期末樣題06年4月22日期中

1、PAGE PAGE 5清華大學(xué)本科生考試試題專用紙 考試課程 微積分2(期中考試) 2006年 4 月 22 日 班級(jí)姓名學(xué)號(hào)一、判斷題（每小題3分，共30分）在題目后的中畫 “ ” 或者 “ ”1若不成立，則存在正數(shù)與自然數(shù)，使得當(dāng)時(shí)恒有 2若，有，則存在。 3若點(diǎn)列的每一個(gè)子列都是柯西列，則存在 4若在有無窮多個(gè)間斷點(diǎn)，則定積分不存在 5在區(qū)間非一致連續(xù)的充分必要條件是：在中可以找到兩個(gè)點(diǎn)列和使得，但是不趨向于零 6不論實(shí)數(shù)取何值，廣義積分都發(fā)散 7在連續(xù)，不恒為零若單調(diào)增加，則在不變號(hào) 8由黎曼積分存在可以推出黎曼積分存在 9設(shè)，則 10設(shè)在區(qū)間嚴(yán)格單調(diào)增加，則的充分必要條件是. 二、計(jì)

2、算題（共30分）11（7分）計(jì)算無窮積分12（8分）設(shè)若收斂，確定的取值范圍 13（分）用定積分計(jì)算極限14（分）設(shè)在連續(xù)，計(jì)算三、證明題（每小題10分，共40分）15設(shè)在內(nèi)有定義若存在，用函數(shù)極限定義和數(shù)列極限定義證明數(shù)列存在16假設(shè)在區(qū)間處處可導(dǎo)，且有界，求證在區(qū)間一致連續(xù)17設(shè)，證明沒有收斂子列 18假設(shè)在存在二階導(dǎo)數(shù)，任取，構(gòu)造點(diǎn)列求證：(1)若，則單調(diào)減少趨向于零 (2)若，則單調(diào)減少趨向于負(fù)無窮 答案：一.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 二.11. 解：12. 解：分由于，所以收斂分對(duì)于，所以當(dāng)時(shí)收斂，當(dāng)時(shí)發(fā)散結(jié)論：當(dāng)時(shí)收斂分13. 解：14. 解：三

3、.15. 解：設(shè)對(duì)于任意正數(shù)，根據(jù)極限定義，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)恒有分取定一個(gè)大于的自然數(shù)，當(dāng)時(shí)有，于是只要，就有因此根據(jù)數(shù)列極限定義知道10分16. 解：在區(qū)間有界，所以存在正數(shù)，使得.2分， 5分對(duì)于任意正數(shù)，取，只要，就有所以在區(qū)間一致連續(xù).10分17. 解：顯然單調(diào)增加且非負(fù).2分下面用反證法證明無界若有界，則存在正數(shù)，使得4分此時(shí)于是，.，這推出無界8分單調(diào)增加且無界，所以單調(diào)增加趨向于正無窮，于是每個(gè)子列都單調(diào)增加趨向于正無窮，因此每個(gè)子列都沒有收斂子列18. 解：(1)設(shè)容易看出當(dāng)時(shí)，所以，并且歸納得到于是單調(diào)減少且有下界因此存在且再證明反證：假設(shè)，則這不可能因?yàn)樵趨^(qū)間有，因此若，則(2) 設(shè)容易看出當(dāng)時(shí)，因此歸納得到單調(diào)減