2021-2022學(xué)年吉林省長春市第五中學(xué)高二年級下冊學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

1、2021-2022學(xué)年吉林省長春市高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1，則（）ABCDC【分析】解一元二次不等式確定集合，解分式不等式確定集合，然后由交集定義求解【詳解】或，因此，.故選：C本題考查集合的交集運算，解題關(guān)鍵是確定集合的元素2設(shè)，給出下列四個結(jié)論：；.其中正確的結(jié)論的序號為（）ABCDB【分析】根據(jù)數(shù)的性質(zhì)以及不等式性質(zhì)可判斷；舉反例可判斷，根據(jù)不等式性質(zhì)可判斷，即可判斷答案.【詳解】因為，故，故正確；不妨取 ，滿足，但，故錯誤；由，可得，故錯誤；由于，則，而，故，即，故正確，故選：B3已知，則（）ABCDC【分析】由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可【詳解】因為，所以，故選：C4

2、已知函數(shù)，則“對任意實數(shù)，恒成立”是“”的（）A充分而不必要條件B必要而不充分條件C充分必要條件D既不充分也不必要條件B【分析】結(jié)合一元二次不等式恒成立、充分和必要條件等知識確定正確選項.【詳解】恒成立，則，解得或，所以“對任意實數(shù)，恒成立”是“”的必要而不充分條件.故選：B5函數(shù)的圖象大致為（）ABCDB【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性排除選項C,D，再根據(jù)f(2)0，排除選項A，即得解.【詳解】解：由題意可知，sinx，則f(x)f(x)，所以函數(shù)是偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對稱，排除選項C,D.又f(2)0，則排除選項A.故選：B6若函數(shù)在上可導(dǎo)，且，則（）ABCD以上答案都不對C【分析】求出函數(shù)的

3、導(dǎo)函數(shù)，令，即可求出，從而得到的解析式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)判斷可得；【詳解】解：因為，所以，所以，解得，所以，函數(shù)開口向上，對稱軸為，因為，所以；故選：C72021年元旦期間，某高速公路收費站的四個高速收費口每天通過的小汽車數(shù)（單位：輛）均服從正態(tài)分布，若，假設(shè)四個收費口均能正常工作，則這四個收費口每天至少有一個不低于700輛小汽車通過的概率為（）ABCDD【分析】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性結(jié)合題意求出每個收費口有不低于700輛小汽車通過的概率，再利用對立事件的概率公式可求得答案【詳解】根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性，每個收費口有不低于700輛小汽車通過的概率，所以這四個收費口每天至少有一個不低于700輛小

4、汽車通過的概率故選：D8已知函數(shù)，函數(shù)有四個不同的零點，且滿足：，則下列結(jié)論中不正確的是（）ABCDB【分析】作出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)圖象得出4個零點的關(guān)系及范圍，進(jìn)而得出結(jié)論.【詳解】函數(shù)的四個不同的零點，就是函數(shù)與兩個圖象四個交點的橫坐標(biāo)，作出函數(shù)的圖象，由圖象可知，故A正確；由，可得或，結(jié)合圖象可知，故B錯誤；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)和圖象得出，所以，故C正確；又，且，所以，即，所以，故D正確.故選：B.二、多選題9下列說法正確的是（）AB是的充分不必要條件C已知函數(shù)的零點為1D若的定義域為0，2，則的定義域為1，1BC【分析】由配方法判斷的符號進(jìn)而判斷A，根據(jù)充分不必要條件的定義即可判斷B，求

5、出函數(shù)的零點即可判斷C，根據(jù)題意求出中x+1的范圍，進(jìn)而得到的定義域，最后判斷D.【詳解】對A，因為，所以A錯誤；對B，由可以得到，但由得不到，所以B正確；對C，令，所以C正確；對D，因為的定義域為0，2，即，所以的定義域為1,2，所以D錯誤.故選：BC.10定義在上的函數(shù)滿足在上單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于點對稱，則下列選項正確的是（）ABC在上單調(diào)D函數(shù)在上可能有2023個零點AC【分析】由，且圖象關(guān)于點對稱，得到的周期為4，結(jié)合滿足在上單調(diào)遞增，結(jié)合周期性與對稱性得到在單調(diào)遞減，分別判定選項即可.【詳解】所以的對稱軸為，且，又圖象關(guān)于點對稱，則，所以，所以，所以，所以的周期為4，所以為的對稱中心

6、，所以奇函數(shù)，且定義域為，所以，所以A正確；根據(jù)周期性，且,又對稱軸為，所以，且函數(shù)滿足在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以B錯誤；函數(shù)滿足在上單調(diào)遞增，且周期為4，所以函數(shù)滿足在上單調(diào)遞增，又圖象關(guān)于點對稱，所以在單調(diào)遞增，又對稱軸為，所以在單調(diào)遞減，且在單調(diào)遞減，且，所以在單調(diào)遞減，所以C正確；對于D，在上有且僅有2個零點，且周期為4，在上有且僅有1010個零點，在上有且僅有2個零點，函數(shù)在上可能有1012個零點，所以D錯誤.故選：AC.11已知函數(shù)，下列說法正確的是（）A在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增B在上僅有一個零點C若關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)解，則D在上有最大值，無最小值BD【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，

7、即可得到函數(shù)的單調(diào)性與極值、最值，再根據(jù)零點存在性定理判斷函數(shù)的零點，結(jié)合函數(shù)值的變化趨勢判斷C.【詳解】解：因為定義域為，所以，所以當(dāng)時，當(dāng)時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取得極大值即最大值，所以，又，所以在上有一個零點，當(dāng)時，所以，當(dāng)時，所以，且當(dāng)時，當(dāng)時；所以在上僅有一個零點，在上有最大值，無最小值，故A錯誤，B正確，D正確；對于C：若關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)解，則，故C錯誤；故選：BD12設(shè)函數(shù)，則下列說法正確的是（）A若有實根，則方程有實根B若無實根，則方程無實根C若，則函數(shù)與都恰有個零點D若，則函數(shù)與都恰有零點ABD【分析】直接利用代入法可判斷A選項的正誤；推導(dǎo)出對任意的

8、恒成立，結(jié)合該不等式可判斷B選項的正誤；取，結(jié)合方程思想可判斷C選項的正誤；利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，設(shè)有實根，則，A選項正確；對于B選項，因為，若方程無實根，則對任意的恒成立，故，從而方程無實根，B選項正確；對于C選項，取，則，函數(shù)有兩個零點，則，可得或，即或.解方程可得或，解方程，解得.此時，函數(shù)有個零點，C選項錯誤；對于D選項，因為，設(shè)，則，因為且，所以，函數(shù)必有兩個零點，設(shè)為、且，則，所以，方程無解，方程有兩解，因此，若，則函數(shù)與都恰有零點，D選項正確.故選：ABD.思路點睛：對于復(fù)合函數(shù)的零點個數(shù)問題，求解思路如下：（1）確定內(nèi)層函數(shù)和外層函數(shù)；（

9、2）確定外層函數(shù)的零點；（3）確定直線與內(nèi)層函數(shù)圖象的交點個數(shù)分別為、，則函數(shù)的零點個數(shù)為.三、填空題13含有三個實數(shù)的集合可表示為，也可以示為，則的值為_.【分析】根據(jù)集合相等的定義及集合中元素的互異性即可求解.【詳解】解：由題意，若，則或，檢驗可知不滿足集合中元素的互異性，所以，則，所以，則，故.故答案為.14已知，求的最小值_.【分析】利用基本不等式求得最小值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故15給出下列由變量和的數(shù)據(jù)得到其回歸直線方程，則一定經(jīng)過點；在回歸分析模型中，殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好；線性相關(guān)系數(shù)越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，反之，線性相關(guān)性越弱；在回歸直線方程

10、中，當(dāng)解釋變量每增加一個單位時，預(yù)報變量增加0.5個單位.其中真命題的序號是_【分析】利用回歸直線方程的特征以及兩個變量之間的關(guān)系逐一判斷四個選項的正誤即可.【詳解】回歸直線一定過樣本中心點，故正確；殘差平方和越小，說明模型的擬合效果越好，故正確；線性相關(guān)系數(shù)的絕對值越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強，反之，線性相關(guān)性越弱，故錯誤；在回歸直線方程中，當(dāng)解釋變量每增加一個單位時，預(yù)報變量減少0.5個單位，故錯誤.故.16設(shè)點在直線上，點在曲線上，線段的中點為為坐標(biāo)原點，則的取小值為_.【分析】通過轉(zhuǎn)化可得的最小值為到距離平方的最小值，利用導(dǎo)數(shù)求出切線即可得出.【詳解】由題可設(shè)，則則即，即的最小值為到

11、距離平方的最小值，其中點在曲線上，在直線上，的最小值為在曲線上與直線平行的切線的切點到直線的距離，設(shè)切點為，因為曲線導(dǎo)數(shù)，則，解得，所以切點為，所以，所以.故答案為.四、解答題17垃圾是人類日常生活和生產(chǎn)中產(chǎn)生的廢棄物，由于排出量大，成分復(fù)雜多樣，且具有污染性，所以需要無害化減量化處理.某市為調(diào)查產(chǎn)生的垃圾數(shù)量，采用簡單隨機抽樣的方法抽取20個縣城進(jìn)行了分析，得到樣本數(shù)據(jù)，其中和分別表示第個縣城的人口(單位：萬人)和該縣年垃圾產(chǎn)生總量(單位：噸)，并計算得，.（1）請用相關(guān)系數(shù)說明該組數(shù)據(jù)中與之間的關(guān)系可用線性回歸模型進(jìn)行擬合；（2）求關(guān)于的線性回歸方程，用所求回歸方程預(yù)測該市10萬人口的縣城

12、年垃圾產(chǎn)生總量約為多少噸？參考公式：相關(guān)系數(shù)，對于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.（1）答案見解析；（2）252.5噸.【分析】（1）利用相關(guān)系數(shù)，代入數(shù)據(jù)求出，相關(guān)系數(shù)絕對值越大，相關(guān)性越強即可判斷. （2）由，代入系數(shù)即可求出回歸直線方程，再將代入即可求解.【詳解】（1）由題意知，相關(guān)系數(shù).因為與的相關(guān)系數(shù)接近1，所以與之間具有較強的線性相關(guān)關(guān)系，可用線性回歸模型進(jìn)行擬合.（2）由題意可得，所以.當(dāng)時，所以該市10萬人口的縣城年垃圾產(chǎn)生總量約為252.5噸.18自“新冠肺炎”爆發(fā)以來，中國科研團隊一直在積極地研發(fā)“新冠疫苗”，在科研人員不懈努力下，

13、我國公民率先在2020年年末開始可以使用安全的新冠疫苗，使我國的“防疫”工作獲得更大的主動權(quán)，研發(fā)疫苗之初，為了測試疫苗的效果，科研人員以白兔為實驗對象，進(jìn)行了一些實驗（1）實驗一：選取10只健康白兔，編號1至10號，注射一次新冠疫苗后，再讓它們暴露在含有新冠病毒的環(huán)境中，實驗結(jié)果發(fā)現(xiàn)，除2號、3號和7號白兔仍然感染了新冠病毒，其他白兔未被感染，現(xiàn)從這10只白兔中隨機抽取4只進(jìn)行研究，將仍被感染的白兔只數(shù)記作，求的分布列和數(shù)學(xué)期望（2）科研人員在另一個實驗中發(fā)現(xiàn)，疫苗可多次連續(xù)注射，白兔多次注射疫苗后，每次注射的疫苗對白兔是否有效互相不影響，相互獨立，試問，若將實驗一中未被感染新冠病毒的白兔的

14、頻率當(dāng)做疫苗的有效率，那么一只白兔注射兩次疫苗能否保證有效率達(dá)到96%，如若可以請說明理由，若不可以，請問每支疫苗的有效率至少要達(dá)到多少才能滿足以上要求（1）分布列見解析；期望為；（2）不可以；每支疫苗的有效率至少要達(dá)到80%才能滿足以上要求【分析】（1）先分析出的可取值，然后根據(jù)超幾何分布模型求解取不同值時的概率，由此可求得的分布列，并根據(jù)分布列可計算出數(shù)學(xué)期望；（2）根據(jù)已知條件先分析出注射一次疫苗的有效率，然后計算注射兩次疫苗的有效率并與作比較，得到結(jié)果為無法保證后先假設(shè)疫苗的有效率，利用減去兩次疫苗都無效的概率等于，由此求解出結(jié)果.【詳解】解：（1）因為可取，所以所以，所以的分布列如下

15、：；（2）因為實驗一中未被感染新冠病毒的白兔的頻率為，所以注射一次疫苗的有效率為，又因為每次注射的疫苗對白兔是否有效相互獨立，所以一只白兔注射兩次疫苗的有效率為：，所以無法保證，設(shè)每支疫苗有效率至少達(dá)到才能滿足要求，則，解得所以每支疫苗的有效率至少要達(dá)到才能滿足以上要求.關(guān)鍵點點睛：超幾何分布模型的理解：一般地，在含有件次品的件產(chǎn)品中，任取件，其中恰有件次品，則，即：其中，且；如果隨機變量的分布列具有上表的形式，則稱隨機變量服從超幾何分布.19第24屆冬季奧運會將于2022年2月在北京和張家口舉辦，為了普及冬奧知識，京西某校組織全體學(xué)生進(jìn)行了冬奧知識答題比賽，從全校眾多學(xué)生中隨機選取了20名學(xué)

16、生作為樣本，得到他們的分?jǐn)?shù)統(tǒng)計如下：分?jǐn)?shù)段30，40）40，50）50，60）60，70）70，80）80，90）90，100人數(shù)1228331我們規(guī)定60分以下為不及格；60分及以上至70分以下為及格；70分及以上至80分以下為良好；80分及以上為優(yōu)秀.（I）從這20名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生，恰好2名學(xué)生都是優(yōu)秀的概率是多少？（II）將上述樣本統(tǒng)計中的頻率視為概率，從全校學(xué)生中隨機抽取2人，以X表示這2人中優(yōu)秀人數(shù)，求X的分布列與期望.（1）；（2）分布列見詳解；.【分析】（1）利用組合數(shù)以及古典概型的概率計算公式即可求解.（2）由題意可得，再利用二項分布的概率計算公式列出分布列，從而求出數(shù)

17、學(xué)期望.【詳解】（1）記恰好2名學(xué)生都是優(yōu)秀的事件為， 則. （2）抽到一名優(yōu)秀學(xué)生的概率為，X的取值為，,故X的分布列為： 20直播帶貨是扶貧助農(nóng)的一種新模式，這種模式是利用主流媒體的公信力，聚合銷售主播的力量助力打通農(nóng)產(chǎn)品產(chǎn)銷鏈條，切實助力貧困地區(qū)農(nóng)民脫貧增收某貧困地區(qū)有統(tǒng)計數(shù)據(jù)顯示，2020年該地利用網(wǎng)絡(luò)直播形式銷售農(nóng)產(chǎn)品的銷售主播年齡等級分布如圖1所示，一周內(nèi)使用直播銷售的頻率分布扇形圖如圖2所示若將銷售主播按照年齡分為“年輕人”（歲歲）和“非年輕人”（歲及以下或者歲及以上）兩類，將一周內(nèi)使用的次數(shù)為次或次以上的稱為“經(jīng)常使用直播銷售用戶”，使用次數(shù)為次或不足次的稱為“不常使用直播銷售

18、用戶”，則“經(jīng)常使用直播銷售用戶”中有是“年輕人”（1）現(xiàn)對該地相關(guān)居民進(jìn)行“經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡關(guān)系”的調(diào)查，采用隨機抽樣的方法，抽取一個容量為的樣本，請你根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，完成列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有的把握認(rèn)為經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡有關(guān)？使用直播銷售情況與年齡列聯(lián)表年輕人非年輕人合計經(jīng)常使用直播銷售用戶不常使用直播銷售用戶合計（2）某投資公司在2021年年初準(zhǔn)備將萬元投資到“銷售該地區(qū)農(nóng)產(chǎn)品”的項目上，現(xiàn)有兩種銷售方案供選擇：方案一：線下銷售根據(jù)市場調(diào)研，利用傳統(tǒng)的線下銷售，到年底可能獲利，可能虧損，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為；方案二：線上直播銷售根據(jù)市場

19、調(diào)研，利用線上直播銷售，到年底可能獲利，可能虧損，也可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為針對以上兩種銷售方案，請你從期望和方差的角度為投資公司選擇一個合理的方案，并說明理由參考數(shù)據(jù)：獨立性檢驗臨界值表其中，（1）列聯(lián)表見解析，有的把握認(rèn)為經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡有關(guān)；（2）選方案一，理由見解析.【分析】（1）由圖1知，“年輕人”有人，“非年輕人”有人，由圖2知，“經(jīng)常使用直播銷售用戶”有人，“不常使用直播銷售用戶” 有人，即可補全的列聯(lián)表，計算，判斷是否有的把握認(rèn)為經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡有關(guān).（2）按方案一，設(shè)獲利萬元，列的分布列，并計算期望和；按方案二，設(shè)獲利萬元列，列的分布列，

20、并計算期望和，比較兩個方案的期望和方程，從而選取方案.【詳解】（1）由圖1知，“年輕人”占比為，即有（人），“非年輕人”有（人）由圖2知，“經(jīng)常使用直播銷售用戶”占比為，即有（人），“不常使用直播銷售用戶” 有（人）.“經(jīng)常使用直播銷售用戶的年輕人”有中有（人），“經(jīng)常使用直播銷售用戶的非年輕人”有（人）補全的列聯(lián)表如下：年輕人非年輕人合計經(jīng)常使用直播銷售用戶不常使用直播銷售用戶合計于是.，即有的把握認(rèn)為經(jīng)常使用網(wǎng)絡(luò)直播銷售與年齡有關(guān).（2）若按方案一，設(shè)獲利萬元，則可取的值為行，的分布列為：（萬元），若按方案二，設(shè)獲利萬元，則可取的值為，的分布列為：（萬元），由方案二的方差要比方案一的方差大

21、得多，從穩(wěn)定性方面看方案一線下銷售更穩(wěn)妥，故選方案一.方法點睛：本題考查列聯(lián)表的應(yīng)用以及離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望，求離散型隨機變量的分布列，首先要根據(jù)具體情況確定的取值情況，然后利用排列，組合，概率知識求出取各個值時對應(yīng)的概率，對應(yīng)服從某種特殊分布的隨機變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出，考查學(xué)生邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題.21已知函數(shù).（1）當(dāng)a=1時，討論f（x）的單調(diào)性；（2）當(dāng)x0時，f（x）x3+1，求a的取值范圍.（1）當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.（2）【分析】(1)由題意首先對函數(shù)二次求導(dǎo)，然后確定導(dǎo)函數(shù)的符號，最后確定原函數(shù)的單調(diào)性即可.(2)方法一：首先討

22、論x=0的情況，然后分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)研究構(gòu)造所得的函數(shù)的最大值即可確定實數(shù)a的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時，由于，故單調(diào)遞增，注意到，故：當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增.(2) 方法一【最優(yōu)解】：分離參數(shù)由得，其中，.當(dāng)x=0時，不等式為：，顯然成立，符合題意；.當(dāng)時，分離參數(shù)a得，記，令，則，故單調(diào)遞增，故函數(shù)單調(diào)遞增，由可得：恒成立，故當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減；因此，,綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是.方法二：特值探路當(dāng)時，恒成立只需證當(dāng)時，恒成立當(dāng)時，只需證明式成立式，令，則，所以當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減從而，即，式成立所以當(dāng)時，恒成立綜上方法三：指數(shù)集中

23、當(dāng)時，恒成立，記，.當(dāng)即時，則當(dāng)時，單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，不合題意；.若即時，則當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，又，所以若滿足，只需，即，所以當(dāng)時，成立；當(dāng)即時，又由可知時，成立，所以時，恒成立，所以時，滿足題意.綜上，.【整體點評】導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中重要的知識點，本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)解決恒成立問題，常用方法技巧有：方法一，分離參數(shù)，優(yōu)勢在于分離后的函數(shù)是具體函數(shù)，容易研究；方法二，特值探路屬于小題方法，可以快速縮小范圍甚至得到結(jié)果，但是解答題需要證明，具有風(fēng)險性；方法三，利用指數(shù)集中，可以在求導(dǎo)后省去研究指數(shù)函數(shù)，有利于進(jìn)行分類討論，具有一定的技巧性！22已知函數(shù)（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；（2）若不等式恒成立，求a的取值范圍（1）（2）【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在點切線方程，即可得到坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)，最