19.2.3 一次函數(shù)與方程、不等式-公開課-優(yōu)質(zhì)課(人教版教學(xué)設(shè)計(jì)精品)

1、 19.2.3一次函數(shù)與方程、不等式-公開課-優(yōu)質(zhì)課（人教版教學(xué)設(shè)計(jì)精品）一、內(nèi)容和內(nèi)容解析1內(nèi)容一次函數(shù)與一元一次方程、二元一次方程（組）、一元一次不等式的關(guān)系2內(nèi)容解析函數(shù)、方程和不等式是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，函數(shù)是聯(lián)系方程、不等式的紐帶通過函數(shù)圖象，可以直觀地表示方程（組）和不等式的及其解（解集）的含義用函數(shù)的觀點(diǎn)看一元一次方程，則可以把一元一次方程理解為已知一次函數(shù)的函數(shù)值求對(duì)應(yīng)的自變量的值；用函數(shù)的觀點(diǎn)看二元一次方程，則以二元一次方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)集就是相應(yīng)的一次函數(shù)的圖象，二元一次方程組的解就是相應(yīng)的兩個(gè)一次函數(shù)圖象（兩條直線）的交點(diǎn)坐標(biāo)；用函數(shù)的觀點(diǎn)看一元一次不等式，它的解集就是使

2、的函數(shù)值在某個(gè)范圍的自變量的取值范圍研究函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系可以深化對(duì)相關(guān)知識(shí)的理解，優(yōu)化知識(shí)結(jié)構(gòu)，而建立這種聯(lián)系的關(guān)鍵是建立一次函數(shù)與二元一次方程的聯(lián)系綜上所述，確定本課的教學(xué)重點(diǎn)：理解一次函數(shù)與二元一次方程（組）的聯(lián)系二、目標(biāo)和目標(biāo)解析1目標(biāo)（1）認(rèn)識(shí)一次函數(shù)與一元（二元）一次方程（組）、一元一次不等式之間的聯(lián)系會(huì)用函數(shù)觀點(diǎn)解釋方程和不等式及其解（解集）的意義（2）經(jīng)歷用函數(shù)圖象表示方程、不等式的解的過程，進(jìn)一步體會(huì)“以形表示數(shù)，以數(shù)解釋形”的數(shù)形結(jié)合思想2目標(biāo)解析目標(biāo)（1）要求能用函數(shù)的觀點(diǎn)看二元一次方程（組）、一元一次方程和一元一次不等式，知道解一元一次方程就是已知函數(shù)值求自變

3、量的值；解一元一次不等式就是已知函數(shù)值的取值范圍求對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍；知道函數(shù)反應(yīng)的是變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的整體，不等式是反映變量之間對(duì)應(yīng)關(guān)系的部分，方程則反映了具體的變量的值之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系目標(biāo)（2）要求學(xué)生通過以函數(shù)圖象為中介，用函數(shù)的觀點(diǎn)看方程和不等式的解，進(jìn)一步體會(huì)用圖象可以直觀地描述函數(shù)、方程、不等式之間的聯(lián)系三、教學(xué)問題診斷分析學(xué)生已經(jīng)分別學(xué)習(xí)過一次函數(shù)、一元一次方程、二元一次方程組和一元一次不等式，知道它們都是刻畫現(xiàn)實(shí)問題中數(shù)量關(guān)系的重要模型，但沒有建立這些知識(shí)之間的有效聯(lián)系，不知道方程（組）、不等式模型與函數(shù)模型的聯(lián)系與區(qū)別用函數(shù)觀點(diǎn)理解二元一次方程需要把方程的解（x,y）看作是

4、一對(duì)變量x和y,從圖象的角度看，需要把解（x,y）看作函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)，把描述方程的曲線看作以解為坐標(biāo)的平面上的點(diǎn)集用函數(shù)圖象的角度看一元一次方程,實(shí)際上是已知一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)求與其對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)；用函數(shù)圖象的觀點(diǎn)看不等式,需要把不等式的解集看作圖象上縱坐標(biāo)的值在一定范圍內(nèi)的圖象上點(diǎn)對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)的值的集合把一次函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)與方程（組）的解建立聯(lián)系,這是學(xué)習(xí)的難點(diǎn)四、教學(xué)過程設(shè)計(jì)（一）創(chuàng)設(shè)情境,提出問題1號(hào)）11問題1如圖1，1號(hào)探測(cè)氣球從海拔5m處出發(fā)，以1m/min的速度上升.與此同時(shí),2號(hào)探測(cè)氣球從海拔15m處出發(fā)，以0.5m/min的速度上升，兩個(gè)氣球都上升了1h.請(qǐng)用

5、解析式分別表示兩個(gè)氣球所在位置的海拔y（單位：m）與上升時(shí)間x（單位：min）的函數(shù)關(guān)系.師生活動(dòng)：教師用動(dòng)畫展示氣球的運(yùn)動(dòng)過程，學(xué)生獨(dú)立寫出函數(shù)解析式設(shè)計(jì)意圖：通過動(dòng)畫展示兩氣球高度的變化過程，讓學(xué)生能直觀地感知到兩氣球相對(duì)高度的變化，通過用函數(shù)式表示變化過程，得到研究一次函數(shù)與二元一次方程（組）關(guān)系的素材.追問1：確定了一次函數(shù)的解析式，也就確定變量的變化規(guī)律.我們得到了兩個(gè)式子：y=x+5,y=0.5x+15，如果把x，y看作未知數(shù)，那么，這兩個(gè)式子表示什么意義？設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生用方程觀點(diǎn)看一次函數(shù)，發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)的表達(dá)式是一個(gè)二元一次方程.追問2：這說明一次函數(shù)與二元一次方程應(yīng)該有密切的

6、聯(lián)系，具體是怎樣聯(lián)系的呢？設(shè)計(jì)意圖：提出問題，明確學(xué)習(xí)內(nèi)容，引導(dǎo)學(xué)生把注意聚焦在思考一次函數(shù)與二元一次方程關(guān)系上（二）觀察思考，探究新知1探索一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系問題2寫三個(gè)一次函數(shù)，用方程觀點(diǎn)看式子，有什么發(fā)現(xiàn)；然后再寫三個(gè)二元一次方程，如果把未知數(shù)看作變量，變量之間的關(guān)系是什么？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生分別用函數(shù)觀點(diǎn)看二元一次方程，用方程觀點(diǎn)看一次函數(shù)，發(fā)現(xiàn)其聯(lián)系（如圖2）如圖2設(shè)計(jì)意圖：通過式子之間的轉(zhuǎn)換，讓學(xué)生體會(huì)從式子的角度看，只要把未知數(shù)和變量的角色互換，則二元一次方程和一次函數(shù)也實(shí)現(xiàn)了互相轉(zhuǎn)化，從數(shù)量關(guān)系來講，本質(zhì)是相同的，只是看的角度不同、觀點(diǎn)不同追問1：如果從形的觀點(diǎn)看

7、，它們之間又有什么聯(lián)系呢？追問2：在同一坐標(biāo)系內(nèi)，（1）畫出函數(shù)y=0.5x+15的圖象；（2）畫出以方程0.5xy=15的5組解為坐標(biāo)的點(diǎn).有什么發(fā)現(xiàn)？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：不管從數(shù)的角度還是從形的角度看，一次函數(shù)和二元一次方程的數(shù)量關(guān)系的本質(zhì)相同，只不過是觀點(diǎn)不同、表現(xiàn)形式不同（如圖3）直線：Jy/y=0.5x+15x點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的方程點(diǎn)的坐標(biāo)滿足的函數(shù)關(guān)系以數(shù)對(duì)(x,y)為坐標(biāo)畫點(diǎn)|數(shù)一次函數(shù)y=0.5x+15用方程觀點(diǎn)看兀一次方程y0.5x=15用函數(shù)觀點(diǎn)看兀一次方程y=0.5x+15圖3設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過畫圖和圖形觀察，直觀地發(fā)現(xiàn)以方程0.5x-y=15的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在函

8、數(shù)y=0.5x+15的圖象上，函數(shù)圖象上的每點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程0.5xy=15的一組解2用函數(shù)觀點(diǎn)看二元一次方程組我們知道，兩個(gè)有相同未知數(shù)的二元一次方程組成的方程組一般有一個(gè)解，那么從函數(shù)的觀點(diǎn)看，這有什么含義？讓我們還是從氣球的上升問題說起問題3由于兩氣球上升的速度不同，開始時(shí)1號(hào)氣球高，2號(hào)氣球低，那么，永遠(yuǎn)如此嗎？追問1：什么時(shí)刻，1號(hào)氣球的高度趕上2號(hào)氣球的高度？大家會(huì)從數(shù)和形兩方面分別加以研究嗎？師生活動(dòng)：教師把學(xué)生分成兩組，一組同學(xué)從數(shù)量關(guān)系角度研究；另一組同學(xué)從圖形角度研究(1)從數(shù)量關(guān)系的研究：1號(hào)氣球的高度與時(shí)間關(guān)系為y=x+5,2號(hào)氣球的高度與時(shí)間關(guān)系為y=0.5x+15.

9、當(dāng)兩氣球在同一時(shí)刻的高度相同時(shí)，時(shí)間x和高度y同時(shí)滿足這兩個(gè)方程，也就是由這兩個(gè)方程組成的方程組的解解方程組0.5x+15,得jx=20，所以氣球上升20min時(shí)，它們的高度相同，都是y=x+5y=25.25m.(2)從形的角度研究：在同一坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象(如圖4):從中發(fā)現(xiàn),兩直線交于一點(diǎn),交點(diǎn)坐標(biāo)為(20，25).設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)的觀點(diǎn)，從數(shù)和形兩方面深化對(duì)二元一次方程組的解的認(rèn)識(shí).為形成下面對(duì)一次函數(shù)與二元一次方程組的關(guān)系的歸納提供樣例.追問2：回顧上面的解題過程，用函數(shù)觀點(diǎn)看方程組，y0.5x+15,你能得到哪些結(jié)論?y=x+5你能把得到的結(jié)論推廣到一般情形嗎？師生活

10、動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)：由上可知，每個(gè)二元一次方程組，都對(duì)應(yīng)兩個(gè)一次函數(shù),于是也對(duì)應(yīng)兩條直線.從“數(shù)”的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于：求自變量為何值時(shí)相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值相等，以及這個(gè)函數(shù)值是多少；從“形”的角度看，解二元一次方程組相當(dāng)于：確定兩條相應(yīng)直線交點(diǎn)的坐標(biāo).遷移應(yīng)用，鞏固知識(shí)例1下面三個(gè)方程有什么共同特點(diǎn)？你能從函數(shù)的角度對(duì)這三個(gè)方程進(jìn)行解釋嗎？(1)2x+13；(2)2x+10；(3)2x+1-1.師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)，解這三個(gè)方程，就是求函數(shù)y2x+1的函數(shù)值分別為3，0，-1時(shí)相應(yīng)的自變量的值，并畫出圖象如圖5：/v=2x+l2x+l=0的解2x+l=-l的mo2x+l=3的

11、解圖5追問1:能把得到的結(jié)論推廣到一般情形嗎？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生得出，一般地，一元一次方程ax+b=c(a,b,c為常數(shù)，a工0)的解就是當(dāng)函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值為c時(shí)的自變量的值.追問2：我們知道，任何一元一次方程都可以化為ax+b=0的形式，你能用函數(shù)觀點(diǎn)對(duì)解這個(gè)方程進(jìn)行解釋嗎？師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生得出，解任何一元一次方程，都可以轉(zhuǎn)化為求一次函數(shù)值為0的自變量的值的問題，如圖6.設(shè)計(jì)意圖：用數(shù)形結(jié)合的方法，建立一次函數(shù)與一元一次方程的聯(lián)系.例2下面三個(gè)不等式有什么共同特點(diǎn)？你能從函數(shù)的角度對(duì)解這三個(gè)不等式進(jìn)行解釋嗎？能把你得到的結(jié)論推廣到一般情形嗎？3x+22；3x+2V0；3x+

12、2V1.師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)通過觀察發(fā)現(xiàn)不等式與函數(shù)的關(guān)系，并進(jìn)一步歸納：解不等式,ax+bc(c)，就是求函數(shù)值大于c(小于c)時(shí)，對(duì)應(yīng)的自變量的取值范圍.并在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步得到：解一元一次不等式可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=ax+b的函數(shù)值大于0(或小于0)時(shí)，自變量的取值范圍（如圖7）.的解集設(shè)計(jì)意圖：比照研究一次函數(shù)和二元一次方程（組）關(guān)系的方法，用函數(shù)觀點(diǎn)看一元一次方程和一元一次不等式.（四）回顧總結(jié)，深化提高請(qǐng)大家?guī)е旅娴娜蝿?wù)，回顧課堂歷程，清點(diǎn)并交流收獲.請(qǐng)用函數(shù)的觀點(diǎn)，從數(shù)形兩方面說說你對(duì)二元一次方程有什么新的理解；請(qǐng)用函數(shù)觀點(diǎn)，從數(shù)和形兩個(gè)角度說說對(duì)二元一次方程組的認(rèn)識(shí)；請(qǐng)用函數(shù)的觀點(diǎn)

13、，說說你對(duì)一元一次方程有什么新的認(rèn)識(shí)；請(qǐng)用函數(shù)的觀點(diǎn)，說說一次函數(shù)與一元一次不等式的聯(lián)系.在學(xué)生總結(jié)交流的基礎(chǔ)上，教師進(jìn)行概括性引導(dǎo)：方程（組）、不等式和函數(shù)之間互相聯(lián)系，用函數(shù)的觀點(diǎn)可以把它們統(tǒng)一起來，解決問題時(shí)，可以根據(jù)具體情況把它們靈活地結(jié)合起來使用.設(shè)計(jì)意圖:小結(jié)中的第1問引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩方面概括一次函數(shù)與二元一次方程的聯(lián)系；第2問引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)和形兩方面理解二元一次方程組與一次函數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系；第3問引導(dǎo)學(xué)生思考一次函數(shù)與一元一次方程的聯(lián)系;第4問引導(dǎo)學(xué)生思考一次函數(shù)與一元一次不等式的聯(lián)系.布置作業(yè)：教科書習(xí)題19.2第8，10，11，13題.六、目標(biāo)檢測(cè)設(shè)計(jì)以方程2x-3y=6的

14、解（x,y）為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖形是函數(shù)的圖象；以方程x+y=4的解（x,y）為坐標(biāo)的所有點(diǎn)組成的圖形是函數(shù)的圖象；用函數(shù)2x3y=6,觀點(diǎn)看，方程組f的解的含義是當(dāng)自變量x取時(shí)，函數(shù)和函數(shù)Ix+y=4有相同的函數(shù)值設(shè)計(jì)意圖：考查二元一次方程(組)和一次函數(shù)的聯(lián)系函數(shù)y=3x+6,當(dāng)x為何值時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y：(1)等于5？(2)小于5？(3)大于5？設(shè)計(jì)意圖：考查一次函數(shù)與一元一次方程和不等式之間的關(guān)系1在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x+4和y=x+1的圖象，并回答下面的問題：2當(dāng)x為何值時(shí)，這兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值相等？1當(dāng)x在什么范圍內(nèi)，y=x+4的函數(shù)值大于y=x+l函數(shù)值？2設(shè)計(jì)意圖：考查一元一次方程、一元一次不等式與一次函數(shù)的關(guān)系.4.如果直線y=k1x+b1和直線y=k2x+b2(k1k20)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(a,b),則不等式出工+方Vk2x+b2的解集是.設(shè)計(jì)意圖：考查用函數(shù)觀點(diǎn)看一元一次不等式.5.甲乙兩人在操場(chǎng)上練習(xí)100m跑步，甲的平均速度是6m/s,乙的平均速度是5m/s,如果甲讓乙先跑2s,甲能追上乙嗎？什么時(shí)候追上？請(qǐng)用方程和函數(shù)兩種方法解決這個(gè)問題設(shè)計(jì)意圖：綜合考查一次函數(shù)、二元一次方程組和一元一次不等式之間的聯(lián)系參考答案：218221.y=-x2，y=4x，y=x6,y=