電子教案《信號與系統(tǒng)》第三版信號系統(tǒng)習(xí)題解答

1、電子教課方案信號與系統(tǒng)第三版信號系統(tǒng)習(xí)題解答電子教課方案信號與系統(tǒng)第三版信號系統(tǒng)習(xí)題解答電子教課方案信號與系統(tǒng)第三版信號系統(tǒng)習(xí)題解答信號與系統(tǒng)（第3版）習(xí)題剖析高等教育初版社目錄第1章習(xí)題剖析2第2章習(xí)題剖析6第3章習(xí)題剖析16第4章習(xí)題剖析23第5章習(xí)題剖析31第6章習(xí)題剖析41第7章習(xí)題剖析49第8章習(xí)題剖析551第1章習(xí)題剖析1-1題1-1圖示信號中，哪些是連續(xù)信號？哪些是失散信號？哪些是周期信號？哪些是非周期信號？哪些是有始信號？(c)(d)題1-1圖解(a)、(c)、(d)為連續(xù)信號；(b)為失散信號；(d)為周期信號；其他為非周期信號；(a)、(b)、(c)為有始（因果）信號。1-

2、2給定題1-2圖示信號f(t)，試畫出以下信號的波形。提示：f(2t)表示將f(t)波形壓縮，f(t)表示將f(t)波形展寬。2(a)2f(t2)(b)f(2t)(c)f(t)2(d)f(t+1)題1-2圖解以上各函數(shù)的波形如圖p1-2所示。2圖p1-21-3如圖1-3圖示，R、L、C元件可以看作以電流為輸入，電壓為響應(yīng)的簡單線性系統(tǒng)SR、SL、SC，試寫出各系統(tǒng)響應(yīng)電壓與激勵電流函數(shù)關(guān)系的表達式。SRSLSC題1-3圖解各系統(tǒng)響應(yīng)與輸入的關(guān)系可分別表示為uR(t)RiR(t)uL(t)diL(t)L1dttuC(t)iC()dC1-4如題1-4圖示系統(tǒng)由加法器、積分器和放大量為a的放大器三個

3、子系統(tǒng)組成，系統(tǒng)屬于何種聯(lián)接形式？試寫出該系統(tǒng)的微分方程。3題1-4圖解系統(tǒng)為反響聯(lián)接形式。設(shè)加法器的輸出為x(t)，由于x(t)f(t)(a)y(t)且y(t)x(t)dt,x(t)y(t)故有y(t)f(t)ay(t)即y(t)ay(t)f(t)1-5已知某系統(tǒng)的輸入f(t)與輸出y(t)的關(guān)系為y(t)=|f(t)|，試判斷該系統(tǒng)可否為線性時不變系統(tǒng)？解設(shè)T為系統(tǒng)的運算子，則可以表示為y(t)Tf(t)f(t)不失一般性，設(shè)f(t)=f1(t)+f2(t)，則Tf1(t)f1(t)y1(t)Tf2(t)f2(t)y2(t)故有Tf(t)f1(t)f2(t)y(t)顯然f1(t)f2(t)

4、f1(t)f2(t)即不滿足可加性，故為非線性時不變系統(tǒng)。1-6判斷以下方程所表示的系統(tǒng)的性質(zhì)。(1)y(t)df(t)t)ddtf(0(2)y(t)y(t)3y(t)f(t)4(3)2ty(t)y(t)3f(t)(4)y(t)2y(t)f(t)解(1)線性；(2)線性時不變；(3)線性時變；(4)非線性時不變。1-7試證明方程y(t)ay(t)f(t)所描述的系統(tǒng)為線性系統(tǒng)。式中a為常量。證明不失一般性，設(shè)輸入有兩個重量，且f1(t)y1(t)，f2(t)y2(t)則有y1(t)ay1(t)f1(t)y2(t)ay2(t)f2(t)相加得y1(t)ay1(t)y2(t)ay2(t)f1(t)

5、f2(t)即dy1(t)y2(t)ay1(t)y2(t)f1(t)f2(t)dt可見f1(t)f2(t)y1(t)y2(t)即滿足可加性，齊次性是顯然的。故系統(tǒng)為線性的。1-8若有線性時不變系統(tǒng)的方程為y(t)ay(t)f(t)若在非零f(t)作用下其響應(yīng)y(t)1et，試求方程y(t)ay(t)2f(t)f(t)的響應(yīng)。解由于f(t)y(t)1et，由線性關(guān)系，則2f(t)2y(t)2(1et)由線性系統(tǒng)的微分特點，有f(t)y(t)et故響應(yīng)2f(t)f(t)y(t)2(1et)et2et5第2章習(xí)題剖析2-1如圖2-1所示系統(tǒng)，試以uC(t)為輸出列出其微分方程。題2-1圖解由圖示，有u

6、CduCiLCRdt又iL1t(uSuC)dtL0故1(uSuC)uCCuCLR進而得uC(t)1uC(t)1uC(t)1uS(t)RCLCLC2-2設(shè)有二階系統(tǒng)方程y(t)4y(t)4y(t)0在某初步狀態(tài)下的0+初步值為y(0)1,y(0)2試求零輸入響應(yīng)。解由特點方程2+4+4=0得1=2=2則零輸入響應(yīng)形式為yzi(t)(A1A2t)e2t6由于yzi(0+)=A1=12A1+A2=2所以A2=4故有yzi(t)(14t)e2t,t02-3設(shè)有以下函數(shù)f(t)，試分別畫出它們的波形。(a)f(t)=2(t1)2(t2)(b)f(t)=sint(t)(t6)解(a)和(b)的波形如圖p2

7、-3所示。圖p2-32-4試用階躍函數(shù)的組合表示題2-4圖所示信號。題2-4圖7解(a)f(t)=(t)2(t1)+(t2)f(t)=(t)+(tT)+(t2T)2-5試計算以下結(jié)果。t(t1)t(t1)dt(3)cos(t)(t)dt030(4)3t(t)dte0解(1)t(t1)=(t1)(2)t(t1)dt(t1)dt1(3)cos(t(t)dt1)cos()(t)dt03032(4)03t(t)dt03t(t)dt0(t)dt1ee0002-6設(shè)有題2-6圖示信號f(t)，對(a)寫出f(t)的表達式，對(b)寫出f(t)的表達式，并分別畫出它們的波形。題2-6圖解(a)1,0t22f

8、(t)=(t2)，t=22(t4)，t=4(b)f(t)=2(t)2(t1)2(t3)+2(t4)8圖p2-62-7如題2-7圖一階系統(tǒng)，對(a)求沖激響應(yīng)i和uL，對(b)求沖激響應(yīng)uC和iC，并畫出它們的波形。題2-7圖解由圖(a)有LdiuS(t)Ridt即diR1dtLiLuS(t)當(dāng)uS(t)=(t)，則沖激響應(yīng)h(t)i(t)Rt(t)1eLL則電壓沖激響應(yīng)h(t)uL(t)Ldi(t)R(t)ReLtdtL關(guān)于圖(b)RC電路，有方程CduCiSuCdtR9即uC1uC1iSRCC當(dāng)iS=(t)時，則h(t)uC(t)1eCtRC(t)同時，電流iCCduC(t)1edtRCtR

9、C(t)2-8設(shè)有一階系統(tǒng)方程y(t)3y(t)f(t)f(t)試求其沖激響應(yīng)h(t)和階躍響應(yīng)s(t)。解因方程的特點根=3，故有x1(t)e3t(t)當(dāng)h(t)=(t)時，則沖激響應(yīng)h(t)x1(t)(t)(t)(t)2e3t(t)階躍響應(yīng)s(t)t1(12e3t)(t)h()d032-9試求以下卷積。(a)(t)*2(b)(t+3)*(t5)(c)tet(t)*(t)解(a)由(t)的特點，故(t)*2=2按定義(t+3)*(t5)=(3)(t5)d考慮到t5時，(t5)=0，故t5t2,t2(t+3)*(t5)=d3也可以利用延遲性質(zhì)計算該卷積。由于10(t)*(t)=t(t)f1(t

10、t1)*f2(tt2)=f(tt1t2)故對本題，有(t+3)*(t5)=(t+35)(t+35)=(t2)(t2)兩種方法結(jié)果一致。(c)tet(t)*(t)=tet(t)=(ettet)(t)2-10對圖示信號，求f1(t)*f2(t)。題2-10圖解(a)先借用階躍信號表示f1(t)和f2(t)，即f(t)=2(t)2(t1)1f(t)=(t)(t2)2故f1(t)*f2(t)=2(t)2(t1)*(t)(t2)由于(t)*(t)=t1d=t(t)0故有f1(t)*f2(t)=2t(t)2(t1)(t1)2(t2)(t2)+2(t3)(t3)讀者也可以用圖形掃描法計算之。結(jié)果見圖p2-1

11、0(a)所示。11(b)依照(t)的特點，則f1(t)*f2(t)=f1(t)*(t)+(t2)+(t+2)=f1(t)+f1(t2)+f1(t+2)結(jié)果見圖p2-10(b)所示。圖p2-102-11試求以下卷積。(a)(1e2t)(t)(t)(t)(b)e3t(t)det(t)dt解(a)由于(t)(t)(t)(t)，故(1e2t)(t)(t)(t)(1e2t)(t)(t)(1e2t)(t)(b)由于et(t)(t)，故dete3t(t)(t)e3t(t)(t)dt(t)3e3t2-12設(shè)有二階系統(tǒng)方程y(t)3y(t)2y(t)4(t)試求零狀態(tài)響應(yīng)解因系統(tǒng)的特點方程為2+3+2=0解得特

12、點根1=1，2=2故特點函數(shù)x2(t)e1te2t(ete2t)(t)12零狀態(tài)響應(yīng)y(t)4(t)x2(t)4(t)(ete2t)(t)=(8e2t4et)(t)2-13如圖系統(tǒng)，已知h1(t)(t1),h2(t)(t)試求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。題2-13圖解由圖關(guān)系，有x(t)f(t)f(t)h1(t)(t)(t)(t1)(t)(t1)所以沖激響應(yīng)h(t)y(t)x(t)h2(t)(t)(t1)(t)(t)(t1)即該系統(tǒng)輸出一個方波。2-14如圖系統(tǒng)，已知R1=R2=1，L=1H，C=1F。試求沖激響應(yīng)uC(t)。題2-14圖解由KCL和KVL，可得電路方程為CuC(1R2C)uC(1

13、R2)uC1(t)R2(t)R1LLR1LR1R1L13代入數(shù)據(jù)得uC2uC2uC(t)(t)特點根1,2=1j1故沖激響應(yīng)uC(t)為uC(t)(e1te1t)*(t)(t)et(costsint)(t)etsint(t)etcost(t)V2-15一線性時不變系統(tǒng)，在某初步狀態(tài)下，已知當(dāng)輸入f(t)=(t)時，全響應(yīng)y1(t)=3e3t(t)；當(dāng)輸入f(t)=(t)時，全響應(yīng)y2(t)=e3t(t)，試求該系統(tǒng)的沖激響應(yīng)h(t)。解由于零狀態(tài)響應(yīng)(t)s(t)，(t)s(t)故有y1(t)=yzi(t)+s(t)=3e3t(t)y2(t)=yzi(t)s(t)=e3t(t)進而有y1(t)

14、y2(t)=2s(t)=2e3t(t)即s(t)=e3t(t)故沖激響應(yīng)h(t)=s(t)=(t)3e3t(t)2-16若系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)y(t)=f(t)*h(t)試證明：(1)f(t)h(t)df(t)tdth()d利用(1)的結(jié)果，證明階躍響應(yīng)s(t)th()d證（1）由于y(t)=f(t)h(t)14由微分性質(zhì)，有y(t)=f(t)h(t)再由積分性質(zhì)，有y(t)f(t)th()d（2）由于s(t)=(t)h(t)由（1）的結(jié)果，得s(t)(t)t)dh(t)t)dh(t)dh(15第3章習(xí)題剖析3-1求題3-1圖所示周期信號的三角形式的傅里葉級數(shù)表示式。題3-1圖解關(guān)于周期鋸齒波信號

15、，在周期(0，T)內(nèi)可表示為f(t)AtT系數(shù)a01T1TAtAf(t)dtTdt2T0T0an2T1tdt2ATcosn1tdtTf(t)cosnT2t002AtsinnT1t0T2n10bn2AT1tdt2ATsinn1tdtTf(t)sinnT2t002Atcosn1tTAT2n10n所以三角級數(shù)為f(t)AAsinn1t2n1n3-2求周期沖激序列信號T(t)(tnT)n的指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)表示式，它可否擁有收斂性？解沖激串信號的復(fù)系數(shù)為16Fn1Tjn1t12(t)eTdtT所以2TT(t)1ejn1tTn因Fn為常數(shù)，故無收斂性。3-3設(shè)有周期方波信號f(t)，其脈沖寬度=1ms

16、，問該信號的頻帶寬度（帶寬）為多少？若壓縮為0.2ms，其帶寬又為多少？解對方波信號，其帶寬為f1Hz，當(dāng)1=1ms時，則11f11000Hz10.001當(dāng)2=0.2ms時，則11f25000Hz20.00023-4求題3-4圖示信號的傅里葉變換。題3-4圖解(a)由于ttf(t)=0,t為奇函數(shù)，故17F()j2tsintdt0j2cos2sinj2cosSa()或用微分定理求解亦可。(b)f(t)為奇函數(shù)，故F()j2(1)sintdt02cos1j4sin2()j2若用微分-積分定理求解，可先求出f(t)，即f(t)=(t+)+(t)2(t)所以f(t)F1(j)ejej22cos2又由

17、于F1(0)=0，故F()1F1()2(cos1)jj3-5試求以下信號的頻譜函數(shù)。(1)f(t)2te(2)f(t)eatsin0t(t)解(1)F()f(t)etdt0tdte2tetdtje2tejj01142j2j421(ej0t(2)F()f(t)ejtdt0eatej0t)ejtdt2j1ej0te(aj)tej0te(aj)tdt2j0112j(j)j012j02j(j)2201(j)j00(j)2203-6關(guān)于如題3-6圖所示的三角波信號，試證明其頻譜函數(shù)為F()ASa2()218題3-6圖證由于t(A(1),tf(t)=0，|t|則F()2A(1ttdt)cos022A(1c

18、os)42Asin2()2ASa2()23-7試求信號f(t)=1+2cost+3cos3t的傅里葉變換。解由于12()2cost2(1)+(+1)3cos3t3(3)+(+3)故有F()=2()+(1)+(+1)+3(3)+(+3)3-8試利用傅里葉變換的性質(zhì)，求題3-8圖所示信號f2(t)的頻譜函數(shù)。19題3-8圖解由于f(t)的，故其變換1A=2=2F1()ASa2()4Sa2()2依照尺度特點，有f1(t)2F1(2)8Sa2(2)2再由調(diào)擬定理得f2(t)f1(t)costF2()2F2()18Sa2(22)8Sa2(22)24Sa2(22)4Sa2(22)sin2(2)sin2(2

19、)()2()23-9試利用卷積定理求以下信號的頻譜函數(shù)。(1)f(t)=Acos(0t)(t)f(t)=Asin(0t)(t)解（1）由于Acos(0t)A(0)(0)1(t)()j所以由時域卷積定理F()A(0)(0)()1j20f2(t)=A0)(0)(j（2）由于Asin(0t)jA(0)(0)(t)()1j由頻域卷積定理F()1jA(0)(0)()12jjA(0)(0)20A2203-10設(shè)有信號f1(t)=cos4t1,t0,t試求f1(t)f2(t)的頻譜函數(shù)。解設(shè)f11()，由調(diào)擬定理(t)Ff1()cos41(4)F1(4)F()ttF12而F1()Sa()2Sa()2故F()

20、Sa(4)Sa(4)3-11設(shè)有以下信號f(t)，分別求其頻譜函數(shù)。(1)f(t)e(3j4)t(t)(2)f(t)(t)(t2)解(1)因et1j故e(3j4)t11(3j4)j3j(4)21(2)因(t)(t2)G(t)(t1),2故jjF()Sa()e2Sa()e3-12設(shè)信號2,0t4f1(t)=0,其他試求f2(t)=f1(t)cos50t的頻譜函數(shù)，并大體畫出其幅度頻譜。解因F()2Sa()ej28Sa(2)ej22故F2()1F1(50)F1(50)24Sa2(50)ej2(50)4Sa2(50)ej2(50)幅度頻譜見圖p3-12。|F2()|5050圖p3-1222第4章習(xí)題

21、剖析4-1如題4-1圖示RC系統(tǒng)，輸入為方波u1(t)，試用卷積定理求響應(yīng)u2(t)。題4-1圖解由于RC電路的頻率響應(yīng)為H(j)1j1而響應(yīng)u2(t)=u1(t)*h(t)故由卷積定理，得U2()=U1()*H(j)而已知U1()1(1ej)，故jU2()11(1ej)j1j反變換得u2(t)(1et)(t)1e(t1)(t1)4-2一濾波器的頻率特點如題圖4-2所示，當(dāng)輸入為所示的f(t)信號時，求相應(yīng)的輸出y(t)。題4-2圖23解由于輸入f(t)為周期沖激信號，故11,2Fn12TT所以f(t)的頻譜F()2Fn(n1)2(2n)當(dāng)n=0，1，2時，對應(yīng)H(jnn)才有輸出，故Y()=

22、F()H(j)=22()+(2)+(+2)反變換得y(t)=2(1+cos2t)4-3設(shè)系統(tǒng)的頻率特點為H(j)2j2試用頻域法求系統(tǒng)的沖激響應(yīng)和階躍響應(yīng)。解沖激響應(yīng)，故h(t)F1H(j)2e2t(t)而階躍響應(yīng)頻域函數(shù)應(yīng)為S()F(t)H(j)()12jj2(12)j2j(11)j2j所以階躍響應(yīng)s(t)(1e2t)(t)4-4如題圖4-4所示是一個實質(zhì)的信號加工系統(tǒng)，試寫出系統(tǒng)的頻率特點H(j)。題4-4圖24解由圖可知輸出ty(t)f(t)f(tt0)dt0取上式的傅氏變換，得Y()F()(1ejt0)j故頻率特點H(j)Y()1(1ejt0)F()j4-5設(shè)信號f(t)為包含0m重量

23、的頻帶有限信號，試確定f(3t)的奈奎斯特采樣頻率。解由尺度特點，有f(3t)1F()33即f(3t)的帶寬比f(t)增加了3倍，即=3m。進而最低的抽樣頻率s=6m。故采樣周期和采樣頻率分別為TS16fmfS6fm4-6若電視信號占有的頻帶為06MHz，電視臺每秒發(fā)送25幅圖像，每幅圖像又分為條水平掃描線，問每條水平線最少要有多少個采樣點？解設(shè)采樣點數(shù)為x，則最低采樣頻率應(yīng)為2fm25625x所以2fm26106x62525768256254-7設(shè)f(t)為調(diào)制信號，其頻譜F()如題圖4-7所示，cos0t為高頻載波，則廣播發(fā)射的調(diào)幅信號x(t)可表示為x(t)=A1+mf(t)cos0t式

24、中，m為調(diào)制系數(shù)。試求x(t)的頻譜，并大體畫出其圖形。25F()題4-7圖解由于調(diào)幅信號x(t)=Acos0t+mAf(t)cos0t故其變換X()A(0)(0)mAF(0)F(0)2式中，F(xiàn)()為f(t)的頻譜。x(t)的頻譜圖如圖p4-7所示。X()圖p4-74-8題4-8圖所示(a)和(b)分別為單邊帶通信中幅度調(diào)制與解調(diào)系統(tǒng)。已知輸入f(t)的頻譜和頻率特點H1)、2(j)以下列圖，試畫出x(t)和y(t)的頻譜圖。(jHF()題4-8圖26題4-8圖解由調(diào)擬定理知f1(t)f(t)cosCtF1()1F(C)F(C)2而x(t)的頻譜X()F1()H1(j)又由于f2(t)x(t)

25、cosCtF2()1C)X(C)X(2所以Y()F2()H2(j)它們的頻譜變化分別如圖p4-8所示，設(shè)C2。F1()X()F2()Y()圖p4-84-9如題4-9圖所示系統(tǒng)，設(shè)輸入信號f(t)的頻譜F()和系統(tǒng)特點H1(j)、H2(j)均27給定，試畫出y(t)的頻譜。F()H1(j)H2(j)題4-9圖解設(shè)f1(t)f(t)cos50t，故由調(diào)擬定理，得F1()1F(50)F(50)2進而f2(t)F2()H1()F1()它僅在|=(3050)內(nèi)有值。再設(shè)f3(t)f2(t)cos30t則有F3()130)F2(30)F2(即F32()是2)的再頻移。進而得響應(yīng)的頻譜為F(Y()F3()H

26、2(j)其結(jié)果僅截取20a0a3故系統(tǒng)牢固。6-10如題6-10圖示反響系統(tǒng)，為使其牢固，試確定K值。題6-10圖47解該系統(tǒng)的H(s)為sK1s(s1)s2sKH(s)K1s33s23sKs1s2s(s1)從必要條件考慮，應(yīng)當(dāng)K0，再由a1a2a0a3考慮，應(yīng)滿足K9，故當(dāng)0K9時系統(tǒng)牢固。也可以從勞斯陣列判斷。由于陣列：133K9K03K0為使第一列元素不變號，即應(yīng)9K3即0,K00K9時系統(tǒng)牢固。48第7章習(xí)題剖析7-1試畫出以下失散信號的圖形。(a)f1(n)(1)n(n)2f2(n)(2n)(c)f3(n)(2n)(d)f4(n)2(10.5n)(n)解各信號的圖形分別如圖p7-1所

27、示。圖p7-17-2試畫出以下序列的圖形。(a)f1(n)(n2)(n6)(b)f2(n)(n2)(n)(c)f3(n)n(n)(n)(n5)(d)f4(n)(n)(n1)2(n2)2(n3)(n4)解各序列的圖形分別如圖p7-2所示。49圖p7-27-3設(shè)有差分方程y(n)3y(n1)2y(n2)f(n)初步狀態(tài)y(1)1,y(2)5。試求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)。24解系統(tǒng)的特點方程為2+3+2=0其特點根為1=1，2=2則零輸入響應(yīng)的形式為nK2nyzi(n)K112K1(1)nK2(2)n由初步狀態(tài)y(1)和y(2)導(dǎo)出初步值y(0)和y(1)n=0時，y(0)=3y(1)2y(2)=1.52

28、.5=1n=1時，y(1)=3y(0)2y(1)=3+1=4進而有yzi(0)K1K21yzi(1)K12K2450解得K1=2，K2=3故yzi(n)2(1)n3(2)n,n07-4設(shè)有失散系統(tǒng)的差分方程為y(n)4y(n1)3y(n2)4f(n)f(n1)試畫出其時域模擬圖。解原方程可以寫為y(n)4y(n1)3y(n2)4f(n)f(n1)進而可得時域模擬圖p7-4，圖中D為單位延時（位移）器。DDD圖p7-47-5以下列圖為工程上常用的數(shù)字辦理系統(tǒng)，是列出其差分方程。DDD題7-5圖51解由圖可得差分方程y(n)b0f(n)b1f(n1)b2f(n2)b3f(n3)7-6設(shè)有序列f1(

29、n)和f2(n)，如圖7-6所示，試用二種方法求二者的卷積。題7-6圖解方法一：用“乘法”21.5111.52111121.5111.5221.5111.5221.5111.5221.5111.5223.54.55.555.54.53.52即有f1(n)f2(n)2,3.5,4.5,5.5,5,5.5,4.5,3.5,2n0方法二：用單位序列表示各函數(shù)后卷積。由于f1(n)2(n)1.5(n1)(n2)(n3)1.5(n4)2(n5)f2(n)(n)(n1)(n2)(n3)則f1(n)f2(n)2(n)3.5(n1)4.5(n2)5.5(n3)5(n4)5.5(n5)4.5(n6)3.5(n7

30、)2(n8)7-7設(shè)有一階系統(tǒng)為52y(n)0.8y(n1)f(n)試求單位響應(yīng)h(n)和階躍響應(yīng)s(n)，并畫出s(n)的圖形。解由方程知特點根=0.8，故h(n)n(n)0.8n(n)階躍響應(yīng)為s(n)h(n)(n)10.8n15(10.8n1)(n)10.8s(n)的圖形如圖p7-7所示。圖p7-77-8設(shè)失散系統(tǒng)的單位響應(yīng)h(n)(1)n(n)，輸入信號f(n)2n，試求零狀態(tài)響應(yīng)y(n)。3解由給定的f(n)和h(n)，得y(n)f(n)h(n)f(nk)h(k)2nk(1)kk0(1)k2nk03k06由于an1an1,a1k01a故得y(n)62n(n)1(1)n(n)5537-

31、9試證明nnn1n1(n)(n)11121253證明nnn(n)n(n)nkknkk1212112k0k0n1(2)n1n2kn1()11k011(2)n1n1112nn1n1n11121121217-10已知系統(tǒng)的單位響應(yīng)，h(n)an(n)(0a1)輸入信號f(n)(n)(n6)，求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解y(n)f(n)h(n)(n)(n6)an(n)由于nn1anak1a(n)(n)(n)k01a利用時延性質(zhì)，則1an16(n6)n(n6)a(n)1a所以得1an1(n)1an5y(n)(n6)1a1a54第8章習(xí)題剖析8-1求以下失散信號的Z變換，并注明收斂域。(n2)a-n(n)0.5

32、n1(n1)(0.5n+0.25n)(n)解(a)F(z)z2,0z(b)F(z)anzn(az)nn0n011(az)1z，z11aza(c)F(z)0.5n1zn2(1)nn1n12z1，z1z122(d)F(z)0.5nzn0.25nznn0n0zz，z0.5z0.5z0.258-2求以下F(z)的反變換f(n)。(a)F(z)10.5z13z11z2148(b)12z1F(z)12z(c)F(z)2z1)(z2)(z(d)F(z)3z2z0.2)(z0.4)(z(e)F(z)z2)(z1)2(z解(a)由于55F(z)z20.5z(z1)(z1)24故F(z)z0.5K1K2z1111

33、(z)(z)z2z244解得K1=4，K2=3進而F(z)4z3zz1z124所以f(n)4(1)n3(1)n(n)24z2z2z2(b)F(z)2z12z12z1112(z2(z)22所以f(n)1(1)n(n)(1)n1(n1)222由于2zF(z)(z1)(z2)故F(z)2K1K2z(z1)(z2)z1z2解得K1=2，K2=2進而2z2zF(z)z1z2所以f(n)2(n)2(2)n(n)2(2n1)(n)由于3z2zF(z)0.4)(z0.2)(z故56F(z)3z1K1K2z(z0.2)(z0.4)z0.2z0.4解得81K1,K233故有8z1zF(z)33z0.2z0.4所以

34、f(n)8(0.2)n1(0.4)n(n)33由于zF(z)2(z2)(z1)故F(z)1K1K11K12z(z2)(z1)2z2(z1)2z1解得K1=1，K11=1，K12=1進而有zzzF(z)(z1)2z1z2故得f(n)(2nn1)(n)8-3試用z變換的性質(zhì)求以下序列的z變換。f(n)(n3)(n3)f(n)(n)(nN)解(a)由時延性質(zhì)，有F(z)zz31zzz(z1)2z2(z1)2(b)F(z)zN(1zN)z1z1z18-4試證明初值定理f(0)limF(z)z57證明由于F(z)f(n)znf(0)f(1)z1f(2)z20當(dāng)z時，則上式右邊除f(0)外均為零，故f(0

35、)limF(z)z8-5試用卷和定理證明以下關(guān)系：(a)f(n)(nm)f(nm)(b)(n)(n)(n1)(n)證明(a)出處卷和定理f(n)(nm)F(z)zm而f(nm)zmF(z)故得f(n)(nm)f(nm)(b)由于z2(n)(n)zzz1z1(z1)2而z2(n1)(n)n(n)(n)zz(z1)2z1(z1)2所以(n)(n)(n1)(n)8-6已知(n)(n)(n1)(n)，試求n(n)的Z變換。解出處卷和定理z2(n)(n)(z1)2而n(n)(n1)(n)(n)所以58n(n)z2zz(z1)2z1(z1)28-7已知因果序列的Z變換為F(z)，試分別求以下原序列的初值f

36、(0)。(1)F(z)10.5z1)(10.5z1)(1(2)F(z)z11.5z10.5z21解(1)F(z)1z210.25z2z20.25所以f(0)limF(z)1z(2)F(z)zz21.5z0.5所以f(0)limF(z)0z8-8已知系統(tǒng)的差分方程、輸入和初始狀態(tài)以下，試用Z變換法求系統(tǒng)的完好響應(yīng)。y(n)1y(n1)f(n)1f(n1)22f(n)(n),y(1)1。解對方程取Z變換，有Y(z)0.5z1Y(z)0.5F(z)0.5z1F(z)即(10.5z1)Y(z)(10.5z1)z0.5z1故z0.5zY(z)z0.5z1所以y(n)(n)0.5(0.5)n8-9設(shè)系統(tǒng)差

37、分方程為y(n)5y(n1)6y(n2)f(n)59初步狀態(tài)y(1)=3，y(2)=2，當(dāng)f(n)=z(n)時，求系統(tǒng)的響應(yīng)y(n)。解對差分方程取z變換，得Y(z)5z1Y(z)y(1)6z2Y(z)z1y(1)y(2)F(z)即Y(z)5z1Y(z)156z2Y(z)18z1122zz1進而有2z18z13Y(z)z116z215z5z321z218z(z1)(z2)(z3)故Y(z)K1K2K3zz1z2z3解得K1=1，K2=4，K3=0則有z4zY(z)z2z1得全響應(yīng)y(n)(n)4(2)n(n)8-10設(shè)一系統(tǒng)的輸入f(n)(n)4(n1)2(n2)，系統(tǒng)函數(shù)H(z)1z1)(1

38、0.5z1)(1試求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)。解由于H(z)z2z221.5z0.5(z0.5)(z1)z所以H(z)zK1K2z(z0.5)(z1)z0.5z1解得K1=1，K2=260故z2zH(z)z1z0.5得h(n)(0.5)n2(n)所以y(n)h(n)f(n)(0.5)n2(n)(n)4(n1)2(n2)4(n)2(n)(0.5)n(n)8-11設(shè)有系統(tǒng)方程y(n)0.2y(n1)0.8y(n2)f(n)2f(n1)試畫出其Z域的模擬框圖。解在零狀態(tài)下對方程取z變換，得Y(z)0.2z1Y(z)0.8z2Y(z)F(z)2z1F(z)即(10.2z10.8z2)Y(z)(12z1)F(z

39、)故有Y(z)12z1H(z)10.2z10.8z2F(z)由此可以畫出模擬圖如圖p8-11所示。圖p8-118-12如題8-12圖所示z域框圖，試寫出其差分方程。61題8-12圖解由圖可得bz1Y(z)1az1F(z)故有(1az1)Y(z)(bz1)F(z)所以y(n)ay(n1)bf(n)f(n1)8-13如題8-13圖所示z域框圖，是寫出其差分方程。題8-13圖解由圖可得X(z)11F(z)az1Y(z)(1bz1)X(z)故有1bz1Y(z)1az1F(z)62即(1az1)Y(z)(1bz1)F(z)進而有差分方程y(n)ay(n1)f(n)bf(n1)8-14關(guān)于題8-12和8-13，試分別寫出系統(tǒng)函數(shù)H(z)。解關(guān)于題8-12，因X(z)F(z)而Y(z)bX(z)z1X(z)(bz1)X(z)故H(z)F(z)az1X(z)(1az1)X(z)Y(z