jié)果為何與u無關(guān)？若分離后v、V反向，結(jié)果又如何？④③②①薔抖米兢孕謹(jǐn)虞陶叢嘿半邀辣伸那嗜賒蜘雙葡雖惺疹遠(yuǎn)喻廓要眷麓薪趙男物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)物理奧賽：力學(xué)萬有引力與天體運(yùn)動(dòng)即所以由上述①②③④式求m/M：得可見k只能取兩個(gè)值：k=146

例7一雙星系統(tǒng)，兩顆星的質(zhì)量分別為M和m（設(shè)M>m），距離為d，在引力作用下繞不動(dòng)的質(zhì)心作圓周運(yùn)動(dòng).設(shè)這兩顆星近似為質(zhì)點(diǎn).在超新星爆炸中，質(zhì)量為M的星體