《指數(shù)》教案與同步練習(xí)

1、4.1 指 數(shù)教案第一課時(shí)n次方根與指數(shù)冪【教材分析】【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)n掌握指數(shù)冪和根式之間的互化、化簡(jiǎn)、求值；數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象：n邏輯推理：指數(shù)冪和根式之間的互化；數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值；冪的性質(zhì)?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】（1）根式概念的理解；指數(shù)冪的理解；難點(diǎn)：根式、指數(shù)冪概念的理解 教學(xué)方法：以學(xué)生為主體，采用類(lèi)比發(fā)現(xiàn)，誘思探究式教學(xué)，精講多練?！窘虒W(xué)過(guò)程】一、情景引入關(guān)于根號(hào)的故事，最有價(jià)值和意義的當(dāng)屬 2的發(fā)現(xiàn)，它導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，并促使了邏輯學(xué)和幾何學(xué)的發(fā)展整數(shù)或整數(shù)之比”則是這一學(xué)派的數(shù)學(xué)信仰對(duì)于這一理論，其學(xué)派中的一個(gè)成員希帕索斯考慮了一個(gè)問(wèn)題：邊長(zhǎng)

2、為 222二、新知導(dǎo)學(xué)1n次方根定義定義一般地，如果那么x叫做a的n次方根，其中且nN*n是奇數(shù)n x僅有一個(gè)值，記為 個(gè)數(shù)a0n是偶數(shù)a0n x有兩個(gè)值，且互為相反數(shù)，記為 x不存在歸納總結(jié)(1)任何實(shí)數(shù)均有奇次方根，僅有非負(fù)數(shù)才有偶次方根，負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根n(2)00(1，N*)2根式n(1)定義：式子 叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù).(2)性質(zhì)：(1，N*)n( n為奇數(shù)， |a|，n為偶數(shù).三、課前小測(cè)31. 8等于( B)A2 C233解析822下列各式正確的是(A)B2 D83A()3a4B(7)475C()5|6D 6a3解析(54)3，(67)47，a ( )5，

3、6|，a 故 選 A 3以下說(shuō)法正確的是(CA正數(shù)的n次方根是正數(shù)Bn次方根是負(fù)數(shù)C0n0(1N*)Dn次方根解析對(duì)于A，正數(shù)的偶次方根中有負(fù)數(shù)，A錯(cuò)誤對(duì)于B，負(fù)數(shù)的奇次方根是負(fù)數(shù)，偶次方根不存在，B 錯(cuò)誤；C，1N*時(shí)，0n，C 正確；D，n為奇數(shù)時(shí)，負(fù)數(shù)的奇次方根是負(fù)數(shù)，D66xx的取值范圍為66x4若有意義，則實(shí)數(shù)666x解析要使式x6.四、互動(dòng)探究0，命題方向1n次方根的概念5典例1(1)16的平方根為4，27的5次方根為 27；7(2)已知76，則 6；4(3)若有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是2，).思路分析解答此類(lèi)問(wèn)題應(yīng)明確n次方根中根指數(shù)對(duì)被開(kāi)方數(shù)的要求及次方根的個(gè)數(shù)要求5解析(1

4、)(4)21616的平方根為4.27的5次方根為27.7(2)76， 6.4(3)要使)x2x20, 即因此實(shí)數(shù)x的取值范圍是2，規(guī)律方法 (1)任意實(shí)數(shù)的奇次方根只有一個(gè)，正數(shù)的偶次方根有兩個(gè)且互為相反數(shù)；n(2)(決定annan的奇偶性跟蹤練習(xí) 1計(jì)算下列各值：(1)27的立方根是3；(2)256的4次算術(shù)方根是4(3)32的5次方根是2.解析(1)3327，273. (2)(4)4256，2564(3)2532，3252.命題方向2利用根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)或求值典例2計(jì)算下列各式的值：5(1)25；6(2)4(3)7(4)4 6； 4； 7.思路分析由題目可獲得以下主要信息：n所給形式均為an

5、的形式；n n分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種解答本題可依據(jù)根式的性質(zhì)n為大于1a 為大于1的奇數(shù)，完成化簡(jiǎn)5解析(1)52.6(2)46664.4(3)2 4|2|x2.7(4)7 7規(guī)律方法 1.根式化簡(jiǎn)或求值的注意點(diǎn)后運(yùn)用根式的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)或求值n2對(duì)nan與(n的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)n對(duì)(n)nn1對(duì)任意aRn且( n1na)n只有當(dāng)a)na(a0)n對(duì)nn為奇數(shù)時(shí)，ana；當(dāng)nna 為偶數(shù)時(shí)， .a 平方、完全立方公式的運(yùn)用，做到化繁為簡(jiǎn)，必要時(shí)進(jìn)行討論跟蹤練習(xí) 2(1)計(jì)算下列各式：5a 5；63 63；6 143 3 6 143810.125.2(2)化簡(jiǎn)下列各式：44；5 5.5解析(1)a 5.66

6、3 6363.6 143 3 6 14380.125525223123333332 .22224(2)2 4|2|.x2 x25 5.4244241典例 3若代數(shù)424. 2x有意義，化簡(jiǎn)思路分析先借助代數(shù)式有意義確定出x的取值范圍再進(jìn)行根式的化簡(jiǎn)2x10解析由 2x1 有意義，得，2x044241244 224|2x1|2|x2|2x12(2x)3.規(guī)律方法 有限制條件的根式化簡(jiǎn)的步驟跟蹤練習(xí) 3化簡(jiǎn)下列各式：(1) 221 269(33)；3(2)( 1)2 1221a 3.解析(1)原式x1 22|1|3|.3x3，當(dāng)3x11x3(x1)(x3)4.2x23x1原式.4 1x0，x0，x

7、x12121212x22 x xx2xx2xx，112212122a02五、課堂作業(yè)1下列運(yùn)算中計(jì)算結(jié)果正確的是(D )A4312 C(3)25B632 D33()3解析437故A錯(cuò)633故B錯(cuò)(3)26故C錯(cuò)336，故D正確 2下列式子中正確的是(C632 44a63C 22 2D01解析632332 3，44|，01(0)，A、B、D32a3A52aC142a 23a 4的結(jié)果是(C )B2a5 D1解析由于23所以20,30所以原式231，故選 C44求值：444.334解析444344 .3第一課時(shí)n次方根與指數(shù)冪同步練習(xí)A 級(jí) 基礎(chǔ)鞏固一、選擇題已知56，則x等于(B)5A 6B 6

8、55C 6D 6解析x65x56.5 2 5的值是(C )A0C0或解析當(dāng)時(shí)，原式當(dāng)時(shí)，原式故選C 3已知102，則m等于(D)1010A2B210C 210D2解析102，m是2的10次方根又10是偶數(shù)，2的10次根有兩個(gè)，且互為相反數(shù)，m102，故選D384.的值是(B)12522AB552C53D538322解析35，故選 B5化簡(jiǎn)233得( C)A6B2xC6或2xD2x或6或26解析原式|x3|(x3).2x 6 化 簡(jiǎn) 42 3 42 3(D )A2 3 C2 3 解析 31，B2 D242 3 32 31312 423 42 3 42 32， 故 選 D 二、填空題7.2 22.

9、解析8212|2|2. a根號(hào)外的1移到根號(hào)內(nèi)等于.a解析由題意，得0Cx0Dx0， 2是一個(gè)正數(shù)，故選C3化簡(jiǎn) x 的結(jié)果是(A )xxxxxxxx解析 3有意義，0，3 .33 .xx 222化簡(jiǎn)( )2的結(jié)果是(A)bBbCbD1b解析由題意知，b0，(2)2.當(dāng) 2有意義時(shí)，化簡(jiǎn) 244 269的結(jié)果是(C)C1B2x1 D52x解析 有意義，2x0，即所以原式23二、填空題5. 72 105 2.解析72 105 22 5 2.函數(shù)5225的值域?yàn)?，).解析.2x 當(dāng) x1 時(shí)，f(x)2，當(dāng) x0，解析、b是方程2640的兩根，ab6 b的值 bab4， bab 62 4 21

10、a b，()2 . bab 62 4105bb5 5.已知241，a的取值范圍解析aa2|1|41，14 10，a .41 的取值范圍是(， 4的值9 求 xy的值 xy解析 ( )2 x2( )20，( 由 xy 8y2y 6 . xy5第二課時(shí) 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)教案【教材分析】指數(shù)冪的概念，以及整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則.有了這些知識(shí)作儲(chǔ)備，教科書(shū)通過(guò)實(shí)際問(wèn)題引入無(wú)理數(shù)指數(shù)冪，說(shuō)明了擴(kuò)張指數(shù)范圍的必要性.【教學(xué)目標(biāo)與核心素養(yǎng)】課程目標(biāo)理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念;掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪和根式之間的互化、化簡(jiǎn)、求值；掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象：分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念；邏輯推理：實(shí)數(shù)指數(shù)冪和根式

11、之間的互化；數(shù)學(xué)運(yùn)算：利用實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值；數(shù)據(jù)分析：分析已知條件與所求式子之間的聯(lián)系；質(zhì)?！窘虒W(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn)：掌握并運(yùn)用實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)；能利用已知條件求值 難點(diǎn)：能利用已知條件求值【教學(xué)方法】：以學(xué)生為主體，采用類(lèi)比發(fā)現(xiàn)，誘思探究式教學(xué)，精講多練?！窘虒W(xué)過(guò)程】一、情景引入1676613aaaaaaa131 113432 ，2 ，；將，a，aaa1，2，3，”正是由于牛頓的這一發(fā)現(xiàn)，才使得正整數(shù)指數(shù)冪推廣到了任意實(shí)數(shù)指數(shù)冪本節(jié)我們就一起來(lái)探究一下指數(shù)冪的擴(kuò)充過(guò)程 二、新知導(dǎo)學(xué)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義正分?jǐn)?shù)正分?jǐn)?shù)m規(guī)定 nam(0，N*1)分指數(shù)冪數(shù)m負(fù)分?jǐn)?shù)指規(guī)定：n m 11指數(shù)冪a

12、nna m數(shù)(0，N*1)冪0的分?jǐn)?shù)0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，指數(shù)冪0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪不存在 有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)(0，Q) (a0，b0，rQ)知識(shí)點(diǎn)撥(1)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算的其他性質(zhì)(0，Q)；( )r (a0，b0，rQ)指數(shù)冪的幾個(gè)常見(jiàn)結(jié)論當(dāng) a0 時(shí)，ab0；001；00無(wú)意義；a1)，乘法公式仍適用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，如111111(2 2 )(2 2 )(2 )2(2 )2(0，0)三、課前自測(cè)3142 可化為(C)A81C8314B233D241 1解析42 .34232382若為實(shí)數(shù)，則下列各式中正確的是(D)mC()nnD10n解析由指數(shù)冪的運(yùn)算法則知100n正確，故選D13化簡(jiǎn)(

13、 3)22 的結(jié)果是(C)3333333333333111133解析( 3)2 2 32 1 3.32把根式a 化成分?jǐn)?shù)指數(shù)冪是(D )33A(a) 23Ca2B(a) 23Da213解析a ，故選D求值：3(1)2 3161.512；(2)22 402111 50.13 112解析(1)原式232 ( )3 (223)62111112323323233611111213 3 32 3 6 21316.11211(2)原式12121212211 2222 2 2 22 2.四、互動(dòng)探究命題方向1根式與分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互典例1用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示下列各式：3(1)32；(2)32(a0，b0)；a63(

14、3)42a2(0，0)思路分析(1)關(guān)鍵是理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，先將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)的形式(2)運(yùn)用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)32211解析(1)3 233 33 a3 .(2)，321312 2611312 2612131313113a2 b2 a3a22(a22)2a44.8 11143)2 6 3 .342212423 3 11811 3 3 (3mn 、)，同時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：為根式；次用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪表示，最后再運(yùn)用相關(guān)的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)跟蹤練習(xí) 1211125(1)511 化為根式形式為；11254(2)(3)213 (0)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式為 6 ；133x5x22(0)化為分?jǐn)?shù)指數(shù)

15、冪的形式為 3x5x22111解析(1)原式2 .111151152252 1211(2)原式(3 )4 1(3)原式4 6 .1113x2x3x2x5234xx539x5155 3 .3命題方向2利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)求值311311(1)計(jì)算：(25)022(24)2典例 23(2)化簡(jiǎn)：72333815(0.01)0.5；1531.思路分析將根式化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的形式利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)算14 11 11 1 16解析(1)原式1 ( )2 ()2 1 .49100610153723722 38153 a3 3213 27a337a33a2 227271a3(a3)2(2)327

16、23 6 3272121a36 3 23 a6 .規(guī)律方法 1.冪的運(yùn)算的常規(guī)方法(1)化負(fù)指數(shù)冪為正指數(shù)冪或化分母為負(fù)指數(shù)； (2)化根式為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪；(3)化小數(shù)為分?jǐn)?shù) 2時(shí)含有分母和負(fù)指數(shù)2化簡(jiǎn)：41a3 8a3 b3 b322 (12 23111 1解析原式2112 1 1112112 21124b3 2a3 b3 a31a311 1111a3 a3 a3 a3 a.命題方向3指數(shù)冪運(yùn)算中的條件求值11典例3已知 3，求下列各式的值332 2(1)1；(2)22；(3) 11 .2 2思路分析利用完全平方差公式求(1)(2)，利用立方差公式求11解析(1)將2 2 3兩邊平方，得129

17、，即17.(2)1722249，2247.3333112 (3)由于2 2 (2 )3(2 )3，所以有1 2 21a21211a21211212112 2規(guī)律方法 (1)條件求值是代數(shù)式求值中的常見(jiàn)題型，一般要結(jié)合已知333a非常復(fù)雜(2)解決此類(lèi)問(wèn)題的一般步驟是跟蹤練習(xí) 311 已知且求 11的值x2 y211解析 11 11 21111 12 xy 2，()2()24xy12249108.xx 在R上是增函數(shù)，x3 x3 .12111121111 1又(xx3 )f(x) (x3 x3 x3 x3 ) (x3 1 225 11225111x3 )1(xx)3 0.21 2f(x)在(0，

18、)上是增函數(shù)(2)(4)5(2)(2)0(9)5(3)(3)0(2)5f(x)g(x)0. 證明如下：1 221 11111(2)5()()5(x3 x3 )5(x3 x3 )(x3 x3 )55221225(3 3 ) (3 3 )0.五、課堂達(dá)標(biāo)2將33 化為根式為(C)2A23C 9B39D39233解析33 32 9.下列根式、分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的互化中，正確的是(C)2x6123x 5yC()2 x5(、0)x 1xD 261解析2|， 2|3 ，x 5y5y()2 ()2 x5(、0)，1112 C1x1x2253計(jì)算(233)(31)(443 A)3 223 73C b323223 73

19、D b321643 3解析原式5443 2.24化簡(jiǎn)1a21a21的結(jié)果等于 . 解析由條件知a0 ， 則1a21a2a1a21a2121a2a1a21a21aa2 .5化簡(jiǎn)下列各式(式中字母都是正數(shù))3(1)2a463 3；3(2)72 338 15.1113解析(1)原式(4a6b6)(3b2 )1 11133 14 3 6 6 32 6 3 .22731731(2)原式(a22)33( 5) 23171271(2)3 (3 ) 2 3 6 2 .一、選擇題第二課時(shí) 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算性質(zhì)同步練習(xí)A 級(jí) 基礎(chǔ)鞏固下列各式既符合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，值又相等的是(C)12A(1) 3 和(1)6

20、11C22 441B02 02312D42 和( )3212解析選項(xiàng)A中，(1) 3 和(1) 6 均符合分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義，但(13261) 3 11，(1)6 121，AB，0312的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義，故 B 不滿足題意；選項(xiàng) D 中，42 和( )3 雖符合分2422422DC 122 2，C8114計(jì)算()的結(jié)果為(A)41623B322C381 13D21321622解析()4 ( )4 4 ( )1.162213若(32)2 (2)0有意義，則x的取值范圍(D)2A ，)32C ，2)(2，) 311解析(3x2)2x2B( ，)32D( ，2)(2，) 3.3 23x20要使原

21、式有意義應(yīng)有，x20 x 2 x 且32.故選 D34化簡(jiǎn)A5 C 3解析3524 的結(jié)果為(B )B 5 D5333231524 ( 52)4 (53 )4 52 5.5()2xxA Cxxx1等于(Bxxxx解析由x2 xx11x知002|)21x ，故選 B112162 2 22 C2211a (C )22 D2解析由2 2 m兩邊平方得212，122，12122a22.二、填空題164 37102,1003，100023解析102,1001023，等于3.10 3.110664 64 31 00023.10332118 228273 162 ( )2()3 3.2212293解析原式(33) 3 (42)2 22()33 32414 3.3三、解答題 93253(1)252 ；(2)(4)2 ；3(3) 343 27.33解析(1)252 (52)2 53125.2225 3535822(2)(4)2 ( )22 ( )3.3441133(3) 3 3 2733 34 34 3 3.B 級(jí) 素養(yǎng)提升一、選擇題21111 1 531化簡(jiǎn) (3a2)()的結(jié)果為(B)39a C9b9a D9b211 1 156解析原式(3)33 2 2 3 69a09.62若1，0，2 2，則b等(D)6A C26B2D2解析設(shè)，1，0，1，0，2()2