寧夏銀川高中名校2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)四模試卷含解析_第1頁(yè)
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2022年高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知無(wú)窮等比數(shù)列的公比為2,且,則()A. B. C. D.2.已知函數(shù)f(x)=eb﹣x﹣ex﹣b+c(b,c均為常數(shù))的圖象關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱,則f(5)+f(﹣1)=()A.﹣2 B.﹣1 C.2 D.43.已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列,且,若數(shù)列是遞增數(shù)列,則的取值范圍為()A. B. C. D.4.在平面直角坐標(biāo)系中,已知是圓上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足,設(shè)到直線的距離之和的最大值為,若數(shù)列的前項(xiàng)和恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.5.《易·系辭上》有“河出圖,洛出書”之說(shuō),河圖、洛書是中華文化,陰陽(yáng)術(shù)數(shù)之源,其中河圖的排列結(jié)構(gòu)是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中.如圖,白圈為陽(yáng)數(shù),黑點(diǎn)為陰數(shù).若從這10個(gè)數(shù)中任取3個(gè)數(shù),則這3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的概率為()A. B. C. D.6.若,則的虛部是()A. B. C. D.7.已知是虛數(shù)單位,若,,則實(shí)數(shù)()A.或 B.-1或1 C.1 D.8.設(shè)函數(shù)在上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為,若函數(shù)在處取得極大值,則函數(shù)的圖象可能是()A. B.C. D.9.已知函數(shù)的定義域?yàn)?,且,?dāng)時(shí),.若,則函數(shù)在上的最大值為()A.4 B.6 C.3 D.810.上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(圖1),充分展示了我國(guó)古代高超的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)學(xué)水平,也印證了我國(guó)古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測(cè)量“春(秋)分”,“夏(冬)至”的示意圖,圖3是某骨笛的部分測(cè)量數(shù)據(jù)(骨笛的彎曲忽略不計(jì)),夏至(或冬至)日光(當(dāng)日正午太陽(yáng)光線)與春秋分日光(當(dāng)日正午太陽(yáng)光線)的夾角等于黃赤交角.由歷法理論知,黃赤交角近1萬(wàn)年持續(xù)減小,其正切值及對(duì)應(yīng)的年代如下表:黃赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根據(jù)以上信息,通過(guò)計(jì)算黃赤交角,可估計(jì)該骨笛的大致年代是()A.公元前2000年到公元元年 B.公元前4000年到公元前2000年C.公元前6000年到公元前4000年 D.早于公元前6000年11.雙曲線﹣y2=1的漸近線方程是()A.x±2y=0 B.2x±y=0 C.4x±y=0 D.x±4y=012.函數(shù)的圖象的大致形狀是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.對(duì)于任意的正數(shù),不等式恒成立,則的最大值為_____.14.觀察下列式子,,,,……,根據(jù)上述規(guī)律,第個(gè)不等式應(yīng)該為__________.15.甲、乙、丙、丁四名同學(xué)報(bào)名參加淮南文明城市創(chuàng)建志愿服務(wù)活動(dòng),服務(wù)活動(dòng)共有“走進(jìn)社區(qū)”、“環(huán)境監(jiān)測(cè)”、“愛心義演”、“交通宣傳”等四個(gè)項(xiàng)目,每人限報(bào)其中一項(xiàng),記事件為“4名同學(xué)所報(bào)項(xiàng)目各不相同”,事件為“只有甲同學(xué)一人報(bào)走進(jìn)社區(qū)項(xiàng)目”,則的值為______.16.設(shè)集合,(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)),且,則滿足條件的實(shí)數(shù)a的個(gè)數(shù)為______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),,為拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)若點(diǎn)在線段上,求的最小值;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),求點(diǎn)縱坐標(biāo)的取值范圍.18.(12分)某地為改善旅游環(huán)境進(jìn)行景點(diǎn)改造.如圖,將兩條平行觀光道l1和l2通過(guò)一段拋物線形狀的棧道AB連通(道路不計(jì)寬度),l1和l2所在直線的距離為0.5(百米),對(duì)岸堤岸線l3平行于觀光道且與l2相距1.5(百米)(其中A為拋物線的頂點(diǎn),拋物線的對(duì)稱軸垂直于l3,且交l3于M

),在堤岸線l3上的E,F(xiàn)兩處建造建筑物,其中E,F(xiàn)到M的距離為1

(百米),且F恰在B的正對(duì)岸(即BF⊥l3).(1)在圖②中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,并求棧道AB的方程;(2)游客(視為點(diǎn)P)在棧道AB的何處時(shí),觀測(cè)EF的視角(∠EPF)最大?請(qǐng)?jiān)冢?)的坐標(biāo)系中,寫出觀測(cè)點(diǎn)P的坐標(biāo).19.(12分)某調(diào)查機(jī)構(gòu)為了了解某產(chǎn)品年產(chǎn)量x(噸)對(duì)價(jià)格y(千克/噸)和利潤(rùn)z的影響,對(duì)近五年該產(chǎn)品的年產(chǎn)量和價(jià)格統(tǒng)計(jì)如下表:x12345y17.016.515.513.812.2(1)求y關(guān)于x的線性回歸方程;(2)若每噸該產(chǎn)品的成本為12千元,假設(shè)該產(chǎn)品可全部賣出,預(yù)測(cè)當(dāng)年產(chǎn)量為多少時(shí),年利潤(rùn)w取到最大值?參考公式:20.(12分)已知a,b∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=(I)若b=0,求f(x)的單調(diào)區(qū)間:(II)當(dāng)x∈[0,+∞)時(shí),f(x)的最小值為0,求a+5b的最大值.注:21.(12分)已知直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;(2)設(shè)點(diǎn),直線與曲線交于,兩點(diǎn),求的值.22.(10分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求的單調(diào)區(qū)間.(2)設(shè)直線是曲線的切線,若的斜率存在最小值-2,求的值,并求取得最小斜率時(shí)切線的方程.(3)已知分別在,處取得極值,求證:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.A【解析】

依據(jù)無(wú)窮等比數(shù)列求和公式,先求出首項(xiàng),再求出,利用無(wú)窮等比數(shù)列求和公式即可求出結(jié)果?!驹斀狻恳?yàn)闊o(wú)窮等比數(shù)列的公比為2,則無(wú)窮等比數(shù)列的公比為。由有,,解得,所以,,故選A?!军c(diǎn)睛】本題主要考查無(wú)窮等比數(shù)列求和公式的應(yīng)用。2.C【解析】

根據(jù)對(duì)稱性即可求出答案.【詳解】解:∵點(diǎn)(5,f(5))與點(diǎn)(﹣1,f(﹣1))滿足(5﹣1)÷2=2,故它們關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱,所以f(5)+f(﹣1)=2,故選:C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的對(duì)稱性的應(yīng)用,屬于中檔題.3.D【解析】

先根據(jù)已知條件求解出的通項(xiàng)公式,然后根據(jù)的單調(diào)性以及得到滿足的不等關(guān)系,由此求解出的取值范圍.【詳解】由已知得,則.因?yàn)?,?shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列,所以,則,化簡(jiǎn)得,所以.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式求解以及根據(jù)數(shù)列單調(diào)性求解參數(shù)范圍,難度一般.已知數(shù)列單調(diào)性,可根據(jù)之間的大小關(guān)系分析問(wèn)題.4.B【解析】

由于到直線的距離和等于中點(diǎn)到此直線距離的二倍,所以只需求中點(diǎn)到此直線距離的最大值即可。再得到中點(diǎn)的軌跡是圓,再通過(guò)此圓的圓心到直線距離,半徑和中點(diǎn)到此直線距離的最大值的關(guān)系可以求出。再通過(guò)裂項(xiàng)的方法求的前項(xiàng)和,即可通過(guò)不等式來(lái)求解的取值范圍.【詳解】由,得,.設(shè)線段的中點(diǎn),則,在圓上,到直線的距離之和等于點(diǎn)到該直線的距離的兩倍,點(diǎn)到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和,而圓的圓心到直線的距離為,,,..故選:【點(diǎn)睛】本題考查了向量數(shù)量積,點(diǎn)到直線的距離,數(shù)列求和等知識(shí),是一道不錯(cuò)的綜合題.5.C【解析】

先根據(jù)組合數(shù)計(jì)算出所有的情況數(shù),再根據(jù)“3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列”列舉得到滿足條件的情況,由此可求解出對(duì)應(yīng)的概率.【詳解】所有的情況數(shù)有:種,3個(gè)數(shù)中至少有2個(gè)陽(yáng)數(shù)且能構(gòu)成等差數(shù)列的情況有:,共種,所以目標(biāo)事件的概率.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查概率與等差數(shù)列的綜合,涉及到背景文化知識(shí),難度一般.求解該類問(wèn)題可通過(guò)古典概型的概率求解方法進(jìn)行分析;當(dāng)情況數(shù)較多時(shí),可考慮用排列數(shù)、組合數(shù)去計(jì)算.6.D【解析】

通過(guò)復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則化簡(jiǎn)求解復(fù)數(shù)為:的形式,即可得到復(fù)數(shù)的虛部.【詳解】由題可知,所以的虛部是1.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的混合運(yùn)算,復(fù)數(shù)的基本概念,屬于基礎(chǔ)題.7.B【解析】

由題意得,,然后求解即可【詳解】∵,∴.又∵,∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題8.B【解析】

由題意首先確定導(dǎo)函數(shù)的符號(hào),然后結(jié)合題意確定函數(shù)在區(qū)間和處函數(shù)的特征即可確定函數(shù)圖像.【詳解】函數(shù)在上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為,且函數(shù)在處取得極大值,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.時(shí),,時(shí),,當(dāng)或時(shí),;當(dāng)時(shí),.故選:【點(diǎn)睛】根據(jù)函數(shù)取得極大值,判斷導(dǎo)函數(shù)在極值點(diǎn)附近左側(cè)為正,右側(cè)為負(fù),由正負(fù)情況討論圖像可能成立的選項(xiàng),是判斷圖像問(wèn)題常見方法,有一定難度.9.A【解析】

根據(jù)所給函數(shù)解析式滿足的等量關(guān)系及指數(shù)冪運(yùn)算,可得;利用定義可證明函數(shù)的單調(diào)性,由賦值法即可求得函數(shù)在上的最大值.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?,且,則;任取,且,則,故,令,,則,即,故函數(shù)在上單調(diào)遞增,故,令,,故,故函數(shù)在上的最大值為4.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)冪的運(yùn)算及化簡(jiǎn),利用定義證明抽象函數(shù)的單調(diào)性,賦值法在抽象函數(shù)求值中的應(yīng)用,屬于中檔題.10.D【解析】

先理解題意,然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形,在利用三角函數(shù)的知識(shí)計(jì)算出冬至日光與春秋分日光的夾角,即黃赤交角,即可得到正確選項(xiàng).【詳解】解:由題意,可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為,春秋分日光與垂直線夾角為,則即為冬至日光與春秋分日光的夾角,即黃赤交角,將圖3近似畫出如下平面幾何圖形:則,,.,估計(jì)該骨笛的大致年代早于公元前6000年.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,運(yùn)用了兩角和與差的正切公式,考查了轉(zhuǎn)化思想,數(shù)學(xué)建模思想,以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬中檔題.11.A【解析】試題分析:漸近線方程是﹣y2=1,整理后就得到雙曲線的漸近線.解:雙曲線其漸近線方程是﹣y2=1整理得x±2y=1.故選A.點(diǎn)評(píng):本題考查了雙曲線的漸進(jìn)方程,把雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中的“1”轉(zhuǎn)化成“1”即可求出漸進(jìn)方程.屬于基礎(chǔ)題.12.B【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性,可排除D;求得及,由導(dǎo)函數(shù)符號(hào)可判斷在上單調(diào)遞增,即可排除AC選項(xiàng).【詳解】函數(shù)易知為奇函數(shù),故排除D.又,易知當(dāng)時(shí),;又當(dāng)時(shí),,故在上單調(diào)遞增,所以,綜上,時(shí),,即單調(diào)遞增.又為奇函數(shù),所以在上單調(diào)遞增,故排除A,C.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)解析式判斷函數(shù)圖象,導(dǎo)函數(shù)性質(zhì)與函數(shù)圖象關(guān)系,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

根據(jù)均為正數(shù),等價(jià)于恒成立,令,轉(zhuǎn)化為恒成立,利用基本不等式求解最值.【詳解】由題均為正數(shù),不等式恒成立,等價(jià)于恒成立,令則,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào),故的最大值為.故答案為:【點(diǎn)睛】此題考查不等式恒成立求參數(shù)的取值范圍,關(guān)鍵在于合理進(jìn)行等價(jià)變形,此題可以構(gòu)造二次函數(shù)求解,也可利用基本不等式求解.14.【解析】

根據(jù)題意,依次分析不等式的變化規(guī)律,綜合可得答案.【詳解】解:根據(jù)題意,對(duì)于第一個(gè)不等式,,則有,對(duì)于第二個(gè)不等式,,則有,對(duì)于第三個(gè)不等式,,則有,依此類推:第個(gè)不等式為:,故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查歸納推理的應(yīng)用,分析不等式的變化規(guī)律.15.【解析】

根據(jù)條件概率的求法,分別求得,再代入條件概率公式求解.【詳解】根據(jù)題意得所以故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查條件概率的求法,還考查了理解辨析的能力,屬于基礎(chǔ)題.16.【解析】

可看出,這樣根據(jù)即可得出,從而得出滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為1.【詳解】解:,或,在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)與的圖象,由圖可知與無(wú)交點(diǎn),無(wú)解,則滿足條件的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為.故答案為:.【點(diǎn)睛】考查列舉法的定義,交集的定義及運(yùn)算,以及知道方程無(wú)解,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(Ⅰ)(Ⅱ)【解析】

(1)由拋物線的性質(zhì),當(dāng)軸時(shí),最??;(2)設(shè)點(diǎn),,分別代入拋物線方程和得到三個(gè)方程,消去,得到關(guān)于的一元二次方程,利用判別式即可求出的范圍.【詳解】解:(1)由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程,,根據(jù)拋物線的性質(zhì),當(dāng)軸時(shí),最小,最小值為,即為4.(2)由題意,設(shè)點(diǎn),,其中,.則,①,②因?yàn)?,,,所?③由①②③,得,由,且,得,解不等式,得點(diǎn)縱坐標(biāo)的范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的方程和性質(zhì)和二次方程的解的問(wèn)題,考查運(yùn)算能力,此類問(wèn)題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問(wèn)題解決問(wèn)題的能力等,易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足,導(dǎo)致錯(cuò)解.18.(1)見解析,,x[0,1];(2)P(,)時(shí),視角∠EPF最大.【解析】

(1)以A為原點(diǎn),l1為x軸,拋物線的對(duì)稱軸為y軸建系,設(shè)出方程,通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)可求方程;(2)設(shè)出的坐標(biāo),表示出,利用基本不等式求解的最大值,從而可得觀測(cè)點(diǎn)P的坐標(biāo).【詳解】(1)以A為原點(diǎn),l1為x軸,拋物線的對(duì)稱軸為y軸建系由題意知:B(1,0.5),設(shè)拋物線方程為代入點(diǎn)B得:p=1,故方程為,x[0,1];(2)設(shè)P(,),t[0,],作PQ⊥l3于Q,記∠EPQ=,∠FPQ=,,令,,則:,當(dāng)且僅當(dāng)即,即,即時(shí)取等號(hào);故P(,)時(shí)視角∠EPF最大,答:P(,)時(shí),視角∠EPF最大.【點(diǎn)睛】本題主要考查圓錐曲線的實(shí)際應(yīng)用,理解題意,構(gòu)建合適的模型是求解的關(guān)鍵,涉及最值問(wèn)題一般利用基本不等式或者導(dǎo)數(shù)來(lái)進(jìn)行求解,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).19.(1)(2)當(dāng)時(shí),年利潤(rùn)最大.【解析】

(1)方法一:令,先求得關(guān)于的回歸直線方程,由此求得關(guān)于的回歸直線方程.方法二:根據(jù)回歸直線方程計(jì)算公式,計(jì)算出回歸直線方程.方法一的好處在計(jì)算的數(shù)值較小.(2)求得w的表達(dá)式,根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)作出預(yù)測(cè).【詳解】(1)方法一:取,則得與的數(shù)據(jù)關(guān)系如下123457.06.55.53.82.2,,,.,,關(guān)于的線性回歸方程是即,故關(guān)于的線性回歸方程是.方法二:因?yàn)椋?,,,所以,故關(guān)于的線性回歸方程是,(2)年利潤(rùn),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知:當(dāng)時(shí),年利潤(rùn)最大.【點(diǎn)睛】本小題主要考查回歸直線方程的求法,考查利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè),考查運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.20.(I)詳見解析;(II)2【解析】

(I)求導(dǎo)得到f'(x)=ex-a,討論a≤0(II)f12=e-12a-5【詳解】(I)f(x)=ex-ax當(dāng)a≤0時(shí),f'(x)=e當(dāng)a>0時(shí),f'(x)=ex-a=0,x=lna當(dāng)x∈lna,+∞時(shí),綜上所述:a≤0時(shí),fx在R上單調(diào)遞增;a>0時(shí),fx在-∞,ln(II)f(x)=ex-ax-bf12=現(xiàn)在證明存在a,b,a+5b=2e取a=3e4,b=f'(x)=ex-a-故當(dāng)x∈0,+∞上時(shí),x2+1f'x在x∈0,+∞上單調(diào)遞增,故fx在0,12上單調(diào)遞減,在1綜上所述:a+5b的最大值為【點(diǎn)睛

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