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2022-2023學(xué)年高三上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1.答卷前,考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型(B)填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2.作答選擇題時(shí),選出每小題答案后,用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑;如需改動(dòng),用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答,答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上;如需改動(dòng),先劃掉原來(lái)的答案,然后再寫上新答案;不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.以,為直徑的圓的方程是A. B.C. D.2.已知直線,,則“”是“”的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件3.如圖所示的程序框圖,當(dāng)其運(yùn)行結(jié)果為31時(shí),則圖中判斷框①處應(yīng)填入的是()A. B. C. D.4.已知函數(shù)是奇函數(shù),且,若對(duì),恒成立,則的取值范圍是()A. B. C. D.5.已知雙曲線的焦距為,過(guò)左焦點(diǎn)作斜率為1的直線交雙曲線的右支于點(diǎn),若線段的中點(diǎn)在圓上,則該雙曲線的離心率為()A. B. C. D.6.若是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),且,則A.的值域?yàn)?B.為周期函數(shù),且6為其一個(gè)周期C.的圖像關(guān)于對(duì)稱 D.函數(shù)的零點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè)7.已知雙曲線:(,)的右焦點(diǎn)與圓:的圓心重合,且圓被雙曲線的一條漸近線截得的弦長(zhǎng)為,則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.38.已知不等式組表示的平面區(qū)域的面積為9,若點(diǎn),則的最大值為()A.3 B.6 C.9 D.129.如圖,四面體中,面和面都是等腰直角三角形,,,且二面角的大小為,若四面體的頂點(diǎn)都在球上,則球的表面積為()A. B. C. D.10.的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為A.-40 B.-20 C.20 D.4011.直線l過(guò)拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線交于A,B兩點(diǎn),則的最小值是A.10 B.9 C.8 D.712.將4名大學(xué)生分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)去當(dāng)村官,每個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)至少一名,則不同的分配方案種數(shù)是()A.18種 B.36種 C.54種 D.72種二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.?dāng)?shù)列的前項(xiàng)和為,數(shù)列的前項(xiàng)和為,滿足,,且.若任意,成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_________.14.若復(fù)數(shù)z滿足,其中i是虛數(shù)單位,則z的模是______.15.已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為,且,則______.16.?dāng)?shù)列滿足,則,_____.若存在n∈N*使得成立,則實(shí)數(shù)λ的最小值為_(kāi)_____三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓,直線不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸,與有兩個(gè)交點(diǎn),,線段的中點(diǎn)為.(Ⅰ)證明:直線的斜率與的斜率的乘積為定值;(Ⅱ)若過(guò)點(diǎn),延長(zhǎng)線段與交于點(diǎn),四邊形能否為平行四邊形?若能,求此時(shí)的斜率,若不能,說(shuō)明理由.18.(12分)已知函數(shù),函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為0.(1)試用含有的式子表示,并討論的單調(diào)性;(2)對(duì)于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn),,如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn),使得在點(diǎn)處的切線,則稱存在“跟隨切線”.特別地,當(dāng)時(shí),又稱存在“中值跟隨切線”.試問(wèn):函數(shù)上是否存在兩點(diǎn)使得它存在“中值跟隨切線”,若存在,求出的坐標(biāo),若不存在,說(shuō)明理由.19.(12分)如圖,在四棱柱中,平面,底面ABCD滿足∥BC,且(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)求直線與平面所成角的正弦值.20.(12分)已知數(shù)列的通項(xiàng),數(shù)列為等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項(xiàng);(2)設(shè),求數(shù)列的前項(xiàng)和.21.(12分)已知拋物線的焦點(diǎn)為,點(diǎn)在拋物線上,,直線過(guò)點(diǎn),且與拋物線交于,兩點(diǎn).(1)求拋物線的方程及點(diǎn)的坐標(biāo);(2)求的最大值.22.(10分)如圖1,在等腰中,,,分別為,的中點(diǎn),為的中點(diǎn),在線段上,且。將沿折起,使點(diǎn)到的位置(如圖2所示),且。(1)證明:平面;(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】
設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,利用待定系數(shù)法一一求出,從而求出圓的方程.【詳解】設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,由題意得圓心為,的中點(diǎn),根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,,又,所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,化簡(jiǎn)整理得,所以本題答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求圓的方程,解題的關(guān)鍵是假設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,建立方程組,屬于基礎(chǔ)題.2、C【解析】
先得出兩直線平行的充要條件,根據(jù)小范圍可推導(dǎo)出大范圍,可得到答案.【詳解】直線,,的充要條件是,當(dāng)a=2時(shí),化簡(jiǎn)后發(fā)現(xiàn)兩直線是重合的,故舍去,最終a=-1.因此得到“”是“”的充分必要條件.故答案為C.【點(diǎn)睛】判斷充要條件的方法是:①若p?q為真命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若p?q為假命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若p?q為真命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若p?q為假命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰(shuí)大誰(shuí)必要,誰(shuí)小誰(shuí)充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系.3、C【解析】
根據(jù)程序框圖的運(yùn)行,循環(huán)算出當(dāng)時(shí),結(jié)束運(yùn)行,總結(jié)分析即可得出答案.【詳解】由題可知,程序框圖的運(yùn)行結(jié)果為31,當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.此時(shí)輸出.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)程序框圖的循環(huán)結(jié)構(gòu),已知輸出結(jié)果求條件框,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
先根據(jù)函數(shù)奇偶性求得,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是奇函數(shù),所以函數(shù)是偶函數(shù).,即,又,所以,.函數(shù)的定義域?yàn)椋?,則函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù).又在上,,所以為偶函數(shù),且在上單調(diào)遞增.由,可得,對(duì)恒成立,則,對(duì)恒成立,,得,所以的取值范圍是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式,根據(jù)方程組法求函數(shù)解析式,利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性,屬壓軸題.5、C【解析】
設(shè)線段的中點(diǎn)為,判斷出點(diǎn)的位置,結(jié)合雙曲線的定義,求得雙曲線的離心率.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為,由于直線的斜率是,而圓,所以.由于是線段的中點(diǎn),所以,而,根據(jù)雙曲線的定義可知,即,即.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查雙曲線的定義和離心率的求法,考查直線和圓的位置關(guān)系,考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法,屬于中檔題.6、D【解析】
運(yùn)用函數(shù)的奇偶性定義,周期性定義,根據(jù)表達(dá)式判斷即可.【詳解】是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù),則,,又,,即是以4為周期的函數(shù),,所以函數(shù)的零點(diǎn)有無(wú)窮多個(gè);因?yàn)?,,令,則,即,所以的圖象關(guān)于對(duì)稱,由題意無(wú)法求出的值域,所以本題答案為D.【點(diǎn)睛】本題綜合考查了函數(shù)的性質(zhì),主要是抽象函數(shù)的性質(zhì),運(yùn)用數(shù)學(xué)式子判斷得出結(jié)論是關(guān)鍵.7、A【解析】
由已知,圓心M到漸近線的距離為,可得,又,解方程即可.【詳解】由已知,,漸近線方程為,因?yàn)閳A被雙曲線的一條漸近線截得的弦長(zhǎng)為,所以圓心M到漸近線的距離為,故,所以離心率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線離心率的問(wèn)題,涉及到直線與圓的位置關(guān)系,考查學(xué)生的運(yùn)算能力,是一道容易題.8、C【解析】
分析:先畫出滿足約束條件對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用平面區(qū)域的面積為9求出,然后分析平面區(qū)域多邊形的各個(gè)頂點(diǎn),即求出邊界線的交點(diǎn)坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)求得最大值.詳解:作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖所示:則,所以平面區(qū)域的面積,解得,此時(shí),由圖可得當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取得最大值9,故選C.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問(wèn)題,在求解的過(guò)程中,首先需要正確畫出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域,之后根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的形式,判斷z的幾何意義,之后畫出一條直線,上下平移,判斷哪個(gè)點(diǎn)是最優(yōu)解,從而聯(lián)立方程組,求得最優(yōu)解的坐標(biāo),代入求值,要明確目標(biāo)函數(shù)的形式大體上有三種:斜率型、截距型、距離型;根據(jù)不同的形式,應(yīng)用相應(yīng)的方法求解.9、B【解析】
分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,利用二面角的定義轉(zhuǎn)化二面角的平面角為,然后分別過(guò)點(diǎn)作平面的垂線與過(guò)點(diǎn)作平面的垂線交于點(diǎn),在中計(jì)算出,再利用勾股定理計(jì)算出,即可得出球的半徑,最后利用球體的表面積公式可得出答案.【詳解】如下圖所示,分別取、的中點(diǎn)、,連接、、,由于是以為直角等腰直角三角形,為的中點(diǎn),,,且、分別為、的中點(diǎn),所以,,所以,,所以二面角的平面角為,,則,且,所以,,,是以為直角的等腰直角三角形,所以,的外心為點(diǎn),同理可知,的外心為點(diǎn),分別過(guò)點(diǎn)作平面的垂線與過(guò)點(diǎn)作平面的垂線交于點(diǎn),則點(diǎn)在平面內(nèi),如下圖所示,由圖形可知,,在中,,,所以,,所以,球的半徑為,因此,球的表面積為.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查球體的表面積,考查二面角的定義,解決本題的關(guān)鍵在于找出球心的位置,同時(shí)考查了計(jì)算能力,屬于中等題.10、D【解析】令x=1得a=1.故原式=.的通項(xiàng),由5-2r=1得r=2,對(duì)應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)=80,由5-2r=-1得r=3,對(duì)應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)=-40,故所求的常數(shù)項(xiàng)為40,選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個(gè)因式相乘,若第1個(gè)括號(hào)提出x,從余下的5個(gè)括號(hào)中選2個(gè)提出x,選3個(gè)提出;若第1個(gè)括號(hào)提出,從余下的括號(hào)中選2個(gè)提出,選3個(gè)提出x.故常數(shù)項(xiàng)==-40+80=4011、B【解析】
根據(jù)拋物線中過(guò)焦點(diǎn)的兩段線段關(guān)系,可得;再由基本不等式可求得的最小值.【詳解】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可知p=2因?yàn)橹本€l過(guò)拋物線的焦點(diǎn),由過(guò)拋物線焦點(diǎn)的弦的性質(zhì)可知所以因?yàn)闉榫€段長(zhǎng)度,都大于0,由基本不等式可知,此時(shí)所以選B【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的基本性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用,基本不等式的用法,屬于中檔題.12、B【解析】
把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組,為1人、1人、2人,再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)即得.【詳解】把4名大學(xué)生按人數(shù)分成3組,為1人、1人、2人,再把這三組分配到3個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn),則不同的分配方案有種.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查排列組合,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
當(dāng)時(shí),,可得到,再用累乘法求出,再求出,根據(jù)定義求出,再借助單調(diào)性求解.【詳解】解:當(dāng)時(shí),,則,,當(dāng)時(shí),,,,,,(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立),,故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查已知求,累乘法,主要考查計(jì)算能力,屬于中檔題.14、【解析】
先求得復(fù)數(shù),再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式即得.【詳解】,,則.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算和求復(fù)數(shù)的模,是基礎(chǔ)題.15、【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求得,結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和公式求得的值.【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列,所以,解得,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本小題考查等差數(shù)列的性質(zhì),前項(xiàng)和公式的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識(shí);考查運(yùn)算求解能力,應(yīng)用意識(shí).16、【解析】
利用“退一作差法”求得數(shù)列的通項(xiàng)公式,將不等式分離常數(shù),利用商比較法求得的最小值,由此求得的取值范圍,進(jìn)而求得的最小值.【詳解】當(dāng)時(shí)兩式相減得所以當(dāng)時(shí),滿足上式綜上所述存在使得成立的充要條件為存在使得,設(shè),所以,即,所以單調(diào)遞增,的最小項(xiàng),即有的最小值為.故答案為:(1).(2).【點(diǎn)睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式,考查數(shù)列單調(diào)性的判斷方法,考查不等式成立的存在性問(wèn)題的求解策略,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)詳見(jiàn)解析;(Ⅱ)能,或.【解析】試題分析:(1)設(shè)直線,直線方程與橢圓方程聯(lián)立,根據(jù)韋達(dá)定理求根與系數(shù)的關(guān)系,并表示直線的斜率,再表示;(2)第一步由(Ⅰ)得的方程為.設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,直線與橢圓方程聯(lián)立求點(diǎn)的坐標(biāo),第二步再整理點(diǎn)的坐標(biāo),如果能構(gòu)成平行四邊形,只需,如果有值,并且滿足,的條件就說(shuō)明存在,否則不存在.試題解析:解:(1)設(shè)直線,,,.∴由得,∴,.∴直線的斜率,即.即直線的斜率與的斜率的乘積為定值.(2)四邊形能為平行四邊形.∵直線過(guò)點(diǎn),∴不過(guò)原點(diǎn)且與有兩個(gè)交點(diǎn)的充要條件是,由(Ⅰ)得的方程為.設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為.∴由得,即將點(diǎn)的坐標(biāo)代入直線的方程得,因此.四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分,即∴.解得,.∵,,,∴當(dāng)?shù)男甭蕿榛驎r(shí),四邊形為平行四邊形.考點(diǎn):直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用【一題多解】第一問(wèn)涉及中點(diǎn)弦,當(dāng)直線與圓錐曲線相交時(shí),點(diǎn)是弦的中點(diǎn),(1)知道中點(diǎn)坐標(biāo),求直線的斜率,或知道直線斜率求中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系,或知道求直線斜率與直線斜率的關(guān)系時(shí),也可以選擇點(diǎn)差法,設(shè),,代入橢圓方程,兩式相減,化簡(jiǎn)為,兩邊同時(shí)除以得,而,,即得到結(jié)果,(2)對(duì)于用坐標(biāo)法來(lái)解決幾何性質(zhì)問(wèn)題,那么就要求首先看出幾何關(guān)系滿足什么條件,其次用坐標(biāo)表示這些幾何關(guān)系,本題的關(guān)鍵就是如果是平行四邊形那么對(duì)角線互相平分,即,分別用方程聯(lián)立求兩個(gè)坐標(biāo),最后求斜率.18、(1),單調(diào)性見(jiàn)解析;(2)不存在,理由見(jiàn)解析【解析】
(1)由題意得,即可得;求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),再根據(jù)、、、分類討論,分別求出、的解集即可得解;(2)假設(shè)滿足條件的、存在,不妨設(shè),且,由題意得可得,令(),構(gòu)造函數(shù)(),求導(dǎo)后證明即可得解.【詳解】(1)由題可得函數(shù)的定義域?yàn)榍遥?,整理?.(?。┊?dāng)時(shí),易知,,時(shí).故在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.(ⅱ)當(dāng)時(shí),令,解得或,則①當(dāng),即時(shí),在上恒成立,則在上遞增.②當(dāng),即時(shí),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在上單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.③當(dāng),即時(shí),當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),.所以在上單調(diào)遞增,單調(diào)遞減,單調(diào)遞增.綜上,當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),在及上單調(diào)遞增;在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí),在上遞增.當(dāng)時(shí),在及上單調(diào)遞增;在上遞減.(2)滿足條件的、不存在,理由如下:假設(shè)滿足條件的、存在,不妨設(shè),且,則,又,由題可知,整理可得:,令(),構(gòu)造函數(shù)().則,所以在上單調(diào)遞增,從而,所以方程無(wú)解,即無(wú)解.綜上,滿足條件的A、B不存在.【點(diǎn)睛】本題考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用,考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化化歸思想,屬于中檔題.19、(Ⅰ)證明見(jiàn)解析;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)證明,根據(jù)得到,得到證明.(Ⅱ)如圖所示,分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,平面的法向量,,計(jì)算向量夾角得到答案.【詳解】(Ⅰ)平面,平面,故.,,故,故.,故平面.(Ⅱ)如圖所示:分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,.設(shè)平面的法向量,則,即,取得到,,設(shè)直線與平面所成角為故.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直,線面夾角,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.20、(1);(2).【解析】
(1)根據(jù),,成等差數(shù)列以及為等比數(shù)列,通過(guò)直接對(duì)進(jìn)行賦值計(jì)算出的首項(xiàng)和公比,即可求解出的通項(xiàng)公式;(2)的通項(xiàng)公式符合等差乘以等比的形式,采用錯(cuò)位相減法進(jìn)行求和.【詳解】(1)數(shù)列為等比數(shù)列,且,,成等差數(shù)列.設(shè)數(shù)列的公比為,,,解得(2),,,,.【點(diǎn)睛】本題考查等差、等比數(shù)列的綜合以及錯(cuò)位相減法求和的應(yīng)用,難度一般.判斷是否適合使用錯(cuò)位相減法,可根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)公式是否符合等差乘以等比的形式來(lái)判斷.21、(1),;(2)1.【解析】
(1)根據(jù)拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的距離相等,可得p值,即可求拋物線C的方程從而可得解;(2)設(shè)直線l的方程為:x+my﹣1=0,代入y2=4x,得,y2+4my﹣4=0,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1+y2=﹣4m,y1y2=﹣4,x1+x2=2+4m2,x1x2=1,(),(x2﹣2,),由此能求出的最大值.【詳解】(1)∵點(diǎn)F是拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn),P(2,y0)是拋物線上一點(diǎn),|PF|=3,∴23,解得:p=2,∴拋物線C的方程為y2=4x,∵點(diǎn)P(2,n)(n>0)在拋物線C上,∴n2=4×2=8,由n>0,得n=2,∴P(2,2).(2)∵F(1,0),∴設(shè)直線l的方程為:x+my﹣1=0,代入y2=4x,整理得,y2+4my﹣4=0設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則y1
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